2025学年第二学期杭州市高三年级二模教学质量检测数学试卷（含答案）_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年04月高三试卷

{#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}a>0,b>0 {#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}{#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}{#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}2025 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试卷参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A C B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分. 9.BC 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．2 13． 14.82 四、解答题：本题共5小 3 题 + ， 1 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ＝ ， 15．（1）当n≥2时， 两式相减得a ＝2a ， n＋1 n ＝ ， +1−2 所以公比q＝2． −1 −2 …………5分 由于{a }为等比数列，所以a ＝2a ，又S ＝a ＝a －2， n 2 1 1 1 2 所以a ＝2． …………9分 1 （2）由（1）知，a ＝2n． n 所以S ＝a －2＝2n＋1－2． …………13分 n n＋1 16．（1）因为P－ABCD的所有棱长相等，点M是棱PC的中点， 所以PC⊥DM，PC⊥BM， 又因为DM∩BM＝M，DM，BM 平面BDM， 所以PC⊥平面BDM． ⊂ …………5分 （2）建系如图，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，P(1，1， )，设Q(2，t，0)（0≤t≤2）， 由（1）知PC⊥平面BDM， 2 则 ＝ ， ， 为平面BDM的法向量． 则 ＝(1，−，1 ，2) ＝ ， ， ， 设平 面 (2 的 法0向)量 为 n＝(1 ，1 ，2)，则 ＝ ＋ ＝ ， ( ) ，可取n＝ ， ， ， ＝ ＋ ＋ ＝ ∙ 2 0 2 ( −2 2− 2 ) 记 平 面∙ PD Q与 平面2 BD0M所成角为 ，则，cosθ＝ ＝ ． | ∙ | 2 ＋ | || | 32 2 −2 6 当t＝ 时，cosθ取到最大值 ． ……………15分 2 3 3 2 1 {#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}17．（1）平均时间 ＝ ＝ ； ………5分 1 （2 ） （i）50证2.明5×：2由0题+意7.5知×，14+12.5＝×10+17.5×＝6 7.，7 −10 分别记已经等待 分钟和 已 经 > 等 待 1− 分 钟 为 ≤ 事 件 A和事件B， 则 ＝ ＝ + ＝ 且 ( ) ( > + >s) > + | > | > ＝ ＝ + ＝ ＝ ．…………10分 −10 ( > + ) −10 （ii）由（i）知， > −10 > ＝ ＝ ＝ ＝ ， −1 >10 ＝ >5+10 >＝5 >，10 1− ≤10 −1 所以0≤费 用≤的1期0望是1− >10 1− ＝ （元）． ………15分 −1 −1 18 2× 1− +20× 2+ 18. （1）将点A代入y2＝2px 得p＝2，即Γ：y2＝4x． …………4分 （2）（i）过M点斜率为2的直线 ＝ ， 2 L 直线方程 ＝ ， −2 2 − OA 可得 ， ， 2 2 由 ＝2 得−2 2 −2， ． ……………9分 2 2 （ii）所 以 直 线 OP 方3程 为−4＝ 4 ，−6 4 −6 ＝ 3 −4 解方程组 ，得 ， ， ……………11分 4 −6 ＝ 2 3 −4 (3 −4) 2(3 −4) 2 2 (2 −3) 2 −3 直线MN： 4＝ ， 2 −3 2 2 整理得 −2＋ −2( −＋ ) ＝ ， 2 因此直线 M−N3 过定 2 点 E2(−2， 3)． 3 −2 0 ……………15分 所以点 到直线MN的最大距离为 ． …………17分 10 19．（1）一方面，记 ＝ ， ， ． π 则 ＝ ，故 −sin在 ∈ ，0 2上单调递增，即 ＝ ． π 另一 '(方 )面，1−记cos ＝>0 (， ) ∈ ，0 ．2 > 0 0 π 所以 ＝ tan ，−故 ∈在0 2 ， 上单调递增，即 ＝ ． 1 π 2 综上， '( ) cos −1>，0 (， ) 成∈立．0 2 … … …4>分 0 0 π （2）si当n < <，tan 时， 由∈（0 1）2知 ，故 恒成立． π tan − ∈ 0 2 > s2in < −sin {#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}一方面，取 ＝ ，，则 ； π π π tan4−4 π π 另一方面，当 ＝ 4 时， 记 < 4−sin ＝4 ≈2.7 ，则 ＝ . 1 2 由cosx＞0知 1＋2 ℎ tan +2sin −3， ℎ' cos +2cos −3 1 2 2 所以 ，故cos +单2调co递s 增≥.co进s 而+2cos ≥4 ＝ ． 综上，ℎ'正 整≥数0 的最ℎ大 值为2． ℎ >ℎ 0 0 ………10分 （3）当 ， 时，由（2） ， π 即 ∈ 0 2 . tan − >2 −sin > −sin tan +sin >2 sin2x sin2x 则( tanx sinx)2 tanxsinx2 2x2 ， ① cosx cosx sin2x 下证 x， cosx sin2x 1cos2x 1 f(x) x2 x2 cosxx2， cosx cosx cosx sinx sinx 则 f '(x) sinx2x2 sinx2x2tanx2x0 ， cos2x cos2x 故 单调递增. 进而 ＝ ， ' ' > 0 0 sin2 x 故 单调递增. 进而 ＝,即  x． cosx > 0 0 所以结合①可得( tanx sinx)2 4x，即 tanx sinx 2 x ， n π π n π n 2  1 所以 ( tan  sin )2  ＝2 (1 )． ………17分 4k 4k 4k 2k 2n k1 k1 k1 3 {#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}