2025学年第二学期杭州市高三年级二模教学质量检测数学试卷（含答案）_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年04月高三试卷

{#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}a>0,b>0
{#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}{#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}{#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}2025 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试卷参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1 2 3 4 5 6 7 8
D C B A C B D B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.
9.BC 10.ACD 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．2 13． 14.82
四、解答题：本题共5小
3
题
+
，
1
共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
＝ ，
15．（1）当n≥2时， 两式相减得a ＝2a ，
n＋1 n
＝ ，
+1−2
所以公比q＝2．   −1   −2 …………5分
由于{a }为等比数列，所以a ＝2a ，又S ＝a ＝a －2，
n 2 1 1 1 2
所以a ＝2． …………9分
1
（2）由（1）知，a ＝2n．
n
所以S ＝a －2＝2n＋1－2． …………13分
n n＋1
16．（1）因为P－ABCD的所有棱长相等，点M是棱PC的中点，
所以PC⊥DM，PC⊥BM，
又因为DM∩BM＝M，DM，BM 平面BDM，
所以PC⊥平面BDM．
⊂
…………5分
（2）建系如图，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，P(1，1， )，设Q(2，t，0)（0≤t≤2），
由（1）知PC⊥平面BDM，
2
则 ＝ ， ， 为平面BDM的法向量．
则    ＝(1，−，1 ，2) ＝ ， ， ，
设平    面 (2 的  法0向)量  为  n＝(1 ，1 ，2)，则
＝   ＋ ＝ ， (    )
，可取n＝ ， ， ，
＝ ＋ ＋ ＝
  ∙  2    0 2
(  −2 2− 2  )
记  平  面∙  PD  Q与  平面2  BD0M所成角为 ，则，cosθ＝ ＝ ．
|  ∙    | 2 ＋
|  ||    | 32
2  −2  6
当t＝ 时，cosθ取到最大值 ． ……………15分
2 3
3 2
1
{#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}17．（1）平均时间
＝ ＝ ； ………5分
1
（2  ）  （i）50证2.明5×：2由0题+意7.5知×，14+12.5＝×10+17.5×＝6 7.，7

−10
分别记已经等待 分钟和

已

经
>
等

待
1−
分

钟

为
≤
事

件

A和事件B，
则  ＝ ＝  +  ＝ 且
(   )  (  >  +   >s)
>  +  |  >    |      > 
＝ ＝
+ 
＝ ＝ ．…………10分
−10 
(  >  +  ) 

−10
（ii）由（i）知，   >   −10    > 
＝ ＝ ＝ ＝ ，
−1
>10  ＝  >5+10  >＝5   >，10 1−   ≤10 
−1
所以0≤费  用≤的1期0望是1−   >10 1−  ＝ （元）． ………15分
−1 −1 18
2× 1−  +20×  2+ 
18. （1）将点A代入y2＝2px 得p＝2，即Γ：y2＝4x． …………4分
（2）（i）过M点斜率为2的直线 ＝ ，
2
L 直线方程 ＝ ，  −2  2  − 
OA
可得  ，  ，
2 2
由  ＝2  得−2  2  −2，  ． ……………9分
2 2
（ii）所  以  直  线  OP  方3程  为−4＝  4  ，−6 
4  −6
＝  3  −4 
解方程组 ，得 ， ， ……………11分
4  −6
＝ 2
3  −4  (3  −4) 2(3  −4)
2
2  (2  −3) 2  −3
直线MN：  4＝  ，
2  −3 2
2
整理得  −2＋   −2(  −＋  ) ＝ ，
2
因此直线   M−N3 过定 2 点  E2(−2，  3)． 3  −2  0 ……………15分
所以点 到直线MN的最大距离为 ． …………17分
10
19．（1）一方面，记 ＝ ， ， ．
π
则 ＝   ，故  −sin在   ∈ ，0 2上单调递增，即 ＝ ．
π
另一  '(方  )面，1−记cos  ＝>0  (，  )  ∈ ，0 ．2   >  0 0
π
所以 ＝   tan  ，−故   ∈在0 2 ， 上单调递增，即 ＝ ．
1 π
2
综上，  '(  ) cos  −1>，0  (，  )  成∈立．0 2 …  …  …4>分  0 0
π
（2）si当n  <  <，tan  时，  由∈（0 1）2知 ，故 恒成立．
π tan  − 
∈ 0 2  > s2in   <  −sin 
{#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}一方面，取 ＝ ，，则 ；
π π
π tan4−4
π π
另一方面，当  ＝ 4 时，  记 < 4−sin ＝4 ≈2.7 ，则 ＝ .
1
2
由cosx＞0知  1＋2 ℎ  tan  +2sin  −3，  ℎ'  cos  +2cos  −3
1 2
2
所以 ，故cos  +单2调co递s  增≥.co进s  而+2cos  ≥4 ＝ ．
综上，ℎ'正  整≥数0 的最ℎ大  值为2． ℎ  >ℎ 0 0 ………10分
（3）当 ，  时，由（2） ，
π
即  ∈ 0 2 . tan  −  >2  −sin  >  −sin 
tan  +sin  >2  sin2x sin2x
则( tanx sinx)2 tanxsinx2 2x2 ， ①
cosx cosx
sin2x
下证 x，
cosx
sin2x 1cos2x 1
f(x) x2 x2 cosxx2，
cosx cosx cosx
sinx sinx
则 f '(x) sinx2x2 sinx2x2tanx2x0 ，
cos2x cos2x
故 单调递增. 进而 ＝ ，
'   '  >  0 0 sin2 x
故 单调递增. 进而 ＝,即  x．
cosx
>  0 0
所以结合①可得( tanx sinx)2 4x，即 tanx sinx 2 x ，
n π π n π n 2  1
所以 ( tan  sin )2  ＝2 (1 )． ………17分
4k 4k 4k 2k 2n
k1 k1 k1
3
{#{QQABQYU44gCQgJTACS4qF0GaCwuYkJCgLAgEhRAeOARCCZNIBIA=}#}