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专题 15.1 分式与分式的基本性质
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 分式的识别】............................................................................................................................................1
【考点二 分式有意义的条件】................................................................................................................................3
【考点三 分式无意义的条件】................................................................................................................................5
【考点四 分式值为零的条件】................................................................................................................................6
【考点五 分式的值】................................................................................................................................................7
【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】........................................................................................8
【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】..............................................................................................10
【考点八 判断分式变形是否正确】......................................................................................................................12
【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】..........................................................................................13
【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】..........................................................................................14
【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】..........................................................................................16
【考点十二 最简分式】..........................................................................................................................................17
【考点十三 约分】..................................................................................................................................................19
【过关检测】............................................................................................................................................................20
【典型例题】
【考点一 分式的识别】
例题：（24-25八年级上·广西来宾·期中）在代数式 ， ， ， 中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）在式子 中，分式有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式 ， ， ， ， 中，分式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列各式 ， ， ， ， ， ，
， 中，分式共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点二 分式有意义的条件】
例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）如果分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列分式中，无论 为何值，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式 有意义，则x的取值范围为（ ）
A． 且 B． 且 C． D．
3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）要使分式 有意义，则x的取值范围是 ．
4．（2023·浙江宁波·模拟预测）若代数式 有意义，则 的取值范围是 ．
【考点三 分式无意义的条件】
例题：（23-24八年级上·湖南永州·期末）若分式 无意义，则 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东汕头·期末）当 时，下列分式没有意义的是（ ）A． B． C． D．
2．若分式 无意义，则x的值为（ ）
A．2 B． C． D．0
【考点四 分式值为零的条件】
例题：（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）若分式 的值为 ，则 的值为 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式 的值为0，则 ．
2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知 时，分式 无意义， 时，分式 的值
为 ，则 ．
【考点五 分式的值】
例题：（23-24八年级上·河南信阳·期末）当 时，分式 的值是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知 则 ．
2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）当 时，分式 的值为 ．
【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】
例题：（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若 的值为非负数，则 的取值范围是 ．【详解】解：根据题意得： 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
2．（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式 的值为正数，则 的取值范围是 ．
【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知 值为正整数，则整数 值为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若分式 的值为整数，请写出一个符合条件的m的值：
．
【详解】解：∵分式 的值为整数，
当 ，则 ，
经检验， 是方程的解
故答案为： （答案不唯一）．
2．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）①若 成立，则 的取值范围是 ．
②若分式 的值为0，则 ．
③已知分式 的值是整数，则满足条件的所有整数 的和为 ．
【考点八 判断分式变形是否正确】
例题：（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式从左向右变形正确的是（ ）
A． B．C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列分式变形正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·山东日照·期末）下列式子的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（23-24八年级上·山东烟台·期中）如果把分式 中的 ， 都扩大到原来的10倍，那么分式
的值（ ）
A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定
【变式训练】
1．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）若 的值均扩大为原来的3倍，则分式 的值（ ）
A．不变 B．扩大9倍 C．扩大3倍 D．缩小3倍
2．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若把分式 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（
）
A．扩大10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】
例题：（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式 的分子、分母中的最高次项
的系数都是正数，则分式可化为（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式 的值，使分式的分子、分母中x的最高
次项的系数都是正数，应该是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列分式中与 的值相等的分式是（ ）
A． B． C．- D．-
3．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使
分子、分母的最高次项的系数都是正数．
(1) ； (2) (3) ．
【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式 中的分子与分母的各项系数
化为整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式 的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，
则所得结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）将方程 中分母化为整数，正确的是（ ）A． B．
C． D．
【考点十二 最简分式】
例题：（23-24八年级上·云南玉溪·期末）下列分式中，是最简分式的是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点十三 约分】
例题：（2023秋·八年级课时练习）约分：（1） _____________；（2）
_____________．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式 约分后的结果是 .
2．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）将分式 化为最简分式，所得结果是 ．
3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）约分：（1） ；（2） ．【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式： ， ， ， ， ，其中分式的个
数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（24-25八年级上·山东威海·期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·海南三亚·阶段练习）若把分式 中的 和 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍
4．（24-25八年级上·北京延庆·期中）不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列说法错误的是（ ）
A．当分式 时， B．当 时，分式 的值为正数
C．分式 与 的最简公分母是 D．分式 约分的结果是
二、填空题
6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）将分式 化为最简分式的结果为 ．
7．（2024七年级上·上海·专题练习）当 时，分式 的值为零．
8．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．
9．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列各式中： ， ， ， ，0， ，，其中分式共有 个．
10．（24-25八年级上·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分
式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
， ．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将 变形为满足以上结果要求的形式： ；
（2）若 为正整数，且 也为正整数，则 的值为 ．
三、解答题
11．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 取什么值时，下列分式有意义？
(1) ；
(2) ；
(3) ．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数．
(1) ；
(2) ．
13．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式 ．
(1)当 时，求分式的值；
(2)当 为何值时，分式有意义？
(3)当 为何值时，分式的值为0？14．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知当 时，分式 无意义；当 时，此分式的值
为0．
(1)求 的值．
(2)当分式 的值为正整数时，求整数 的值．
15．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式 的分子与分母中各项的系数
都是整数；
（2）不改变分式的值，使分式 的分子与分母的最高次项的系数是正数；
（3）当 满足什么条件时，分式 的值：①等于0？②小于0？
16．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料题：
已知： ，求分式 的值．
解：设 ，则 ， ， ，所以 ．
参照上述材料解题：
(1)已知 ，求分式 的值．
(2)已知 ，其中 ，求 的值．
17．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和
的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如：
，
．
参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将 变形为满足以上结果要求的形式： _______；(2)将 变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值；
(3)将 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______．
18．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为
“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如： ，则称分式
是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；
① ；② ；③ ．
(2)若分式 （m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 ，求m、n的值；
(3)若分式 的“巧整式”为 ，请判断 是否是“巧分式”，并说明理由．
