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专题 15.1 分式与分式的基本性质
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 分式的识别】............................................................................................................................................1
【考点二 分式有意义的条件】................................................................................................................................3
【考点三 分式无意义的条件】................................................................................................................................5
【考点四 分式值为零的条件】................................................................................................................................6
【考点五 分式的值】................................................................................................................................................7
【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】........................................................................................8
【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】..............................................................................................10
【考点八 判断分式变形是否正确】......................................................................................................................12
【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】..........................................................................................13
【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】..........................................................................................14
【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】..........................................................................................16
【考点十二 最简分式】..........................................................................................................................................17
【考点十三 约分】..................................................................................................................................................19
【过关检测】............................................................................................................................................................20
【典型例题】
【考点一 分式的识别】
例题：（24-25八年级上·广西来宾·期中）在代数式 ， ， ， 中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义，依次判断即可．
【详解】解：根据分式的定义 ， 为分式，有2个，
故选：B．【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）在式子 中，分式有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意 不是字母，是常数．根据分母中是
否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案．
【详解】解：式子 中，分式有 ，共2个，
故选：B．
2．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式 ， ， ， ， 中，分式的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，
那么式子 就叫做分式，据此求解即可．
【详解】解；在代数式 ， ， ， ， 中，分式有 ， ，共2个，
故选：B．
3．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列各式 ， ， ， ， ， ，
， 中，分式共有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解： ， ， ， ， ， 是分式，共6个，
故选：B．
【考点二 分式有意义的条件】
例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）如果分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列分式中，无论 为何值，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零逐项排除即可，解题的关键是分式有
意义的条件分母不为零．
【详解】解： 、当 时， 无意义，不符合题意；
、当 时， 无意义，不符合题意；
、当 时， 无意义，不符合题意；、无论 为何值时， ， 一定有意义，符合题意；
故选： ．
2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式 有意义，则x的取值范围为（ ）
A． 且 B． 且 C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不等于0．
由分式有意义的条件进行计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵分式 有意义，
∴ ，
∴ 且 ．
故选：B．
3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）要使分式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式
得到答案．
【详解】解：要使分式 有意义，则 ，
解得： ，
故答案为： ．
4．（2023·浙江宁波·模拟预测）若代数式 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】 /
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式有无意义的条件的应用，解题的关键是熟练掌握分式以及二次根式有无意义的条件．
根据式子有意义的条件，构建不等式求解；
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【考点三 分式无意义的条件】
例题：（23-24八年级上·湖南永州·期末）若分式 无意义，则 满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母等于零即可解答．
【详解】解：若分式无意义，则 ，
∴ ，
∴当 时，分式 无意义．
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东汕头·期末）当 时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为
零即为分式无意义的条件．
【详解】解：当 时， ，
∴当 时，分式 没有意义，
故选： ．
2．若分式 无意义，则x的值为（ ）A．2 B． C． D．0
【答案】A
【分析】直接利用分式无意义的条件，即分母等于零可得答案．
【详解】解：若分式 无意义，则 ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．
【考点四 分式值为零的条件】
例题：（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）若分式 的值为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可
得分子为零，分母不为零，即可求解．
【详解】解： 分式 的值为 ，
，
解得： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式 的值为0，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查分式值为零的条件，分式 的值为0，即根据分子为零分母不为零建立式子求解，
即可解题．【详解】解： 分式 的值为0，
且 ，
解得 且 ，
综上可知， ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知 时，分式 无意义， 时，分式 的值
为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为 的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得
，根据分式的值为 可得 ，求出 的值，再把 的值代入代数式计算即可求解，掌
握分式无意义的条件、分式的值为 的条件是解题的关键．
【详解】解：∵ 时，分式 无意义，
∴ ，
∴ ，
∵ 时，分式 的值为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点五 分式的值】
例题：（23-24八年级上·河南信阳·期末）当 时，分式 的值是 ．
【答案】 /【分析】本题考查求分式的值．把 代入计算即可．
【详解】解：把 代入得，
．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知 则 ．
【答案】
【分析】本题考查了求分式的值，设 ( )，求出 、 代入分式，即可求解；设辅助未知数
进行求解是解题的关键．
【详解】解： ，
可设 ( )，
解得： ，
原式
；
故答案： ．
2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）当 时，分式 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算． 先
把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把 代入到分式中进行正确的计算即可得到答案．【详解】解：
把 代入上式中
原式
故答案为： ．
【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】
例题：（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了分式的值，解不等式组；根据题意得出（1） 或（2） ，解不等式
组，即可求解．
【详解】解：若分式 的值为正数，则（1） 或（2） ，
解不等式组（1）得：
解不等式组（2）得：
所以 的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式训练】1．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若 的值为非负数，则 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】
根据题意，列出不等式组，即可求解，
本题考查了，解一元一次不等式组，解题的关键是：根据题意列出不等式组．
【详解】解：根据题意得： 或 ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
2．（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式 的值为正数，则 的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据分式的值为负数，得到关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案，此题考查了分式的值、
解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于x的两个不等式组是解题的关键．
【详解】解：∵分式 的值为正数，
∴ 或 ，
解得 或 ，
故答案为： 或 ．
【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知 值为正整数，则整数 值为 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了分式的值，正整数的定义，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键；根据题意列出关于m的方程，求出方程的解即可
【详解】解： 值为正整数，
或 ，
解得： 或 ，
故答案为：1或
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若分式 的值为整数，请写出一个符合条件的m的值：
．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】
本题考查了分式的值，令 ，即可求解．
【详解】解：∵分式 的值为整数，
当 ，则 ，
经检验， 是方程的解
故答案为： （答案不唯一）．
2．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）①若 成立，则 的取值范围是 ．
②若分式 的值为0，则 ．
③已知分式 的值是整数，则满足条件的所有整数 的和为 ．
【答案】 5
【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，以及分式值为零的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分
母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
①根据分式有意义的条件求解即可；
②根据分式为零的条件求解即可；
③首先将 化简为 ，然后根据题意求出 或 或 或 ，然后由分式有意义得到，求出a所有可能的值，然后求和即可．
【详解】①∵ 成立，
∴
∴ ，
故答案为： ；
②∵分式 的值为0，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
③
∵分式 的值是整数，
∴ 或 或 或
∴ 或 或 或
∵
∴
∴ 或 或
∴
∴满足条件的所有整数 的和为5，
故答案为：5．
【考点八 判断分式变形是否正确】
例题：（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式从左向右变形正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式．熟练掌握分式的基本性质，平方差公式是解题的关键．
根据分式的基本性质，平方差公式，对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知， ，故A不符合要求；
，故B符合要求；
，故C不符合要求；
，故D不符合要求；
故选：B．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列分式变形正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分
式的值不变，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，原式变形正确，符合题意；
B、 ，原式变形错误，不符合题意；
C、 ，原式变形错误，不符合题意；
D、 ，原式变形错误，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级上·山东日照·期末）下列式子的变形正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了约分，以及分式的基本性质．根据分式的基本性质解答即可．
【详解】解：A、 ，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、 ，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（23-24八年级上·山东烟台·期中）如果把分式 中的 ， 都扩大到原来的10倍，那么分式
的值（ ）
A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
把分式 中的 和 都扩大为原来的10倍，求出比值，然后与之前分式的值对比，即可得出答案．
【详解】解：分式 中的 和 都扩大为原来的10倍，
得到的新分式为： ，
即分式的值缩小为原来的 ．
故选B．
【变式训练】1．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）若 的值均扩大为原来的3倍，则分式 的值（ ）
A．不变 B．扩大9倍 C．扩大3倍 D．缩小3倍
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变
化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．将原式中的 、 分别用 、 代替，
化简，再与原分式进行比较．
【详解】解： 把分式 中的 与 同时扩大为原来的3倍，
原式变为： ，
这个分式的值扩大3倍．
故选： ．
2．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若把分式 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（
）
A．扩大10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键，把分式中的 与 分别
换为 与 ，计算得到结果，比较即可．
【详解】解：根据题意得： ，
则分式的值缩小为原来的 ．
故选：C．
【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】
例题：（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式 的分子、分母中的最高次项
的系数都是正数，则分式可化为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．
【详解】解： ．
故选B．
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式 的值，使分式的分子、分母中x的最高
次项的系数都是正数，应该是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质即可求解．
【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘 得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的
分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．下列分式中与 的值相等的分式是（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质即可得出结论．
【详解】解： = = =故选B．
【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键．
3．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使
分子、分母的最高次项的系数都是正数．
(1) ； (2) (3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式 中的分子与分母的各项系数
化为整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解： ．
故选：D
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式 的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，
则所得结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，因此令分子分母同
乘5即可．
【详解】解： ，
故选A．
2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）将方程 中分母化为整数，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查将分母化为整数，分子分母各自乘一个不为零的数，或等式左右两边同乘一个不为
零的数，根据上述两种方式逐一进行判断即可．
【详解】解：根据题意得 ，整理得 ，故C正确，A错误；
或 ，整理得 ，故B和D错误．
故选：C．
【考点十二 最简分式】例题：（23-24八年级上·云南玉溪·期末）下列分式中，是最简分式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式，叫做最
简分式）逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，原分式不是最简分式，不符合题意；
B、 是最简分式，符合题意；
C、 ，原分式不是最简分式，不符合题意；
D、 ，原分式不是最简分式，不符合题意；
故选：B.
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫
最简分式．根据最简分式的定义逐一判断即可．
【详解】解：A． 是最简分式，符合题意；
B． 不是最简分式，不合题意；
C． 不是最简分式，不合题意；
D． 不是最简分式，不合题意，
故选：A．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列分式是最简分式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义（分
式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】解：A、 ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、 ，是最简分式，故本选项符合题意；
C、 ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、 ，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【考点十三 约分】
例题：（2023秋·八年级课时练习）约分：（1） _____________；（2）
_____________．
【答案】
【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解．
【详解】解：（1） ；
故答案为： ；
（2） ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的约分化简，首先把分式的分子和分母分解因式，约分化简即可求解．
【变式训练】1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式 约分后的结果是 .
【答案】
【分析】本题考查了分式的约分，找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可．找出
分式分子和分母的最大公因式是解题的关键．
【详解】解： ．
故答案为：
2．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）将分式 化为最简分式，所得结果是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查分式的化简．根据分式的性质，进行约分化简即可．掌握分式的性质，是解题的关键．
【详解】解： ；
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）约分：（1） ；（2） ．
【答案】 /
【分析】本题考查分式的约分，涉及提公因式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知
识是解题关键．
（1）约去公因式 即可解题；
（2）先利用平方差公式分解因式，再约去公因式 ，即可解题．
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2） ，故答案为： ．
【过关检测】
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式： ， ， ， ， ，其中分式的个
数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，一般地，如果 、 （ 不等于零）表示两个整式，
且 中含有字母，那么式子 就叫做分式，其中 称为分子， 称为分母，逐一分析判断即可求解，掌握
分式的定义是解题的关键．
【详解】解： ， ， 是整式，不是分式，不符合题意； ， 是分式，符合题意；
∴分式的个数有 个，
故选： ．
2．（24-25八年级上·山东威海·期中）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简分式
【分析】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法
是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
根据最简分式的定义判断即可．
【详解】解：A、 是最简分式，故此选项符合题意；
B、 ，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、 ，不是最简分式，故此选项不符合题意；
D、 ，不是最简分式，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．（23-24八年级上·海南三亚·阶段练习）若把分式 中的 和 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍
【答案】A
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行解答即可．
【详解】解：分式 中的 和 都扩大为原来的3倍，变形为： ，
所以变为原来的3倍，
故选：A．
4．（24-25八年级上·北京延庆·期中）不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，根据分式的基本性质：分式的分子与分
母同时乘以或除以一个不等于 的整式，分式值不变，即可得出答案，掌握运算法则和性质是解题的关键．
【详解】解： 、 ，原选项变形错误，不符合题意；
、 ，原选项变形错误，不符合题意；、 ，原选项变形错误，不符合题意；
、 ，原选项变形正确，符合题意；
故选： ．
5．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列说法错误的是（ ）
A．当分式 时， B．当 时，分式 的值为正数
C．分式 与 的最简公分母是 D．分式 约分的结果是
【答案】D
【知识点】分式值为零的条件、约分、最简公分母、分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分式值
为0，即分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公
分母的求法依次判断即可．
【详解】解∶A． 当分式 时， ，正确，不符合题意；
B． 当 时，分式 的值为正数，正确，不符合题意；
C． 分式 与 的最简公分母是 ，正确，不符合题意；
D．分式 约分的结果是 ，故错误，符合题意；
故选∶D．
二、填空题
6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）将分式 化为最简分式的结果为 ．
【答案】
【知识点】约分
【分析】本题考查分式的化简．掌握分式的性质，是解题的关键．
根据分式的性质，进行约分化简即可．【详解】解： ；
故答案为： ．
7．（2024七年级上·上海·专题练习）当 时，分式 的值为零．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；
（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
根据分式的值为零的条件可以求出 的值．
【详解】解：由题意可得 且 ，
解得 ．
故当 时，分式 的值为零．
故答案为： ．
8．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．
【答案】 或
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集
【分析】本题考查了分式的值，解不等式组；根据题意得出（1） 或（2） ，解不等式
组，即可求解．
【详解】解：若分式 的值为正数，则（1） 或（2） ，
解不等式组（1）得：
解不等式组（2）得：
所以 的取值范围是 或 ，故答案为： 或 ．
9．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列各式中： ， ， ， ，0， ，
，其中分式共有 个．
【答案】3
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查分式的判断，根据分式的定义，形如 ， 中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判
断即可．
【详解】解： ， ， ， ，0， ， 中，分式有 ， ，
共3个；
故答案为：3．
10．（24-25八年级上·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分
式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
， ．
参考上面的方法，解决下列问题：
（1）将 变形为满足以上结果要求的形式： ；
（2）若 为正整数，且 也为正整数，则 的值为 ．
【答案】 2或6
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是
解本题的关键．
（1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把 变形为满足要求的形式；
（2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把 变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求解即可；
【详解】解：（1）由题意可得，
，
故答案为： ；
（2）由题意可得，
，
∵ 为正整数，且 也为正整数，
∴ 或5，
∴ 或6，
故答案为：2或6；
三、解答题
11．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 取什么值时，下列分式有意义？
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2) 且
(3) 可取一切实数
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查分式有意义的条件：
（1）根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可；
（2）根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可；
（3）根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可．【详解】（1）解：当 ，即： 时，分式 有意义；
（2）当 ，即： 且 时，分式 有意义；
（3）∵ ，
∴当 取一切实数时，分式 都有意义；
12．（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】（ ）根据分式的基本性质解答即可；
（ ）根据分式的基本性质解答即可；
本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
13．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式 ．
(1)当 时，求分式的值；
(2)当 为何值时，分式有意义？
(3)当 为何值时，分式的值为0？
【答案】(1)
(2) 且
(3)
【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、分式的求值
【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解
本题的关键；
（1）直接把 代入计算即可；
（2）由分母不为0建立不等式求解即可；
（3）由分子为0，分母不为0，再求解即可．
【详解】（1）解：当 时，
；
（2）∵ 有意义，
∴ 且 ，
解得： 且 ；
（3）∵ 的值为0，
∴ ，解得： ，
∵ 且 ，
∴ 且 ；
∴ ；
14．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知当 时，分式 无意义；当 时，此分式的值
为0．
(1)求 的值．
(2)当分式 的值为正整数时，求整数 的值．
【答案】(1) ，
(2)整数 的值为0，1，3
【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件、分式的求值
【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的
关键．
（1）根据 使得分式无意义， 时分式的值为0，即可解得；
（2）将 ， 代入 ，得到分式为 ，逐一代入整数 的值即可求解．
【详解】（1）解： 当 时，分式 无意义，
，
解得 ，
当 时，此分式的值为0，
，
解得 ，
（2）解： ， ，
，
当 ， ，
， ，， ，
综上，整数 的值为0，1，3．
15．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式 的分子与分母中各项的系数
都是整数；
（2）不改变分式的值，使分式 的分子与分母的最高次项的系数是正数；
（3）当 满足什么条件时，分式 的值：①等于0？②小于0？
【答案】（1） ；（2） ；（3）① ，②
【知识点】分式值为零的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、将分式的分子分母的最高次
项化为正数、将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；
分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变．
（1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案；
（3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式 ；
（3）①∵ ，
∴由 得 ，
解得： ；
② ，得 ，解得： ．
16．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料题：
已知： ，求分式 的值．
解：设 ，则 ， ， ，所以 ．
参照上述材料解题：
(1)已知 ，求分式 的值．
(2)已知 ，其中 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】约分、分式的求值
【分析】本题考查了分式的基本性质，设 法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握．
（1）按照例子解题即可；
（2）设 ， ， ， ，三式相加得：
，求得 ，代入计算即可．
【详解】（1）解：设 ，则 ， ， ，
；
（2）解：设 ，
， ， ，
三式相加得： ，
，
，
．17．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和
的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如：
，
．
参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将 变形为满足以上结果要求的形式： _______；
(2)将 变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值；
(3)将 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______．
【答案】(1)
(2) ， 或
(3)
【知识点】约分
【分析】本题主要考查了分式的约分：
（1）把原式先变形为 ，再约分化简即可得到答案；
（2）把原式先变形为 ，进一步变形得到 ，再约分化简即可；根据题意可得
的值为整数，则 为整数，即可得到 ，解方程即可得到答案；
（3）利用完全平方公式把原式变形为 ，进一步变形得到 ，再约分化简即可得到
答案．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；（2）解：
，
∵ 的值为整数，
∴ 的值为整数，
∴ 为整数，
∴ ，
∴ 或 ；
（3）解：
，
故答案为： ．
18．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为
“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如： ，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；
① ；② ；③ ．
(2)若分式 （m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 ，求m、n的值；
(3)若分式 的“巧整式”为 ，请判断 是否是“巧分式”，并说明理由．
【答案】(1)①③；
(2) ， ；
(3)是，理由见解析．
【知识点】约分、代入消元法
【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”
的定义．
（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据“巧分式”的定义，得到关于 的恒等式，求解即可；
（3）根据给出的“巧分式”的定义可得 ；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解： ， 是整式，
①是“巧分式”；
， 不是整式，
②不是“巧分式”；
， 是整式，
③是“巧分式”；
（2）解： 分式 （m， 为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为 ，
，，
∴ ，
解得： ；
（3）解： 分式 的“巧整式”为 ．
，
；
，
又 是整式，
是“巧分式”．
