文档内容
专题 02 分式方程中所含的字母参数的取值或范围
类型一：根据分式方程的解确定字母参数的值
类型二：根据分式方程的解得负号确定字母参数的范围
类型三：根据分式方程有整数解确定字母参数的值
类型四：根据分式方程解的范围确定字母参数的值
类型五：根据分式方程的增根确定字母参数的值
类型六：根据分式方程无解确定字母参数的值
类型七：根据分式方程与其他方程同解确定字母参数的值
方法一：根据分式方程的解确定字母参数的值
1．x＝2是分式方程 的解，则a＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】先化简 得 ，再把x＝2代入分式方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵ ，
∴a（x﹣3）＝x，
∴ ，
∵x＝2是分式方程的解，
∴ ，
解得a＝﹣2．
经检验a＝﹣2时，x＝2是原分式方程的解．
故选：B．
2．已知关于x的方程 的解是x＝﹣2，则a的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】将x＝﹣2代入 得， ，然后解分式方程即可．
【解答】解：将x＝﹣2代入 得， ，
∴2a＝a+1，
解得a＝1，
经检验，当a＝1时，2a+2≠0，
∴a＝1是原分式方程的解，
故选：B．3．已知关于x的方程 的解是x＝1，则a的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】将x＝1代入方程，即可求a的值．
【解答】解：∵关于x的方程 的解是x＝1，
∴ ＝ ，
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1是方程的解．
故选：C．
4．已知x＝3是方程 的解，那么实数m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】将x＝3代入 得， ，计算求解即可．
【解答】解：将x＝3代入 得， ，
解得，m＝﹣4，
故选：D．
类型二：根据分式方程的解得负号确定字母参数的范围
5．已知关于x的分式方程 的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A． 或k≠1 B． 且k≠1 C． 且k≠1 D． 或k≠1
【分析】首先根据解分式方程的步骤，求出关于x的分式方程 的解是多少；然后根据分式
方程的解为负数，求出k的取值范围即可．
【解答】解：根据题意可知，化简分式方程可得，（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）＝x2﹣1，
（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）＝x2﹣1，
x2﹣x+kx﹣k﹣kx﹣k＝x2﹣1，
解得：x＝1﹣2k，
∵1﹣2k＜0，且1﹣2k≠1，1﹣2k≠﹣1，
∴k＞ 且k≠1．
故选：A．
6．关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范围是（ ）A．a＜﹣3 B．a＜3
C．a＜﹣3且a≠﹣7 D．a＜3且a≠1
【分析】去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得a﹣1﹣2（x﹣2）＝0，则 ，再根据该
方程的解是负数得a＜﹣3，然后根据x＝±2是该方程的增根得出a＝1，a＝﹣7，据此可得a的取值范
围．
【解答】解： ，
去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得：a﹣1﹣2（x﹣2）＝0，
解得： ，
∵该方程的解是负数，
∴ ，
解得：a＜﹣3，
∵x＝±2是该方程的增根，
∴x＝2时， ，解得：a＝1，
当x＝﹣2时， ，解得：a＝﹣7，
综上所述：a的取值范围是：a＜﹣3且a≠﹣7．
故选：C．
7．已知关于x的分式方程 ＝4的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣4
C．a≥﹣4且a≠﹣1 D．a＞﹣4且a≠﹣1
【分析】先求出分式方程的解，然后根据其解为非负数得到 x≥0，x≠3，即a+4≥0，a+4≠3，从而求
出a的取值范围．
【解答】解：原分式方程可化为 ，
方程两边同乘x﹣3得，x+3a＝4（x﹣3），
去括号得，x+3a＝4x﹣12，
移项得，x﹣4x＝﹣12﹣3a，
合并同类项得，﹣3x＝﹣12﹣3a，
系数化为1得x＝a+4，
∵原分式方程的解为非负数，
∴x≥0，x≠3，
即a+4≥0，a+4≠3，解得a≥﹣4且a≠﹣1，
故选：C．
8．若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6 B．m＜6且m≠2 C．m＞6且m≠2 D．m＞6
【分析】把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出m的取值范围．
【解答】解：去分母得：x+m﹣3m＝3x﹣12，
整理得：2x＝﹣2m+12，
解得： ，
∵关于x的方程 的解为正数，
∴﹣2m+12＞0，
解得m＜6，
当x＝4时， ，
解得：m＝2，
∴m的取值范围是：m＜6且m≠2．
故选：B．
9．若关于x的分式方程 的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4且m≠3 B．m＜4 C．m≠3 D．m＞4且m≠3
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）+2＝0，
解得x＝4﹣m．
∵x为正数，
∴4﹣m＞0，解得m＜4．
∵x≠1，
∴4﹣m≠1，即m≠3．
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
故选：A．
类型三：根据分式方程有整数解确定字母参数的值
10．已知关于x的方程 有整数解，且﹣4≤m＜3，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m的值即可．
【解答】解：分式方程变形得： + ＝3，去分母得：x+m﹣2＝3x﹣3，
解得：x＝ ，
∵方程有整数解，且﹣4≤m＜3，
∴m＝﹣3，﹣1，
则所有满足条件的整数m的和是﹣4．
故选：D．
11．已知关于x的分式方程 有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣18 B．﹣17 C．﹣6 D．﹣2
【分析】先解此分式方程，再根据题意求得所有符合条件的a的值，最后相加求和．
【解答】解：两边同时乘以x﹣2，得
﹣（1+ax）﹣1＝3（x﹣1），
解得x＝ ，
∴ 是整数，且 ≠2，
当 ＝4时，解得a＝﹣2；
当 ＝1时，解得a＝1；
当 ＝﹣1时，解得a＝﹣7；
当 ＝﹣2时，解得a＝﹣5；
当 ＝﹣4时，解得a＝﹣4，
∴﹣2+1﹣7﹣5﹣4＝﹣17，
即满足条件的所有整数a的和为﹣17，
故选：B．
12．若m是整数，且关于x的方程 有整数根，则m的值是（ ）
A．3或5 B．﹣3或5 C．﹣1或3 D．﹣3或﹣5
【分析】解分式方程，用含m的代数式表示x，根据整数的意义可得m的值．
【解答】解： ，
去分母得：（3m+1）+m（x﹣1）＝2（x+1），
化简得：（m﹣2）x＝﹣2m+1，当m≠2时， ，
∵方程有整数根， 的值是整数，
当m﹣2＝1时，m＝3，方程的根 ；
当m﹣2＝﹣1时，m＝1，方程的根 （增根，舍去）；
当m﹣2＝3时，m＝5，方程的根 ；
当m﹣2＝﹣3时，m＝﹣1，方程的根 （增根，舍去）．
故选：A．
13．如果关于x的方程 ＝1有正整数解，且关于y的不等式组 至少有两个偶数解，
则满足条件的整数a有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】解分式方程可得x＝ ，求出a为1，3，6，由不等式组至少有两个偶数解可求出a的范围，则
满足条件的整数a有两个．
【解答】解：解方程 ＝1得，x＝ ，
∵方程有正整数解，
∴整数a＝1，3，6，
解不等式组得 ，
∵关于y的不等式组 至少有两个偶数解，
∴a﹣1≤2，
∴a≤3，
∴满足条件的整数a有两个．
故选：C．
14．若关于x的方程 有正整数解，且关于x的不等式组 有且只有3个整数
解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．﹣4 B．﹣9 C．﹣16 D．﹣21【分析】先按照解分式方程的一般步骤解方程，求出 x，再根据关于x的方程 有正整数解，
列出关于 a 的方程，解方程求出 a，然后解一元一次不等式组，再根据关于 x 的不等式组
有且只有3个整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，最后再求出符合条
件的所有整数a，并求出它们的和即可．
【解答】解： ，
a﹣x+3（x﹣3）＝﹣8，
a﹣x+3x﹣9＝﹣8，
2x＝1﹣a，
，
∵关于x的方程 有正整数解，
∴1﹣a＝2或4或6或8或10或12或14或16或18，
∴a＝﹣1或﹣3或﹣5或﹣7或﹣9或﹣11或﹣13或﹣15或﹣17，
∵x﹣3≠0，
∴ ，
1﹣a≠6，
a≠﹣5，
，
由①得：2x+4≤9+3x，
﹣x≤5，
x≥﹣5，
由②得：8x＜a﹣17，
，
∴不等式组的解集为： ，
∵关于x的不等式组 有且只有3个整数解，
∴ ，
﹣24＜a﹣17≤﹣16，
﹣7＜a≤1，∴符合条件的所有整数a为﹣1或﹣3，
∴符合条件的所有整数a的和为：﹣1﹣3＝﹣4，
故选：A．
类型四：根据分式方程解的范围确定字母参数的值
15．已知关于x的分式方程 的解满足2＜x＜4，则k的取值范围是 ﹣ 7 ＜ k ＜ 7 且 k ≠ 0
．
【分析】先解分式方程得出 ，再根据关于x的分式方程 的解满足2＜x＜4，
得出 ， ，解不等式组即可得出答案．
【解答】解：去分母得：10x﹣3＝﹣k+27﹣3（3﹣x），
解得： ，
∵关于x的分式方程 的解满足2＜x＜4，
∴ ， ，
解得：﹣7＜k＜7且k≠0，
∴k的取值范围是﹣7＜k＜7且k≠0，
故答案为：﹣7＜k＜7且k≠0．
16．已知关于x的分式方程 ＝ +3的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，则符合条件的
所有k值的乘积为（ ）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解满足﹣4＜x＜﹣1，可得k的取值范围，再根据k为
整数，求出k的值，进而得结论．
【解答】解： ＝ +3，
（2x+3）（x+3）＝k+3（x﹣2）（x+3），
解得（x﹣3）2＝36﹣k，
∵﹣4＜x＜﹣1且（x﹣2）（x+3）≠0且k为整数，
解得﹣13＜k＜20且k≠0，
∴符合条件的所有k值的乘积为正数．
故选：A．
17．若整数 a 使关于 x 的不等式组 有且只有 4 个整数解，且使关于 y 的分式方程的解满足y＞﹣6，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．15 B．11 C．10 D．18
【分析】先解一元一次不等式，求出a的取值范围，再解分式方程，求出y，然后根据y＞﹣6，求出a
的取值范围，根据两个解集找出公共部分，从而求出答案即可．
【解答】解：解不等式组 ，
解得： ，
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴2＜ ≤3，
解得：4＜a≤10，
解方程 ，
，
a+3＝4﹣y，
y＝1﹣a，
∵关于y的分式方程 的解满足y＞﹣6，
∴1﹣a＞﹣6，
解得：a＜7，
综上可知：4＜a＜7，
∴所有满足条件的整数a的值为：5，6
∴所有满足条件的整数a的值之和为：5+6＝11，
故选：B．
18．若整数 a 使关于 x 的不等式组 有且只有 3 个整数解，且使关于 y 的分式方程
的解满足y＜7，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．6 C．10 D．7
【分析】分别解不等式组和分式方程，确定a的取值范围，进而求解即可．
【解答】解：不等式组 的解集是﹣1≤x＜ ，
∵该不等式组有且只有3个整数解，∴1＜ ≤2，解得﹣2＜a≤4．
分式方程 + ＝﹣1的解是y＝6﹣a（y≠3），
∵y＜7，即6﹣a＜7，解得a＞﹣1，且a≠3．
综上，﹣1＜a≤4（a为整数），且a≠3，
∴a＝0，1，2，4，
∴0+1+2+4＝7．
故选：D．
类型五：根据分式方程的增根确定字母参数的值
19．若关于x的方程 有增根，则a的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】根据题意可得：x＝2，然后把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答．
【解答】解： ，
x+a+x＝x﹣2，
解得：x＝﹣2﹣a，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2，
把x＝2代入x＝﹣2﹣a中得：2＝﹣2﹣a，
解得：a＝﹣4，
故选：D．
20．若关于x的方程 有增根，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【分析】关于x的方程 有增根时，该方程中的分式分母为零，此时只要把增根代入方程然
后解出m的值．
【解答】解：∵方程 有增根，
∴当x﹣4＝0时符合题意，
即x＝4是方程的增根，
∴m+1﹣x＝x﹣4，
∴m＝3．
故选：D．21．已知关于x的分式方程 的增根是x＝2，则m的值为（ ）
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
【分析】根据分式方程的增根的意义和产生的背景进行计算即可．
【解答】解：关于x的分式方程 ，
去分母得，x（x+2）﹣x2+4＝m，
即m＝2x+4，
关于x的分式方程 有增根x＝2，
∴x＝2满足方程m＝2x+4，
所以m＝8，
故选：A．
22．若分式方程 有增根，则k的值为（ ）
A．±1 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣2或﹣6
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x+1＝0，据
此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．
【解答】解：去分母，得：x+1+k＝3（x﹣1），
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x+1＝0，即x＝1或x＝﹣1，
把x＝1代入整式方程，可得：k＝﹣2，
把x＝﹣1代入整式方程，可得：k＝﹣6，
综上，若分式方程 有增根，则k的值为﹣2或﹣6．
故选：D．
23．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．1.5 B．﹣6 C．1或﹣2 D．1.5或﹣6
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题．
【解答】解： ，
去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1．
去括号，得2x+4+mx＝x﹣1．
移项，得2x+mx﹣x＝﹣1﹣4．
合并同类项，得（m+1）x＝﹣5．
∵分式方程有增根，
∴m+1≠0，即m≠﹣1，x的系数化为1，得x＝﹣ ．
∵关于x的分式方程 有增根，
∴﹣ ＝﹣2或﹣ ＝1
∴m＝﹣6或1.5．
故选：D．
类型六：根据分式方程无解确定字母参数的值
24．若关于x的分式方程 无解，则n＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【分析】解分式方程，可得 ，根据题意可知分式方程的增根为x＝﹣2，即有 ，，求解
即可获得答案．
【解答】解： ，
去分母，得 x+x+2＝n﹣1，
合并同类项、系数化为1，得 ，
由题意可知，分式方程的增根为x＝﹣2，
即有 ，解得n＝﹣1．
故选：A．
25．已知关于x的分式方程 ﹣2＝ 无解，则k的值为（ ）
A．k＝2或k＝﹣1 B．k＝﹣2 C．k＝2或k＝1 D．k＝﹣1
【分析】先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列
出关于k的分式方程，解分式方程即可．
【解答】解： ，
kx﹣2（x﹣3）＝﹣3，
kx﹣2x+6＝﹣3
（k﹣2）x＝﹣9，
x＝ ，
∵关于x的分式方程 无解，∴x﹣3＝0，解得：x＝3， ＝3，
∴3k﹣6＝﹣9且k﹣2＝0，
解得：k＝﹣1或2，
故选：A．
26．若关于x的分式方程 无解，则k的取值是（ ）
A．﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1 D．1或﹣5
【分析】分两种情况，整式方程无解，分式方程产生增根．
【解答】解： ，
去分母，得6x＝x+3﹣k（x﹣1），
∴（5+k）x＝3+k，
∵关于x的分式方程 无解，
∴分两种情况：
当5+k＝0时，k＝﹣5，
当x（x﹣1）＝0时，x＝0或1，
当x＝0时，0＝3+k，
∴k＝﹣3，
当x＝1时，5+k＝3+k，
∴k不存在，故不符合题意，
综上所述：k的值为：﹣3或﹣5．
故选：B．
27．若关于x的分式方程 无解，则n的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣6 C．﹣10或﹣6 D．0或﹣6
【分析】解分式方程后将x＝±2代入x＝n+8计算即可．
【解答】解： ，
去分母得：（x+2）+x＝n＝3（x﹣2），
解得x＝n+8，
当x＝2时，n＝﹣6，原分式方程无解，
当x＝﹣2时，n＝﹣10，原分式方程无解，
故选：C．
28．已知关于x的分式方程 无解，则所有满足条件的整数m的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出 x，然后根据分式
方程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于m的方程，解方程求出m即可．
【解答】解： ，
，
（x﹣2）2﹣mx＝（x+2）（x﹣2），
x2﹣4x+4﹣mx＝x2﹣4，
4x+mx＝8，
（4+m）x＝8，
，
∵关于x的分式方程 无解，
∴x2＝4，4+m＝0，
解得：x＝±2，m＝﹣4，
∴ ＝2或﹣2，
解得：m＝0或﹣8，
∴所有满足条件的整数m为﹣4或﹣8或0，共3个，
故选：C．
类型七：根据分式方程与其他方程同解确定字母参数的值
29．若关于x的分式方程 ＝5与方程 ＝3的解相同，则m的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】求出方程 ＝3的解，把解代入分式方程 ＝5求出m即可．
【解答】解：解方程 ＝3，
得，x＝4，
经检验x＝4是方程 ＝3的解，
把x＝4代入方程 ＝5，
得，m＝﹣ ，故选：A．
30．若关于x的分式方程 ＝1的解与方程 ＝2的解相同，则a＝ 2 ．
【分析】求出第二个分式方程的解，代入第一个方程求出a的值即可．
【解答】解：方程 ＝2，
去分母得：2x＝6，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
把x＝3代入得： ﹣1＝1，
去分母整理得：2a+2＝3a，
解得：a＝2，
经检验a＝2是分式方程的解，
故答案为：2
31．已知方程 的解与方程 的解相同，求a的值．
【分析】先解方程 ，然后将方程的解代入 即可求出a值．
【解答】解： ＝1，
化为整式方程得：x（x﹣1）+2（x+1）＝x2﹣1，
化简得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣3，
将x＝﹣3代入 ，
解得a＝ ，
经检验a＝ 是原方程的解，
∴a＝ ．
32．若关于x的分式方程 ＝5与 ＝3的解相同，求m的值．
【分析】求出方程 ＝3的解，把解代入分式方程 ＝5求出m即可．
【解答】解：解方程 ＝3，得，x＝4，
经检验x＝4是方程 ＝3的解，
把x＝4代入方程 ＝5，
解得，m＝﹣ ．
33．已知关于x的分式方程 ＝ 与分式方程 ＝ 的解相同，求m2﹣2m的值．
【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入 ＝ ，求出m，再把m的值代入m2﹣2m计算．
【解答】解： ＝ ，
3（x﹣1）＝2x，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，2x（x﹣1）≠0，
∴x＝3是此方程的解；
把x＝3代入 ＝ ，
得 ＝ ，
解得m＝ ；
把m＝ 代入m2﹣2m＝ ﹣2× ＝﹣ ．
