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专题 15.1 分式的定义及基本性质之十五大考点
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【考点一 分式的判别】....................................................................................................................................1
【考点二 分式有意义的条件】........................................................................................................................3
【考点三 分式无意义的条件】........................................................................................................................3
【考点四 分式值为零的条件】........................................................................................................................4
【考点五 分式的值】........................................................................................................................................5
【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】................................................................................7
【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】........................................................................................8
【考点八 判断分式变形是否正确】................................................................................................................9
【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】...................................................................................11
【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】..................................................................................12
【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】..................................................................................14
【考点十二 最简分式】..................................................................................................................................16
【考点十三 约分】..........................................................................................................................................17
【考点十四 最简公分母】..............................................................................................................................19
【考点十五 通分】..........................................................................................................................................20
【过关检测】...........................................................................................................................................22
【典型例题】
【考点一 分式的判别】
例题：（2023秋·河北石家庄·八年级校考阶段练习）下列各式中： ，分式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据分式的定义即可答题．
【详解】解：由分式的定义判断，仅有 ， 属于分式，其余各项均不满足分式的定义，所以分式
的个数为2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义：形如 （A、 表示整式， 不为0且含有字母）的式子叫做分式，
判断分式的关键是分母中必须含有字母；易错点是 是作为具体数值的数字而不作字母，如 是整式．
【变式训练】
1．（2023秋·湖南永州·八年级统考阶段练习）下列各式： ， ， ， ， ， ，中，
是分式的共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据分式的定义：分母中含有字母，进行判断即可．
【详解】解： ， ， ， ， ， 中，是分式的是 ， ，共2个；
故选：A．
【点睛】本题考查分式的判断．熟练掌握分式的定义，是解题的关键．
2．（2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第九中学校考阶段练习）在式子 ， ， ， ，
， ， 中，分式的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据分式的概念“一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B中含有字母，那么 叫做分式”进行判断即可得．
【详解】解： ， ， ， 是分式，有4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式，解题的关键是掌握分式的概念．
【考点二 分式有意义的条件】
例题：（2023·河南南阳·统考三模）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件求出x的取值范围即可．
【详解】解：依题意得： ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）要使分式 有意义，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，即可完成求解．
【详解】∵分式 有意义，
∴ ，解得 ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握这一条件是解题的关键．
2．（2023·云南楚雄·统考二模）要使分式 有意义，则 的取值范围为____．
【答案】
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母
为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零． ⇔
⇔ ⇔【考点三 分式无意义的条件】
例题：（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）当x__________时，分式 无意义．
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件进行计算即可．
【详解】解：∵分式 无意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分式中的分母为0时，分式无意义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当 满足条件___________时，分式 没有意义．
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由分式 没有意义，可得 ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，熟练掌握分式不成立的条件是解题的关键．
2．（2023·山东临沂·统考一模）要使分式 无意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式 无意义，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【考点四 分式值为零的条件】例题：（2023·广东佛山·佛山市南海区南海执信中学校考三模）若分式 的值为0，则x的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出x的值即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ 且 ，
解得： ．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零
且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【变式训练】
1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】D
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件．
2．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）若分式 的值为0，则 的取值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零，据此解答．
【详解】解：依题意得： 且 ，
解得： ，故选B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；
（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
【考点五 分式的值】
例题：（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）若 ，则分式 __．
【答案】2
【分析】将分式变形为 ，再把 代入计算即可．
【详解】解： ，
将 代入分式得：
原式
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的加减法和具备整体代入思想是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）当a＝1时，分式 的值是______．
【答案】2
【分析】直接把a的值代入计算即可．
【详解】解：当a=1时，
．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．
2．（2023春·七年级单元测试）已知 ，则分式 的值为______．
【答案】6【分析】根据 求得 ，然后代入求值即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：6．
【点睛】本题考查分式求值，确定a与b的数量关系，掌握分式的约分是解题的关键．
【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式 的值大于零，则x的取值范围是 ______．
【答案】 且
【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．
【详解】解：∵分式 的值大于零，
∴x+2＞0，
∴x＞﹣2，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为x＞﹣2且x≠1．
【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式 的值为负数，x的取值范围是_________．
【答案】 且
【分析】由 结合分式有意义的条件与两数相除异号得负可得： ，再解不等式组从而可
得答案.
【详解】解：由分式有意义的条件与两数相除异号得负可得：
由①得：
由②得：
所以： x的取值范围是 且
故答案为： 且
【点睛】本题考查的是分式的值为负数，利用两数相除同号得正，异号得负确定分子或分母的符号是解本
题的关键.
2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知分式 的值是正数，那么 的取值范围是_____．
【答案】x＞-4且x≠0
【分析】若 的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x+4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值
范围．
【详解】解：∵ ＞0，
∴x+4＞0，x≠0，
∴x＞-4且x≠0．
故答案为：x＞-4且x≠0．
【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式 （b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式
（b≠0）＜0时，分子分母异号，注意此题中的x≠0．
【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（2023春·七年级单元测试）若 表示一个负整数，则整数 ________．
【答案】 或 或
【分析】由 表示一个负整数，m为整数，可得 或 或 ，进而可得答案．【详解】解：因为 表示一个负整数，m为整数，
所以 或 或 ，
所以 或 或 ；
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了分式为整数时相关参数的求解，正确理解题意，得出 是4的负约数是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·山西忻州·八年级统考期中）如果m为整数，那么使分式 的值为整数的m的值为
_______．（写出两个即可）
【答案】0或1（答案不唯一）
【分析】分式 ，讨论 就可以了，即 是2的约数即可完成．
【详解】解：∵ ，
若原分式的值为整数，那么
由 得， ；
由 得， ；
由 得， ；
由 得， ；
∴ 或 或0或1，
故答案为：0或1(答案不唯一)
【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键．
2．（2023春·广东广州·八年级广州市真光中学校考开学考试）已知 的值为正整数，则整数m的值为
_________________________.
【答案】7或9
【分析】根据分式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵ 的值为正整数，
∴ 或3，
∴整数 的值为7或9，
故答案为：7或9．【点睛】本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解
答此题的关键．
【考点八 判断分式变形是否正确】
例题：（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断
即可解答．
【详解】解： ，故A正确；
与 不一定相等，故B错误；
与 不一定相等，故C错误；
当 时， ，故D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质对各选项进行约分判断即可.
【详解】解：A、 ，故本选项变形错误；
B、 ，故本选项变形正确；
C、 ，故本选项变形错误；D、 ，故本选项变形错误；
故选：B.
【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）下列变形中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把 中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的值
（ ）
A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大4倍 D．扩大2倍
【答案】D
【分析】先用 代替分式中的x、y进行计算，再比较大小即可．
【详解】解：用 代替分式中的x、y得．
那么这个分式的值扩大2倍．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是注意分式的基本性质的使用，以及整体代入．
【变式训练】
1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）当 ， 时，若 、 都扩大为原来的10
倍，则分式 的值（ ）
A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质（无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变）解
答．
【详解】解：根据题意，得：
，
即分式 的值缩小到原来的 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变
化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）若把分式 中的 和 都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值 D．缩小为原来值的
【答案】A
【分析】根据题意，分式中的x和y都扩大2倍，则 ，即可解答．【详解】解：由题意，分式 中的x和y都扩大2倍，
∴ ，
∴分式的值不变，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值
不变．
【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都
化为正数．
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据分子、分母、分式中有两个改变符号，分式的值不变进行变形即可．
【详解】（1）解：原式＝ ；
（2）原式＝ ．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练分式的变号法则．
【变式训练】
1．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中都不含“ ”：
(1) ； (2) (3) (4)
【答案】(1)(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（3）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（4）利用分式的基本性质解答，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使
分子、分母的最高次项的系数都是正数．
(1) ； (2) (3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．
【详解】（1）解： ；（2）解： ；
（3）解： ．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（2023秋·八年级单元测试）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数．
（1） _________；（2） __________；（3） ________．
【答案】
【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．
【详解】解：（1） ；
故答案为：
（2） ；
故答案为：
（3）
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）不改变分式的值，把分式 的分子、分母各项系数都化为整数，
得_____．
【答案】
【分析】要想将分式分母各项系数都化为整数，将分式的分子和分母同乘以10即可．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，熟练掌握并灵活运用是
解答本题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）不改变分式 的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成
整数，其结果为______．
【答案】
【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以
10，即可获得答案．
【详解】解：分式 ，
分子、分母同时乘以10，
则有原式 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键．
【考点十二 最简分式】
例题：（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，不是最简分式，不符合题意；
B、 ，是最简分式，符合题意；
C、 ，不是最简分式，不符合题意；
D、 ，不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查最简分式的概念，理解最简分式的概念是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将各选项进行化简判断即可．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、 ，故不符合题意，
故选：C．
【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列分式是最简分式的个数为( )
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B
【分析】根据最简分式的定义进行判断即可．
【详解】解：① 是最简分式；
② 是最简分式；
③ ，不是最简分式；
④ ，不是最简分式；
综上分析可知，最简分式有2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键是熟练掌握最简分式定义，分子、分母中没有公因
式的分式是最简分式．
【考点十三 约分】
例题：（2023秋·八年级课时练习）约分：（1） _____________；（2）
_____________．
【答案】
【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解．
【详解】解：（1） ；
故答案为： ；
（2） ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了分式的约分化简，首先把分式的分子和分母分解因式，约分化简即可求解．
【变式训练】
1．（2023秋·八年级课时练习）已知 ，则 _____________， _____________．
【答案】 5 /0.4
【分析】根据 得出 ，把 代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
把 代入 ，
把 代入 ，
故答案为：5， ．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是根据题意得出 ，以及掌握分式的约分．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）约分：
（1） ___________；
（2） ___________；
（3） ___________．
【答案】
【分析】（1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；
（2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；
（3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可．
【详解】解：（1） ；故答案为：
（2） ；
故答案为：
（3）
故答案为：
【点睛】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式．
【考点十四 最简公分母】
例题：（2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式 与 的最简公分母是______．
【答案】
【分析】先将分式的分母进行因式分解，然后根据最简公分母的定义即可得出结论．
【详解】∵ ，
∴分式 与 的最简公分母是 ．
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式 ， ， 的最简公分母是_______．
【答案】
【分析】根据最简公分母的定义即可解答．
【详解】解：分式 、 、 的最简公分母是 ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在
一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式．
2．（2023春·江苏·八年级校考周测） 的最简公分母是_________
【答案】
【分析】三个分式的分母均为多项式，故先将各个分母因式分解，然后再结合最简公分母的知识进行求解
即可．
【详解】解： 的最简公分母是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分
母，这样的公分母叫做最简公分母．
【考点十五 通分】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）通分：
(1) 与 ； (2) 与 ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可．
【详解】（1）解：∵ 与 的最简公分母是 ，
∴ = ， = ；
（2）解：∵ 与 的最简公分母是 ，∴ = ， = ．
【点睛】本题考查的是分式的通分，解题的关键是确定最简公分母．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）通分：
(1) ， (2) ， ．
【答案】(1) 和
(2) 和
【分析】（1）（2）最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有
字母的最高次幂的积．依此即可求解．
【详解】（1）∵两个分式分母分别为 ， 未知数系数的最小公倍数为 ，
∵a，b，c的最高次数为2，2，1，
∴最简公分母为 ，
将 ， 通分可得： 和 ；
（2） ，
∴最简公分母是 ，
，
．
【点睛】本题考查了通分，规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后
再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的
最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
2．（2023秋·八年级课时练习）通分：
(1) 与 ； (2) ， ， ；(3) ， ， ； (4) ， ．
【答案】(1) ，
(2) ， ，
(3) ， ，
(4) ，
【分析】（1）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；
（2）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；
（3）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；
（4）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；
【详解】（1）解： ， ．
（2）解： ，
，
．
（3）解： ，
，
．（4）解： ，
【点睛】本题主要考查了分式的通分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）使分式 有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件“分母不能为零”，不等式的性质即可求解．
【详解】解：分式 有意义，
∴ ，解得， ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，不等式的性质的综合，掌握分式有意义的条件是分母不能为零
是解题的关键．
2．（2023秋·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）在 、 、 、 中，分式的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解： ， 分母中含有字母，是分式，
所以分式有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，解答此题的关键只要是分母中含有字母的式子即为分式．
3．（2023秋·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）将分式 中的x、y的值同时扩大为原来的3倍，则分式
的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．缩小到原来的
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：∵将分式 中的x、y的值同时扩大为原来的3倍为
．
∴分式的值缩小到原来的 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．（2023秋·湖南永州·八年级统考阶段练习）下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，选项错误；
B、 ，选项正确；
C、 ，选项错误；
D、 ，选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同乘（除以）同一个不为0的整式，分式
的值不变，是解题的关键．
5．（2023秋·湖南永州·八年级统考阶段练习）若分式 的值为0，则的取值是（ ）
A．2 B．2或 C． D．0
【答案】C
【分析】根据分式的值为0的条件可得 ， ，再计算求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ，即 且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0时，分子为0，分母不为0是解题的关键．
二、填空题
6．（2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第九中学校考阶段练习）化简： ．
【答案】
【分析】把原式的分子与分母约去公因式 即可得到答案．
【详解】 .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确找出分子和分母的公因式是解本题的关键．
7．（2023秋·山东东营·八年级校考阶段练习）分式 的最简公分母是 ．
【答案】
【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解： ，
故 的最简公分母为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公
分母，这样的公分母叫做最简公分母．
8．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）使分式 的各字母系数都变成整数，其结果是
．
【答案】
【分析】要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数，同时不改变分式的值，可将分式的分子和分母同
乘以一个相同的数．观察该题，可同乘以10．
【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分式分母同乘以10，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟记分式的基本性质．
9．（2023春·河南焦作·八年级焦作市实验中学校考阶段练习）已知 时，分式 无意义； 时，
分式 的值为0，则 ．
【答案】6
【分析】根据分式无意义的条件可得 ，再根据分式的值为0的条件可得 ， ，即
可求解．
【详解】解：∵ 时，分式 无意义；
∴ ，
∴ ，∵ 时，分式 的值为0，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件和分式的值为0的条件，熟练掌握分式无意义的条件和分式的
值为0的条件是解题的关键．
10．（2023秋·八年级课时练习）若x取整数，则使分式 的值为整数的x的值有 个．
【答案】4
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知， 是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到
，从而使问题简单．
三、解答题
11．（2023秋·八年级课时练习）通分：
(1) 与 ； (2) 与 ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）最简公分母是 ，通分即可；（2）先把每个分母因式分解，最简公分母是 ，通分即可．
【详解】（1）解：最简公分母是 ，
，
；
（2）解：最简公分母是 ，
，
．
【点睛】本题考查了分式的通分，解题关键是找准最简公分母．
12．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数．
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）把分式的分子、分母同时乘以10即可得出结论；
（2）把分式的分子、分母同时乘以30即可得出结论．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
13．（2023秋·八年级课时练习）约分：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】找到分子和分母的公因式，然后约分即可得到答案．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确找到对应分子和分母的公因式是解题的关键．
14．（2023秋·八年级课时练习）对于分式 ：
(1)如果 ，那么y取何值时，分式无意义？
(2)如果 ，那么x取何值时，分式无意义？
(3)使分式无意义的x，y有多少对？
(4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？
(5)如果 ，那么y取什么值时，分式的值为零？【答案】(1)
(2)
(3)无数对
(4)
(5)
【分析】（1）根据分式无意义的条件可得 ，再把 代入可得 的值；
（2）根据分式无意义的条件可得 ，再把 代入可得 的值；
（3）根据分式值为零的条件可得当 ；
（4） 时，即 时，分式有意义；
（5） 且 ，即 时，分式的值为零．
【详解】（1）解：当 时，分式无意义，把 代入可得 ，分式无意义；
（2）当 时，分式无意义，把 代入可得当 ，即 时，分式无意义；
（3）当 ，即 时，分式无意义，分式无意义的 ， 有无数对；
（4）当 时，即 时，分式有意义；
（5） 且 时，分式值为0，把 代入，当 且 ，即 时，分式的
值为零．
【点睛】此题主要考查了分式无意义，分式值为零，分式的值的条件，关键是注意分式有意义，分母 ．
15．（2023春·甘肃兰州·八年级校联考期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真
分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对
于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：
这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：
；
解决下列问题：
(1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式 化为整式与真分式的和的形式： =____________；
(3)若假分式 的值为正整数，则整数 的值为________________；
(4)将假分式 化为带分式（写出完整过程）．
【答案】(1)真分式
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据定义进行化简即可得到答案；
（3）根据题意列出方程即可求出 的值；
（4）先化为 ，在计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
分式 是真分式，
故答案为：真分式；
（2）解：根据题意可得：
，故答案为： ；
（3）解：由（2）可得： ，
当 为正整数时，
或 ，
，
故答案为： ；
（4）解：根据题意可得：
．
【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等
题型．
16．（2023春·江苏常州·八年级统考期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一
般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想
阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成
一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数
法．
示例：将分式 分离常数．
(1)示例中， ______；
(2)参考示例方法，将分式 分离常数；
(3)探究函数 的性质：
①x的取值范围是______，y的取值范围是______；
②当x变化时，y的变化规律是______；
③如果某个点的横、级坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数 图像上所有“整数
点”的坐标．【答案】(1)1
(2)
(3)① ， ；②当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而减小；③所有“整数
点”的坐标为 、 、 、
【分析】（1）根据分式的值不变原则，即可求解 ；（2）根据示例给出的方法，即可求解；（3）①根据
分式有意义的条件，可得x的取值范围；根据x，y的关系可得y的取值范围；②由函数解析式即可求解；
③抓住“当y为整数时， 为整数”，即可求解．
【详解】（1）解：
故
（2）解： ．
（3）解：①由（2）得：
，
故： ， ．
②当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而减小．
③当y为整数时， 为整数，此时整数x取－4、－3、－1、0．
∴所有“整数点”的坐标为 、 、 、 ．
【点睛】本题以分式为背景，考查了分式的变形：分离常数．进而初步考查了“分式型”函数的相关性质．
从题目中提炼信息是解题的关键．
