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专题 15.1 分式的混合运算与化简求值
◆ 思想方法
整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的
联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未
知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解
决。
◆ 知识点总
结
一、分式的乘除法法则
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
a c ac
1．分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： × =
b d bd
a c a d ad
2．分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： ÷ = × =
b d b c bc
3．分式的乘方：分子、分母分别乘方。 a n=an
（ ）
b bn
4．运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括
号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
二、分式的加减法则
a b a±b
1．同分母分式：分母不变，分子相加减 ± =
c c c
a d ac bd ac±bd
2．异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 ± = ± =
b c bc bc bc
注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分；②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有
乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
◆ 典例分析
【典例1】知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的
途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式
(x2+2x)(x2+2x+2)+1
解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x= y
原式
= y(y+2)+1= y2+2y+1=(y+1) 2=(x2+2x+1) 2 =(x+1) 4
1 1
例2：已知ab=1，求 + 的值．
1+a 1+b
1 1 ab 1 b 1
解： + = + = + =1
1+a 1+b ab+a 1+b 1+b 1+b
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式 进行因式分解；
(x2−6x+8)(x2−6x+10)+1
（2）计算：(1−2−3−⋯−2021)×(2+3+⋯+2022)−(1−2−3−⋯−2022)×(2+3+⋯+2021)=
________ ；
1 1
（3）①已知ab=1，求 + 的值；
1+a2 1+b2
5a 5b 5c
②若abc=1，直接写出 + + 的值．
ab+a+1 bc+b+1 ca+c+1
【思路点拨】
（1）将 看成一个整体，令 ，代入计算即可；
(x2−6x+8) (x2−6x+8)= y
（2）将(1−2−3−⋯−2021)看成一个整体，令(1−2−3−⋯−2021)=x，将(2+3+⋯+2022)看成一
个整体，令(2+3+⋯+2022)= y，代入计算即可；
1 5a 5(1+b) 5c
（3）①将ab=1代入 求解即可；②将abc=1，代入 中得到原式= + ，再
1+a2 ab+a+1 b+1+bc ca+c+1
5(1+b) 5(abc+b) 5c
将abc=1代入 ，进一步得到原式= + ，计算即可．
b+1+bc b+abc+bc ca+c+1
【解题过程】
（1）解：将 看成一个整体，令 ，
(x2−6x+8) (x2−6x+8)= y
则原式 ．
= y(y+2)+1= y2+2y+1=(y+1) 2=(x2−6x+8+1) 2 =(x−3) 4（2）解：将(1−2−3−⋯−2021)看成一个整体，令(1−2−3−⋯−2021)=x，将(2+3+⋯+2022)看
成一个整体，令(2+3+⋯+2022)= y，
则原式=xy−(x−2022)(y−2022)=2022(x+ y−2022)
=2022(1−2−3−⋯−2021+2+3+⋯+2022−2022)
=2022．
（3）解：①∵ab=1，
1 1
∴ +
1+a2 1+b2
ab ab
= +
ab+a2 ab+b2
b a
= +
b+a a+b
=1．
②∵abc=1，
5a 5b 5c
∴ + +
ab+a+1 bc+b+1 ca+c+1
5a 5b 5c
= + +
ab+a+abc bc+b+1 ca+c+1
5 5b 5c
= + +
b+1+bc bc+b+1 ca+c+1
5(1+b) 5c
= +
b+1+bc ca+c+1
5(abc+b) 5c
= +
b+abc+bc ca+c+1
5(ac+1) 5c
= +
1+ac+c ca+c+1
5(ac+1+c)
=
1+ac+c
=5．
◆ 学霸必刷
1．（22-23七年级下·浙江·期中）设a,b,c满足abc≠0，且a+b=c，则
b2+c2−a2 c2+a2−b2 a2+b2−c2
+ + 的值为（ ）
2bc 2ac 2abA．-1 B．1 C．2 D．3
t 1 1 1
2．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）已知a = ，a = ，a = ，…，a = （n
1 1+t 2 1−a 3 1−a n 1−a
1 2 n−1
为正整数，且t≠0，1），则用含t的式子a ⋅a ⋅a ⋅⋅⋅a 的结果为（ ）
1 2 3 2021
A．t B．－t C．t+1 D．−(1+t)
3．（22-23九年级下·湖北武汉·自主招生）已知 ，则代数式(x−2) 4+(x−1) 2−1的值为
x2−5x−2022=0
(x−1)(x−2)
（ ）
A．2021 B．2024 C．2027 D．2030
1 1 1 7
4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知实数x，y，z满足 + + ＝ ，且
x+ y y+z z+x 6
z x y
+ + ＝11，则x+y+z的值为（ ）
x+ y y+z z+x
72
A．12 B．14 C． D．9
7
a b c
5．（2024七年级·全国·竞赛）已知实数a、b、c满足等式 = = ，且2a+b−c=8050，
2013 2014 2015
1
则a−b+ c+1= ．
2
4 4 4
6．（2024八年级·全国·竞赛）设a、b、c是互不相等的实数，且a+ =b+ =c+ ，则abc=
b c a
．
7．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足a+b+c=0．则
(a−b b−c c−a)( c a b )
+ + + + = ．
c a b a−b b−c c−a
xy zy 3 zx 3
8．（23-24八年级上·全国·课时练习）已知三个数x，y，z满足 =−2， = ， =− ，则
x+ y z+ y 4 z+x 4
xyz
的值为 ．
xy+ yz+zx
c
9．（23-24八年级上·山东青岛·自主招生）已知a，b，c是非零有理数，且满足ab2= −b，则
a(a2b2 2 1 2ab 2 ) ( 2 2ab) 101等于 ．
− + + − ÷ − ÷
c2 c a2b2 c2 abc ab c c
10．（2023九年级·全国·专题练习）计算 201820172 的值．
201820162+201820182−2
11．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知 为整数，且满足 (1 1)( 1 1 ) 2( 1 1 )
x,y + + =− −
x y x2 y2 3 x4 y4
，求 x+ y 的值．
12．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）先化简，后求值：
(
x3+x y2+1
)(
x2y−x y2
) (
x2y+x y2
)(
x2y+ y3+1
)，其中x，y
+
x3+x y2−x2y−y3 x3+x y2−x2y−y3 x3+x y2+x2y+ y3 x2y+ y3−x3−x y2
满足|x−2)+ y2+9=6 y．
13．（22-23八年级上·湖南岳阳·期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=16，求
1 1 1
+ + 的值．
ab+3c+3 bc+3a+3 ca+3b+38x
14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：P=x+2，Q= ．
x+2
（1）当x=1时，计算P−Q的值；
（2）当x>0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；
1 Q
（3）设y= − ，若x、y均为非零整数，求xy的值．
P 4
( 1) ( 1)
15．（2024八年级·全国·竞赛）设n为正整数，且A = 1− ⋅ 1+ ，
1 2 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
A = 1− ⋅ 1+ ⋅ 1− ⋅ 1+ ，
2 2 2 3 3
…
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1 ) ( 1 )
A = 1− ⋅ 1+ ⋅ 1− ⋅ 1+ ⋅⋯ 1− ⋅ 1+ ．
n 2 2 3 3 n+1 n+1
n+2
（1）求证：A = ；
n 2n+2
1
（2）若A −A = ，求正整数a，b的值．
a b 28
16．（2023九年级上·福建泉州·专题练习）阅读下列材料：
消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代
入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法．
1 1 1
（1）已知a+ =−1，b+ =−1，则c+ =______；
b c a
9 9 9
（2）已知x=3− ，y=3− ，求证：z=3− ；
z x y2 2 2
（3）已知a+ =b+ =c+ =t（其中a、b、c互不相等），求t的值．
b c a
17．（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察：
1 1
同学们，在学习中，你会发现“x+ ”与“x− ”有着紧密的联系，请你认真观察等式：
x x
( x+ 1) 2 =x2+2+ 1 ，( x− 1) 2 =x2−2+ 1 ．
x x2 x x2
用数学的思维思考并解决如下问题：
( 1) 2 ( 1) 2
（1）填空： a+ − a− =______；
a a
（2）计算：
( 1) 2 1
①若 a+ =20，求a− 的值；
a a
1
②若a2+a−1=0，求a+ 的值；
a
|1) |1)
③已知 −a=1，求 +a的值．
a a
18．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低
维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．1 1
例如：已知xy=1，求 + 的值．
1+x 1+ y
xy 1 y 1 y+1
解：原式= + = + = =1
xy+x 1+ y 1+ y 1+ y y+1
问题解决：
（1）已知xy=1．
1 1
①代数式 + 的值为 ．
1+x2 1+ y2
1 1
②求证 + =1．
1+x2021 1+ y2021
x y z x2 y2 z2
（2）已知， + + =1，且x+ y+z≠0，求 + + 的值．
y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y
19．（22-23八年级上·福建福州·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称
x−1 x2
之为“假分式”，例如： ， 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称
x+1 x+21 2x
之为“真分式”，例如： ，− 这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例
x+1 x2−1
8 3×2+2 2
如： = =3 ．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
3 3 3
x2+2x−1 x(x+2)−1 1
= =x− ；
x+2 x+2 x+2
x2 (x2+2x)−2x x(x+2)−2x−4+4 x(x+2)−2(x+2)+4 4 ．
= = = =x−2+
x+2 x+2 x+2 x+2 x+2
请根据上述材料，解答下列问题：
2
（1）填空：①分式 是______分式（填“真”或“假”）．
x+2
x2−3x+5
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： =______＋______．
x−3
x2+2x−13
（2）把分式 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的
x−3
值为整数．
（3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位
数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．20．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即A−B=AB，
1 1 1 1 1
则称分式B是分式A的“可存异分式”．如 与 ．因为 − = ，
x+1 x+2 x+1 x+2 (x+1)(x+2)
1 1 1 1 1
× = ．所以 是 的“可存异分式”．
x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+2 x+1
1 1
（1）填空：分式 ________分式 的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）
x+2 x+3
x
（2）分式 的“可存异分式”是________；
x−4
2x+3
（3）已知分式 是分式A的“可存异分式”．
3x+3
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
n+2 m−1
（4）若关于x的分式 是关于x的分式 的“可存异分式”，求6n2+19n+534的值．
mx+m2+n mx+n2
