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专题 15.1 分式的混合运算与化简求值
【典例1】阅读理解：
1 x
材料1：已知x+ =3，求分式 的值．
x x2−4x+1
x2−4x+1 1 1
解：活用倒数，∵ =x−4+ =x+ −4=3−4=−1．
x x x
x 1 1
= = =−1
∴x2−4x+1 x2−4x+1 −1 ．
x
x2−x+3
材料2：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
x+1
解：由分母x+1，可设x2−x+3=(x+1)(x+a)+b，则
x2−x+3=(x+1)(x+a)+b=x2+ax+x+a+b=x2+(a+1)x+a．
∵对于任意x上述等式成立，
{a=−2,)
∴¿解得
b=5.
x2−x+3 (x+1)(x−2)+5 5
∴ = =x−2+ ．
x+1 x+1 x+1
根据材料，解答下面问题：
1 a
（1）已知a+ =5，则分式 的值为 ．
a 2a2+2
1 b2
（2）已知b− =−3，求分式 的值 ．
b 3b4−4b2+3
1 7 x−2
（3）已知x+ =− ，则分式 的值为 ．
x−2 3 3x2−9x+9
【思路点拨】
（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解题过程】
1
（1）解：∵a+ =5
a
2a2+2 2 ( 1)
∴ =2a+ =2 a+ =2×5=10
a a a
a 1 1
= =
∴2a2+2 2a2+2 10
a
1
故答案为： ；
10
1
（2）∵b− =−3
b
∴ ( b− 1) 2 =9，即：b2+ 1 −2=9，
b b2
1
∴b2+ =11
b2
则：
3b4−4b2+3 =3b2+ 3 −4=3 ( b2+ 1 ) −4=3×11−4=29
b2 b2 b2
b2 1 1
= =
∴3b4−4b2+3 3b4−4b2+3 29
b2
1
故答案为： ；
29
3x2−9x+9 3(x2−3x+3)
（3） =
x−2 x−2
由分母x−2，可设x2−3x+3=(x−2)(x+a)+b，
则：x2−3x+3=(x−2)(x+a)+b=x2+ax−2x−2a+b=x2+(a−2)x−2a+b
对于任意x上述等式成立，
{a−2=−3
)
{a=−1)
∴ ，解得， ，
−2a+b=3 b=1
3x2−9x+9 3(x2−3x+3) 3[(x−1)(x−2)+1) [ 1 )
∴ = = =3 x−1+
x−2 x−2 x−2 x−21 7 1 7 10
又∵x+ =− ，即：x−1+ =− −1=−
x−2 3 x−2 3 3
3x2−9x+9 [ 1 ) ( 10)
∴ =3 x−1+ =3× − =−10
x−2 x−2 3
x−2 1
∴
=−
，
3x2−9x+9 10
1
故答案为：− ．
10
1 1 1 7 z x y
1．（2022秋·八年级课时练习）已知实数x，y，z满足 + + ＝ ，且 + + ＝
x+ y y+z z+x 6 x+ y y+z z+x
11，则x+y+z的值为（ ）
72
A．12 B．14 C． D．9
7
【思路点拨】
z x y x+ y+z x+ y+z x+ y+z
把 + + =11两边加上3，变形可得 + + =14，两边除以(x+ y+z)
x+ y y+z z+x x+ y y+z z+x
1 1 1 14 14 7
得到 + + = ，则 = ，从而得到x+ y+z的值．
x+ y y+z z+x x+ y+z x+ y+z 6
【解题过程】
z x y
解：∵ + + =11，
x+ y y+z z+x
z x y
∴1+ +1+ +1+ =14，
x+ y y+z z+x
x+ y+z x+ y+z x+ y+z
即 + + =14，
x+ y y+z z+x
1 1 1 14
∴ + + = ，
x+ y y+z z+x x+ y+z
1 1 1 7
而 + + = ，
x+ y y+z z+x 6
14 7
∴ = ，
x+ y+z 6
∴x+ y+z=12．故选：A．
2．（2022秋·八年级课时练习）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则
1 1 1
+ + 的值为（ ）
ab+c−1 bc+a−1 ca+b−1
1 2
A．-1 B．− C．2 D．−
2 3
【思路点拨】
观察所给算式可得c−1=1−a−b,a−1=1−b−c,b−1=1−a−c,代入整理之后对算式进行通分即可．
【解题过程】
解：由a+b+c=2可得：c−1=1−a−b,a−1=1−b−c,b−1=1−a−c，
1 1 1
则 + +
ab+c−1 bc+a−1 ca+b−1
1 1 1
= + +
ab−a+1−b bc−b+1−c ca−c+1−a
1 1 1
= + +
(a−1)(b−1) (b−1)(c−1) (c−1)(a−1)
a+b+c−3
=
(a−1)(b−1)(c−1)
−1
=
(abc−1)+(a+b+c)−(ac+bc+ab)
∵a+b+c=2,∴(a+b+c) 2=4,∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=4，
1
∴ac+bc+ab= ，
2
−1 2
= =−
故原式 1 3．
(1−1)+2−
2
故选：D．
1 1 1
3．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，a+ =3,b+ =17，则c+ =______．
b c a
【思路点拨】
( 1)( 1)( 1) 25
计算 a+ b+ c+ ，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出a=
b c a 9
2
，c= ，代入计算即可．
25【解题过程】
( 1)( 1)( 1)
解：解法一：因为 a+ b+ c+
b c a
( a 1 )( 1)
= ab+ +1+ c+
c bc a
1 1 1 1
=abc+a+c+ +b+ + +
b c a abc
( 1) ( 1) ( 1) ( 1 )
= a+ + b+ + c+ + abc+
b c a abc
( 1) ( 1)
所以3×17× c+ =3+17+ c+ +2，
a a
1 11
解得c+ = ．
a 25
11
故答案为： ．
25
解法二：由¿，得¿，
9
因此17−b=3b−1，b= ．
2
25 2
由此可得a= ，c= ．
9 25
1 2 9 11
所以c+ = + =
a 25 25 25
11
故答案为： ．
25
a2−3ab+2b2 a2−4b2
4．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）（1）计算： +
a2−2ab+b2 a2−ab
(2x−4 ) x−2
（2） −x+2 ÷
x+2 x2+4x+4
【思路点拨】
（1）先分解因式，再化简计算；（2）先计算括号里面的，再分解因式，计算除法.
【解题过程】
a2−3ab+2b2 a2−4b2
解：（1） +
a2−2ab+b2 a2−ab(a−b)(a−2b) (a−2b)(a+2b)
= +
(a−b) 2 a(a−b)
(a−2b) (a−2b)(a+2b)
= +
(a−b) a(a−b)
2(a−2b)(a+b)
=
a(a−b)
(2x−4 ) x−2
（2） −x+2 ÷
x+2 x2+4x+4
[2(x−2) (x−2)(x+2)) x−2
= − ÷
x+2 x+2 (x+2) 2
−x(x−2) x−2
= ÷
x+2 (x+2) 2
=−x(x+2)
2 a2−4 a2−2a
5．（2022·广东深圳·统考一模）先化简：（ + ）÷ ，再从−2，−1，0，1中选出合
a+2 a2+4a+4 a+2
适的数代入求值．
【思路点拨】
直接将括号里面进行加减运算，再利用分式的除法运算法则计算得出答案，注意分式的有意义 ．
【解题过程】
( 2 a2−4 ) a2−2a
解： + ÷
a+2 a2+4a+4 a+2
[ 2 (a+2)(a−2)) a+2
= + ×
a+2 (a+2) 2 a(a−2)
( 2 a−2) a+2
= + ×
a+2 a+2 a(a−2)
a a+2
= ×
a+2 a(a−2)
1
= ，
a−2
∵a−2≠0,a(a−2)≠0，a+2≠0，∴a≠−2,0,2，
1 1
当a=1时，原式= = =−1．
a−2 −1
6．（2022春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考自主招生）先化简，后求值：
(
x3+x y2+1
)(
x2y−x y2
) (
x2y+x y2
)(
x2y+ y3+1
)
+ ，其中x，y
x3+x y2−x2y−y3 x3+x y2−x2y−y3 x3+x y2+x2y+ y3 x2y+ y3−x3−x y2
满足|x−2)+ y2+9=6 y．
【思路点拨】
利用因式分解和整式运算法则逐步化简整式，再借助已知条件计算x，y的值，代入求解即可．
【解题过程】
x3+x y2+1 xy(x−y) xy(x+ y) x2y+ y3+1
解：原式= · + ·
(x−y)(x2+ y2 ) (x−y)(x2+ y2 ) (x+ y)(x2+ y2 ) (y−x)(x2+ y2 )
xy(x3+x y2+1) xy(x2y+ y3+1)
= +
(x−y)(x2+ y2
)
2 (y−x)(x2+ y2
)
2
xy(x3+x y2+1) xy(x2y+ y3+1)
= −
(x−y)(x2+ y2
)
2 (x−y)(x2+ y2
)
2
xy[(x3+x y2+1)−(x2y+ y3+1))
=
(x−y)(x2+ y2
)
2
xy(x3+x y2−x2y−y3
)
=
(x−y)(x2+ y2
)
2
xy(x−y)(x2+ y2
)
=
(x−y)(x2+ y2
)
2
xy
=
x2+ y2
∵|x−2)+ y2+9=6 y，
∴|x−2)+ y2−6 y+9=0，
即|x−2)+(y−3) 2=0，∵|x−2)≥0，(y−3) 2≥0，
∴x−2=0，y−3=0，
解得：x=2，y=3，
将其代入，可得
2×3 6
= =
原式 .
22+32 13
7．（2023春·八年级单元测试）先阅读，再答题：
1 3−2 1 1
= = − ，
2×3 2×3 2 3
1 4−3 1 1
= = − ，
3×4 3×4 3 4
……
1 1 1
一般地，有 = − .
n(n+1) n n+1
1 1
（1）计算： + ；
(x+1)(x+2) (x+2)(x+3)
1 1 1 1
（2）计算： + + +…+ ．
x(x+2) (x+2)(x+4) (x+4)(x+6) (x+2020)(x+2022)
【思路点拨】
1 1 1 1
（1）根据题目提供结论化简为 − + − ，先进行同分母分式加减，再进行异分母分式
x+1 x+2 x+2 x+3
加减运算即可求解；
（2）根据题目提供结论将原式变形为
1(1 1 ) 1( 1 1 ) 1( 1 1 ) 1( 1 1 )
− + − + − +…+ − ，逆用分配率得到
2 x x+2 2 x+2 x+4 2 x+4 x+6 2 x+2020 x+2022
1(1 1 1 1 1 1 1 1 )
− + − + − +…+ − ，
2 x x+2 x+2 x+4 x+4 x+6 x+2020 x+2022
再进行同分母分式加减，最后进行异分母分式加减，化简即可求解．
【解题过程】
1 1
（1）解： +
(x+1)(x+2) (x+2)(x+3)
1 1 1 1
= − + −
x+1 x+2 x+2 x+31 1
= −
x+1 x+3
x+3 x+1
= −
(x+1)(x+3) (x+1)(x+3)
2
=
；
(x+1)(x+3)
1 1 1 1
（2） + + +…+
x(x+2) (x+2)(x+4) (x+4)(x+6) (x+2020)(x+2022)
1(1 1 ) 1( 1 1 ) 1( 1 1 ) 1( 1 1 )
= − + − + − +…+ −
2 x x+2 2 x+2 x+4 2 x+4 x+6 2 x+2020 x+2022
1(1 1 1 1 1 1 1 1 )
= − + − + − +…+ −
2 x x+2 x+2 x+4 x+4 x+6 x+2020 x+2022
1(1 1 )
= −
2 x x+2022
1[ x+2022 x )
= −
2 x(x+2022) x(x+2022)
1 2022
= ×
2 x(x+2022)
1011
=
．
x(x+2022)
xy yz zx
8．（2022秋·全国·七年级期末） =1， =2， =3，求x+ y+z
x+ y y+z z+x
【思路点拨】
1 1 1 1 1 1
对已知等式求倒数变形，整理求出 + + 的值，进而分别求出 、 、 的值，从而确定x，y，z的
x y z x y z
值，即可求出x+y+z的值.
【解题过程】
xy yz zx
解：∵ =1， =2， =3，
x+ y y+z z+x
x+ y y+z 1 z+x 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴ =1， = ， = ，即 + =1, + = , + = ，
xy yz 2 zx 3 y x z y 2 x z 3
(1 1 1) 1 1 11 1 1 1 11
∴2 + + =1+ + = ，即 + + = ，
x y z 2 3 6 x y z 12
1 1 1 5 1 7
∴ =− , = , = ，
z 12 x 12 y 1212 12
∴x= ,y= ,z=−12，
5 7
12 12 276
∴x+ y+z= + −12=− .
5 7 35
9．（2022春·八年级课时练习）已知3x−2y−4z=0，2x+ y−5z=0且xyz≠0，求
1( z2 2x2z+4xyz+2y2z)
x+ y+z+ − 的值．
z x+ y−z x2+2xy+ y2−z2
【思路点拨】
先根据已知，求得x=2z，y=z，之后再化简式子，化简之后将我们求到的值代入即可求到最后的答案．
【解题过程】
解：由3x−2y−4z=0，2x+ y−5z=0得x=2z，y=z．
1[(x+ y) 2−z2 z2 2z(x2+2xy+ y2))
∴原式= + −
z x+ y−z x+ y−z (x+ y) 2−z2
1[ (x+ y) 2 2z(x+ y) 2 )
= −
z x+ y−z (x+ y+z)(x+ y−z)
1 (x+ y) 2 (x+ y+z)−2z(x+ y) 2
= ⋅
z (x+ y+z)(x+ y−z)
1 (x+ y) 2 (x+ y−z) 1 (x+ y) 2
= ⋅ = ⋅
z (x+ y+z)(x+ y−z) z (x+ y+z)
9
将x=2z，y=z代入得 ．
4
(1 1)( 1 1 ) 2( 1 1 )
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知 x,y 为整数，且满足 + + =− − ，
x y x2 y2 3 x4 y4
求 x+ y 的值．
【思路点拨】
根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可．
【解题过程】
1 1 1 1 2 1 1
解：∵( + )( + )=− ( − )，
x y x2 y2 3 x4 y41 1 1 1 2 1 1 1 1
∴( + )( + )=− ( + )( − )，
x y x2 y2 3 x2 y2 x2 y2
1 1 2 1 1
∴( + )=− ( − )，
x y 3 x2 y2
1 1 [ 2 1 1 )
∴( + ) 1+ ( − ) =0，
x y 3 x y
1 1 2(1 1)
∴ + =0或1+ − =0，
x y 3 x y
1 1 3
∴x+ y=0或 − =− ，
x y 2
2y 2
1 1 3 x= =
由 − =− ，得 2−3 y 2 ，
x y 2 −3
y
由于 x，y 为整数，
当y=1时，x为整数-2，则x+y=-1；
2
当y=-1时，x为- ，不是整数，不符合题意，舍去；
5
当y=2时，x为整数-1，则x+y=1；
1
当y=-2时，x为- ，不是整数，不符合题意，舍去；
2
综上，x+y的值为0或±1．
11．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=16，求
1 1 1
+ + 的值．
ab+3c+3 bc+3a+3 ca+3b+3
【思路点拨】
先根据完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，进一步推出ab+bc+ac=−6，由a+b+c=2
得到c=2−a−b，进而推出ab+3c+3=(a−3)(b−3)，同理可得bc+3a+3=(b−3)(a−3)，
−7
ca+3b+3=(c−3)(a−3)，由此代入所求式子中并化简得到 ，由
abc−3(ab+ac+bc)+9(a+b+c)−27
此即可得到答案．
【解题过程】
解：∵ a+b+c=2，
∴ (a+b+c) 2=4，∴ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，
∵ a2+b2+c2=16，
∴ ab+bc+ac=−6，
∵ a+b+c=2，
∴ c=2−a−b，
∴ 3c+3=9−3a−3b，
∴ ab+3c+3
=ab+9−3a−3b
=(ab−3a)−(3b−9)
=a(b−3)−3(b−3)
=(a−3)(b−3)，
同理可得：bc+3a+3=(b−3)(a−3)，
ca+3b+3=(c−3)(a−3)，
1 1 1
∴ + +
ab+3c+3 bc+3a+3 ca+3b+3
1 1 1
= + +
(a−3)(b−3) (b−3)(c−3) (c−3)(a−3)
c−3+a−3+b−3
=
(a−3)(b−3)(c−3)
c+a+b−9
=
(ab−3a−3b+9)(c−3)
2−9
=
abc−3ab−3ac+9a−3bc+9b+9c−27
−7
=
abc−3(ab+ac+bc)+9(a+b+c)−27
−7
=
1+18+18−27
7
=− ．
10
(1 1) (1 1) (1 1)
12．（2022·福建·九年级专题练习）已知x=a + ，y=b + ，z=c + ．
b c a c a b
1 1
（1）当a=1，b=1，c=2时，求 + 的值；
x−1 y−1
1 1 1
（2）当ab+bc+ac≠0时,求 + + 的值．
x+1 y+1 z+1【思路点拨】
（1）分别对x、y进行化简，然后求值即可；
（2）分别求出x＋1、y＋1、和z＋1值，然后代入化简即可.
【解题过程】
ac+ab bc+ab bc+ac
解：（1）∵x= ,y= ,z= ，
bc ac ab
当a=1,b=1,c=2时，
1×2+1×1 1
∴x−1= −1= ;
1×2 2
1×2+1×1 1
∴y−1= −1=
1×2 2
1 1 1 1
∴ + = + =4
x−1 y−1 1 1
2 2
ac+ab ac+ab+bc
（2）x+1= +1= ，
bc bc
bc+ab bc+ab+ac
y+1= +1= ，
ac ac
bc+ac bc+ac+ab
z+1= +1= ，
ab ab
∵ab+bc+ac≠0，
1 1 1
+ +
x+1 y+1 z+1
∴
bc ac ab
= + + ;
ab+bc+ac ab+bc+ac ab+bc+ac
ab+bc+ac
=
ab+bc+ac
=1.
13．（2022·七年级单元测试）已知a、b、c为实数，且满足下式：
①a2+b2+c2=1；
(1 1) (1 1) (1 1)
②a + +b + +c + =−3.
b c c a a b
求a+b+c的值.
【思路点拨】
先对②式进行变形，主要是给等式左边每一大项一个1，再整理成两式积等于0的形式，讨论每个式子等于0的情况，最后可求出a＋b＋c的所有值．
【解题过程】
解：将②式因式分解变形如下：
(1 1 1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 1)
a + + − +b + + − +c + + − =−3，
b c a a c a b b a b c c
(1 1 1) (1 1 1) (1 1 1)
即a + + +b + + +c + + =0，
a b c a b c a b c
(1 1 1)
所以(a+b+c) + + =0，
a b c
bc+ac+ab
即(a+b+c) =0.
abc
所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0，
若bc+ac+ab=0，
则(a+b+c) 2 =a2+b2+c2+2(ab+bc+ac) =a2+b2+c2=1，
所以a+b+c=±1，
所以a+b+c的值为0、1、−1.
14．（2023春·江苏·八年级专题练习）S(n)为n的各位数字之和，例S(2019)=2+0+1+9=12．
n
（1）当10≤n≤99时，求 的最小值；
S(n)
n
（2）当100≤n≤999时，求 的最小值；
S(n)
n
（3）当1000≤n≤9999时，求 的最小值．
S(n)
【思路点拨】
n 10a+b a+b+9a 9
= = =1+ n
（1）设两位数的十位数字为a，个位数字为b，则S(n) a+b a+b b，要使 最
1+ S(n)
a
b
小，则 为最大，然后求值即可；
a
（2）设这个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字为c，根据（1）中的方法进行求值即可；
（3）设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，十位数字为c，个位数字是d，参照（1）中的方法进
行求解即可．
【解题过程】n 10a+b a+b+9a 9
= = =1+
解：（1）设两位数的十位数字为a，个位数字为b，则S(n) a+b a+b b，
1+
a
n b
要使 的值最小，则则 为最大；
S(n) a
n 19
∵ 10≤n≤99，∴ a=1,b=9，∴ 最小为 =1.9；
S(n) 1+9
（2））设这个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字为c；
n 100a+10b+c n 99a+9b
= =1+
要使 的值最小，即 的值为最小，
S(n) a+b+c S(n) a+b+c
n 99+9b 9
∵ 100≤n≤999，∴ a=1,c=9，∴ =1+ =10+ ，
S(n) 10+b 10+b
n 199 9
∴ b=9，∴ = =10 ；
S(n) 19 19
（3）设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，十位数字为c，个位数字是d；
n 1000a+100b+10c+d 999a+99b+9c
则
= =1+
，其值最小，
S(n) a+b+c+d a+b+c+d
n 999+99b+9c
则a=1,d=9，∴ = +1，类似分析b=0,c=9时符合题意，
S(n) 10+b+c
n 1099
∴ 的最小值为 ．
S(n) 19
|a| |b|
15．（2022秋·全国·八年级专题练习）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x= +
a b
的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中
的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．
解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，
②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，
③当两个字母a，b中有0个正，2个负时．
|a| |b|
（1）根据小明的分析，求x= + 的值．
a b
|a+b| |b+c| |c+a|
（2）若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，求代数式 + + 的值．
c a b
【思路点拨】
（1）根据a，b，是非零实数，分三种情况进行讨论：①两正零负；②一正一负时；③零正2负时；分情
况讨论求值即可．（2）根据a，b，c是非零实数，分两种情况进行讨论：①分两正一负；②一正两负；分情况讨论求值即
可．
【解题过程】
解：（1）①当a，b中有2个正，0个负时，
|a| |b|
原式x= + =1+1=2；
a b
②当a,b中有1个正，1个负时，
|a| |b|
原式x= + =1−1=0；
a b
③当a,b中有0个正，2个负时，
|a| |b|
原式x= + =−1−1=−2；
a b
综上所述，x的值为−2或0或2．
（2）∵a+b+c=0，
∴a+b=−c，b+c=−a，c+a=−b，
a，b，c不可能都为正或都为负，
|a+b| |b+c| |c+a| |−c| |−a| |−b|
∴ + + = + + ．
c a b c a b
①当a，b，c中有两正一负时，
|−c| |−a| |−b|
原式= + + =1+1−1=1，
c a b
②当a，b，c中有一正两负时，
|−c| |−a| |−b|
原式= + + =−1−1+1=−1．
c a b
|a+b| |b+c| |c+a|
综上所述 + + 的值为1或−1．
c a b
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
x+1 x−1+2 x−1 2 2
的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： = = + =1+ ，
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
2x−3 2x+2−5 2x+2 −5 −5 x+1 2x−3
= = + =2+ ，则 和 都是“和谐分式”．
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x−1 x+1
（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．2x+3 3+x x+4 y2+5
① ② ③ ④
x 3 x+3 y2
a2−4a−5
（2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
a−2
3x+6 x−1 x2−1
（3）应用：先化简 − ÷ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
x+1 x x2+2x
【思路点拨】
（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；
a2−4a+4−9
（2）把分式先变形为 ，再写成整式与分式分子为常数的形式；
a−2
（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．
【解题过程】
2x+3 3 3+x x x+4 1 y2+5 5
解：（1）① =2+ ；② =1+ ；③ =1+ ；④ =1+ ；
x x 3 3 x+3 x+3 y2 y2
∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式；
故答案为：②；
a2−4a+4−9 (a−2) 2−9 −9
（2）原式= = =a−2+ ；
a−2 a−2 a−2
3x+6 x−1 x(x+2)
（3）原式= − ×
x+1 x (x−1)(x+1)
3x+6 x+2
= −
x+1 x+1
3x+6−x−2
=
x+1
2x+4
= ；
x+1
2(x+1)+2 2
根据题意得：原式= =2+ ；
x+1 x+1
当原式的值为整数时，x+1应该是2的因数，
∴x+1=1或x+1=−1或x+1=2或x+1=−2
解得：x=0或x=−2或x=1或x=−3，
∵x≠0且x≠−1且x≠1且x≠−2，∴当x=−3时，该式的值为整数．
17．（2023春·八年级课时练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分
式N是分式M的“关联分式”．
2 2 2
（1）已知分式 ，试说明 是 的“关联分式”；
a2−1 a2+1 a2−1
1
（2）小聪在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法：
x2+ y2
1 1 1
设 的“关联分式”为N，则 −N= ×N，
x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2
( 1 ) 1 1
∴
+1 N= ，∴N=
．
x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2+1
x+ y
请你仿照小聪的方法求分式 的“关联分式”．
2x−3 y
a
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”：______．
b−a
n−2 m+2
②若 是 的“关联分式”，则m+n的值为______．
mx+m2+n mx+n2
【思路点拨】
（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可；
（2）仿照小聪的方法进行求解即可；
a
（3）①根据解析（2）找规律求出 的关联分式即可；
b−a
{ n−2=m+2① )
②根据关联分式分子，分母规律可知， ，然后整理求出结果即可．
mx+m2+n=mx+n2+m+2②
【解题过程】
2 2
2(a2+1)−2(a2−1)
4
（1）解：∵ − = = ，
a2−1 a2+1 (a2−1)(a2+1) (a2−1)(a2+1)
2 2 4
× =
，
a2−1 a2+1 (a2−1)(a2+1)
2 2
∴ 是 的关联分式．
a2+1 a2−1x+ y x+ y x+ y
（2）解：设 的关联分式是N，则： −N= ⋅N，
2x−3 y 2x−3 y 2x−3 y
( x+ y ) x+ y
∴ +1 ⋅N= ，
2x−3 y 2x−3 y
3x−2y x+ y
∴ ⋅N= ，
2x−3 y 2x−3 y
x+ y
∴N= ．
3x−2y
a
（3）解：①根据解析（2）可知， 的关联分式为：
b−a
a ( a ) a b a b−a a
÷ +1 = ÷ = ⋅ = ；
b−a b−a b−a b−a b−a b b
a
故答案为： ；
b
n−2 m+2
②∵ 是 的“关联分式”，
mx+m2+n mx+n2
{ n−2=m+2① )
∴ ，
mx+m2+n=mx+n2+m+2②
由①得m−n=−4，
由②得：m2−n2=m−n+2，
即(m+n)(m−n)=m−n+2，
把m−n=−4代入得：−4(m+n)=−2，
1
解得：m+n= ．
2
1
故答案为： ．
2
18．（2023春·八年级课时练习）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
x2 x−1
“假分式”，例如： ⋅ 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为
x+1 x+1
1 2
“真分式”，例如： ，− 这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：
x+1 x+1
8 3×2+2 2
− = =2 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
3 3 3x2 x(x+1)−(x+1)+1 1
= =x−1+ ．
x+1 x+1 x+1
−x2−2x 3x3−3x+2
（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式： = . = ．
x2+2x+1 x2−1
x2−x−8 3x2−12x+10
（2）解分式方程： +2= ；
x2−x−6 x2−4x+4
x4+4x2+2
（3）当x取什么整数值时，分式 的值为整数．
x2+1
（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位
数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．
【思路点拨】
（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形化简方程即可求解；
（3）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时，整数x的值；
m2
（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，然后表示出m，n的表达式，再计算 ，然后利用材料中
n
的方法变形，进行讨论即可．
【解题过程】
−x2−2x −(x2+2x+1)+1 1
解：（1） = =−1+
x2+2x+1 x2+2x+1 x2+2x+1
3x3−3x+2 3x(x2−1)+2 2
= =3x+
x2−1 x2−1 x2−1
x2−x−8 3x2−12x+10
（2） +2=
x2−x−6 x2−4x+4
x2−x−6−2 3(x2−4x+4)−2
+2=
x2−x−6 x2−4x+4
2 2
3− =3−
x2−x−6 x2−4x+42 2
=
x2−x−6 x2−4x+4
∴x2-x-6=x2-4x+4，
∴3x=10，
10
∴x=
3
10
经检验：x= 是原方程的解；
3
x4+4x2+2 x2 (x2+1)+3(x2+1)−1
（3） =
x2+1 x2+1
1
=x2+3−
x2+1
∴当x=0时，原式=2为整数；
（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n=10x+y，m=100x+10y+2x=102x+10y，
∵2x＜10，
∴x＜5，
m2 (100x+10 y+2x) 2
=
n 10x+ y
[10(10x+ y)+2x) 2
=
10x+ y
[10(10x+ y)) 2+4x[10(10x+ y))+4x2
=
10x+ y
4x2
=100(10x+ y)+40x+
10x+y
m2
∵ 是整数，
n
4x2
∴ 为整数，
10x+y
∵0＜x＜5且x为整数，0＜y＜10且y为正整数，
4x2
当x=3，y=6时， 为正整数，
10x+y
∴m=366．
19．（2023春·八年级课时练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到
简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式(x2+2x)(x2+2x+2)+1
解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x= y
原式= y(y+2)+1= y2+2y+1=(y+1) 2=(x2+2x+1) 2 =(x+1) 4
1 1
例2：已知ab=1，求 + 的值．
1+a 1+b
1 1 ab 1 b 1
解： + = + = + =1
1+a 1+b ab+a 1+b 1+b 1+b
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式(x2−6x+8)(x2−6x+10)+1进行因式分解；
（2）计算：(1−2−3−⋯−2021)×(2+3+⋯+2022)−(1−2−3−⋯−2022)×(2+3+⋯+2021)=
______
1 1
（3）①已知ab=1，求 + 的值；
1+a2 1+b2
5a 5b 5c
②若abc=1，直接写出 + + 的值．
ab+a+1 bc+b+1 ca+c+1
【思路点拨】
（1）将(x2−6x+8)看成一个整体，令(x2−6x+8)= y，代入计算即可；
（2）将(1−2−3−⋯−2021)看成一个整体，令(1−2−3−⋯−2021)=x，将(2+3+⋯+2022)看成一
个整体，令(2+3+⋯+2022)= y，代入计算即可；
1 5a 5(1+b) 5c
（3）①将ab=1代入 求解即可；②将abc=1，代入 中得到原式= + ，再
1+a2 ab+a+1 b+1+bc ca+c+1
5(1+b) 5(abc+b) 5c
将abc=1代入 ，进一步得到原式= + ，计算即可．
b+1+bc b+abc+bc ca+c+1
【解题过程】
（1）解：将(x2−6x+8)看成一个整体，令(x2−6x+8)= y，
则原式= y(y+2)+1= y2+2y+1=(y+1) 2=(x2−6x+8+1) 2 =(x−3) 4．（2）解：将(1−2−3−⋯−2021)看成一个整体，令(1−2−3−⋯−2021)=x，将(2+3+⋯+2022)看
成一个整体，令(2+3+⋯+2022)= y，
则原式=xy−(x−2022)(y−2022)=2022(x+ y−2022)
=2022(1−2−3−⋯−2021+2+3+⋯+2022−2022)
=2022．
（3）解：①∵ab=1，
1 1
+
∴
1+a2 1+b2
ab ab
= +
ab+a2 ab+b2
b a
= +
b+a a+b
=1．
②∵abc=1，
5a 5b 5c
∴ + +
ab+a+1 bc+b+1 ca+c+1
5a 5b 5c
= + +
ab+a+abc bc+b+1 ca+c+1
5 5b 5c
= + +
b+1+bc bc+b+1 ca+c+1
5(1+b) 5c
= +
b+1+bc ca+c+1
5(abc+b) 5c
= +
b+abc+bc ca+c+1
5(ac+1) 5c
= +
1+ac+c ca+c+1
5(ac+1+c)
=
1+ac+c
=5．
20．（2022·全国·九年级专题练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解
答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形
式，从而运用约分化简，以达到计算目的．x 1 1
例：已知：
= ，求代数式x2+
的值．
x2+1 4 x2
x 1 x2+1 x2 1
解：∵ = ，∴ =4即 + =4
x2+1 4 x x x
∴x+ 1 =4∴x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=16−2=14
x x2 x
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可
以通过适当变形解决问题．
x
例：若2x=3 y=4z，且xyz≠0，求 的值．
y+z
1 1
k
k k k x 2 2 6
解：令2x=3 y=4z=k(k≠0)则x= ，y= ，z= ，∴ = = =
2 3 4 y+z 1 1 7 7
k+ k
3 4 12
根据材料回答问题：
x 1 1
（1）已知 = ，求x+ 的值．
x2−x+1 5 x
a b c 3b+4c
（2）已知 = = (abc≠0)，求 的值．
5 4 3 2a
yz zx xy x2+ y2+z2
（3）若 = = = ，x≠0，y≠0，z≠0，且abc=5，求xyz的值．
bz+cy cx+az ay+bx a2+b2+c2
【思路点拨】
（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
a b c
（2）仿照材料二，设 = = =k(k≠0)，则a=5k，b=4k，c=3k，代入所求式子即可；
5 4 3
yz zx xy 1 b c c a a b
（3）解法一：设 = = = (k≠0)，化简得： + =k①， + =k②， + =k
bz+cy cx+az ay+bx k y z z x x y
x2+ y2+z2 1
③，，相加变形可得x、y、z的代入 = 中，可得k的值，从而得结论；
a2+b2+c2 k
bz+cy cx+az ay+bx b c c a a b ay cy
解法二：取倒数得： = = ，拆项得 + = + = + ，从而得x= ，z= ，
yz zx xy y z z x x y b b
代入已知可得结论．【解题过程】
x 1
解：（1）∵ = ，
x2−x+1 5
x2−x+1
∴ =5，
x
1
∴x−1+ =5，
x
1
∴x+ =6．
x
a b c
（2）设 = = =k(k≠0)，则a=5k，b=4k，c=3k，
5 4 3
3b+4c 12k+12k 12
∴ = =
2a 10k 5
yz zx xy 1
（3）解法一：设 = = = (k≠0)，
bz+cy cx+az ay+bx k
b c c a a b
∴ + =k①， + =k②， + =k③，
y z z x x y
(b c a)
①+②+③得：2 + + =3k，
y z x
b c a 3
+ + = k④，
y z x 2
a 1
④-①得： = k，
x 2
b 1
④-②得： = k，
y 2
c 1
④-③得： = k，
z 2
4
2a 2b 2c x2+ y2+z2 1 (a2+b2+c2)
∴x= ，y= ，z= 代入 = 中，得：k2 1，
k k k a2+b2+c2 k =
a2+b2+c2 k
4 1
= ，则k=4，
k2 k
2a 2b 2c
∴x= ，y= ，z= ，
4 4 4
8abc 5
∴xyz= =
64 8yz zx xy
解法二：∵ = = ，
bz+cy cx+az ay+bx
bz+cy cx+az ay+bx
∴ = = ，
yz zx xy
b c c a a b
∴ + = + = + ，
y z z x x y
b a c b
∴ = ， = ，
y x z y
ay cy
∴x= ，z= ，
b b
cy
⋅
ay
a2y2
+ y2+
c2y2
zx x2+ y2+z2 b b b2 b2 y y2 b
将其代入 = 中得： = ， = ，y= ，
cx+az a2+b2+c2 acy acy a2+b2+c2 2b b2 2
+
b b
ab a cy c
∴x= = ，z= = ，
2b 2 2y 2
a b c 5
∴xyz= ⋅ ⋅ = ．
2 2 2 8
