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专题 15.1 分式的混合运算与化简求值
◆ 思想方法
整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的
联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未
知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解
决。
◆ 知识点总
结
一、分式的乘除法法则
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
a c ac
1．分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： × =
b d bd
a c a d ad
2．分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： ÷ = × =
b d b c bc
a n an
3．分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ ）=
b bn
4．运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括
号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
二、分式的加减法则
a b a±b
1．同分母分式：分母不变，分子相加减 ± =
c c c
a d ac bd ac±bd
2．异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 ± = ± =
b c bc bc bc
注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分；②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有
乘除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
◆ 典例分析
【典例1】知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的
途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式(x2+2x)(x2+2x+2)+1
解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x= y
原式= y(y+2)+1= y2+2y+1=(y+1) 2=(x2+2x+1) 2 =(x+1) 4
1 1
例2：已知ab=1，求 + 的值．
1+a 1+b
1 1 ab 1 b 1
解： + = + = + =1
1+a 1+b ab+a 1+b 1+b 1+b
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式(x2−6x+8)(x2−6x+10)+1进行因式分解；
（2）计算：(1−2−3−⋯−2021)×(2+3+⋯+2022)−(1−2−3−⋯−2022)×(2+3+⋯+2021)=
________ ；
1 1
（3）①已知ab=1，求 + 的值；
1+a2 1+b2
5a 5b 5c
②若abc=1，直接写出 + + 的值．
ab+a+1 bc+b+1 ca+c+1
【思路点拨】
（1）将(x2−6x+8)看成一个整体，令(x2−6x+8)= y，代入计算即可；
（2）将(1−2−3−⋯−2021)看成一个整体，令(1−2−3−⋯−2021)=x，将(2+3+⋯+2022)看成一
个整体，令(2+3+⋯+2022)= y，代入计算即可；
1 5a 5(1+b) 5c
（3）①将ab=1代入 求解即可；②将abc=1，代入 中得到原式= + ，再
1+a2 ab+a+1 b+1+bc ca+c+1
5(1+b) 5(abc+b) 5c
将abc=1代入 ，进一步得到原式= + ，计算即可．
b+1+bc b+abc+bc ca+c+1
【解题过程】
（1）解：将(x2−6x+8)看成一个整体，令(x2−6x+8)= y，
则原式= y(y+2)+1= y2+2y+1=(y+1) 2=(x2−6x+8+1) 2 =(x−3) 4．（2）解：将(1−2−3−⋯−2021)看成一个整体，令(1−2−3−⋯−2021)=x，将(2+3+⋯+2022)看
成一个整体，令(2+3+⋯+2022)= y，
则原式=xy−(x−2022)(y−2022)=2022(x+ y−2022)
=2022(1−2−3−⋯−2021+2+3+⋯+2022−2022)
=2022．
（3）解：①∵ab=1，
1 1
+
∴
1+a2 1+b2
ab ab
= +
ab+a2 ab+b2
b a
= +
b+a a+b
=1．
②∵abc=1，
5a 5b 5c
∴ + +
ab+a+1 bc+b+1 ca+c+1
5a 5b 5c
= + +
ab+a+abc bc+b+1 ca+c+1
5 5b 5c
= + +
b+1+bc bc+b+1 ca+c+1
5(1+b) 5c
= +
b+1+bc ca+c+1
5(abc+b) 5c
= +
b+abc+bc ca+c+1
5(ac+1) 5c
= +
1+ac+c ca+c+1
5(ac+1+c)
=
1+ac+c
=5．
◆ 学霸必刷
1．（22-23七年级下·浙江·期中）设a,b,c满足abc≠0，且a+b=c，则
b2+c2−a2 c2+a2−b2 a2+b2−c2
+ + 的值为（ ）
2bc 2ac 2abA．-1 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】
由a+b=c可得：a=c−b， b=c−a，然后对分式进行变形，先利用平方差公式的逆用，再根据需要代
入，变形，利用分数的性质化简即可求值．
【解题过程】
解：∵ a+b=c
∴ a=c−b，b=c−a，c=a+b，
b2+c2−a2 c2+a2−b2 a2+b2−c2
∴ + +
2bc 2ac 2ab
b2+(c+a)(c−a) c2+(a+b)(a−b) a2+(b+c)(b−c)
= + +
2bc 2ac 2ab
b2+b(c+a) c2+c(a−b) a2−a(b+c)
= + +
2bc 2ac 2ab
b+c+a c+a−b a−b−c
= + +
2c 2a 2b
c+c a+a −b−b
= + +
2c 2a 2b
=1+1−1
=1．
故选：B．
t 1 1 1
2．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）已知a = ，a = ，a = ，…，a = （n
1 1+t 2 1−a 3 1−a n 1−a
1 2 n−1
为正整数，且t≠0，1），则用含t的式子a ⋅a ⋅a ⋅⋅⋅a 的结果为（ ）
1 2 3 2021
A．t B．－t C．t+1 D．−(1+t)
【思路点拨】
t 1
先根据题意求出a 、a 、a 、a ，并从中找出循环节为 、1+t、− ，求出每一个循环节三个数的乘
1 2 3 4 1+t t
积，即可求出答案．
本题考查了数字类规律探究，以及分式的计算，解题的关键是正确找出题中的规律．
【解题过程】
t
解：∵a = ，
1 1+t1 1 1+t
a = = = =1+t
2 1−a t 1 ，
1 1−
1+t
1 1 1
a = = =− ，
3 1−a 1−(1+t) t
2
1 1 1 t
a = = = =
4 1−a 1 1 1+t
3 1−(− ) 1+
t t
t 1
结果每3个一循环，循环节为 、1+t、− ，
1+t t
∵2021÷3=673⋯2，
∴从a 到a 一共673个循环，且余2，
1 2021
t ( 1)
∵a ⋅a ⋅a = ⋅(1+t)⋅ − =−1，
1 2 3 1+t t
t
∴a ⋅a ⋅a ⋅⋅⋅a =⏟(−1)×(−1)×(−1)×⋯×(−1)⋅ ⋅(1+t)
1 2 3 2021 1+t
，
673个−1
¿
¿
=−t．
故选：B
(x−2) 4+(x−1) 2−1
3．（22-23九年级下·湖北武汉·自主招生）已知x2−5x−2022=0，则代数式 的值为
(x−1)(x−2)
（ ）
A．2021 B．2024 C．2027 D．2030
【思路点拨】
先对原代数式的分子进行因式分解，然后再约分，最后再整体代入求值．
【解题过程】
(x−2) 4+(x−1) 2−1
解：
(x−1)(x−2)
(x−2) 4+x(x−2) (x−2) 3+x x3−6x2+13x−8
= = =
(x−1)(x−2) x−1 x−1(x3−5x2+8x)−(x2−5x+8) x(x2−5x+8)−(x2−5x+8)
= =
x−1 x−1
(x−1)(x2−5x+8)
= =x2−5x+8
x−1
∵x2−5x−2022=0
∴x2−5x=2022
∴x2−5x+8=2022+8=2030
即原式的值为2030．
故选：D．
1 1 1 7
4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知实数x，y，z满足 + + ＝ ，且
x+ y y+z z+x 6
z x y
+ + ＝11，则x+y+z的值为（ ）
x+ y y+z z+x
72
A．12 B．14 C． D．9
7
【思路点拨】
z x y x+ y+z x+ y+z x+ y+z
把 + + =11两边加上3，变形可得 + + =14，两边除以(x+ y+z)
x+ y y+z z+x x+ y y+z z+x
1 1 1 14 14 7
得到 + + = ，则 = ，从而得到x+ y+z的值．
x+ y y+z z+x x+ y+z x+ y+z 6
【解题过程】
z x y
解：∵ + + =11，
x+ y y+z z+x
z x y
∴1+ +1+ +1+ =14，
x+ y y+z z+x
x+ y+z x+ y+z x+ y+z
即 + + =14，
x+ y y+z z+x
1 1 1 14
∴ + + = ，
x+ y y+z z+x x+ y+z
1 1 1 7
而 + + = ，
x+ y y+z z+x 6
14 7
∴ = ，
x+ y+z 6∴x+ y+z=12．
故选：A．
a b c
5．（2024七年级·全国·竞赛）已知实数a、b、c满足等式 = = ，且2a+b−c=8050，
2013 2014 2015
1
则a−b+ c+1= ．
2
【思路点拨】
a b c
本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令 = = =k求出a、b、c的值．
2013 2014 2015
a b c
令 = = =k，求得a=2013k，b=2014k，c=2015k，结合题意求出a、b、c的值，代入
2013 2014 2015
即可求解．
【解题过程】
a b c
解：设 = = =k，
2013 2014 2015
故a=2013k，b=2014k，c=2015k，
则2a+b−c=2×2013k+2014k−2015k，
即2×2013k+2014k−2015k=8050，
解得：k=2；
∴a=4026，b=4028，c=4030，
1 1
∴a−b+ c+1=4026−4028+ ×4030+1=2014．
2 2
故答案为：2014．
4 4 4
6．（2024八年级·全国·竞赛）设a、b、c是互不相等的实数，且a+ =b+ =c+ ，则abc=
b c a
．
【思路点拨】
4 4 4(b−c) 4(c−a) 4(a−b)
本题考查分式的化简求值，由a+ =b+ 可得bc= ，同理可得ac= ，ab= ，由
b c a−b b−c c−a
此三式相乘即可解答．
【解题过程】
4 4 4
解：∵a+ =b+ =c+ ，
b c a4 4 4(b−c) 4 4 4(c−a) 4 4 4(a−b)
∴a−b= − = ，b−c= − = ，c−a= − = ，
c b bc a c ac b a ab
4(b−c) 4(c−a) 4(a−b)
∴bc= ，ac= ，ab= ，
a−b b−c c−a
4(b−c) 4(c−a) 4(a−b)
∴a2b2c2= ⋅ . =64，
a−b b−c c−a
∴abc=±8．
故答案为：±8．
7．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足a+b+c=0．则
(a−b b−c c−a)( c a b )
+ + + + = ．
c a b a−b b−c c−a
【思路点拨】
用第一个括号里的算式分别乘以第二个括号里的三个分式，结合a+b+c=0化简，所得三部分合并再化
简，结合二数和完全立方式展开变形，代入化简即得．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算化简，完全立方公式的推导及变形运用，是解决本
题的关键．
【解题过程】
(a−b b−c c−a) c (b−a)(b+a−c) c 2c2
解：∵ + + =1+ × =1+ ，
c a b a−b ab a−b ab
(a−b b−c c−a) a 2a2 (a−b b−c c−a) b 2b2
同理， + + =1+ ， + + =1+ ，
c a b b−c bc c a b c−a ac
2c2 2a2 2b2 2(a3+b3+c3)
∴原式=1+ +1+ +1+ =3+ ，
ab bc ac abc
又(a+b) 3=(−c) 3，即a3+3a2b+3b2a+b3=−c3，
则a3+b3+c3=−3ab(a+b)=−3ab(−c)=3abc，
2×3abc
故原式=3+ =9．
abc
故答案为：9．
xy zy 3 zx 3
8．（23-24八年级上·全国·课时练习）已知三个数x，y，z满足 =−2， = ， =− ，则
x+ y z+ y 4 z+x 4xyz
的值为 ．
xy+ yz+zx
【思路点拨】
x+ y 1 z+ y 4 z+x 4
由给定的三个等式可得其倒数 =− ， = ， =− ，再将三个分式的分子拆分后相加可得
xy 2 zy 3 zx 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + 的值，因所求式子的倒数为 + + ，所以求得 + + 的倒数即可解答；
x y z x y z x y z
【解题过程】
xy zy 3 zx 3
解：∵ =−2， = ， =− ，
x+ y z+ y 4 z+x 4
x+ y 1 z+ y 4 z+x 4
∴ =− ， = ， =− ，
xy 2 zy 3 zx 3
1 1 1 1 1 4 1 1 4
∴ + =− ① ， + = ② ， + =− ③，
x y 2 z y 3 z x 3
2 2 2 1
①+②+③，得： + + =− ，
x y z 2
1 1 1 1
∴ + + =− ，
x y z 4
xy+ yz+zx 1 1 1
∵ = + + ，
xyz x y z
xy+ yz+zx 1
∴ =− ，
xyz 4
xyz
∴ =−4；
xy+ yz+zx
故答案为：−4．
c
9．（23-24八年级上·山东青岛·自主招生）已知a，b，c是非零有理数，且满足ab2= −b，则
a
(a2b2 2 1 2ab 2 ) ( 2 2ab) 101
− + + − ÷ − ÷ 等于 ．
c2 c a2b2 c2 abc ab c c
【思路点拨】
c
先在等式ab2= −b的两边同时乘非零数a，得到a2b2=c−ab，变形为a2b2−c=−ab，c−a2b2=ab，
a
再将三个等式代入所求代数式化简即可得出答案．【解题过程】
c
解：∵ ab2= −b
a
∴a2b2=c−ab，a2b2−c=−ab，c−a2b2=ab
a2b2 2 1 2ab 2
∴ − + + −
c2 c a2b2 c2 abc
(ab 1 ) 2 2a2b2 2c
= − + −
c ab abc2 abc2
(a2b2−c) 2 2(a2b2−c)
= +
abc abc2
(−ab) 2 −2ab
= +
abc abc2
1 2
= −
c2 c2
1
=−
c2
2 2ab
−
ab c
2c−2a2b2
=
abc
2ab 2
= =
abc c
(a2b2 2 1 2ab 2 ) ( 2 2ab) 101
∴ − + + − ÷ − ÷
c2 c a2b2 c2 abc ab c c
1 2 101
=− ÷ ÷
c2 c c
1 c c
=− × ×
c2 2 101
1
=−
202
1
故答案为：− ．
202201820172
10．（2023九年级·全国·专题练习）计算 的值．
201820162+201820182−2
【思路点拨】
m2
设20182017=m原式可变形为 化简后即可求解．
(m−1) 2+(m+1) 2−2
【解题过程】
m2
解：设20182017=m，则原式
(m−1) 2+(m+1) 2−2
m2
=
(m2−2m+1)+(m2+2m+1)−2
m2
=
m2−2m+1+m2+2m+1−2
m2
=
2m2
1
= ．
2
(1 1)( 1 1 ) 2( 1 1 )
11．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知 x,y 为整数，且满足 + + =− −
x y x2 y2 3 x4 y4
，求 x+ y 的值．
【思路点拨】
根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可．
【解题过程】
1 1 1 1 2 1 1
解：∵( + )( + )=− ( − )，
x y x2 y2 3 x4 y4
1 1 1 1 2 1 1 1 1
∴( + )( + )=− ( + )( − )，
x y x2 y2 3 x2 y2 x2 y2
1 1 2 1 1
∴( + )=− ( − )，
x y 3 x2 y2
1 1 [ 2 1 1 )
∴( + ) 1+ ( − ) =0，
x y 3 x y1 1 2(1 1)
∴ + =0或1+ − =0，
x y 3 x y
1 1 3
∴x+ y=0或 − =− ，
x y 2
2y 2
1 1 3 x= =
由 − =− ，得 2−3 y 2 ，
x y 2 −3
y
由于 x，y 为整数，
当y=1时，x为整数-2，则x+y=-1；
2
当y=-1时，x为- ，不是整数，不符合题意，舍去；
5
当y=2时，x为整数-1，则x+y=1；
1
当y=-2时，x为- ，不是整数，不符合题意，舍去；
2
综上，x+y的值为0或±1．
12．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）先化简，后求值：
(
x3+x y2+1
)(
x2y−x y2
) (
x2y+x y2
)(
x2y+ y3+1
)
+ ，其中x，y
x3+x y2−x2y−y3 x3+x y2−x2y−y3 x3+x y2+x2y+ y3 x2y+ y3−x3−x y2
满足|x−2)+ y2+9=6 y．
【思路点拨】
利用因式分解和整式运算法则逐步化简整式，再借助已知条件计算x，y的值，代入求解即可．
【解题过程】
x3+x y2+1 xy(x−y) xy(x+ y) x2y+ y3+1
解：原式= · + ·
(x−y)(x2+ y2 ) (x−y)(x2+ y2 ) (x+ y)(x2+ y2 ) (y−x)(x2+ y2 )
xy(x3+x y2+1) xy(x2y+ y3+1)
= +
(x−y)(x2+ y2
)
2 (y−x)(x2+ y2
)
2
xy(x3+x y2+1) xy(x2y+ y3+1)
= −
(x−y)(x2+ y2
)
2 (x−y)(x2+ y2
)
2
xy[(x3+x y2+1)−(x2y+ y3+1))
=
(x−y)(x2+ y2
)
2xy(x3+x y2−x2y−y3
)
=
(x−y)(x2+ y2
)
2
xy(x−y)(x2+ y2
)
=
(x−y)(x2+ y2
)
2
xy
=
x2+ y2
∵|x−2)+ y2+9=6 y，
∴|x−2)+ y2−6 y+9=0，
即|x−2)+(y−3) 2=0，
∵|x−2)≥0，(y−3) 2≥0，
∴x−2=0，y−3=0，
解得：x=2，y=3，
将其代入，可得
2×3 6
= =
原式 ．
22+32 13
13．（22-23八年级上·湖南岳阳·期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=16，求
1 1 1
+ + 的值．
ab+3c+3 bc+3a+3 ca+3b+3
【思路点拨】
先根据完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，进一步推出ab+bc+ac=−6，由a+b+c=2
得到c=2−a−b，进而推出ab+3c+3=(a−3)(b−3)，同理可得bc+3a+3=(b−3)(a−3)，
−7
ca+3b+3=(c−3)(a−3)，由此代入所求式子中并化简得到 ，由
abc−3(ab+ac+bc)+9(a+b+c)−27
此即可得到答案．
【解题过程】
解：∵ a+b+c=2，
∴ (a+b+c) 2=4，
∴ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，
∵ a2+b2+c2=16，∴ ab+bc+ac=−6，
∵ a+b+c=2，
∴ c=2−a−b，
∴ 3c+3=9−3a−3b，
∴ ab+3c+3
=ab+9−3a−3b
=(ab−3a)−(3b−9)
=a(b−3)−3(b−3)
=(a−3)(b−3)，
同理可得：bc+3a+3=(b−3)(a−3)，
ca+3b+3=(c−3)(a−3)，
1 1 1
∴ + +
ab+3c+3 bc+3a+3 ca+3b+3
1 1 1
= + +
(a−3)(b−3) (b−3)(c−3) (c−3)(a−3)
c−3+a−3+b−3
=
(a−3)(b−3)(c−3)
c+a+b−9
=
(ab−3a−3b+9)(c−3)
2−9
=
abc−3ab−3ac+9a−3bc+9b+9c−27
−7
=
abc−3(ab+ac+bc)+9(a+b+c)−27
−7
=
1+18+18−27
7
=− ．
10
8x
14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：P=x+2，Q= ．
x+2
（1）当x=1时，计算P−Q的值；
（2）当x>0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；
1 Q
（3）设y= − ，若x、y均为非零整数，求xy的值．
P 4
【思路点拨】本题考查分式运算和比较大小， 正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
（1）将x=1代入计算P−Q的值即可；
（2）先求差，再比较差与0的大小关系；
（3）先表示y，再求x，y的整数值，进而可以解决问题．
【解题过程】
（1）解：当x=1时，
8x
P−Q=x+2−
x+2
8
=1+2−
3
1
= ，
3
1
∴P−Q的值为 ．
3
（2）解：当x>0时，P≥O,理由如下：
8x
∵P−Q=x+2−
x+2
(x+2) 2−8x
=
x+2
(x−2) 2
= ,
x+2
∵⋅x>0,
(x−2) 2 (x−2) 2
∴ >0或 =0,
x+2 x+2
∴当 x>0且x≠2时，P>Q，
当x=2时，P=Q，
∴当x>0时，P≥Q．
1 Q 8x
（3）解：∵y= − ，P=x+2，Q=
P 4 x+2
1 Q 1 8x 1−2x 5
∴y= − = − = =−2+ ，
P 4 x+2 4(x+2) x+2 x+2
∵x、y均为非零整数，
∵x=−1时，y=3,则xy=−3；
x=−3时，y=−7,则xy=21；x=−7时，y=−3,则xy=21；
x=3时，y=−1,则xy=−3；
综上所述：xy的值为−3或21．
( 1) ( 1)
15．（2024八年级·全国·竞赛）设n为正整数，且A = 1− ⋅ 1+ ，
1 2 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
A = 1− ⋅ 1+ ⋅ 1− ⋅ 1+ ，
2 2 2 3 3
…
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1 ) ( 1 )
A = 1− ⋅ 1+ ⋅ 1− ⋅ 1+ ⋅⋯ 1− ⋅ 1+ ．
n 2 2 3 3 n+1 n+1
n+2
（1）求证：A = ；
n 2n+2
1
（2）若A −A = ，求正整数a，b的值．
a b 28
【思路点拨】
本题考查分式的化简，整数解．
（1）运用分式的运算法则计算即可；
a+2 b+2 a+2 b+2 1
（2）由（1）可得：A = ，A = ，从而 − = ．设a+1=s，b+1=t，上式可
a 2a+2 b 2b+2 2a+2 2b+2 28
1 1 1 22×72
变形为 − = ，即s=14− ，根据a，b，s，t为正整数可知为正整数可得t的值，即可解答．
s t 14 14+t
【解题过程】
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1 ) ( 1 )
（1）A = 1− ⋅ 1+ ⋅ 1− ⋅ 1+ ⋅⋯ 1− ⋅ 1+
n 2 2 3 3 n+1 n+1
1 3 2 4 n n+2
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋯⋅ ⋅
2 2 3 3 n+1 n+1
1 n+2
= ⋅
2 n+1
n+2
=
2n+2
a+2 b+2
（2）由（1）可得：A = ，A = ，
a 2a+2 b 2b+2
1
∵A −A =
a b 28a+2 b+2 1
∴ − = ，
2a+2 2b+2 28
设a+1=s，b+1=t，
s+1 t+1 1 1 1 1
则 − = ，即 − = ，
2s 2t 28 s t 14
14t 14(t+14−14) 142 22×72
故s= = =14− =14− ，
14+t 14+t 14+t 14+t
由a，b为正整数可知s，t为正整数，
22×72
则 为整数，
14+t
∴14+t=22×7或72或2×72或22×72，
∴t=14,s=7或t=35,s=10或t=84,s=12或t=182,s=13，
则a=6,b=13或a=9,b=34或a=11,b=83或a=12,b=181．
16．（2023九年级上·福建泉州·专题练习）阅读下列材料：
消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代
入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法．
1 1 1
（1）已知a+ =−1，b+ =−1，则c+ =______；
b c a
9 9 9
（2）已知x=3− ，y=3− ，求证：z=3− ；
z x y
2 2 2
（3）已知a+ =b+ =c+ =t（其中a、b、c互不相等），求t的值．
b c a
【思路点拨】
1
（1）依据题意，根据已知条件分别求出b和 ，然后再相乘得1，然后再变形可以得解；
b
1
（2）依据题意，类似（1）求出 再与x相乘可得y，z的式子，再变形可以得解；
x
（3）依据题意，通过消元法建立关于t的方程t2−2=0，进而可以得解．
【解题过程】
1 1
（1）解：由题意， =−1−a，b=−1− ，
b c
1 ( 1) 1 a
∴b⋅ =(−1−a) −1− =1+a+ + =1．
b c c c
a+1
∴a=− ．
ca+1 1
∴c=− =−1− ．
a a
1
∴c+ =−1．
a
故答案为：−1；
9
（2）解：由题意，∵y=3− ，
x
9
∴ =3−y．
x
1 3−y
∴ = ．
x 9
1 ( 9) 3−y
∴x⋅ = 3− ⋅ =1．
x z 9
9 9
∴3− = ．
z 3−y
3 3
∴1− = ．
z 3−y
3 3
∴ =1− ．
z 3−y
9
∴z=3− ；
y
2
（3）解：由a+ =t得：ab+2=bt①，
b
2 2
由b+ =t得：b=t− ②，
c c
把②代入①得：ab+2=t ( t− 2) =t2− 2t ，
c c
∴abc+2c=ct2−2t．
∴abc+2t=c(t2−2)．
同理得：abc+2t=a(t2−2)，
abc+2t=b(t2−2)，
∴a(t2−2)=b(t2−2)=c(t2−2)．∵a、b、c互不相等，
∴t2−2=0，
∴t=±❑√2．
17．（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察：
1 1
同学们，在学习中，你会发现“x+ ”与“x− ”有着紧密的联系，请你认真观察等式：
x x
( x+ 1) 2 =x2+2+ 1 ， ( x− 1) 2 =x2−2+ 1 ．
x x2 x x2
用数学的思维思考并解决如下问题：
( 1) 2 ( 1) 2
（1）填空： a+ − a− =______；
a a
（2）计算：
( 1) 2 1
①若 a+ =20，求a− 的值；
a a
1
②若a2+a−1=0，求a+ 的值；
a
|1) |1)
③已知 −a=1，求 +a的值．
a a
【思路点拨】
本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式
(a±b) 2=a2±2ab+b2．
（1）根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；
( 1) 2 1
（2）①先利用完全平方公式变形求出 a− =16，然后求出a− 的值即可；
a a
1 ( 1) 2
②先将a2+a−1=0两边都除以a，得a− =−1，然后求出 a+ =5，再求出结果即可；
a a
1 1
③分两种情况：当 >0时，当 <0时，求出结果即可．
a a
【解题过程】
( 1) 2 ( 1) 2
（1）解： a+ − a−
a a=a2+2+ 1 − ( a2−2+ 1 )
a2 a2
1 1
=a2+2+ −a2+2+
a2 a2
=4；
故答案为：4．
( 1) 2 ( 1) 2
（2）解：①∵ a− = a+ −4=20−4=16，
a a
1
∴a− =±4．
a
1
②将a2+a−1=0两边都除以a，得a− =−1．
a
∴ ( a+ 1) 2 = ( a− 1) 2 +4=(−1) 2+4=5，
a a
1
∴a+ =±❑√5．
a
1 |1) 1 1
③当 >0时，此时a>0，则 −a= −a=1，得a− =−1，
a a a a
∵ ( a+ 1) 2 = ( a− 1) 2 +4=(−1) 2+4=5，
a a
1
∴a+ =±❑√5．
a
∵a>0，
1
∴a+ =❑√5；
a
|1) 1
∴ +a= +a=❑√5，
a a
1 |1) 1 1
当 <0时，此时a<0，则 −a=− −a=1，得a+ =−1，
a a a a
∵ ( a− 1) 2 = ( a+ 1) 2 −4=(−1) 2−4=−3<0，故舍去．
a a
|1)
综上， +a的值为❑√5．
a
18．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
1 1
例如：已知xy=1，求 + 的值．
1+x 1+ y
xy 1 y 1 y+1
解：原式= + = + = =1
xy+x 1+ y 1+ y 1+ y y+1
问题解决：
（1）已知xy=1．
1 1
+
①代数式 的值为 ．
1+x2 1+ y2
1 1
②求证
+ =1．
1+x2021 1+ y2021
x y z x2 y2 z2
（2）已知， + + =1，且x+ y+z≠0，求 + + 的值．
y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y
【思路点拨】
本题考查分式的化简求值，分式的混合运算．
1 1
（1）①把xy=1代入 + ，分母提取公因式，约分，再根据分式加法法则计算即可得答案；②由
1+x2 1+ y2
xy=1可得x2021y2021=1，同①的方法计算即可得结论；
x2 y2 z2
（2）将已知等式变形，分别得到含有 , , 的等式，再整体代入化简求值即可．
y+z z+x x+ y
【解题过程】
（1）解：①∵xy=1，
1 1
+
∴
1+x2 1+ y2
xy xy
+
=
xy+x2 xy+ y2
xy xy
= +
x(y+x) y(x+ y)
x+ y
=
x+ y
=1；
故答案为：1
②证明：∵xy=1，
∴x2021y2021=1，1 1
+
∴
1+x2021 1+ y2021
x2021y2021 1
= +
x2021y2021+x2021 1+ y2021
x2021y2021 1
= +
x2021 (y2021+1) 1+ y2021
y2021 1
= +
1+ y2021 1+ y2021
y2021+1
=
1+ y2021
=1；
x y z
（2）解：∵ + + =1，且x+ y+z≠0，
y+z z+x x+ y
x y z
∴ =1− − ，
y+z z+x x+ y
x2 xy xz
∴ =x− − ，
y+z z+x x+ y
y2 xy yz z2 xz yz
同理可得： = y− − ， =z− − ，
z+x y+z x+ y x+ y y+z z+x
x2 y2 z2
∴ + +
y+z z+x x+ y
( xy xz ) ( xy yz ) ( xz yz )
= x− − + y− − + z− −
z+x x+ y y+z x+ y y+z z+x
( xy xz xy yz xz yz )
=x+ y+z− + + + + +
z+x x+ y y+z x+ y y+z z+x
(xz+ yz xy+xz xy+ yz)
=x+ y+z− + +
x+ y y+z z+x
[(x+ y)z (y+z)x (x+z)y)
=x+ y+z− + +
x+ y y+z z+x
=x+ y+z−(x+ y+z)
=0．
19．（22-23八年级上·福建福州·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称x−1 x2
之为“假分式”，例如： ， 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称
x+1 x+2
1 2x
之为“真分式”，例如： ，− 这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例
x+1 x2−1
8 3×2+2 2
如： = =3 ．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
3 3 3
x2+2x−1 x(x+2)−1 1
= =x− ；
x+2 x+2 x+2
x2 (x2+2x)−2x x(x+2)−2x−4+4 x(x+2)−2(x+2)+4 4
= = = =x−2+ ．
x+2 x+2 x+2 x+2 x+2
请根据上述材料，解答下列问题：
2
（1）填空：①分式 是______分式（填“真”或“假”）．
x+2
x2−3x+5
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： =______＋______．
x−3
x2+2x−13
（2）把分式 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的
x−3
值为整数．
（3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位
数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n．
【思路点拨】
（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值；
m2
（3）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，然后表示出m，n的表达式，再计算 ，然后利用材料中
n
的方法变形，进行讨论即可．
【解题过程】
2
（1）解：① 的分子的次数小于分母的次数，
x+2
2
∴分式 是真分式，
x+2
故答案为：真；x2−3x+5 x(x−3)+5 5
② = =x+ ，
x−3 x−3 x−3
5
故答案为：x， ；
x−3
x2+2x−13 x2−3x+5x−13
（2）解： =
x−3 x−3
x(x−3)+5(x−3)+2
=
x−3
2
=x+5+
x−3
若这个分式的值为整数，
则x−3=1或x−3=−1或x−3=2或x−3=−2，
∴x=4或x=2或x=5或x=1；
（3）解：设三位数的百位数字为x，十位数字为y，
则个位数字为2x，n=10x+ y，m=100x+10 y+2x，
∵2x<10，
∴x<5，
m2 (100x+10 y+2x) 2
=
n 10x+ y
[10(10x+ y)+2x] 2
=
10x+ y
[10(10x+ y)] 2+4x[10(10x+ y)]+4x2
=
10x+ y
4x2
=100(10x+ y)+40x+ ，
10x+ y
∴10x<4x2，
5
∴ x> ，
2
当x=3时，
4×9
∵ 为正整数，
30+ y
∴y=6，
当x=4时，∵0
