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专题 15.1 分式【九大题型】
【人教版】
【题型1 分式的定义】..............................................................................................................................................1
【题型2 根据分式有意义的条件求取值范围】.....................................................................................................2
【题型3 分式值为零的条件】..................................................................................................................................2
【题型4 列代数式（分式）】..................................................................................................................................2
【题型5 求分式的值】..............................................................................................................................................3
【题型6 分式的规律性问题】..................................................................................................................................3
【题型7 根据分式的值为整数求未知数的值】.....................................................................................................4
【题型8 按要求构造分式】......................................................................................................................................4
【题型9 根据分式的值的正负求取值范围】.........................................................................................................5
知识点1：分式的定义
A
一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子B叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。
A
分式满足的三个条件：①式子一定是B的形式；②A与B一定是整式；③B中一定含有字母。
简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。
【题型1 分式的定义】
【解题方法】观察式子的分母是否有字母，若有则是分式，若没有则不是。
3 y a 3 x a2+1
【例1】（24-25八年级·山东淄博·阶段练习）在式子 , , , , 中，分式有（ ）个
x π x+1 3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
x 3x x x−1
【变式1-1】（23-24八年级·江苏徐州·阶段练习）下列各式 、 、 、 不是分式的是
y x+1 π x
【变式1-2】（23-24八年级·重庆江北·期中）下列式子是分式的是（ ）
2 x+1 1
A． x2y B． C． D．−5ab
3 π x
a−b 2 5+x a−b p
【变式1-3】（2024八年级·全国·专题练习）在① ，② ，③ ，④ ，⑤ 中，是分
2 a π a+b 5(m−n)
式的有 （填序号）知识点2：分式有意义的条件
A
即要求分式的分母不能为0。即 中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式
B
分解，让每一个因式都不为0。
【题型2 根据分式有意义的条件求取值范围】
【解题方法】结合分母不能为0建立不等式求解，若式子中含有偶次根号，考虑被开方数大于等于0。
x2−16
【例2】（24-25八年级·上海·期中）当x满足条件 时，分式 有意义．
2x−8
1 1
【变式2-1】（23-24八年级·四川绵阳·期末）已知式子 − 有意义，则x的取值范围是 ．
x x−1
【变式2-2】（23-24八年级·广东汕头·期末）当x=−1时，下列分式没有意义的是（ ）
x+1 x x−1 x
A． B． C． D．
x x−1 x x+1
x
【变式2-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）若分式 有意义，请写出一个满足要求的x的值 ．
x2−1
知识点3：分式值为零的条件
A
分式的值为0的条件为要求分子必须为0，同时要求分母不为0。即 中，A＝0，B≠0。
B
对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不
等于0。
【题型3 分式值为零的条件】
【解题方法】利用分子的式子等于0，分母的式子不等于0建立方程与不等式进行计算即可。
【例3】（23-24八年级·甘肃定西·期末）已知某个分式，当x=−1时，分式无意义，当x=2时，分式的值
为0，则该分式可能是（ ）
x−2 x+2 x+2 x−2
A． B． C． D．
x+1 x+1 x−1 x−1
m+2
【变式3-1】（23-24八年级·广东茂名·期末）若分式 的值为零，则m= ．
(m−2)(m+3)
【变式3-2】（23-24八年级·安徽合肥·期末）当x=3时，下列分式中，值为0的是（ ）
x−3 2x−6 1 x+3
A． B． C． D．
x2−9 x+2 x−3 x+1
|x|−1
【变式3-3】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）当x= 时，分式 的值为零．
x2−2x+1
【题型4 列代数式（分式）】
【例4】（23-24八年级·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了w瓶消毒液，原计划每天用m瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了n瓶消毒液，则这些消毒
液提前几天用完？？（ ）
w w w w w w
A． B． C． − D． −
m+n m m m+n m+n m
【变式4-1】（23-24八年级·山西晋城·阶段练习）已知A、B两地相距50km，甲、乙两人分别从A、B两地
同时出发，相向而行，速度分别为xkm/h、ykm/h，当甲、乙两人第二次相距a(a<50)km时，行驶时
间为 h．
【变式4-2】（23-24八年级·河北衡水·期中）在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b
个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（ ）
m+n a+b am+bn am+bn
A． 分 B． 分 C． 分 D． 分
2 2 a+b m+n
【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，
租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需
分摊的车费少 元．
【题型5 求分式的值】
【解题方法】根据已知条件变形，或用一个字母来表示所有的字母然后带入求解。
4
【例5】（23-24八年级·贵州毕节·期末）已知
m2−3m−2=0，则2m2−3m+
值为（ ）
m2
A．10 B．11 C．15 D．16
x y z xy−x2
【变式5-1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）已知 = = ，则 = ．
2 3 4 yz
x 2x+xy+2y
【变式5-2】（23-24八年级·福建厦门·期末）已知非零实数x，y满足y= ，则 的值等于
2x−1 xy
．
【变式5-3】（23-24八年级·山东日照·期末）若1 ，则 x2 =（ ）
+x=3
x x4+x2+1
1 1
A．8 B． C．8或 D．无法确定
8 8
【题型6 分式的规律性问题】
2 5 10 17
【例6】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）按一定规律排列的一列分式依次为：− ， ，− ， ，
a a4 a7 a10
……（a≠0），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数）【变式6-1】（23-24八年级·天津·期末）观察给定的分式，探索规律：
1 2 3 4
（1） ， ， ， ，…其中第6个分式是 ；
x x2 x3 x4
（2）x2， x4，x6， x8，…其中第6个分式是 ；
− −
y y3 y5 y7
（3） b2，b5， b8，b11，…其中第n个分式是 （n为正整数）．
− −
a a2 a3 a4
a 2a 3a 4a
【变式6-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列一组分式： ，− ， ，− ，…．
b 3b2 5b3 7b4
根据你的发现，第8个分式是 ．
【变式6-3】（23-24八年级·云南文山·期末）给定一列分式：x， x3 ， x5 ， x7 ， x9 ， x11 ，…
y 2y2 4 y3 8 y4 16 y5 32y6
（其中y≠0），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（ ）
A．x2n+1 B． x2n−1 C． x2n−1 D． x2n
2n yn 2n yn−1 2n−1yn 2n−1yn−1
【题型7 根据分式的值为整数求未知数的值】
6x+21
【例7】（23-24八年级·江苏扬州·期末）能使分式 值为整数的整数x有（ ）个．
2x−3
A．0 B．1 C．2 D．8
6
【变式7-1】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期末）若分式 的值是整数，则满足条件的所有正整数m的
m+1
和等于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
x+8
【变式7-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）若x及 都是正整数，则所有满足条件的x的值的和是
2x+1
．
9x−7
【变式7-3】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）已知x为整数，且分式 的值也为整数，则满足条件
3x+1
的所有x的值之和为 ．
【题型8 按要求构造分式】
【例8】（23-24八年级·上海·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为零；
（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠−3；
（3）当a=0时，分式的值为−1．
你所写的分式为
【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）请你写出一个值恒为正数的分式 ．
【变式8-2】（23-24八年级·上海浦东新·期末）从整式π，2，a+3，a−3中，任选两个构造一个分式
．
【变式8-3】（23-24八年级·安徽安庆·期中）有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式
的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1．请你写出满足上
述全部特点的一个分式： ．
【题型9 根据分式的值的正负求取值范围】
【解题方法】现将分子分母能进行因式分解的式子进行因式分解，若分式的值大于 0，则分子分母同号，
若分式的值小于0，则分子分母异号，以此建立不等式组求解。注意始终要考虑分母不能为0。
2x−5
【例9】（23-24八年级·山东威海·期末）若分式 的值为负数，则x的取值范围是（ ）
x2+4
5 5 5 5
A．x≠ B．x≤− C．x> D．x<
2 2 2 2
−6
【变式9-1】（23-24八年级·北京房山·期中）若分式 的值为正数，则x满足
7−x
1
【变式9-2】（23-24八年级·全国·单元测试）如果分式 的值为负数,则x的取值范围是( )
1−2x
1 1 1 1
A．x≤ B．x< C．x≥ D．x>
2 2 2 2
【变式9-3】（23-24八年级·四川凉山·期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ．
