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专题 15.1 分式（6 大知识点 15 类题型）（知识梳理与题型分类讲
解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分子，B叫
做分母.
【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
【知识点3】分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性
质，用式子表示是： （其中M是不等于零的整式）.
【知识点4】分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一
个或三个，分式成为原分式的相反数.
【知识点5】分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分
式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简
分式.
【知识点6】分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，
把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
知识点与题型目录
【考点1】从分数到分式
【题型1】分式有意义条件.....................................................2
【题型2】分式无意义的条件...................................................3
【题型3】分式值为零的条件...................................................5【题型4】按要求构造分式.....................................................6
【题型5】分式的规律性问题...................................................7
【题型6】求分式值为正(负)数时未知数的取值范围...............................9
【题型7】求使分式值为整数时未知数的整数值..................................10
【考点2】分式的基本性质
【题型8】判断分式变形是否正确..............................................11
【题型9】求使分式变形成立的条件............................................13
【题型10】利用分式的基本性质判断分式值的变化...............................14
【题型11】将分式的分子分母各项系数化为整数.................................15
【题型12】最简分式.....................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,...16
【题型13】约分.....................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,...17
【题型14】最简公分母...............,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.........18
【题型15】通分........................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,19
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】分式有意义条件
【例1】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习） 的倒数为（ ）
A． B． C． D．以上均不正确
【答案】D
【分析】本题考查倒数和分式，掌握乘积为 的两个数互为倒数， 没有倒数是解题的关键
解：当x=1时， 没有倒数，
当 时， 的倒数为 ，
故选：D．
【变式1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
【答案】C
【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键；
解：根据题意得： ， ，
解得： 且 ，
故选：C
【变式2】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）要使分式 有意义，且 有解，则x
的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 和3 C． 且 和3 D． 且 和3
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件：分母不等于0，二
次根式有意义的条件：根号下大于等于0，理解分式有意义的条件和二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可；
解：∵分式 有意义，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
∵ 有解，
∴ ，
综上， 且 且 ，
故选：D．
【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）当 时，式子 有意义．
【答案】不等于 和
【分析】本题考查因式分解的应用，分式有意义的条件，根据分式有意义得到分母不为零，据此求解即
可．
解：∵式子 有意义，
∴ ，
∴ ，∴ 且 ，
故答案为：不等于 和 ．
【题型2】分式无意义的条件
【例2】（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知 时，分式 无意义， 时，分式
的值为 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为 的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得
，根据分式的值为 可得 ，求出 的值，再把 的值代入代数式计算即可求解，
掌握分式无意义的条件、分式的值为 的条件是解题的关键．
解：∵ 时，分式 无意义，
∴ ，
∴ ，
∵ 时，分式 的值为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1】．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知分式 ，当 时，分式的值为0；当 时，
分式没有意义，则ab的值为 ．
【答案】8
【分析】由 时，分式的值为0，可得 ，解得 ，由 时，分式没有意义，可得
，解得 ，然后代入求值即可．
解：∵ 时，分式的值为0，
∴ ，解得 ．
∵ 时，分式没有意义，
∴ ，解得 ．∴ ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解一元一次方程，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练
掌握与灵活运用．
【变式2】（21-22九年级下·上海·自主招生） 没有意义的实数解共有（ ）个
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了分式没有意义的条件．根据“分式没有意义，分母等于0”列式计算即可得解．
解：由题意得 ，
解 ，得 ；
解 ，得 ；
解 ，得 ；
综上，共有4个解，
故选：C．
【题型3】分式值为零的条件
【例3】（2024七年级上·上海·专题练习）当 时，分式 的值为零．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
根据分式的值为零的条件可以求出 的值．
解：由题意可得 且 ，
解得 ．
故当 时，分式 的值为零．
故答案为： ．
【变式】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）分式 的值为0，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知
分式的值为 时要满足的条件是解题的关键．
【详解】∵分式 的值为 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【题型4】按要求构造分式
【例4】（20-21七年级上·上海静安·课后作业）写出一个分式，使它分别满足下列条件：
（1）当 时，它没有意义． （2）当 时，它有意义．
【答案】（1） ；（2）
【分析】根据分式有、无意义的条件，任意写出一个符合条件的分式即可．
解：（1）当 时，分母为0，分式无意义，故分式可以为 ；
（2）当 时，分母不为0，分式有意义，故分式可以为 ．
【点睛】本题考查了分式有、无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义，当分式分母不等于0时，
分式有意义．
【变式1】（12-13八年级下·江苏南京·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为0；
（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2；
（3）当x=0时，分式的值为-1．
你所写的分式为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据分式的性质进行求解即可．
解：分式值不等于0，则分式的分子不等于0．
取值范围要 ，则分式分母满足x=±2时，分母=0．
且当x=0时，分式值要等于-1．
可得 ，
故答案为：
【点睛】本题难度中等，主要考查学生对分式性质的掌握．根据要求写出例子即可．
【变式2】（22-23八年级下·山西长治·阶段练习）打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2
小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二
天她打字用的时间是（ ）分钟
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据小丽第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，列出代数式即可．
解：由题意，得：第二天她打字用的时间是： （分钟）；
故选B
【点睛】本题考查列代数式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出代数式，是解题的关键．
【题型5】分式的规律性问题
【例5】（23-24八年级下·四川成都·期中）对于分式 ，我们把分式 叫做P的伴随分式．若
分式 ，分式 是 的伴随分式，分式 是 的伴随分式，分式 是 的伴随分式，…以此类推，则分式 等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后
发现每4个为一循环，再让 ，根据结果即可确定．
解： ，
，
，
，
，
， ， ，
个一循环，
，
，
故答案为： ．
【变式1】（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知
即当 为大于1的奇数时， ；当 为大于1的偶数时， ．则 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的规律性问题，根据定义求出 至 ，可知从 开始， 的值每6个一循环，结
合 ，可知 ，找出规律是解题的关键．解：由题意知： ，
，
，
，
，
，
，
……
以此类推，可知从 开始， 的值每6个一循环，
，
，
故答案为： ．
【变式2】（23-24八年级下·云南文山·期末）给定一列分式： ， ， ， ， ， ，…
（其中 ），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．
分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案．
解：第一个分式为： ，第二个分式为： ，
第三个分式为： ，
第四个分式为： ，
第五个分式为： ，
，
按此规律，那么这列分式中的第n个分式为 ，
故选：C．
【题型6】求分式值为正(负)数时未知数的取值范围
【例6】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）若分式 表示的数是负数，则x的取值范围在数轴上表示
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的值，不等式的解集在数轴上表示，根据分式 表示的数是负数，得 ，
转化为不等式问题求解即可．
【详解】根据题意，得 ，
解得 ，
x的取值范围在数轴上表示如下：故选：C．
【变式1】（22-23八年级上·山东威海·期中）若分式 的值为负数，则 的取值范围 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不
等式是解本题的关键．
解：∵ ，
要使分式 的值为负数，则 ，
解得 ，
故答案为： ．
【变式2】（20-21八年级下·江苏常州·期中）如果分式 的值为正数，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得 ， ，由此即可得．
解： 分式 的值为正数，且 ，
且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键．
【题型7】求使分式值为整数时未知数的整数值
【例7】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式 的值为整数，则整数x的值为
．
【答案】 或 或 或
【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为 ，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键．
解：
，
分式 的值为整数，且x是整数，
或
或 或 ，
解得： 或 或 或 ，
故答案： 或 或 或 ．
【变式1】（2024·江苏扬州·三模）能使分式 值为整数的整数 有 个．
【答案】
【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将 转化为 ，进一步求解
即可．
解： ，
∵分式的值为整数，
∴ 的值为整数，
∴ ，
∵ 也是整数，
∴ ，
解得： ；
∴能使分式 值为整数的整数 有 个．
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若正整数 ， 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90【答案】C
【分析】本题考查的是分式的值为整数的情况，以及数的整除性问题，把用 含 的代数式表示，并分
离其整数部分（简称分离整系数法）．再结合整除的知识，即可求出 的最大值．
解： ，
，
， 为正整数，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
故选：C．
【题型8】判断分式变形是否正确
【例8】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可判断，掌握分式的基本性质是解题的关
键．
解：A、 不一定成立，故选项不符合题意；
B、 不一定成立，故选项不符合题意；
C、 ，正确，故选项符合题意；
D、 的分子和分母不能约分， ，故选项不符合题意；
故选：C．
【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期中）在括号内填上适当的整式，使下列等式成立：
，括号里应填 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握“分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0 的整式，分式
的值不变”是解决问题的关键．解： ，
故答案为： ．
【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的加减法，分式的基本性质，根据分式加减法的计算方法以及分式的基本性质逐
项进行判断即可
解：A. ，故选项A不符合题意；
B. ，故选项B不符合题意；
C. ，故选项C符合题意；
D. 的分子、分母没有公因式，不能约分，因此选项D不符合题意；
故选：C
【题型9】求使分式变形成立的条件
【例9】（22-23八年级下·河北邯郸·期末）若 ，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． 且 D． 或
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解．
解：当 时， 分子与分母同时除以 ，分式的值不变，即 ，
，
又分式的分母不能为0，
，x应满足的条件是 且 ，
故选C．
【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0．
【变式】（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）若 成立，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分
式的值不变，即可得出 ，求解即可得出答案．
解：由题意得：当 时，即 时，
，
故答案为： ．
【题型10】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【例10】（22-23八年级下·江苏南京·期末）若分式 中的 和 都扩大为原来的3倍后，分式的值
不变，则A可能是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据分式的性质即可求解．
解： 和 都扩大为原来的3倍得到：
因为分式的值不变
所以 是同时含有 和 的一次二项式
故选：A
【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键．【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知 （x，y，z均不为零），则
．
【答案】 /
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据 （x，y，z
均不为零），可设 ，则 ， ，将其代入所求分式计算即可．
解： （x，y，z均不为零），
设 ，则 ， ，
．
故答案为： ．
【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若把分式 中的 和 都扩大到原来的 倍，且
，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的 倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原
来的
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．把分式中的 换成 ，
换成 ，然后根据分式的基本性质进行化简即可．
解：∵分式 中的 和 都扩大到原来的 倍，
∴ ，
即分式的值缩小到原来的 ，故选：C．
【题型11】将分式的分子分母各项系数化为整数
【例11】（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式 的值，把它的分子分母的各项系数都化
为整数，
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整
式，分式的值不变，据此把分式 的分子分母同时乘以10即可得到答案．
解：把分式 的分子分母同时乘以10得 ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
【变式1】（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）不改变分式的值，把分式 的分子与分母中各项
的系数都化为整数，结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简，根据分式的性质，分子分母同时乘以一个不为 的整式，分式的值不变，
只需将分式的分子和分母同时乘 即可求解，掌握分式的性质是解题的关键．
解： ，
故答案为： ．
【变式2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式 的值，把它的分子与分母中的各项
系数都化成整数，结果为 ．【答案】
【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解．
解：
故答案为： ．
【题型12】最简分式
【例12】（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个．
① ；② ；③ ；④ ；
【答案】
【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可，
掌握最简分式的概念是解题的关键．
解：① ，③ 的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意；
② 的分子、分母中含有公因式 ，不是最简分式，故不符合题意；
④ 的分子、分母中含有公因式 ，不是最简分式，故不符合题意；
的分子、分母中含有公因式 ，不是最简分式，故不符合题意；
综上，最简分式有 个，
故答案为： ．
【变式1】（21-22八年级上·全国·课后作业）把分式 化为最简分式为 ．
【答案】
【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式
或公因数时叫最简分式．【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了最简分式，掌握分式的约分，因式分解是解题的关键．
【变式2】（21-22八年级上·广东江门·阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行分式的乘法，进行化简．
解： ，
，
．
【点睛】本题主要考查分式的乘法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
【题型13】约分
【例13】（2024七年级上·全国·专题练习）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了约分，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
先把分式的分母分解因式，再根据分式的基本性质进行约分即可．
解：
．故答案为： ．
【变式1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）约分： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的约分、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和利用十字相乘法分解因式是解
题关键．先分解因式，再进行约分即可得．
解：原式
，
故答案为： ．
【变式2】（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）已知m、n为有理数，那么 可看成数轴上表示数
m和数n的两点之间的距离，若有理数x在数轴上的位置如图所示，则 型的值为 ．
【答案】
【分析】由数轴上表示x的点的位置，得到 ，可得出 小于0，利用绝对值的代数意义：负
数的绝对值等于它的相反数化简，即可得到结果．
解：由数轴上表示x的点的位置，得： ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值及分式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解本题的关键．【题型14】最简公分母
【例14】（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程： 的过程中，去分母时，需方程两边
都乘以最简公分母 ．
【答案】
【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母 和 因式分解，即可求得分式的最简公分母，
熟练解分式方程是解题的关键．
解： ， ，
分式 和 的最简公分母为 ，
去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ．
故答案为： ．
【变式1】（20-21七年级上·上海徐汇·阶段练习）分式 ， ， 的最简公分母
是
【答案】ab(a+b)(a-2b)
【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连
同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母
即可求出答案．
解：分式 ， ， 的分母依次为： ， ，
故最简公分母是ab(a+b)(a-2b)
故答案为：ab(a+b)(a-2b)
【点睛】此题考查了最简公分母，解题的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分
母的方法一定要掌握．
【变式2】（19-20八年级下·湖北黄石·阶段练习）分式 与 的最简公分母是 ．
【答案】x(x+2)(x-2)
【分析】先对分式的分母进行因式分解，根据确定最简公分母的方法即可求出最简公分母．【详解】∵x2+2x=x(x+2)，x2-4=(x+2)(x-2)，
∴分式 与 的最简公分母是x(x+2)(x-2)，
故答案为：x(x+2)(x-2)
【点睛】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单
独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积
就是最简公分母．
【题型15】通分
【例15】（24-25八年级上·重庆·期中）若 ，则分式 的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式整理得到关系式，代入原式计算即可求出值．
解：等式 整理得： ，即 ，
则 ．
故答案为： ．
【变式1】（19-20七年级上·上海金山·期中）已知对于 成立，则A=
,B= ．
【答案】 5 2
【分析】先通分，使等式两边分母一样，然后使分子相等，整理后即可求出结果.
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 .【点睛】本题考查分式方程的知识、多项式相等和解二元一次方程组，熟练掌握通分、对应相等及二元
一次方程组解法是解题的关键.
【变式2】（18-19九年级·湖北黄冈·自主招生）已知实数 ， 满足 ，则
．
【答案】0或
【分析】将已知等式变形可得 ，然后根据“两个因式相乘等于0，则必有一个因式为
0”即可得出a=-b或a=b，最后代入即可．
解：∵
∴
∴
整理，得
∴a=-b或a=b
当a=-b时， ；
当a=b时，
综上：原式=0或
故答案为：0或 ．
【点睛】此题考查的是分式的基本性质和因式分解，掌握分式的基本性质、利用平方差公式因式分解和
两个因式相乘等于0，则必有一个因式为0是解决此题的关键．
