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期末重点强化五 分式复习学案（解析版）
考点一 分式的概念
2 1 2 2 1 x+1 x2−1
1．（2023 秋•正定县期中）代数式 x， ， ，x2− ， ， ， 中，属于分式的有
5 π x2+4 3 x x+2 x−1
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
A
【思路引领】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式 叫做
B
分式判断即可．
2 1 x+1 x2−1
【解答】解：分式有： ， ， ， ，
x2+4 x x+2 x−1
2 1 2
整式有： x， ，x2− ，
5 π 3
分式有4个，
故选：C．
【总结提升】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那
A
么式子 叫做分式是解题的关键，注意 是数字．
B
π
2x
2．分式 有意义的条件是 x ≠ 2 ．
x−2
【思路引领】分式有意义的条件是分母不等于零．
2x
【解答】解：∵分式 有意义，
x−2
∴x﹣2≠0．
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【总结提升】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
x2−1
3．分式 有意义的条件是 x ≠﹣ 1 ，分式的值为零的条件是 x ＝ 1 ．
x+1
【思路引领】根据分式有意义的条件及分式的值为零的条件作答．
x2−1
【解答】解：当分母x+1≠0，即x≠﹣1时，分式 有意义．
x+1x2−1
故分式 有意义的条件是x≠﹣1；
x+1
x2−1
当分子x2﹣1＝0，且分母x+1≠0，即x＝1时，分式 的值为零．
x+1
x2−1
故分式 的值为零的条件是x＝1．
x+1
故答案为x≠﹣1、x＝1．
【总结提升】本题考查了分式有意义的条件及分式的值为零的条件．分母不等于 0，分式有意义；分子
为0，同时分母不为0，分式的值为零．
2x x2−9
4．当x≠ 2 时，分式 有意义；当x＝ ﹣ 3 时，分式 值为0．
x−2 x−3
【思路引领】（1）根据分式有意义的条件是分母不等于0，即可求得x的值；
（2）根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：（1）根据题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2；
（2）根据题意得：x2﹣9＝0，且x﹣3≠0，则x＝﹣3．
故答案为：2；﹣3．
【总结提升】本题考查了分式有意义的条件以及分式的值为零的条件，分式的值是 0，需同时具备两个
条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
1
5．（2022•包头）若代数式❑√x+1+ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≥﹣ 1 且 x ≠ 0 ．
x
【思路引领】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．
{x+1≥0)
【解答】解：根据题意，得 ，
x≠0
解得x≥﹣1且x≠0，
故答案为：x≥﹣1且x≠0．
【总结提升】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点的应用，
列出不等式组是解题关键．
|x|−1
6．若分式 的值为零，则x的值为（ ）
x−1
A．±1 B．﹣1 C．1 D．不存在
【思路引领】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得，|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得 x＝﹣1．故选：B．
【总结提升】本题考查了分式为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；
（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
考点二 分式的性质
7．（2023•永修县三模）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
a+2 a a−2 a
A． = B． =
b+2 b b−2 b
a2 a a2+ab a
C． = D． =
b2 b ab+b2 b
【思路引领】根据分式的基本性质逐个判断即可．
【解答】解：∵a≠b，
a+2 a
∴ ≠ ，故选项A不正确，不符合题意；
b+2 b
a−2 a
≠ ，故选项B不正确，不符合题意；
b−2 b
a2 a
≠ ，故选项C不正确，不符合题意；
b2 b
a2+ab a(a+b) a
= = ，故选项D正确，符合题意；
ab+b2 b(a+b) b
故选：D．
【总结提升】本题考查了分式的混合运算和分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
a
8．（2022•桥西区校级模拟）实数b＞a＞1．则下列各式中比 的值大的是（ ）
b
2a a2 a−1 a+1
A． B． C． D．
2b b2 b−1 b+1
【思路引领】通过特殊值法比较大小即可得出答案．
2a a
【解答】解：A． = ，故该选项不符合题意；
2b b
a2 a
B．当a＝2，b＝3时， ＜ ，故该选项不符合题意；
b2 ba−1 a
C．当a＝2，b＝3时， ＜ 故该选项不符合题意；
b−1 b
a+1 a
D．当a＝2，b＝3时， ＞ ，故该选项符合题意；
b+1 b
故选D．
【总结提升】本题考查了实数大小比较，通过特殊值法比较大小是解题的关键．
x
9．（2021秋•柳州期末）如果把分式 中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
x−2y
A．扩大3倍 B．扩大2倍 C．缩小3倍 D．不变
【思路引领】根据分式的基本性质解决此题．
x 3x 3x x
【解答】解：分式 中的x，y都扩大3倍，那么得到的分式为 = = ，
x−2y 3x−2×3 y 3(x−2y) x−2y
故分式的值不变．
故选：D．
【总结提升】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
10．（2023秋•宝安区校级月考）已知两非零实数x，y，且3x＝2y，则下列结论一定正确的是（ ）
x y x+ y 5 x+2 2
A．x＝2，y＝3 B． = C． = D． =
3 2 y 3 y+3 3
x 2
【思路引领】根据已知条件得出 = ，再根据比例的性质即可得出答案．
y 3
【解答】解：∵3x＝2y，
x 2
∴ = ，
y 3
x y x+ y 2 5
∴ + = = + 1 = ．
y y y 3 3
故选：C．
【总结提升】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
考点三 分式的计算
1 1 2x+3xy−2y 11
11．（2023秋•兴仁市期末）已知 − =4，则分式 的值为 ．
y x x−2xy−y 2
1 1
【思路引领】解法一、把 − 看作一个整体，对所求进行变形，代入即可；
y x
1 1
解法二、对 − =4进行通分变形得到x﹣y＝4xy，在所求中用4xy代替x﹣y即可．
y x【解答】解：解法一、由题意可知xy≠0，
2x+3xy−2y
对分式 进行变形，分子分母同时除以xy，
x−2xy−y
2 2 1 1
+3− 2( − )+3
y x y x 2×4+3 11
得， = = = ．
1 1 1 1 4−2 2
−2− ( − )−2
y x y x
11
故答案为： ．
2
解法二、由题意可知xy≠0，
1 1
∵ − =4，
y x
∴x﹣y＝4xy，
2x+3xy−2y 2(x−y)+3xy 2×4xy+3xy 11xy 11
∴ = = = = ．
x−2xy−y (x−y)−2xy 4xy−2xy 2xy 2
11
故答案为： ．
2
【总结提升】本题主要考查分式的加减法，分式的基本性质，整体思想等内容，找到“整体”，对已知
或所求进行合理变形，是解题关键．
1 1
12．（2021•耿马县二模）若x＜0，x− =❑√5，则x+ 的值为（ ）
x x
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
1 1 1
【思路引领】根据x− =❑√5，可求得x2+ 的值，进而求得（x+ ）2的值，从而可以求得所求式子的
x x2 x
值．
1
【解答】解：∵x− =❑√5，
x
1
∴（x− ）2＝5，
x
1
∴x2﹣2 + = 5，
x2
1
∴x2+ = 7，
x2
1
∴x2+2 + = 9，
x21
即（x+ ）2＝9，
x
1
∴x+ =±3，
x
∵x＜0，
1
∴x+ ＜0，
x
1
∴x+ =−3，
x
故选：A．
【总结提升】本题考查分式的混合运算、完全平方公式，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方
法．
5 3+2 2 2 x−1
13．我们知道，假分数可以化为带分数，例如 = =1+ =1 ，在分式 中分子的次数大于或等于
3 3 3 3 x+1
2x
分母的次数，我们称之为假分式；在分式 中分子的次数小于分母的次数，我们称之为“真分式”；
x2−1
x−1 (x+1)−2 2
类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的形式），例如： = =1−
x+1 x+1 x+1
．
x−1
（1）将分式 化为带分式；
x−2
2x+3
（2）如果 的值为整数，求整数x的值．
x−1
【思路引领】（1）根据阅读材料中假分式化为带分式的方法计算即可；
（2）利用假分式化为带分式的方法将原式变形，根据其值为整数，求出整数x的值即可．
x−2+1 1
【解答】解：（1）原式= =1+ ；
x−2 x−2
2x−2+5 5
（2）原式= =2+ ，
x−1 x−1
由其值为整数，得到x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，x﹣1＝5，x﹣1＝﹣5，
解得：x＝2，0，6，﹣4．
【总结提升】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2023•李沧区一模）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（ ）
A．6.5×107 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣8 D．6.5×10﹣7
【思路引领】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学
记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000065＝6.5×10﹣7．
故选：D．
【总结提升】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数
左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2x 8
15．（2023秋•祁阳县期中）分式 与 的最简公分母是 x （ x ﹣ 2 ） ．
x−2 x2−2x
【思路引领】根据分式的最小公分母概念进行解答即可．
2x 8
【解答】解： 与 公分母为x（x﹣2），
x−2 x2−2x
故答案为：x（x﹣2）．
【总结提升】本题考查了分式的最小公分母概念，熟练掌握找到最小公分母时解得本题的关键．
x x2−1
16．（2022•桥西区模拟）关于代数式M＝（1− ）÷ 下列说法正确的是（ ）
x+1 x2+2x+1
A．当x＝1时，M的值为0
1
B．当x＝﹣1时．M的值为−
2
C．当M＝1时，x的值为0
D．当M＝﹣1时，x的值为0
【思路引领】先将代数式M化简，再依次进行判断．
x x2−1 x+1 x (x+1)(x−1) 1 x−1 1
【解答】解：M＝（1− ）÷ =（ − ）÷ = ÷ =
x+1 x2+2x+1 x+1 x+1 (x+1) 2 x+1 x+1 x−1
，
当x＝1时，
M无解，
故选项A错误，不符合题意；
当x＝﹣1时，
x2﹣1＝0，x+1＝0，x2+2x+1＝0，M无解，
故选项B错误，不符合题意；
当M＝1时，
x＝2，
故选项C错误，不符合题意；
当M＝﹣1时，
x＝0，
故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【总结提升】本题考查分式的化简求值，解题的关键是将原分式化简，要注意分母不能为0．
2x x2−4
17．（2022•玉林）若 x 是非负整数，则表示 − 的值的对应点落在如图数轴上的范围是
x+2 (x+2) 2
（ ）
A．① B．② C．③ D．①或②
【思路引领】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．
2x (x+2)(x−2)
【解答】解：原式 = −
x+2 (x+2) 2
2x x−2
= −
x+2 x+2
2x−(x−2)
=
x+2
2x−x+2
=
x+2
x+2
=
x+2
＝1，
2x x2−4
则表示 − 的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．
x+2 (x+2) 2故选：B．
【总结提升】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3a−4 1
18．（2022•清苑区一模）已知分式：（a+ ）（■− ）的某一项被污染，但化简的结果等于
a−3 a−2
a+2，被污染的项应为（ ）
a−2 a−3
A．0 B．1 C． D．
a−3 a−2
【思路引领】设被污染的项应为A，利用分式的加减的运算法则进行化简运算，根据化简的结果等于
a+2，得到关于A的等式，利用对应项的系数相等即可得出结论．
【解答】解：设被污染的项应为A，
a(a−3)+3a−4 A(a−2)−1
原式= ×
a−3 a−2
a2−4 Aa−2A−1
= ×
a−3 a−2
(a+2)(a−2) Aa−2A−1
= ×
a−3 a−2
(a+2)(Aa−2A−1)
= ，
a−3
∵化简的结果等于a+2，
∴Aa﹣2A﹣1＝a﹣3，
∴A＝1．
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了分式的加减法与分式的约分，设被污染的项应为A，利用对应项的系数相
等求得结论是解题的关键．
2x x+1
19．（2022•宽城县一模）要比较A= 与B= 中的大小（x是正数），知道A﹣B的正负就可以判断，
x+1 2
则下列说法正确的是（ ）
A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B
【思路引领】先计算A﹣B并判断结果的正负即可．
4x−x2−2x−1 −(x−1) 2
【解答】解：A﹣B= = ，
2(x+1) 2(x+1)
∵x＞0，﹣（x﹣1）2≤0，∴A﹣B≤0，
∴A≤B．
故选：C．
【总结提升】本题考查了分式的加减，解题的关键是求出A﹣B并判断正负．
M N 5x+8
20．（2023秋•东昌府区期中）若 − = ，则M，N的值分别为（ ）
2x−1 3x+2 6x2+x−2
1 1 1 1
A．M＝2，N＝3 B．M= ，N= C．M＝3，N＝2 D．M= ，N=
2 3 3 2
【思路引领】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法计算，根据分母相同，分式值相同，得到分子
相同，利用多项式相等的条件求出M与N的值即可．
M N (3x+2)M−(2x−1)N (3M−2N)x+(2M+N)
【 解 答 】 解 ： ∵ − = = ， 且
2x−1 3x+2 (2x−1)(3x+2) 6x2+x−2
M N 5x+8
− = ，
2x−1 3x+2 6x2+x−2
(3M−2N)x+(2M+N) 5x+8
∴ = ，即（3M﹣2N）x+（2M+N）＝5x+8，
6x2+x−2 6x2+x−2
∴3M﹣2N＝5，2M+N＝8，
解得：M＝3，N＝2．
故选：C．
【总结提升】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公
分母．
x3−x y2
21．（2022春•峄城区期末）已知x=❑√5−1，y=❑√5+1，则分式 的值是（ ）
x(x−y)
A．2 B．❑√5 C．4 D．2❑√5
【思路引领】先分解因式，再约分，把x=❑√5−1，y=❑√5+1代入原式，计算即可．
x3−x y2
【解答】解：
x(x−y)
x(x+ y)(x−y)
=
x(x−y)
＝x+y，
当x=❑√5−1，y=❑√5+1时，
原式=❑√5−1+❑√5+1
＝2❑√5．故选：D．
【总结提升】本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简的步骤，先分解因式，再约分，
是解题关键．
1 1 1 1
22．（2022•南充）已知a＞b＞0，且a2+b2＝3ab，则（ + ）2÷（ − ）的值是（ ）
a b a2 b2
❑√5 ❑√5
A．❑√5 B．−❑√5 C． D．−
5 5
【思路引领】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由 a2+b2＝3ab，得出（a+b）2＝
5ab，（a﹣b）2＝ab，由a＞b＞0，得出a+b=❑√5ab，a﹣b=❑√ab，代入计算，即可得出答案．
1 1 1 1
【解答】解：（ + ）2÷（ − ）
a b a2 b2
(a+b) 2 b2−a2
= ÷
a2b2 a2b2
(a+b) 2 a2b2
= •
a2b2 (b+a)(b−a)
a+b
=− ，
a−b
∵a2+b2＝3ab，
∴（a+b）2＝5ab，（a﹣b）2＝ab，
∵a＞b＞0，
∴a+b=❑√5ab，a﹣b=❑√ab，
a+b ❑√5ab √5ab
∴− =− =−❑ =−❑√5，
a−b ❑√ab ab
故选：B．
【总结提升】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则，分式的乘除法法则，把分式正确化
简是解决问题的关键．
23．（2023秋•任城区期中）计算下列各题：
5x y
（1） ⋅ ；
y 15x2
2a2b
（2） ÷(−2bx)．
x【思路引领】根据分式的乘除法法则进行解题即可．
5x y 1
【解答】解：（1） • = ；
y 15x2 3x
2a2b 1 a2
（2）原式= ×（− ）=− ．
x 2bx x2
【总结提升】本题考查分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．
24．（2023秋•北碚区期中）计算：
a a
（1）6a2b÷(−
)
2
⋅ ；
2b 4b2
x2−4 x−2
（2） ÷ ．
x2+2x+1 x+1
【思路引领】利用分式的乘除法则计算各题即可．
4b2 a
【解答】解：（1）原式＝6a2b• • = 6ab；
a2 4b2
(x+2)(x−2) x+1 x+2
（2）原式= • = ．
(x+1) 2 x−2 x+1
【总结提升】本题考查分式的乘除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
25．（2023秋•任城区月考）计算：
(x−y) 3 x2−2xy+ y2
（1） ÷ ；
x+ y 2x+2y
x2−1 x+1 1−x
（2） ÷ ⋅ ．
x2−2x+1 x−1 x+1
【思路引领】（1）（2）先把分式的分子分母因式分解，再把除法统一成乘法，利用分式的乘法法则得
结论．
(x−y) 3 x2−2xy+ y2
【解答】解：（1） ÷
x+ y 2x+2y
(x−y) 3 (x−y) 2
= ÷
x+ y 2(x+ y)(x−y) 3 2(x+ y)
= •
x+ y (x−y) 2
＝2（x﹣y）
＝2x﹣2y；
x2−1 x+1 1−x
（2） ÷ ⋅
x2−2x+1 x−1 x+1
(x+1)(x−1) x−1 −(x−1)
=
• •
(x−1) 2 x+1 x+1
x−1
=− ．
x+1
【总结提升】本题考查了分式的运算，掌握分式的乘除法法则是解决本题的关键．
a b
26．（2023秋•双辽市期末）计算： + −5．
a−b b−a
【思路引领】先利用分式的性质把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算，然后约分后进行有理数
的减法运算．
a b
【解答】解：原式= − −5
a−b a−b
a−b
= −5
a−b
＝1﹣5
＝﹣4．
【总结提升】本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
1 1 1
27．（2023•徐汇区自主招生）计算 + + ．
x2+x x2+3x+2 x2+5x+6
【思路引领】先对分母因式分解，通过十字相乘法和提取公因式即可将原式变形为
1 1 1
+ +
， 通 过 拆 项 可 将 原 式 变 为
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3)
1 1 1 1 1 1
− + − + − ，化简，再根据异分母分式减法法则进行计算，即可求解．
x x+1 x+1 x+2 x+2 x+3
1 1 1
+ +
【解答】解：
x2+x x2+3x+2 x2+5x+61 1 1
= + +
x(x+1) x2+3x+2 x2+5x+6
1 1 1
= + +
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3)
1 1 1 1 1 1
= − + − + −
x x+1 x+1 x+2 x+2 x+3
1 1
= −
x x+3
3
=
x(x+3)
【总结提升】本题考查分式的加减，正确进行变形是本题解题关键．
28．（2022秋•唐山期末）计算：
x2
（1） −x−2；
x−2
12x x2+6x+9
（2）( +x−3)÷ ．
x−3 3x2−9x
【思路引领】（1）先利用分式的性质把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算即可求解；
（2）先算括号里面加减法，再把除法统一成乘法，即可求解．
x2 (x+2)(x−2)
【解答】解：（1）原式= −
x−2 x−2
x2 x2−4
= −
x−2 x−2
x2−x2+4
=
x−2
4
= ；
x−2
12x (x−3) 2 3x(x−3)
（2）原式=[ + ]⋅
x−3 x−3 (x+3) 2
12x+x2−6x+9 3x(x−3)
= ⋅
x−3 (x+3) 2
(x+3) 2 3x(x−3)
= ⋅
x−3 (x+3) 2＝3x．
【总结提升】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
考点四 分式的化简求值
2 a2+6a+9
29．（2022•黄石）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a的值代入
a+1 a+1
求值．
【思路引领】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
a+3 (a+3) 2
【解答】解：原式= ÷
a+1 a+1
a+3 a+1
= •
a+1 (a+3) 2
1
= ，
a+3
由分式有意义的条件可知：a不能取﹣1，﹣3，
故a＝2，
1
原式=
2+3
1
= ．
5
【总结提升】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本
题属于基础题型．
9−a2 3−a 1
30．化简求值： ÷ ⋅ ，其中a=❑√3−2．
a2+4a+4 a+2 a+3
【思路引领】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．
(3+a)(3−a) a+2 1 1
【解答】解：原式 = • • = ，
(a+2) 2 3−a a+3 a+2
1 ❑√3
当a=❑√3−2时，原式= = ．
❑√3−2+2 3
【总结提升】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
31．（2022•固安县模拟）数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数x2+4
式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是 ，翻开纸
x2−4
x
片③是 ．
2−x
（1）求纸片①上的代数式．
3
（2）李老师说，他心里想着一个数，能使①与 相等，请求出李老师心中的数x．
x
【思路引领】（1）根据图形可得①＝②+③，将②和③对应的式子代入计算即可求出①；
3
（2）根据①与 相等列出分式方程，求出方程的解即可得到x的值．
x
【解答】解：（1）根据题意得：
①＝②+③
x2+4 x
= +
x2−4 2−x
x2+4 x(x+2)
= −
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)
x2+4−x2−2x
=
(x+2)(x−2)
−2(x−2)
=
(x+2)(x−2)
2
=− ；
x+2
2 3
（2）根据题意得：− = ，
x+2 x
去分母得：﹣2x＝3x+6，
6
解得：x=− ，
5
6
检验：把x=− 代入得：x（x+2）≠0，
5
6
∴分式方程的解为x=− ，
56
则李老师心中的数为− ．
5
【总结提升】此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，弄清题意是解本题的关键．
1 1 1 1 1 1 1 1 1
32．（2022秋•阳谷县期中）观察下面的等式： = + ， = + ， = + ，…按上面的规律归
2 3 6 3 4 12 4 5 20
1 1 1
= +
纳出一个一般的结论 （用含n的等式表示，n为正整数）．
n n+1 n(n+1)
【思路引领】观察已知等式，可得规律，用含n的等式表示即可．
【解答】解：观察等式可得：2×3＝6，3×4＝12，4×5＝20，
1 1 1
= +
∴可得结论 ，
n n+1 n(n+1)
1 1 1
= +
故答案为： ．
n n+1 n(n+1)
【总结提升】本题考查探索规律及分式得计算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．
考点五 分式方程的概念及解分式方程
33．（2021秋•金山区期末）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
1 x 3x 2 1 4 2
A． +x=1 B． + = C． = D． =1
x 3 4 5 x−1 x x
【思路引领】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项符合题意；
C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意．
故选：B．
【总结提升】本题考查的是分式方程的定义，即分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
a−2 1
34．（2015•遵义）若x＝3是分式方程 − =0的根，则a的值是（ ）
x x−2
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
a−2 1
【思路引领】首先根据题意，把x＝3代入分式方程 − =0，然后根据一元一次方程的解法，
x x−2
求出a的值是多少即可．
a−2 1
【解答】解：∵x＝3是分式方程 − =0的根，
x x−2a−2 1
∴ − =0，
3 3−2
a−2
∴ =1，
3
∴a﹣2＝3，
∴a＝5，
即a的值是5．
故选：A．
【总结提升】（1）此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程
的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是
令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
（2）此题还考查了一元一次方程的求解方法，要熟练掌握．
x+m 4 1
35．已知关于x的方程 =− 的解为x=− ，则m的值为（ ）
m(x−1) 5 5
1 1
A．﹣5 B．5 C． D．−
5 5
1
【思路引领】根据方程的解的定义，把x=− 代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含
5
有m的新方程，解此新方程可以求得m的值．
1
【解答】解：把x=− 代入原方程，得：
5
1
− +m
5 4
=− ，
1 5
m(− −1)
5
解得m＝5．
故选：B．
【总结提升】考查了分式方程的解，首先根据题意写出关于m的新方程，然后解出m的值．
x 2
36．（2013•荆州）解分式方程 − =1时，去分母后可得到（ ）
3+x 2+x
A．x（2+x）﹣2（3+x）＝1
B．x（2+x）﹣2＝2+x
C．x（2+x）﹣2（3+x）＝（2+x）（3+x）
D．x﹣2（3+x）＝3+x【思路引领】方程两边都乘以最简公分母（3+x）（2+x），整理即可得解．
【解答】解：方程两边都乘以（3+x）（2+x），则
x（2+x）﹣2（3+x）＝（2+x）（3+x）．
故选C．
【总结提升】本题考查了解分式方程，注意没有分母的也要乘以最简公分母，分子约分后要加上括号．
37．解方程：
2x 1
（1） =1+ ；
x−2 x−2
1 2 2
（2） + = ．
x2+x x2−x x2−1
【思路引领】（1）方程两边都乘x﹣2得出2x＝x﹣2+1，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）分解因式后方程两边都乘x（x+1）（x﹣1）得出x﹣1+2（x+1）＝2x，求出方程的解，再进行检
验即可．
2x 1
【解答】解：（1） =1+ ，
x−2 x−2
方程两边都乘x﹣2，得2x＝x﹣2+1，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣1；
1 2 2
（2） + = ，
x2+x x2−x x2−1
1 2 2
+ = ，
x(x+1) x(x−1) (x+1)(x−1)
方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得x﹣1+2（x+1）＝2x，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x+1）（x﹣1）＝0，
所以分式方程无实数根．
【总结提升】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
x x−3
38．（2023•贵港二模）解方程： = ．
x−1 2x−2
【思路引领】两边同时乘以公分母（x﹣1），先去分母化为整式方程，计算出x，然后检验分母不为
0，即可求解．x x−3
【解答】解： = ，
x−1 2x−2
1
x= (x−3)，
2
解得x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是原方程的解，
故原方程的解为：x＝﹣3
【总结提升】本题考查解分式方程，注意分式方程要检验．
39．（2023春•滨海县月考）解方程：
2x 3
（1） =1− ；
x−2 2−x
x 8
（2） − =1．
x−2 x2−4
【思路引领】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式
方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2x＝x﹣2+3，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝1；
（2）去分母得：x（x+2）﹣8＝x2﹣4，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
【总结提升】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
考点六 求含参分式方程中的字母的取值或取值范围
x−2a 1
40．（2023秋•夏邑县期末）若关于x的分式方程 = 的解为非正数，则任意写出一个符合条件的a
x+9 3
值： ﹣ 2 （答案不唯一） ．
6a+9 6a+9
【思路引领】先根据等式的性质求出方程的解是x= ，根据方程的解释非正数得出 ≤0且
2 2
3 27
x+9≠0，求出a≤− 且a≠− ，再在a的范围内取一个数即可．
2 2x−2a 1
【解答】解： = ，
x+9 3
方程两边都乘3（x+9），得3（x﹣2a）＝x+9，
6a+9
解得：x= ，
2
x−2a 1
∵关于x的分式方程 = 的解为非正数，
x+9 3
6a+9
∴ ≤0且x+9≠0，
2
3
解得：a≤− 且x≠﹣9，
2
6a+9
即 ≠−9，
2
27
∴a≠− ，
2
3 27
即a≤− 且a≠− ，
2 2
取a＝﹣2．
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
3
【总结提升】本题考查了分式方程的解，能根据题意求出a≤− 且x≠﹣9是解此题的关键．
2
{ 5 (x−2)≤ 1 x−1 )
41．（2023秋•九龙坡区期末）若数m使关于x的不等式组 2 2 有且仅有5个整数解，
2x−m＞−18−6x
y−m 1
且使关于y的分式方程 + =−2的解为正数，则满足条件的整数m的和为 ﹣ 1 0 ．
y−2 2−y
【思路引领】先分别通过解一元一次不等式组和分式方程确定m的所有值，再求得满足条件的整数m
的和．
{ 5 (x−2)≤ 1 x−1 )
【解答】解：解不等式组 2 2
2x−m＞−18−6x
m−18
得， ＜x≤2，
8
∵该不等式组有且仅有5个整数解，
∴该5个整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，m−18
∴3≤ ＜−2，
8
解得﹣6≤m＜2；
y−m 1
解分式方程 + =−2得，
y−2 2−y
m+5
y= ，
3
∵该分式方程的解为正数，
m+5 m+5
∴ ＞0，且 ≠2，
3 3
解得m＞﹣5且m≠1，
∴﹣5＜m＜2且m≠1，
∴满足条件的整数m为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，
∴﹣4﹣3﹣2﹣1+0＝﹣10，
∴满足条件的整数m的和为﹣10，
故答案为：﹣10．
【总结提升】此题考查了解一元一次不等式组和分式方程的应用能力，关键是能对以上问题进行准确求
解和运用．
m 2
42．（2022秋•威海期末）已知关于x的分式方程 +2=− 的解为非负数，则正整数m的所有个
x−1 1−x
数为 2 个．
【思路引领】先解分式方程，再求m为正整数时解的个数．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得m+2（x﹣1）＝2，
去括号得m+2x﹣2＝2，
4−m
移项合并同类项得x= ，
2
m 2
∵分式方程 +2=− 有解，
x−1 1−x
∴x﹣1≠0，
4−m
即 −1≠0，
2
解得m≠2，
m 2
∵关于x的分式方程 +2=− 的解为非负数，
x−1 1−x4−m
∴ ≥0，
2
解得m≤4，
∵m为正整数，m≠2，
∴m可以为1，3共2个，
故答案为：2．
【总结提升】本题考查了根据分式方程的解求参数，解题时注意分式方程不能有增根．
3x m
43．（2023秋•行唐县期末）已知关于x的分式方程 = +2．
x−1 x−1
（1）若m＝4，分式方程的解为 x ＝ 2 ；
（2）若分式方程无解，则m的值为 3 ．
【思路引领】（1）把m＝4代入原方程中，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
（2）根据分式方程的增根是最简公分母为零的值，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
3x 4
【解答】解：（1）当m＝4时，原方程即为： = +2，
x−1 x−1
去分母得：3x＝4+2x﹣2，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣1≠0，
∴x＝2是原方程的根；
故答案为：x＝2；
（2）方程去分母得：3x＝m+2x﹣2
化简，得x＝m﹣2，
当x＝1时，分母为零，分式方程无解，
即m﹣2＝1，解得m＝3，
∴m＝3时，方程无解．
故答案为：3．
【总结提升】本题考查了解分式方程已经分式方程的解，，准确熟练地进行计算，利用分式方程的增根
得出关于m的方程是解题关键．
x m
44．（2023秋•久治县期末）若关于x的分式方程 =2− 无解，则m＝ 3 ．
x−3 3−x
【思路引领】先转化为整数方程并求解，再是整式方程的解使分式方程的解为0，列方程求解．
【解答】解：方程两边统乘以（x﹣3）得：x＝2（x﹣3）+m，
解得：x＝6﹣m，
由题意得：6﹣m＝3，
解得：m＝3，
故答案为：3．
【总结提升】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的解的意义是解题的关键．
x x+1 x−n
45．（2022秋•黄浦区校级期中）当n为何取值范围时，分式方程 − = 的解不大于
x+1 x−3 x2−2x−3
5．
n−1
【思路引领】先去分母，把方程化为整式方程，解整式方程可得x= ，再由x≤5且x≠3且x≠﹣
6
1，列不等式组，从而可得答案．
x x+1 x−n
【解答】解： − = ，
x+1 x−3 x2−2x−3
x x+1 x−n
∴ − = ，
x+1 x−3 (x−3)(x+1)
去分母得：x（x﹣3）﹣（x+1）2＝x﹣n，
整理得：6x＝n﹣1，
n−1
解得：x= ，
6
∵x≤5且x≠3且x≠﹣1，
n−1
{ ≤5
)
6
n−1
∴ ≠3
6
n−1
≠−1
6
解得：n≤31且n≠19且n≠﹣5．
【总结提升】本题考查的是分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握“根据分式方程的解的情
况求解参数的取值范围”是解本题的关键．
a b−x
46．（2023秋•毕节市期末）已知，关于x的分式方程 − =1．
2x+3 x−5
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；a b−x
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程 − =1无解；
2x+3 x−5
a b−x
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解为整数时，求b的值．
2x+3 x−5
【思路引领】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论 b的值，使分式方程无解即
可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和 b为正
整数确定b的取值．
a b−x 2 1−x
【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 − =1 中，得 − =1，
2x+3 x−5 2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
1
x=− ，
5
1 1
检验：把x=− 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x=− ．
5 5
1
答：分式方程的解是x=− ．
5
a b−x 1 b−x
（2）把a＝1代入分式方程 − =1 得 − =1，
2x+3 x−5 2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
11
①当11﹣2b＝0时，即b= ，方程无解；
2
3b−10
②当11﹣2b≠0时，x= ，
11−2b
3 3b−10 3
x=− 时，分式方程无解，即 =− ，b不存在；
2 11−2b 23b−10
x＝5时，分式方程无解，即 =5，b＝5．
11−2b
11 a b−x
综上所述，b= 或b＝5时，分式方程 − =1 无解．
2 2x+3 x−5
a b−x 3b x−b
（3）把a＝3b代入分式方程 − =1 中，得： + =1
2x+3 x−5 2x+3 x−5
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
18b−15
∴x= ，
10+b
18b−15 18(b+10)−195 195
∵x= = =18− ，且b为正整数，x为整数，
10+b 10+b 10+b
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【总结提升】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤
是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式
方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重
点掌握．
考点七 分式方程的实际应用
47．（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字
敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，
为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的 1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平
均每天制作多少个摆件？【思路引领】设原计划平均每天制作x个摆件，根据“结果提前5天完成任务”列分式方程，求解即可．
【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，
3000 3000
根据题意，得 − =5，
x 1.5x
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，
答：原计划平均每天制作200个摆件．
【总结提升】本题考查了分式方程的应用，理解题意并能根据题意建立方程是解题的关键．
48．（2023秋•西和县期末）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改
善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动
汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元，且充电100元和加油400元时，两车
行驶的总里程相同．请求出电动汽车平均每公里的电费及燃油车平均每公里的油费．
【思路引领】设电动汽车平均每公里的电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为（x+0.6）元，由题
意：充电100元和加油400元时，两车行驶的总里程相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设电动汽车平均每公里的电费为x元，则燃油车平均每公里的加油费为（x+0.6）元，
100 400
根据题意得： = ，
x x+0.6
解得：x＝0.2，
经检验，x＝0.2是所列方程的解，且符合题意，
∴0.2+0.6＝0.8（元）．
答：电动汽车平均每公里的充电费为0.2元，燃油车平均每公里的加油费为0.8元．
【总结提升】本题考查了分式方程的应用，理解题意并找到等量关系是解答本题的关键．49．（2021秋•澧县期末）为配合学校贯彻落实“双减”政策，搞好课后辅导服务活动．某文化用品商店
用1000元购进了一批圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原来上
涨了25%，结果第二次所购进圆规的数量比第一次少40件．
（1）求两批圆规购进的进价分别是多少；
（2）若商店将第一批圆规以每件7元，第二批圆规以每件8元的价格全部售出，则共可盈利多少元？
【思路引领】（1）设第一批购进圆规的单价为x元/件，由题意：某文化用品商店用1000元购进了一批
圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原来上涨了25%，结果第二
次所购进圆规的数量比第一次少40件．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出购进两批圆规的数量，列式计算即可．
【解答】解：（1）设第一批购进圆规的单价为x元/件，则第二批购进圆规的单价为（1+25%）x元/件，
1000 1000
依题意得： − =40，
x 1.25x
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
则1.25x＝1.25×5＝6.25，
答：第一批购进圆规的单价为5元/件，第二批进价为6.25元/件；
（2）第一批购进圆规的数量为1000÷5＝200（件），
第二批购进圆规的数量为200﹣40＝160（件），
共盈利（200×7﹣1000）+（160×8﹣1000）＝400+280＝680（元）．
答：共盈利680元．
【总结提升】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
50．（2023•盐城）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．
甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
（1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相
同，求甲商店硬面笔记本的单价．
（2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不
变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算
购买m本硬面笔记本（m为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙
商店硬面笔记本的原价．
【思路引领】（1）设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为（x﹣3）元，利
用数量＝总价÷单价，结合用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为（y﹣3）元，利用总价＝单价×
数量，结合再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，可列出关于y，m的二元一次方程，结
{ m＜30 )
合 且m，y均为正整数，即可求出结论．
m+5≥30
【解答】解：（1）设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为（x﹣3）元，
240 195
根据题意得： = ，
x x−3
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意．
答：甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为（y﹣3）元，
根据题意得：my＝（m+5）（y﹣3），
整理得：5y﹣3m＝15，
3
∴y= m+3．
5
{ m＜30 )
∵ ，且m，y均为正整数，
m+5≥30
{m=25)
∴ ．
y=18
答：乙商店硬面笔记本的原价为18元．
【总结提升】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
