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第 15 章 分式全章培优测试卷
【人教版】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1 3ac2 5 x y 9x+4 y
1．（3 分）下列代数式：① ；② ；③ ；④ + ；⑤ ．其中分式的个数是
a 4 6+x 7 8 3π
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分
式．注意 不是字母，是常数．
π 1
【解答】解：① 是分式，符合题意；
a
3ac2
② 不是分式，不符合题意；
4
5
③ 是分式，符合题意；
6+x
x y
④ + 不是分式，不符合题意；
7 8
9x+4 y
⑤ 不是分式，不符合题意；
3π
∴分式一共有2个，
故选：B．
2．（3分）根据媒体报道，我国芯片设计已经突破5nm水准，但是芯片制程上却仅仅只有14nm国产生产
线，14nm以下制程的芯片都不能依靠纯国产化进行自主研发，这就是我国芯片被卡脖子的尴尬现状．
已知1nm＝0.000000001m，将14nm用科学记数法表示正确的是（ ）
A．14×10﹣9m B．1.4×10﹣8mC．1.4×10﹣9m D．1.4×10﹣10m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1米＝1000000000纳米，
14纳米＝0.000000014米＝1.4×10﹣8米．
故选：B．
1 −2 1 0
3．（3分）若a＝﹣22，b＝2﹣2，c=( ) ，d=( ) ，则（ ）
2 2
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d
【分析】首先根据负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方的运算方法，求出 a、b、c、d的值；然后
根据有理数大小比较的方法排序即可．
1 1 −2 1 0
【解答】解：a＝﹣22＝﹣4，b＝2﹣2= ，c=( ) =4，d=( ) =1，
4 2 2
1
∵﹣4＜ ＜1＜4，
4
∴a＜b＜d＜c．
故选：B．
4．（3分）下列分式从左到右的变形中正确的是（ ）
x x 1
A． =x−1 B． =
x(x−1) x(m+n) m+n
x x+1 1 a
C． = D． =
y y+1 a−2 a(a−2)
【分析】根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
x 1
【解答】解：A、 = ，故A不符合题意；
x(x−1) x−1
x 1
B、 = ，故B符合题意；
x(m+n) m+n
x x+1
C、 ≠ ，故C不符合题意；
y y+1
1 a
D、 = （a≠0），故D不符合题意；
a−2 a(a−2)
故选：B．3x+ y
5．（3分）若把分式 中的x，y的值都扩大3倍，那么分式的值将（ ）
xy
1 1
A．缩小 B．缩小 C．扩大3倍 D．扩大9倍
9 3
【分析】根据题意，得出将该分式中x和y都扩大3倍后的分式，再化简，即可解答．
3x+ y 9x+3 y 3(3x+ y) 3x+ y
【解答】解：把分式 中的x，y的值都扩大3倍为 = = ，
xy 9xy 9xy 3xy
3x+ y 1
∴把分式 中的x，y的值都扩大3倍，分式的值缩小 ，
xy 3
故选：B．
x+1 2 x
6．（3分）分式 ， ，− 的最简公分母是（ ）
x2−x x2−1 x2+2x+1
A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2
C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2
【分析】先把分式的分母分解因式，再找出最简公分母即可．
【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝（x+1）2，
x+1 2 x
∴分式 ， ，− 的最简公分母是x（x﹣1）（x+1）2．
x2−x x2−1 x2+2x+1
故选：C．
x+b
7．（3分）已知分式 ，当x＝2时，分式的值为零；当 x＝﹣2时，分式无意义，则a+b的值是（
2x+a
）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
【分析】根据分式等于零以及分式无意义的条件，列出方程，即可求解．
x+b
【解答】解：∵分式 ，当x＝2时，分式的值为零，
2x+a
∴2+b＝0，
解得：b＝﹣2，
∵x＝﹣2时，分式没有意义，
∴2×（﹣2）+a＝0，
解得：a＝4，
∴a+b＝4﹣2＝2．
故选：A．x−1 mx
8．（3分）若关于x的方程 = 无解，则m＝（ ）
x−5 10−2x
8 8 9
A．− B．− 或﹣2 C．5 D．−
5 5 5
【分析】先把分式方程化为整式方程，再考虑整式方程无解的情况以及分式方程无解的情况即可得出答
案．
x−1 mx
【解答】解：方程可化为 =− ，
x−5 2(x−5)
方程两边同乘2（x﹣5），得2（x﹣1）＝﹣mx，
整理得（2+m）x＝2，
2
当2+m≠0时，x= ，
2+m
x−1 mx
∵关于x的方程 = 无解，
x−5 10−2x
2
∴2+m＝0或 =5，
2+m
8
∴m＝﹣2或m=− ，
5
故选：B．
9．（3分）我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资
源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，
现在每天比原来少用水（ ）吨．
4b 4b 4b 4b
A． B．− C．− D．
a(a−4) a(a−4) a(a+4) a(a+4)
【分析】少用吨数＝原来每天用的吨数﹣现在每天用的吨数．关键描述语是：现在这些水可多用4天．
【解答】解：依题意得：
b b b(a+4)−ab 4b
− = = ．
a a+4 a(a+4) a(a+4)
故选：D．
10．（3分）若整式A＝m2+1，B＝m﹣1，以下结论中正确的有（ ）
B
①不论m为何值，分式 总有意义；
A
A
②若分式 值为非负数，则m≥1；
B③若分式B+1 1，则 m2 1 ；
=− =
A 3 2m4−m2+2 15
A
④分式 值为正整数时，整数m的值为2．
B
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
【分析】①将A和B代入 ，当其分母不为0时求m的取值范围即可；
A
A
②将A和B代入 ，当它为非负数时求m的取值范围即可；
B
③将A和B代入B+1，将m2用m表示出来，两边同时平方，将m4用m2表示出来，代入 m2
A 2m4−m2+2
计算即可；
A 2
④将A和B代入 ，利用平方差公式化简为m+1+ ，根据m﹣1的取值范围确定m﹣1可能值，从
B m−1
而求出m的值即可．
B m−1
【解答】解：① = ，
A m2+1
∵m2+1≥1，
B
∴不论m为何值，分式 总有意义，
A
∴①正确；
A m2+1
②∵ = ＞0，
B m−1
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
∴②不正确；
B+1 m 1
③∵ = =− ，
A m2+1 3
1
∴m=− （m2+1），
3
1
∴m2= （m2+1）2，即9m2＝m4+2m2+1，
9
∴m4＝7m2﹣1，∴ m2 m2 1 ，
= =
2m4−m2+2 2(7m2−1)−m2+2 13
∴③不正确；
A m2+1 m2−1+2 (m+1)(m−1)+2 2
④ = = = =m+1+ ，
B m−1 m−1 m−1 m−1
A
∵分式 值为正整数，
B
∴m﹣1＞0，
∴m﹣1＝1或2，
∴m＝2或3，
∴④不正确．
综上，只有①正确．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）下列分式12b2c 5(x+ y) 2 a2+b2 4a2−b2 a−b中，最简分式的有 1 个．
、 、 、 、
4a y+x 3(a+b) 2a−b b−a
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解
因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
12b2c 3b2c
【解答】解： = ，
4a a
5(x+ y) 2
=5（x+y），
y+x
a2+b2
是最简分式，
3(a+b)
4a2−b2
=2a+b，
2a−b
a−b
=−1，
b−a
则最简分式的有1个；
故答案为：1．
12．（3分）若（2x﹣4）0﹣2（x﹣3）﹣1有意义，则x的取值范围是 x ≠ 2 且 x ≠ 3 ．
【分析】根据零指数幂和负整指数幂的底数不为0可得2x﹣4≠0且x﹣3≠0，求解即可．【解答】解：由题意得：2x﹣4≠0且x﹣3≠0，
解得：x≠2且x≠3，
∴若（2x﹣4）0﹣2（x﹣3）﹣1有意义，则x的取值范围是x≠2且x≠3，
故答案为：x≠2且x≠3．
3x−4 A B
13．（3分）若 = + ，则A+B＝ ﹣ 1 ．
(x−1)(x−2) x−1 2−x
A B (A+B)x−(2A+B)
【 分 析 】 根 据 分 式 加 减 的 运 算 得 到 + = ， 再 根 据
x−1 2−x (x−1)(x−2)
3x−4 = A + B ，得到 { A+B=3 ) ，解出的A、B值，代入即可得到答案．
(x−1)(x−2) x−1 2−x 2A+B=4
A B A(x−2)−B(x−1)
【解答】解：∵ + =
x−1 2−x (x−1)(x−2)
Ax−2A−Bx+B
=
(x−1)(x−2)
(A−B)x−(2A−B)
=
(x−1)(x−2)
3x−4 (A−B)x−(2A−B)
∴ =
(x−1)(x−2) (x−1)(x−2)
{ A−B=3 )
∴ ，
2A−B=4
{ A=1 )
解得： ，
B=−2
∴A+B＝﹣1，
故答案为：﹣1．
x+1 a
14．（3分）若关于x的分式方程 =2− 有增根，则a的值为 4 ．
x−3 3−x
【分析】方程两边同时乘（x﹣3），把分式方程转化为整式方程，解出这个方程的解，根据分式方程有
增根，所以7﹣a＝3，从而求出a的值．
【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3）得：x+1＝2（x﹣3）+a，
解得：x＝7﹣a，
∵方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴7﹣a＝3，∴a＝4，
故答案为：4．
3 1 −6m−5mn+2n 9
15．（3分）若 − =2，则分式 的值为 − ．
n m 3m−n 2
−2(3m−n)−5mn
【分析】由已知条件得出3m﹣n＝2mn，再将要求的分式变形为 ，然后整体代入求
3m−n
值即可．
3 1
【解答】解：∵ − =2，
n m
∴3m﹣n＝2mn，
−6m−5mn+2n
∴
3m−n
(−6m+2n)−5mn
=
3m−n
−2(3m−n)−5mn
=
3m−n
−2×2mn−5mn
=
2mn
−9mn
=
2mn
9
=− ，
2
9
故答案为：− ．
2
{ 2x−1≤
x+7
)
16．（3 分）若关于 x 的不等式组 3 有且只有 4 个整数解，关于 y 的分式方程
5x+1−a≥0
a+1 4 y−1
= −2的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ﹣ 1 2 ．
y+1 y+1
【分析】根据不等式组的解集以及整数解的个数，确定a的取值范围，再根据分式方程的根和增根进一
步确定a的取值范围，再求出符合条件的整式的和即可．
{ 2x−1≤ x+7 ) { x≤2 )
【解答】解：解不等式组 3 ，得 a−1 ，
x≥
5x+1−a≥0 5a−1
∵由条件可得：−2＜ ≤−1，
5
解得﹣9＜a≤﹣4，
a+1 4 y−1 a
解分式方程 = −2，得y= +2，
y+1 y+1 2
∵y≠﹣1，
∴a≠﹣6，
a
∵关于y的方程的解y= +2为整数，
2
∴a为偶数，
∴满足条件的a的值为﹣8，﹣4，
∴满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣4＝﹣12．
故答案为：﹣12．
三．解答题（共7小题，满分52分）
1 −1 1 2024
17．（6分）（1）计算：(π−3) 0−( ) −( ) ×52024；
2 5
（2）化简：a2−2a+1 1 ．
÷(1− )
a2−1 a
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和积的乘方的逆运算，再计算加减法即可；
（2）先对第一个分式分解因式，通分括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再约分即可．
1 −1 1 2024
【解答】解：（1）(π−3) 0−( ) −( ) ×52024
2 5
1 2024
=1−2−( ×5)
5
＝1﹣2﹣12024
＝1﹣2﹣1
＝﹣2；
（2）a2−2a+1 1
÷(1− )
a2−1 a
(a−1) 2 a−1
= ÷
(a+1)(a−1) aa−1 a
= •
a+1 a−1
a
= ．
a+1
18．（6分）解方程：
4 1 2
（1） + = ；
x2−2x x x−2
2 x+2
（2） + =3．
x−1 1−x
【分析】（1）方程两边同时乘以x（x﹣2），化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验；
（2）方程两边同时乘以（x﹣1），化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
4 1 2
【解答】解：（1） + = ；
x2−2x x x−2
去分母，得4+（x﹣2）＝2x，
解得：x＝2．
检验：把x＝2代入最简公分母：x（x﹣2）＝2×（2﹣2）＝0．
故 x＝2是增根，原分式方程无解．
2 x+2
（2） + =3
x−1 1−x
解：去分母，得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1），
去括号，得：2﹣x﹣2＝3x﹣3，
3
解得 x= ，
4
3
检验：当 x= 时，x﹣1≠0，
4
3
∴x= 原分式方程的解．
4
3 a2−4a+4
19．（6分）先化简，再求值：( −a−1)÷ ，在0＜a＜4中选一个整数求值．
a−1 a−1
【分析】先将括号内的分式通分，利用分式减法运算求解，再将分式分子分母因式分解，将除法转化为
乘法，利用分式乘除运算法则计算即可化简，再由分式分母不能为零得到a≠1，a≠2，再由0＜a＜4，
且a为整数，得到a＝3，代入化简结果求值即可得到答案．
3 (a+1)(a−1) (a−2) 2
【解答】解：原式=[ − ]÷
a−1 a−1 a−13 a2−1 a−1
=( − )×
a−1 a−1 (a−2) 2
4−a2 a−1
= ×
a−1 (a−2) 2
(2−a)(2+a) a−1
= ×
a−1 (a−2) 2
2+a
= ，
2−a
∵a﹣1≠0，a﹣2≠0，
∴a≠1，a≠2，
∵0＜a＜4，且a为整数，
∴a取值为3，
2+a 2+3
∴当a＝3时，原式= = =−5．
2−a 2−3
20．（8分）阅读下述材料：
2x+9
分式 可以化为分母分别为x与x+3且分子都是常数的两个分式的差．为解决这个问题，可设
x(x+3)
2x+9 A B A B (A−B)x+3A
= − （ A 、 B 为 常 数 ） ， 由 − = ， 可 得
x(x+3) x x+3 x x+3 x(x+3)
2x+9
=
(A−B)x+3A
，由此可得
{A−B=2)
，解得
{A=3)
，所以
2x+9
=
3
−
1
．
x(x+3) x(x+3) 3A=9 B=1 x(x+3) x x+3
4x−3
请用上述方法将 化为分母分别为2x+1与x﹣2且分子都是常数的两个分式的差．
(2x+1)(x−2)
4x−3 C D
【分析】设 = − ，然后将其运算后得出二元一次方程组，解方程组即可．
(2x+1)(x−2) 2x+1 x−2
4x−3 C D
【解答】解：设 = − ，
(2x+1)(x−2) 2x+1 x−2
C D
则 −
2x+1 x−2
C(x−2)−D(2x+1)
=
(2x+1)(x−2)(C−2D)x−(2C+D)
=
(2x+1)(x−2)
4x−3
= ，
(2x+1)(x−2)
{C−2D=4)
则 ，
2C+D=3
{ C=2 )
解得： ，
D=−1
4x−3 2 −1
则 = − ．
(2x+1)(x−2) 2x+1 x−2
21．（8分）已知A＝m+n，B＝m2﹣n2，C＝m2﹣2mn+n2．
A 1
（1）若 = ，求C的值；
B 6
（2）若A＝C＝5，求mn的值；
2B−C
（3）在（1）的条件下，且 为整数，求整数m的值．
B
A 1 m+n 1
【分析】（1）根据 = 得到 = ，先把分母分解因式，然后约分即可求出m﹣n的值，最后把
B 6 m2−n2 6
C化为（m﹣n）2即可求值；
（2）根据A＝C＝5得到（m+n）2＝25，即m2+2mn+n2＝25，结合m2﹣2mn+n2＝5即可求出mn的值；
2B−C 6 2B−C
（3）结合（1）的条件把 化为2− ，再根据 为整数得出m+n＝±1，±2，±3，±6，
B m+n B
结合m﹣n＝6，即可求出整数m的值．
A 1
【解答】解：（1）∵ = ，
B 6
m+n 1
∴ = ，
m2−n2 6
m+n 1
∴ = ，
(m+n)(m−n) 6
1 1
∴ = ，
m−n 6
∴m﹣n＝6，
∴C＝m2﹣2mn+n2
＝（m﹣n）2
＝62＝36；
（2）∵A＝C＝5，
∴m+n＝m2﹣2mn+n2＝5，
∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝25①，
∵m2﹣2mn+n2＝5②，
∴①﹣②得，4mn＝20，
∴mn＝5；
（3）由（1）得，m﹣n＝6，C＝36，
2B−C
∴
B
C
=2−
B
36
＝2−
m2−n2
36
=2−
(m+n)(m−n)
36
=2−
6(m+n)
6
=2− ，
m+n
2B−C
∵ 为整数，
B
∴m+n＝±1，±2，±3，±6，
当m+n＝1，m﹣n＝6时，m＝3.5，n＝﹣2.5，∵m为整数，∴舍去；
当m+n＝﹣1，m﹣n＝6时，m＝2.5，n＝﹣3.5，∵m为整数，∴舍去；
当m+n＝2，m﹣n＝6时，m＝4，n＝﹣2，适合题意；
当m+n＝﹣2，m﹣n＝6时，m＝2，n＝﹣4，适合题意；
当m+n＝3，m﹣n＝6时，m＝4.5，n＝﹣1.5，∵m为整数，∴舍去；
当m+n＝﹣3，m﹣n＝6时，m＝1.5，n＝﹣4.5，∵m为整数，∴舍去；
当m+n＝6，m﹣n＝6时，m＝6，n＝0，适合题意；
当m+n＝﹣6，m﹣n＝6时，m＝0，n＝﹣6，适合题意；
综上，整数m的值为4或2或6或0．
22．（8分）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式4x2−8x 4x(x−2) 4x2−8x
称为这个分式的“巧整式”．例如： = =4x，则称分式 是“巧分式”，
x−2 x−2 x−2
4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
（1）下列分式中是“巧分式”的有 ①③ （填序号）；
(x−1)(2x−3)(x+2) 2x+5 x2−y2
① ；② ；③ ．
(x−1)(x+2) x+3 x+ y
x2−4x+m
（2）若分式 （m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，求m的值；
x+3
−2x3+2x
（3）若分式 的“巧整式”为1﹣x．
A
①求整式A．
2x3+4x2+2x
② 是“巧分式”吗？
A
【分析】（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据“巧分式”的定义，得到关于（x+3）（x﹣7）＝x2﹣4x+m的方程，求解即可；
（3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出
结论．
(x−1)(2x−3)(x+2)
【解答】解：（1）∵ =2x−3，2x﹣3是整式，
(x−1)(x+2)
∴①是“巧分式”；
2x+5 2x+6−1 2(x+3)+1 1 1
∵ = = =2+ ，2+ 不是整式，
x+3 x+3 x+3 x+3 x+3
∴②不是“巧分式”；
x2−y2 (x−y)(x+ y)
∵ = =x−y，x﹣y是整式，
x+ y x+ y
∴③是“巧分式”；
故答案为：①③；
x2−4x+m
（2）∵分式 （m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x﹣7，
x+3
∴（x+3）（x﹣7）＝x2﹣4x+m，
∴x2﹣4x﹣21＝x2﹣4x+m，
∴m＝﹣21；
−2x3+2x
（3）①∵分式 的“巧整式”为1﹣x．
A−2x3+2x
∴A= ，
1−x
2x(1−x2 ) 2x(1−x)(1+x)
∴A= = =2x(1+x)，即A＝2x2+2x；
1−x 1−x
②∵2x3+4x2+2x 2x(x2+2x+1) (x+1) 2 ，
= = =x+1
2x2+2x 2x(x+1) (x+1)
又x+1是整式，
2x3+4x2+2x
∴ 是“巧分式”．
A
23．（10分）（1）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有 90公
里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上
大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款 1.5万
元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；
方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间＝小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到
的时间”列分式方程求解可得；
（2）设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需（x+5）天．根据方案C，可列方程得
4 4 x−4
+ + =1，解方程即可解决问题．
x x+5 x+5
【解答】解：（1）设大巴的平均速度为x公里/小时，则小车的平均速度为1.5x公里/小时，
90 90 1 1
= + + ，
x 1.5x 2 4
∴x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
1.5x＝40×1.5＝60，
答：大巴的平均速度为40公里/小时，小车的平均速度为60公里/小时；
（2）设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需（x+5）天．4 4 x−4
根据方案C， + + =1，
x x+5 x+5
x＝20，
经检验：x＝20是所列方程的根．
乙单独完成这项工程需20+5＝25（天），
所以A方案的工程款为1.5×20＝30（万元），
B方案的工程款为1.1×25＝27.5（万元），超过了日期，因此不能选，
C方案的工程款为1.5×4+1.1×4+1.1×16＝28（万元），
∵28＜30，
∴在不耽误工期的前提下，选择C方案最节省工程款．
