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专题 14.1 幂运算与整式的乘(除)法
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1、掌握正整数幂的乘法运算性质(同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方)；
2、能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算；
3、.会进行单项式的乘法，单项式与多项式的乘法，多项式的乘法计算；
4、掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算。
5、会进行单项式除以单项式的计算，会进行多项式除以单项式的计算。
知识精讲
知识点01 幂运算
知识点
1)同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，(m，n为正整数)
拓展：① am·an·ap =am+n+p，(m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n(m，n为正整数).
同底数幂的乘法技巧
①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；
②逆用法则： am+n =am×an
2)幂的乘方运算法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数
拓展：((am)n)p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.
3)积的乘方运算法则
积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。
拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
【知识拓展1】同底数幂的乘法及其逆运算
例1．(2022·成都市·八年级课时练习)下列运算中，错误的个数是( )
(1) ；(2) ；(3) ；(4)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，合并同类项的法则对各式进行运算，即可得出结果．
【详解】解：(1) ，故(1)错误；
(2) ，故(2)错误；
(3) ，故(3)错误；
(4) ，故(4)错误，
综上所述，错误的个数为4个，故选：D．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算等知识，解题的关键是对相应的运算法
则的掌握．
【即学即练】
1．(2022·浙江·宁波市七年级期中)已知 ， ，则 的值为 ___．
【答案】140
【分析】逆用同底数幂的乘法，即可作答．
【详解】∵ ， ，∴ ．故答案为：140．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用．本题属于基础题型，同底数幂的乘法运算法则：
．
2．(2022·绵阳市·八年级专题练习)计算：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ．
【答案】(1) (2)0 (3) (4) (5)
【分析】(1)根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
(2)先根据同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可；
(3)根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
(4)根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可；
(5)先根据同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可．
(1)解： ．
(2)
解：
＝
＝0
(3)
解： ．
(4)
解：
(5)
解：
【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则和合并同类项法则，是解题的关键．
【知识拓展2】幂的乘方及其逆运算
例2．(2022·湖南·七年级期中)下列选项中正确的有( )个．
① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据幂的乘方法则逐个算式分析即可．
【详解】解：① ，正确；② ，正确；③ ，正确；④当m是偶数时， ，故不正确．故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数
相乘，即 (m，n为正整数)．
【即学即练】
3．(2022·湖南·株洲七年级期中)已知 ， ，则 等于( )
A．1 B．72 C． D．
【答案】C
【分析】先根据幂的乘方求出 ， ，再根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，故选C．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，正确求出 ， 是解题的关键．
4．(2022·山东·聊城市七年级阶段练习)计算
(1)已知： ＝5， ＝3，计算 的值．(2)已知：3x+5y＝8，求 的值．
【答案】(1)15(2)256
【分析】(1)逆用同底数幂的乘法将 变形为 ，再逆用幂的乘方法则变形为 ，即可把已知
代入计算求解；(2)先将底数8化成 ，32化成 ，则原式变形为 ，再运用幂的乘方与同底数幂
的乘法法则计算得 ，然后把已知代入计算即可．
(1)解：∵ ＝5， ＝3，
∴ = = = =5×3=15；
(2)解：∵3x+5y＝8，
∴ = = = = =256．【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂乘法法则及其逆用，熟练掌握幂的乘方和同底数幂乘法法则是解题
的关键．
【知识拓展3】积的乘方及其逆运算
例3．(2022·四川·眉山八年级阶段练习)
【答案】
【分析】先计算积的乘方运算，幂的乘法运算，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查的是积的乘法运算，幂的乘方运算，同底数幂的乘法，合并同类项，掌握“幂的乘方与
积的乘方运算法则”是解本题的关键．
【即学即练】
5.(2022·山东淄博·期末) 的计算结果是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解： = 故选D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
6.(2022·山西临汾·八年级阶段练习)计算 的结果是( )
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解即可．
【详解】解： ．故选：A．【点睛】本题考查积的乘方、有理数的乘方和乘法运算，熟练掌握积的乘方逆运算是解答的关键．
知识点02 整式乘法
知识点
1)单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里
含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
2)单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，
仍应先算乘方，在算乘法。
3)多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化(负负得正，正负为负)；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要
合并同类项，化为最简形式。
【知识拓展1】整式乘法基本运算
例1．(2022·安徽·八年级阶段练习)先化简，再求值 ；其中 ．
【答案】 ， ．
【分析】利用单项式乘多项式去括号，合并同类项；再代入求值．
【详解】解：
，
当 时，原式．
【点睛】本题考查的是单项式乘多项式－化简求值，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【即学即练1】
1．(2022·福建师范大学附属中学初中部八年级阶段练习)计算：
(1) ； (2)
【答案】(1) (2)
【分析】(1)根据单项式乘以多项式法则即可得；
(2)根据多项式乘以多项式法则即可得．
(1)
解：原式 ．
(2)
解：原式
．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，熟练掌握整式的乘法法则是解题关键．
2．(2022·广东·八年级专题练习)计算
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】(1)根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式进行计算即可求解；
(2)根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．
(1)
解：原式＝
；
(2)
解：原式＝
．【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．
【知识拓展2】不含某项问题
例2．(2022·福建·晋江八年级阶段练习)如果 的结果中不含x的五次项，那么m的值
为( )
A．1 B．0 C．-1 D．
【答案】B
【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解．
【详解】解：
∵结果中不含x的五次项，
∴ ，解得： ．故选：B
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式法则，理解结果中不含x的五次项，即该项的系数等于0是解
题的关键．
【即学即练2】
3．(2022·福建八年级期中)如果 的展开式中不含 项，则a的值是( )
A．5 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】先利用整式的乘法展开，然后合并同类项，根据题意得出 ，求解即可．
【详解】解：
，
∵展开式中不含 项，
∴ ，
解得：a=5，
故选A．
【点睛】题目主要考查多项式乘以多项式中不含某项求参数的问题，理解题意，熟练掌握运算法则是解题
关键．4．(2022·四川·渠县七年级阶段练习)若 展开后不含 x 的一次项，则m的值是( )
A． B．1 C．3 D．0
【答案】A
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出 的结果，再令含x的一次项的系数为
0，据此求解即可．
【详解】解： ，
∵ 展开后不含 x 的一次项，∴ ，∴ ，故选A．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知不含某一项，即该项的系数为0是解题的关键．
【知识拓展3】整式乘法的运用
例3．(2022·上海·七年级专题练习)一块长方形硬纸片，长为 米、宽为 米，在它的四个角上分
别剪去一个边长为 米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；(2)求这个无盖盒子的外表面积．
【答案】(1) 米； 米； 米
(2) 平方米
【分析】(1)盒子的长＝长方形的长－小正方形边长的 倍，盒子的宽＝长方形的宽－小正方形边长的 倍，
盒子的高＝小正方形边长；
(2)利用纸片的面积减去剪去的 个小正方形的面积就是盒子的表面积．
(1)
解：盒子的长为：
(米)；
盒子的宽为：
(米)；盒子的高为： a2(米)．
故答案为： 米； 米； 米．
(2)
∵纸片的面积是： (平方米)，
小正方形的面积是： (平方米)，
∴无盖盒子的外表面积是： (平方米)．
∴这个无盖盒子的外表面积为 平方米．
【点睛】本题考查整式的运算，涉及整式的减法，单项式乘多项式，积的乘方，合并同类项等知识．理解
纸片的面积减去剪去的 个小正方形的面积就是盒子的表面积是解题的关键．
【即学即练3】
5．(2022·江苏·盐城市初级中学七年级期中)长为a，宽为 的长方形，它的面积为____________．(结
果为最简)
【答案】2ab＋3ac
【分析】根据长方形面积公式列式计算即可．
【详解】解：长方形面积为：a(2b＋3c)＝2ab＋3ac
故答案为：2ab＋3ac
【点睛】本题考查了单项式乘多项式的实际运用，掌握其运算法则是解本题的关键．
知识点03 整式除法
知识点
1)同底数幂的除法运算
同底数幂相除，底数不变，指数相减(与幂的乘法为逆运算)，即：am÷an=am-n(a≠0，m，n为正整数)。
2) 与 的应用
零指数幂： =1( )； 负整数指数幂： = ( ，p为正整数)。注意： ；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即
= = ；在混合运算中,始终要注意运算的顺序。
3)单项式除单项式
通常分为三个步骤：(1)将它们的系数相除作为上的系数；(2)对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂
的除法分别相除，作为商的因式；(3)被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
4)多项式除单项式
多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某
一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
【知识拓展1】同底数幂的除法及其逆运算
例1．(2022·成都市·八年级课时练习)下列4个算式中，计算错误的有( )
(1) (2) (3) (4)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法及除法法则进行逐一计算即可．
【详解】解：∵ ，∴(1)计算错误，符合题意；
∵ ，∴(2)计算正确，不符合题意；
∵ ∴(3)计算正确，不符合题意；
∵ ，∴(4)计算错误，符合题意，
∴(1)(4)两项错误，计算错误的有2个，故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法及除法法则∶(1)同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；(2)同底数的幂
相除，底数不变，指数相减，熟记同底数幂的乘法及除法法则是解题的关键．
【即学即练1】
1．(2022·四川·渠县七年级阶段练习)已知： ， ，求 的值．【答案】
【分析】逆用幂的乘方，同底数幂的乘法和除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和除法运算公式的逆用，熟练掌握幂的乘方，同底数
幂的乘法和除法运算法则，是解题的关键．
2．(2022·江苏·七年级期中)(1)已知 ， ，求 的值；(2)已知 ，求 的值．
【答案】(1)200(2)16
【分析】(1)根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可；
(2)根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求出2m+3n的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：(1)∵ ， ，
∴ =
=
=
=200；
(2)∵ =81= ，
∴2m+3n=4，
∴ = =16．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握幂的运算法则及其逆用是解答本题的关键．【知识拓展2】整式的除法
例2．(2022·陕西·七年级期中)若关于x的多项式 除以 ，所得商恰好为 ，
则 _____．
【答案】
【分析】利用 可求出
，进一步可得： ， ， ，进
一步可求出 ， ， ，相加即可求出 ．
【详解】解：由题意可知： ，
∴ ，
∴ ， ， ，
解之得： ， ， ，∴ ．故答案为：
【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出
，令其系数对应相等即可解答．
【即学即练2】
3．(2022·陕西咸阳·七年级阶段练习)已知一个多项式的2倍与 的和等于 ，则这个多
项式是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列出代数式，根据整式的加减进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意，这个多项式是
故选D
【点睛】本题考查了整式加减乘除混合运算，根据题意列出式子是解题的关键．4．(2022·山东淄博·期末)若a＝2，则 ______．
【答案】7
【分析】先计算多项式除以单项式，得到化简的结果，再把 代入进行计算即可．
【详解】
当 时，原式 故答案为：7．
【点睛】本题考查的是多项式除以单项式，代数式的求值，掌握“多项式除以单项式的运算法则”是解本
题的关键．
能力拓展
考法01 ( )的应用
注： ，可能有三种情况： =1( )； =1； =1(n为偶数)
【典例1】(2022·绵阳市·八年级期中)当x=____________时，代数式 的值为1.
【答案】1或2或-2020
【解析】试题解析：分3种情况：当x+2020=0，即x=-2020时, 代数式(2x-3)x+2020的值为1;
当2x-3=1，即x=2时，代数式(2x-3)x+2020的值为1；
当2x-3=-1，即x=1时，代数式(2x-3)x+2020的值为1.
变式1.(2022.成都市锦江区初一期中)已知 ,则x=
【答案】-2；0；1
【详解】情况1: 解得：x=-2； 情况2： 解得：x=1；
情况3： 解得：x=0；x +2=2(偶数)，故符合条件
故答案为：-2；1；0
变式2．(2022·浙江杭州市·七年级其他模拟)已知 ，则 ______．【答案】 或
【分析】分三种情况讨论，当 或当 或 ，分别解方程，再检验可得答案．
【详解】解： ，当 时， 当 时， ，
经检验： 不合题意舍去，
当 时， 时， 综上： 或
【点睛】本题考查的是乘方的意义，乘方符号的确定，零次幂的含义，掌握以上知识是解题的关键．
考法02 运用幂运算比较大小
【典例2】(2022·河北石家庄·七年级期中)阅读：已知正整数 ， ， ，若对于同底数，不同指数的两个幂
和 ，当 时，则有 ；若对于同指数，不同底数的两个幂 和 ，当 时，则有
> ，根据上述材料，回答下列问题．[注(2)，(3)写出比较的具体过程]
(1)比较大小： ______ ， ______ ；(填“>”、“<”或“=”)
(2)比较 与 的大小；(3)比较 与 的大小．
【答案】(1)>，< (2) < (3) <
【分析】(1)根据“同指数，不同底数的两个幂 和 ，当 时，则有 > ，”即可比较 和 的大
小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂 和 ，当 时，则有 ，即可比较 和
的大小；(2)据“对于同底数，不同指数的两个幂 和 ，当 时，则有 ”，即可比较
与 的大小；(3)利用作商法，即可比较 和 的大小．
(1)
解： ，∴ > ，
∵ ， ，122<123，
∴ < ，
故答案为： ， ；
(2)
解：∵ ， ，8<9，
∴ < ．
(3)
解：∵ ，
∴ < ．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题
的关键．
变式1．(2021·浙江·嵊州市七年级期中)已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂的乘方是逆运算将各数的底数变为相同的数字，进而比较即可．
【详解】解：∵ =962=3124， =3123， =3122，∴a>b>c，故选：A．
【点睛】此题考查了幂的乘方的运算法则，熟记法则是解题的关键．
变式2．(2022·湖南·郴州七年级阶段练习)在比较 和 的大小时，我们可以这样来处理：
∵ = = ， = = ，16＜27，
∴ ＜ ，即 ＜ ．
请比较以下两组数的大小：(1) 与 ； (2) 与 ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)直接利用已知将各数转化为次数相等的数进而比较得出即可；(2)逆用幂的乘方的运算性质将它
们的指数变得相同，然后根据底数较大的其幂也较大(都是正数时)，得出结果．
（1）解：∵ ， ，
（2）又∵16＜27，∴ ，即 ；
（3）解：∵ ， ， ，
（4）又∵125＜243＜256，∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相
同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．
分层提分
题组A 基础过关练
1.(2022·江苏·苏州七年级期末) 的结果是( )
A．a B．a5 C．a6 D．a9
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解： ．故选：B【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解本题的关键在熟练掌握同底数幂的乘法法则．同底数幂的乘法法
则：同底数幂相乘时，底数不变，指数相加．
2．(2021·甘肃·兰州七年级阶段练习)下列各式计算正确的是( )
A．－3xy·(－2xy)2＝12x3y3 B．4x2·(－2x3)2＝16x12
C．(－a2)·a3＝a6 D．2a2b·(－ab)2＝2a4b3
【答案】D
【分析】根据幂的运算法则逐一计算，可得结果．
【详解】解：A、 ，故选项错误；
B、 ，故选项错误；
C、 ，故选项错误；
D、 ，故选项正确；故选D．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．(2022·辽宁·朝阳七年级期中)光在真空中的速度约为 ，太阳光照射到地球上大约需要 ．
地球距离太阳大约有多远？( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用有理数的乘法结合科学记数法表示方法得出答案．
【详解】解：由题意可得，地球与太阳的距离大约是： ．故选：B
【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数乘法，正确掌握运算法则是解题关键．
4．(2022·江苏·七年级期中)要使 成立，则 ， 的值分别是( )
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据整式的乘法展开，根据对应系数相等得到a，b的关系式，即可求解．
【详解】∵
∴a+3=5，-2b=4 ∴ ， 故选C．【点睛】此题主要考查整式运算的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则．
5．(2022·陕西·西安交大附中浐灞右岸学校七年级阶段练习)小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作
业本上，■ ，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据整式的除法计算即可得出答案．
【详解】解： ，故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再
把所得的商相加是解题的关键．
6．(2022·浙江绍兴·一模)计算 的正确结果是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据积的乘方运算法则“积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”，可得计算结
果．
【详解】解： ．故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方的运算，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题关键．
7．(2022·广东惠州·八年级期末)计算： ______．
【答案】
【分析】单项式乘以单项式法则：系数与系数相乘，相同字母的指数相加．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．
8．(2022·福建·福州市双安中学八年级阶段练习)若 ，求 _____．【答案】 ##0.4
【分析】先把等式左边去括号，再利用对应项系数相等即可求解．
【详解】 ， ，
， ， ．故答案为 ．
【点睛】本题考查了整式的乘法，多项式相等对应项系数相等进解题的关键．
9．(2022·内蒙古七年级阶段练习)若 的展开式中不含 和 项，则 的值为______．
【答案】17
【分析】利用多项式乘以多项式计算法则展开，然后再合并同类项，进而可得 、 的值．不含二次项、
三次项，说明二次项的系数与三次项的系数都为零，由此即可求出答案．
【详解】原式
，
∵展开式中不含 和 项，∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外
一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即合并同类项．最后根据不含哪项，则该项的系数为零，是解
题的关键．
10．(2022·四川·仁寿县书院初级中学校八年级阶段练习)若 ，则 ________．
【答案】
【分析】先根据同底数幂乘法对等式左边进行计算，再根据相同字母的指数相等列出方程组，解出m、n
的值，代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得： ，
把 代入 ，
可得： ．
故答案为：
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、解二元一次方程组、求代数式的值，解本题的关键在熟练掌握各运
算的法则．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
11．(2022·吉林·测试·编辑教研五八年级阶段练习)已知 ，那么 的值是_______．
【答案】42
【分析】逆用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为：42
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答本题的关键．
12．(2022·江苏·开明中学七年级期中)计算： ＝________．
【答案】2
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算将原式变形为 ，再根据积的乘方的逆运算将原式变
形为 ，由此求解即可．
【详解】解：，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了同底数乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
13．(2022·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习)先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ，
【分析】先将原式根据单项式乘多项式的法则进行化简，再将x的值代入计算即可．
【详解】
，
将 代入到上式中，原式 ．
【点睛】本题考查的是整式的运算，能够准确化简是解题的关键．
14．(2022·江苏·南通市海门区实验初级中学八年级阶段练习)(1)已知 ，求x的值.
(2)已知 ＝2， ＝3求 的值.
【答案】(1)17；(2)24．
【分析】(1)先将 转化为 ；再令 即可求出x的值．
(2)由同底数幂的乘法法则得 ，再根据幂的乘方法则得 ，把 代入
上式，计算可得答案．【详解】解：(1) ，
∴x=17．
(2)
．
【点睛】本题考查了幂运算的问题，熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则是解决本题的关键．
题组B 能力提升练
1．(2021·山东淄博·期中)下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据单项式乘以多项式可进行求解．
【详解】解：A、 ，原计算错误，故不符合题意；
B、 ，原计算错误，故不符合题意；
C、 ，原计算错误，故不符合题意；
D、 ，原计算正确，故符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式是解题的关键．
2．(2021·河南·八年级阶段练习)今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔
记复习，发现一道题： □，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写
( )A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相
加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【详解】解：∵左边 ，
．
右边 □，
∴□内上应填写 ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，
再把所得的积相加是解答此题的关键．
3．(2022·江苏相城区)若 ， ， ，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算进行计算即可
【详解】解：∵ ， ， ，
∵ ∴ 故选：A
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握法则是解题的关键
4．(2022·浙江杭州市·七年级其他模拟)计算机存储设备中常用 等作为储存容量的单位，例如，
老师常用的U盘的容量是 ，一张比较清晰的照片的大小是 等．已知 ， ，
， ．目前存储量最大的移动硬盘存储量可以达到 ，那么它的容量是( )个B．
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由单位互化可得：大化小，用乘法，从而可得： ，再利用同底数
幂的乘法可得答案．
【详解】解： 故选：
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题的关键．
5．(2022·河南南阳·八年级阶段练习)在等式 中，括号内的代数式应是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据因数、因数、积的关系求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故选C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法运算，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，
底数不变指数相减．
6．(2022·浙江杭州·七年级期中)若 ，则 的值是( )
A． B．16 C．20 D．24
【答案】C
【分析】根据乘方、幂的乘方的性质，通过列一元一次方程并求解，再根据代数式的性质计算，即可得到
答案．
【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴
∴ 故选：C．
【点睛】本题考查了乘方、幂的乘方、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的
性质，从而完成求解．7．(2022·安徽·定远七年级阶段练习)已知 ， ， ，则 的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化成底数为3的幂，比较指数的大小即可判定．
【详解】解：因为 ， ， ，
因为
所以 ，
故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
8.(2022.成外初一月考)若 ，则x的值为
【答案】-2； 1
【详解】情况1: 解得：x=-2； 情况2： 解得：x=1；
情况3： 解得：x=0；x +3=3(奇数)，故不符合条件
故答案为：-2； 1
9．(2022·湖南邵阳·七年级期末)数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一
项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“ (3x﹣■+1)＝ ”那么
“■”中的一项是 _____．
【答案】
【分析】利用多项式除以单项式法则计算 即可得出“■”中的项，然后利用单
项式乘多项式的法则进行计算验证即可．
【详解】解：∵即 ，
∴“■”中的一项是2y．
故答案为：2y．
【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与
多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
10．(2022·浙江七年级期中)我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n(其中a≠0，m，n为正整数)，
类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f(m+n)＝f(m)•f(n)，请根据这种新运算填空：
(1)若f(1)＝ ，则f(2)＝_____；
(2)若f(1)＝k(k≠0)，那么f(n)•f(2022)＝_____(用含n和k的代数式表示，其中n为正整数)
【答案】
【分析】(1)将 变形为 ，再根据定义新运算： 计算即可求解；
(2)根据 (k≠0)，以及定义新运算： 将原式变形为 ，再根据同底数幂的乘法
法则计算即可求解．
【详解】解：(1)∵ ， ，
∴ ；
(2)∵ ， ，
∴ ．
故答案为：(1) ；(2) ．
【点睛】考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
11．(2022·河南金水·)如果 那么我们规定 ．例如；因为 所以 ．
(1)根据上述规定填空： __ ， __ ， __ ；(2)若 ．判断 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；理由见解析．
【分析】(1)根据 代入数运算即可；(2)根据题意列出等式求解即可．
【详解】
因为 ，
， ， ．
【点睛】此题考查了新定义问题和同底数幂的乘法结合问题，解题的关键是根据题意列出等式．
12．(2022·广东·七年级期中)已知 ，则m=________．
【答案】4
【分析】等号左边根据同底数幂的乘法计算，然后即可求出m的值．
【详解】解：
=
= ，
∴2m+3=11，
∴m=4．
故答案为4
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法计算，解题的关键是求出 ．
13．(2022·天津市八年级阶段练习)已知 ， ，则 的值等于______.
【答案】
【分析】逆用幂的乘方和同底数幂的除法运算，进行计算即可．
【详解】解： ；故答案为： ．
【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂的除法的逆运算．熟练掌握幂的乘方和同底数幂的除法的运算法则
是解题的关键．14．(2022·江西·永丰县恩江中学七年级期中)欢欢与乐乐两人共同计算(2x＋a)(3x＋b)，欢欢抄成2x(3x＋
b)，得到的结果为6x2＋4x；乐乐抄成(2x－a)(3x＋b)，得到的结果为6x2－5x－6．
(1)求出式子中的a、b的值？
(2)请计算出原题的正确答案．
【答案】(1)a＝3，b＝2
(2)
【分析】(1)由题意得2x(3x＋b)＝6x2＋4x，(2x−a)(3x＋b)＝6x2−5x−6，根据多项式乘多项式的法则，单项式
乘多项式的法则展开后利用对应系数相等，即可求出a、b的值；
(2)把a＝3，b＝2代入(2x＋a)(3x＋b)进行计算，即可得出答案．
(1)
解：由题意得：2x(3x＋b)＝6x2＋4x，(2x−a)(3x＋b)＝6x2−5x−6，
∴6x2＋2bx＝6x2＋4x，6x2−(3a−2b)x−ab＝6x2−5x−6，
∴2b＝4，ab＝6，
∴a＝3，b＝2．
(2)
(2x＋3)(3x＋2)
＝6x2＋4x＋9x＋6
＝6x2＋13x＋6
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式和多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则，单项式乘多项
式的法则，是解决问题的关键．
15．(2022·重庆)求下列各式中x的值．
(1) ；(2) ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)直接利用同底数幂的乘法运算法则得出关于x的等式进而得出答案；
(2)直接利用同底数幂的乘法运算法则得出关于x的等式进而得出答案．
【详解】解：(1)∵ ，∴ ，∴ ．
(2)∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确得出关于x的等式是解题关键．
题组C 培优拔尖练
1．(2022·浙江·温州七年级阶段练习)从前，一位地主把一块长为a米，宽为b米(a＞b＞100) 的长方形土地
租给租户张老汉， 第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加 10 米，宽减少 10 米，继续租给你，
租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积将 ( )
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．可能变大也可能变小
【答案】A
【分析】原面积可列式为 ，第二年按照庄园主的想法则面积变为 ，又 ，通过计算可
知租地面积变小了．
【详解】解：由题意可知：原面积为 (平方米)，
第二年按照庄园主的想法则面积变为 平方米，
∵ ， ∴ ，
∴面积变小了， 故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真读题结合所学知识完成计算．
2．(2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习)长方形的面积为 ，若它的一边长为 ，
则它的周长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据长方形的面积求得长方形的另一边的长，进而即可求解．
【详解】解：∵长方形的面积为 ，若它的一边长为 ，
∴长方形的另一边的长为： ，
∴长方形的周长为： ，故选B．
【点睛】本题考查了多项式除法的应用，整式的加减的应用，求得长方形的另一边长是解题的关键．
3．(2022·浙江八年级期末)我们知道下面的结论：若am an
(
a0，且a1 )，则mn．利用这个结论3m 2,3n 6,3p 18 m,n,p m p2n
解决下列问题：设 ．现给出 三者之间的三个关系式：① ，②
3mn4p6 p2n22m3
，③ ．其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系．
3n 63233m 3m1
【详解】解：∵ ，∴n=1+m，m=n-1，
3p 183633n 31n
∵ ，∴p=1+n=1+1+m=2+m，
①m+p=n-1+1+n=2n，故正确；②3m+n=3(p-2)+p-1=4p-7，故错误；
p2n22m pnpn2m 2m1m2m1m2m
③ = = =3，故正确；故选B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除法公式，本题属于中等题型．
4．(2022·浙江嘉兴·一模)已知 ，则代数式 的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】逆用幂的乘方法则可得 ，然后根据同底数幂的乘法法则进行计算．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法．幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，
底数不变，指数相加．
5．(2022·陕西宝鸡·七年级期末)如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做
客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是
_____．【答案】yang8888
【分析】根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解．
【详解】解：根据前面两个等式，
王⊕ x13yz4 =wang1314，
浩⊕ xy15•x2z20 = x3y15z20 =hao31520，
得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．
(x2y)4•(y2z44)2=x8y4•y4z88=x8y8z88，
∴阳⊕ (x2y)4•(y2z44)2 =yang8888．
故答案为：yang8888．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，以及规律型：数字的变化类，由前面两个等式发现规律是解题的关键．
6．(2022·浙江湖州·七年级期末)小王和小明分别计算同一道整式乘法题： ，小王由于抄错
了一个多项式中 的符号，得到的结果为 ，小红由于抄错了第二个多项式中的 的系数，得
到的结果为 ，则这道题的正确结果是_________．
【答案】
【分析】利用小王和小明的解法列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n的值，再将m，n
的值代入原式计算即可．
【详解】解：由小王的解法可知 = ，
即 = ，
可知 = ；
由小红的结果可知小红将4抄成2，
故 = ，即 = ，
可知 = ；
联立得 ，
解得 ，
将 代入 得 = ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算及解二元一次方程组，正确列出关于m，n的方程组是解
答本题的关键．
7．(2022·湖南·李达中学九年级阶段练习)若x，y均为实数， ，则：(1) ＝
______x+y；(2) _______．
【答案】 2022 1
【分析】(1)将 化成 代入数值即可计算；
(2) ，再由(1)知 ，得出 即可求．
【详解】(1)解：∵
∴
故答案为：2022；
(2)解：∵
∴∴
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的运算，根据运算法则将式子进行相应的换算是解
题的关键．
8．(2022·南靖县城关中学)已知 ，则m的值是_________________．
【答案】2
【分析】根据同底数幂的乘法法则将原式变形可得 ，再利用乘法分配律合并计算，得
到m值．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴m=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是灵活运用运算法则．
9．(2022·湖北·九年级阶段练习)我们知道，一元二次方程 没有实数根，即不存在一个实数的平方等
于-1．若我们规定一个新数i，使其满足 (即方程 有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数
可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 ， ， ，
，从而对任意正整数n，我们可以得到 ，同理可得 ，
， ，那么 的值为______．
【答案】
【分析】 ， ， ， ， ， ，从而可
知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可．
【详解】解：由题意得， ， ， ， ， ，
，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，， ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发
现规律，求出一个循环内的和再计算．
10．(2022·湖南·长沙市华益中学八年级阶段练习)如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，
所以 ．(1) ________；若 ，则 ________；
(2)已知 ， ， ，若 ，求y的值；
(3)若 ， ，令 ． ①求 的值； ②求t的值．
【答案】(1)4；32
(2)
(3)① ；②1
【分析】(1)根据新定义即可得到；
(2)根据新定义得到 ，根据 得到关于 的方程，解出即可；
(3)根据新定义得到 ， ，即可判断．
(1)
解： ，
；
，
，故答案为：4，32；
(2)
解： ， ， ，
， ， ，
，
，
，
；
(3)
解： ， ，
， ，
① ；
② ， ， ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及新定义的实数运算，掌握同底数幂的乘法以及
幂的乘方是解题的关键．
11．(2022·河南·商水八年级阶段练习)阅读下列材料：若 ， ，且 ，比较m，n的大小．
解：因为 ， ，27>16，所以 ，所以 ．
依照上述方法解答下列问题：
(1)若 ， ，则x______y(填写“>”，“<”或“=”)(2)若 ， ，且满足 ， ，试比较a与b的大小．
【答案】(1)<
(2)a>b
【分析】(1)根据材料的方法以及幂的乘方即可判断；
(2)根据材料的方法以及幂的乘方即可判断．
(1)
解： ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ；
(2)
解： ，
，
，
，
，
，
， ，
．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，掌握幂的乘方是解题的关键．
12．(2022·河南南阳·八年级期末)我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算，多项式除以多项式也可以用竖式运算，其步骤是：
(1)把被除式和除式按同一字母的降幂排列(若有缺项用零补齐)．
(2)用竖式进行运算．
(3)当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内
容补充完整．求 的商式和余式．
解：
答：商式是 ，余式是( )
我挑战：已知 能被 整除，请直接写出a、b的值．
【答案】我会做： ； ，
我挑战：
【分析】我会做：根据题意填空即可；
我挑战，根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，最后结果余0，即可求得 的值．
【详解】解：我会做：补全如下，答：商式是 ，余式是( )
故答案为： ；
我挑战： 能被 整除，则余数为0，根据题意列竖式运算即可，
解得
【点睛】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键．
