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22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 教学设计
课题 22.1.2 二次函数y=ax2的 单元 第22章 学科 数学 年级 九年级
图象和性质
学习 1.会画二次函数y=ax2的图象；
目标 2.理解并掌握二次函数y=ax2的性质（开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性、对称
性）；
3.理解并掌握二次项系数a的作用.
重点 1.理解并掌握二次函数y=ax2的性质.
2.掌握二次项系数a的作用．
难点 理解并掌握二次函数y=ax2的性质.教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：1.画函数图象的方法和步骤？ 学生回忆并回 回 顾 一 次 函
方法：描点法； 答问题. 数、正比例函数
步骤：列表——描点——连线； 的图象和性质以
列表：注意自变量的取值范围； 及画函数图象的
描点：先建系，根据表格确定点的坐标； 方法及步骤.
连线：用光滑的曲线连接.
2.正比例函数的图象和性质？一次函数？
正比例函数 y=kx(k≠0)
k的符号 图象 经过象限
k>0 一、三象限
k<0 二、四象限
一次函数 y=kx+b(k≠0)
k、b的符号 图象 经过象限
k>0，b>0 一、二、三
象限
k>0，b<0 一、三、四
象限
k<0，b>0 一、二、四
象限
K<0，b<0 二、三、四
象限
讲授新课 环节一：探究二次函数y = x2的图象和性质 通过画二 体会数形结合的
用描点法画二次函数 y = x2 的图象 次函数y = x2 数学思想，结合
解:(1) 列表 的图象，探究 图形探究性质，
(2) 描点 其性质. 为下面探究 y =
ax2的图象和性质
(3) 连线
奠定基础.
x ... -2 -1 0 1 2 ...
y ... 4 1 0 1 4 ...
y
y=x2
o x
观察二次函数 y=x2 的图象，回答下面问题：
(1) 二次函数y=x2 的图象是抛物线；(2) 开口向上；
(3) 轴对称图形，对称轴为y轴
(4) 抛物线与对称轴的交点叫做顶点，y=x2的顶点
为(0，0)，顶点是最低点；
(5) 有最小函数值，当x=0时，y =0
最小
(6) 在对称轴y轴的左侧，y随x的增大而减小；在
对称轴y轴的左侧，y随x的增大而增大.
以上（2）—（6）是函数y=x2的性质.
通过自学、交
流完成例题和 从具体问题到一
环节二：探究二次函数y = ax2的图象和性质
探究，总结规 般规律获得二次
例1 在同一直角坐标系中画出函数 律. 函数 y =a x2的
性质.
和y=2x2的图象
解:(1) 列表
x ... -2 -1 0 1 2 ...
... 2 0.5 0 0.5 2 ...
y=2 ... 8 2 0 2 8 ...
x2
(2) 描点
(3) 连线 y
y=x2
y=2x2
0 x
观察上面的图象，类比 y=x2的图象和性质，说一
说 和 y=2x2的图象和性质？
和y=2x2的图象都是抛物线.
性质：（1）开口向上；（2）对称轴是 y 轴；
（3）顶点是（0，0）；（4）顶点是抛物线的最
低点；（5）当 x=0 时，抛物线有最小函数值
y=0；（6）在对称轴y轴左侧，y随x的增大而减
小，在对称轴y轴右侧，y随x的增大而增大.
思考： y=x2， 和y=2x2的图象和性质有什么
相同点和不同点?
相同点：图象都是抛物线，开口方向、对称轴、顶点、最小值、增减性、对称性都相同；
不同点：解析式中的a值不同，图象的开口大小不
同.
小结：a>0，a越大，抛物线的开口越小.
小结：a>0时，二次函数y=ax2的图象和性质：
图象都是抛物线，
性质：（1）开口方向：开口向上；.
（2）开口大小：a越大，抛物线的开口越
小；
（3）轴对称图形，对称轴为y轴；
（4）顶点(0、0)；
（5）当x=0时二次函数的函数值有最小值
为y=0；
（6）增减性：在对称轴y轴左侧，y随x的
增大而减小，在对称轴y轴右侧，y随x的增大而
增大.
探究：画出 y= -x2， 和 y= -2x2的图象，并
说出它们的性质. y
0
x
y= -2x2
y= -x2
图象都是抛物线，
性质：（1）开口向下；.
（2）对称轴为y轴；
（3）顶点(0、0)；
（4）函数值有最大值；
（5）增减性：在对称轴y轴左侧，y随x的
增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小.
不同点：解析式中的a值不同，图象的开口大小不
同.
小结：a<0，|a|越大，抛物线的开口越小.
归纳总结：a>0，开口向上，对称轴为y轴；顶点(0、0)；函数值有最小值；增减性：在对称轴y轴
左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的
增大而增大.
a<0，开口向下，对称轴为y轴；顶点(0、0)；函
数值有最大值；增减性：在对称轴y轴左侧，y随
x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减
小.
|a|越大，抛物线的开口越小.
a>0图象 a<0图象
y
y
x
O
x
O
思考：对比抛物线，y=x2和y= -x2.它们关于x轴
运用二次函数
对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y= -ax2呢？
的性质求解未 深刻理解二次函
知字母的值以 数的性质，初步
及解决相关问 理解问题并能用
题 . 学 生 练 所学的知识解决
习、板演解题 问题.培养学生运
过程，师生互 用数学知识解决
评，进行订 问题的能力和对
正. 知识的应用意识.
小结：在同一坐标系内,抛物线y=ax2
与抛物线y= -ax2是关于x轴对称的.
环节三：课堂练习
1. 函数 的图象的开口向上，对称轴是y
轴；顶点(0、0)；在对称轴y轴左侧，y随x的增
大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大；函
数有最小值.
2. 函数 的图象开口向下，对称轴为 y
轴；顶点(0、0)；在对称轴y轴左侧，y随x的增
大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小；函
数值有最大值.
3. 已知 是二次函数，且当 x>0
时，y随x增大而增大，则k=2.4. 在二次函数y= -5x2的图象上取两点A(-2，y)，
1
B(-3，y)， 则 y>y. （填”>”或”<”或
2 1 2
“=”）
变式 1： 在二次函数 y= -5x2的图象上取两点
A(2，y)，B(3，y)， 则y> y. （填”>”或”
1 2 1 2
<”或“=”）
变式2. 在二次函数y= -5x2的图象上取两点A(-2，
y)，B(3，y)， 则 y>y. （填”>”或”<”或
1 2 1 2
“=”）
变式 3： 在二次函数 y= -5x2的图象上取两点
A(x，y)，B(x，y)， 且x>x，则y 与 y 的大小
1 1 2 2 1 2 1 2
关系不确定.
判断两点函数值大小的方法：
若两点在对称轴同侧，根据增减性判断函数值大
小；
若两点在对称轴两侧，根据点与对称轴的水平距
离判断大小.（a>0，开口向上，距离越大，函数值
越大；a<0，开口向下，距离越大，函数值越小）
；
除此之外，还可以运用图象法或特殊值法.
5.已知函数
是二次函数，
且开口向上.
(1)求m的值；
(2)求出二次函数的解析式？
(3)写出此函数的增减性？
解：(1)由题意知
解得
∵开口向上
∴m-1>0.
∴m=2.
(2)解析式为 y= -x2
(3)此函数的对称轴为y轴，在y轴左侧，y随
x增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大.
课堂小结 师生共同梳理 强化本节课的知
本节课的知识 识点.
图 象
点.
y=ax
2
和
性
抛物线
质
的
图
象开口方向
对称轴
性 质 顶点
最值
增减性
对 称 性
板书 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 教师展示本节 展示本节课的内
图象：抛物线
课的内容. 容.
性质：开口方向
对称轴
顶点
最值
增减性
对称性
例1 练习
