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第二十二章 二次函数
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
学习目标：1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括图象的特点.
3.掌握二次函数y=ax2的图象和性质，并会应用.
重点：正确理解抛物线的有关概念.
难点：1.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括图象的特点.
2.掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用其解决问题.
自 主 学
习
一、知识链接
1.什么叫二次函数？
2.二次函数的一般形式是什么？怎么判断一个函数是不是二次函数？
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2 (a＞0)的图象和性质
典例精析
例1 画出二次函数y=x2的图象.
要点归纳：二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
议一议 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
问题 观察二次函数y=x2的图象，y随x的变化如何变化？
例2 (教材P30例1)在同一直角坐标系中，画出函数 ， 的图象．
第 1 页 共 7 页思考
(1) 函数 ， 的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
(2) 当a＞0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？
要点归纳：对于抛物线 y = ax2 (a＞0)，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，
a越大，抛物线的开口越小.
探究点2：二次函数y=ax2 (a＜0)的图象和性质
合作探究
在同一直角坐标系中，画出函数 ， 的图象．
，
思考
(1) 观察函数 ， 的图象，思考这些抛物线有什么共同点和不同点？
，
(2) 当a＜0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？
要点归纳：对于抛物线 y = ax2 (a＜0)，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，
a越小，抛物线的开口越小.
问题 观察二次函数y=－x2的图象，y随x的变化如何变化？
交流讨论：抛物线y=ax2与y=－ax2(a＞0)的关系是什么？
练一练
1.函数 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；
第 2 页 共 7 页2.函数 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；
3.函数 的图象的开口 ，对称轴是 ， 顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；
4.函数 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 .
例3 已知二次函数y=x2．
(1) 判断点A(2，4)在二次函数图象上吗？
(2) 请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐
标；
(3) 点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
例4 已知 是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式.
练一练：已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= .
例5 已知二次函数y＝ax2.
(1) 若a=2,点(-2，y)与(3，y)在此二次函数的图象上，则y_____ y；(填“> ”“＝”或“< ”)
1 2 1 2
(2)若a＞0,点(2，y)与(3，y)在此二次函数的图象上，则 y_____ y；(填“> ”“＝”或“< ”)
1 2 1 2
(3)若a＜0,点(－2，y)与(3，y)，(5，y)在此二次函数的图象上，则y，y，y 的大小关系是___________.
1 2 3 1 2 3
方法总结：二次函数y＝ax2中比较函数值的大小的方法：
① 直接代入法:将x的值分别代入函数解析式中,求出y值再比较大小,多用于a值确定的情况,如例5(1);
②性质判断法:结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系,得出其对应y值的大小关系；多用
于自变量x在对称轴同一侧的情况,如例5(2)；
③草图法：画出二次函数的草图,描点,根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴
同侧的情况，如例5(3).
三、课堂小结
画法 描点法→在对称轴两侧对称取点
图象 抛物线→轴对称图形
二次函数y＝ax2的图象及性
1.开口方向及大小；
质
2.对称轴；
性质
3.顶点坐标
4.增减性
当堂检
测
1.函数y=5x2的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在
对称轴的右侧，y随x的增大而 .
2.函数y=－3x2的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；在对称轴的左侧， y随x的增大而 ，
在对称轴的右侧， y随x的增大而 .
3.如右图，观察函数y=(k－1)x2的图象，则k的取值范围是 .
第 3 页 共 7 页4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
（1） （2） （3） （4）
5.若抛物线y=ax2(a≠0)，过点(－1，2).
(1) 则a的值是 ；
(2) 对称轴是 ，开口 .
(3) 顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点.抛物线在x轴的 方(除顶点外).
(4) 若A(x，y)，B(x，y)在这条抛物线上，且x<x<0，则y y.
1 1 2 2 1 2 1 2
6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所
围成的三角形的面积．
能力提升
如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，
B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
参考答案
自主学习
知识链接
1.形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数.
2.一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数的解析式是整式，化简
第 4 页 共 7 页后自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2 (a＞0)的图象和性质
典例精析
例1 解：列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点，连线，如图所示.
议一议 答案不唯一，如二次函数y=x2的图象开口向上，图象有最低点（0,0），图象关于y轴对称.
问题：从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
例2 解：列表如下：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
描点、连线，如图所示：
思考
（1）函数 ， 的图象与函数y=x2的图象相比，开口方向、对称轴、顶点坐标，增减性都相同，不
同的是开口的大小.
（2）对于抛物线 y = ax 2（ a＞0），抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a
越大，抛物线的开口越小.
探究点2：二次函数y=ax2 (a＜0)的图象和性质
合作探究
第 5 页 共 7 页x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=- x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
描点、连线，如图所示：
思考
（1）函数 ， 的图象与函数y=-x2的图象相比，开口方向、对称轴、顶点坐标都相同，不同的
是开口的大小.
（2）对于抛物线 y = ax2 (a＜0)，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越
小，抛物线的开口越小.
问题：从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．
交流讨论：二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
练一练 1.向上 y轴 （0,0） 2.向下 y轴 （0,0） 高
3.向上 y轴 （0,0） 低 4.向下 y轴 （0,0）
例3 解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4）， 点A关于原点
O的对称点D的坐标为（-2，-4）；
（3）当x=－2时，y=x2=4，所以点C在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=－x2=－4，所以点B在二次函数
y=－x2的图象上；当x=－2时，y=－x2=－4，所以点D在二次函数y=－x2的图象上．
例4 解: 依题意有 由①得:m>－1，解②得:m=－2，m=1 .∴ m=1，此时，二次函数的解析式为
1 2
y=2x2.
练一练 2
第 6 页 共 7 页例5 （1）< （2）＜ （3）y＞y＞y
1 2 3
当堂检测
1.向上 y轴 （0,0） 减小 增大 2.向下 y轴 （0,0） 增大 减小
3.k＞1
4.（1）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.
（2）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.
（3）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.
（4）开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0,0）.
5.（1）2 （2）y轴 向上 （3）（0,0） 低 上 （4）＞
6.解：∵二次函数y=x2，∴当x=0时，y有最小值，且y =0，∵当x≥m时，y =0， ∴m≤0．
最小值 最小值
7.解：由题意得 解得 或 所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S ＝ ·CO·4＝8，S ＝ ×4×1＝2，∴S ＝
△ACO △BOC △ABO
S ＋S ＝10.
△ACO △BOC
能力提升
解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，∴当x＝2时，y＝2×22＝8. 即BC=8.∵抛物线和长方形都是轴对称图
形，且y轴为它们的对称轴，∴OA＝OB，∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴S ＝2×8＝16.
阴影部分面积之和
第 7 页 共 7 页
