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7.5 空间几何的外接球（精练）
1．（2023秋·贵州铜仁）在三棱锥 中， 平面ABC， ， ，则三棱
锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图：
∵ 平面ABC， ，
∴ ，AC，AP两两互相垂直， ，
把三棱锥 补成为正方体，则正方体的外接球即三棱锥 的外接球，
正方体的体对角线长为 ，即其外接球直径 ，
∴三棱锥外接球的表面积为 .
故选：B．
2．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥 的体积是 ，
底面 是正方形， 是等边三角形，平面 平面 ，则四棱锥 外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
设正方形 的边长为 ，在等边三角形 中，过 点作 于E，
由于平面 平面 ，∴ 平面 ．
由于 是等边三角形，则 ，
∴ ，解得 ．
设四棱锥外接球的半径为 ， 为正方形ABCD中心， 为等边三角形PAB中心，
O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知 为矩形，
则 ， ，
，
∴外接球表面积 ．
故选：C．
3．（2023春·甘肃酒泉）一个到球心距离为1的平面截球所得截面的面积为π，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】作出球的截面示意图，如图 是平面截球所得小圆的直径， 是小圆圆心， 是球心，
设小圆半径为 ，依题意得 ，解得 ，由 ，得到 ，
又 即为球心到小圆所在平面距离，故 ，为球的半径，
根据球的体积公式，体积为： .
故选：D
4．（2023春·辽宁大连）已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母
线长为（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】D
【解析】根据题意，圆锥的底面半径为 ，设圆锥的高为h，
圆锥体积与半径为1的球的体积相等，则 ，解得 ，
所以母线长为 ．
故选：D．
5．（2023春·陕西榆林 ）若正三棱锥 的高为 ， ，其各顶点都在同一球面上，则该球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知正三棱锥 的底面边长为 ，高为 ，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，
如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
设点 为 的中心， 为外接球的球心， 可能在三棱锥内部，也可能在外部 ，
，即 ，解得 ．
该球的表面积为 ．
故选：C
6．（2023春·广东韶关 ）已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 平面
，若球 的体积为 ，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，易知三角形 为等腰直角三角形，
又 平面 ，所以 为三棱锥 的高，
则可将三棱锥 放入长方体内，如图，
长方体的体对角线即为外接球直径，即 为球直径，
，
解得 ，
又 ，
解得 ，
，所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以三棱锥的体积 ，
故选：A
7．（2023春·湖南）2022年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代
“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们
蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥 如图所示，
顶点A在底面的射影落在△BCD内，它的体积为 ，其中△BCD和△ABC都是边长为 的正
三角形，则该“鞠”的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ，作 于点 ，
因为△BCD和△ABC都是正三角形，
所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
则 ，
即 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
则 ，
设 外接圆的圆心为 ，三棱锥外接球的球心为点 ，则 平面 ，
外接圆的半径 ， ，
设外接球的半径为 ， ，
则 ， ，
故 ，解得 ，
所以 ，
所以该“鞠”的表面积为 .
故选：B.
8．（2023春·山西太原）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是 ，则该正方体的
体积为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
【答案】D
【解析】根据球的体积公式， ，解得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为正方体的内切球直径等于正方体的棱长，所以正方体的棱长为 ，故正方体的体积为 .
故选：D.
9．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥 的底面 是矩形，高为 ，
， ， ， ，则四棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，在矩形 中，连接对角线 ，记 ，则点 为矩形 的外接圆
圆心，
取 的中点 ，连接 ，记 的外接圆圆心为 ，易知 ，且
共线.
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，所以 ，易得 ，
所以由正弦定理得 的外接圆半径为 ，即 .
过 作 平面 ，且 ，连接 ，由 平面 ，
可知 ，则四边形 为矩形，所以 ，则 平面 .
根据球的性质，可得点 为四棱锥 的外接球的球心，
因为 ，所以四棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．（2023·全国·高三专题练习）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，
设它的体积为 ，它的内切球的体积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得 ，
因为上下两个圆锥大小相同，所以组合体内切球的球心为 ，半径等于点 到 的距离，设半径为 ，则
，
所以 ，
所以 ，
故选：D
11．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知一个圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥内切球的
表面积与圆锥的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，设圆锥的底面圆半径为 ，则 ，
则圆锥的的侧面积为 ，故圆锥的表面积为 ，
设圆锥的内切球球心为 ，过点 作 ⊥ 于点 ，设内切球的半径为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，故内切球的表面积为 ，
则圆锥内切球的表面积与圆锥的表面积之比为 .
故选：B
12．（2023春·广西南宁 ）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中， ， ， ，则 ，
设 外接圆半径为 ，则 ，即 ，令 外接圆圆心为 ，
三棱锥 外接球球心为 ，半径为 ，有 平面 ，
由 平面 ，得 ，又 ，取 中点 ，于是四边形 为矩形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则球心 到平面 的距离 ，
因此 ，所以三棱锥 外接球的表面积 .
故选：C
13．（2023春·重庆江津 ）如图，已知棱长为1的正方体 中，下列命题正确的是（ ）
A．正方体外接球的半径为
B．点 在线段 上运动，则四面体 的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为
D． 是正方体的内切球的球面上任意一点，则 长的最小值是
【答案】D
【解析】选项A：连接 ，则 为正方体外接球的直径，
又 ，则正方体外接球的直径为 ，故A错误；
选项B： 为边长是 的等边三角形，面积为定值，
点 在线段 上运动， ， 与平面 相交，
所以 与平面 相交，所以四面体 的高是变化的，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以四面体 的体积是变化的，故B错误；
选项C：与所有12条棱都相切的球的半径为 ，
该球体积为 ，
则与所有12条棱都相切的球的体积为 ，故C错误；
选项D：正方体的内切球的半径为 ，球心为 中点，
是球面上任意一点，则 长的最小值是 ,故D正确.
故选:D.
14．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）如图，在三棱锥 中，已知 ， ，
， ，平面 平面 ，三棱锥 的体积为 ，若点 ， ， ， 都在球
的球面上，则球 的表面积为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
所以 为三棱锥 外接球的球心，
设 ，则 ， ，
因为 ， ，所以 为等腰直角三角形，且 ，
所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以球 的表面积为 ，
故选：B
15．（2023春·山东济宁 ）在三棱锥 中， ， 是边长为6的等边三角形，
若平面 平面 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，有 ，则 ，所以点 为 的外心，
因为 为等边三角形，取 的外心 ，
分别过点 ， 作 平面 ， 平面 ，且 ，
则点 为三棱锥 的外接球的球心，
设外接球的半径为 ，连接 ，则 为外接球的半径，
由题可知 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以四边形 为矩形，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 ．
故选：B．
16．（2023秋·浙江丽水 ）在四面体PABC中， ， 是边长为2的等边三角形，若二面角
的大小为 ，则四面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正 的重心为 ，则 是正 的外接圆的圆心，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】取 的中点 ， 因为 ，所以 是 的外接圆的圆心，
过 作 平面 ，过 作 平面 ， ，如图，
则 为四面体 的外接球的球心，
又二面角 的大小为 ，则 ，
又在正 中， ，
则在 中， ，
设四面体PABC的外接球的半径为 ，
则 ，
所以四面体PABC的外接球的表面积为 .
故选：C.
17．（2023春·四川宜宾 ）在矩形 中， ， 为 的中点，将 和 沿 ，
翻折，使点 与点 重合于点 ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知， .
又 平面PAD， 平面PAD，所以MP⊥平面PAD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，设三棱锥M-PAD的外接球的半径为R，则 ，
所以外接球的表面积为 .
故选：B
18．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥 中，
，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
．
【答案】 /
【解析】取 的中点 ，连接 ，因为 ，
所以 和 都是等边三角形，所以 ，
所以 是二面角 的平面角，即 ，
设球心为 ， 和 的中心分别为 ，则 平面 ， 平面 ，
因为 ， 公共边，所以 ≌ ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】19（2023春·贵州黔西·高一校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂
直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中 底面 ， ， ，
，则该“阳马”的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，以 为棱作长方体，
则长方体的对角线即为该“阳马”的外接球的直径，设直径为 ，
则 ，所以 ，
所以该“阳马”的外接球的表面积为 .
故答案为： .
20．（2023春·四川成都 ）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为 .
【答案】
【解析】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设该内切球的球心为 ，内切球的半径为 ， 为切点，
所以， ，
由已知得 ， ，
所以，在 中， ，即 ，解得 ，
所以，该圆锥的内切球表面积为
故答案为： .
20．（2023春·辽宁沈阳 ）已知四面体 中， ， ，则该四
面体外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】对于四面体 中，因为 ， ，
所以可以把四面体 放入一个长方体，如图：
设从同一个顶点出发的三条边长分别为 、 、 ，则有：
，解得 ，
点 、 、 、 均为长、宽、高分别为 ， ， 的长方体的顶点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且四面体 的外接球即为该长方体的外接球，
于是长方体的体对角线即为外接球的直径，
不妨设外接球的半径为 ，∴ ，
∴外接球的表面积为 .
故答案为： .
21．（2023·全国·高三专题练习）已知点 均在球 的球面上运动，且满足 ，若三棱锥
体积的最大值为 ，则球 的体积为 .
【答案】
【解析】如图所示，当点 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，
设球 的半径为 ，此时 ，
故 ，则球 的体积为 .
故答案为：
22．（2023春·河北承德 ）已知三棱锥 的各侧棱长均为 ，且 ，则
三棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过P点作平面ABC的垂线，垂足为M，则 都是直角三角形，
又 ，同理可得 ， ，
所以M点是 的外心；
又 ， 是以 斜边的直角三角形，
在底面 的射影为斜边 的中点 ，如下图：
则 ，设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ，
则 在 上，则 ，即 ，得 ，外接球的表面积为 ；
故答案为：
23．（2023春·江西赣州 ）如图，在等腰直角三角形ABC中，点P为线段AB的中点， ，
，将 沿 所在直线进行翻折，得到三棱锥 ，当 时，此三棱锥的外接
球表面积为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】因为 是等腰直角三角形，点P为线段AB的中点， ， ，
所以 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以将该三棱锥补成正方体，如下图所示：
则三棱锥 的外接球就是边长为 的正方体的外接球，
所以该外接球的直径为正方体的体对角线，即 ，
所以外接球表面积为 .
故答案为： .
24．（2023春·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥 的顶点都在球O的球面
上，其侧棱与底面所成角为 ，且 ，则球O的表面积为
【答案】
【解析】如图，正三棱锥 中，设点Q为 的中心，则PQ⊥平面ABC，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，∴ ，PQ＝3．
球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，
则 ， ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴球O的表面积为 ．
故答案为： .
1．（2024秋·甘肃武威·高三民勤县第一中学校联考开学考试）在三棱锥 中， 为等边三角形，
，则三棱锥 外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图所示：
由题意可得， ，所以 ，
则 ，又 ，
所以 ，
即 .又 平面 ，
所以 平面 .
设 ，则 ，
取正 的外心为 ，三棱锥 外接球的球心 ，连接 ，
则 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】底面外接圆的半径 ，
所以三棱锥 外接球的半径 .
当 时， 有最小值为 ，
所以三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
故选：B.
2．（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥 中， ， ，二面角
的平面角为 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，
故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接 ，
因为 ，DA=DC，所以 ， ，故 即为二面角 的平面角，
△ACB的外心为O，过O 作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平
1 1
面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；
在平面ABC内，设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时取等，
故选:B
3．（2023春·江西赣州 ）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球 ，然后再放入一
个球 ，使得球 与球 及正四面体的三个侧面都相切，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，正四面体 ，设点 是底面 的中心，点 是 的中点，连接 .
则由已知可得， 平面 ，球心 在线段 上，球 切平面 的切点在线段 上，分别
设为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则易知 ， ，设球 的半径分别为 .
因为 ，根据重心定理可知， .
， ， ， ， .
由 可得， ，
即 ，解得， ，所以 .
由 可得， ，
即 ，解得 ，
所以，球 的体积为 .
故选：A.
4．（2023春·贵州遵义 ）已知三棱锥 中， ， ， ，三棱锥
的外接球的表面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设三棱锥 外接球的半径为 ，则 ，解得 ，
又 ， ，即 为直角三角形，则 外接圆的直径即为直角三角形的斜边 ，
且 ，
即 外接圆的半径 ，所以 为外接球中的大圆，
即为三棱锥 外接球的直径，设 的中点为 ，则 即为球心，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ，则 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
即 ，
此时 ，且 ，又 ，
则 且 ，所以 ，
则 且 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 ，
所以 ，
即三棱锥 体积的最大值为 .
故选：D
5．（2023春·浙江丽水）如图，在三棱柱 中， 底面 ， ， ，
， 在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥 的外接球体积的最大值为
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
如图，取 中点为 ， 中点为 ，连接 ，取 的中点为 ，连接 .
因为 为直角三角形，所以 外接圆的圆心即为 .
同理， 外接圆的圆心即为 .
所以，当 位于 顶点时（不妨假设点 与点 重合），三棱锥 的外接球的球心恰好与三
棱柱 的外接球的球心重合，即三棱锥 的外接球的半径等于三棱柱 的外
接球的半径，此时体积有最大值.
因为 分别为 的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据三棱柱的性质可知， ，且 ，
所以，四边形 是平行四边形，
所以 ，且 ， .
根据三棱柱的性质可知 平面 ，
所以 平面 .
又 分别为 以及 外接圆的圆心，
所以，线段 的中点 即为三棱柱 的外接球的球心，
所以，三棱柱 的外接球的半径即等于 .
又 ，所以 ， .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，即 ，
所以， ，
所以，三棱锥 的外接球体积的最大值为 .
故选：C.
6．（2023春·山东聊城 ）（多选）已知正三棱锥的侧棱长为 ，底面边长为6，则（ ）
A．正三棱锥的高为6
B．正三棱锥的表面积为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的外接球的体积为
【答案】AC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
如图，在正三棱锥 中，过 作 交 于 ，过 作 面 ， 为外接球球心，易
知 在 上，连接 .
对于A， ， ， ，
故 ，即正三棱锥的高为6，故A正确；
对于B，正三棱锥的表面积为 ，故B错误；
对于C，正三棱锥的体积为 ，故C正确；
对于D，设外接球半径为 ， ，由 ，
可得 ，解得 ，故外接球的体积为 ，故D错误.
故选：AC.
7．（2023春·浙江金华）（多选）在三棱锥 中， 两两垂直， ，点
分别在侧面 和棱 上运动且 为线段 的中点，则下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．三棱锥 的内切球的半径为
B．三棱锥 的外接球的表面积为
C．点 到底面 的距离的最小值为
D．三棱锥 的体积的最大值为
【答案】BC
【解析】对于A，因为 两两垂直， ，
所以 ， ，
，
所以 ，
设三棱锥 的内切球的半径为 ，则
，
所以 ，
解得 ，所以A错误，
对于B，因为 两两垂直，所以将三棱锥 补成如图所示的长方体，
则长方体的体对角线等于三棱锥 外接球的直径，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设三棱锥 外接球半径为 ，则
，解得 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 ，所以B正确，
对于C，因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 ，
因为 为线段 的中点，所以 ，
所以点 的轨迹是以 为球心，1为半径的 球面上，
设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以点 到底面 的距离的最小值为 ，所以C正确，
对于D，由选项C可知点 的轨迹是以 为球心，1为半径的 球面上，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 的面积为定值，所以当点 到底面 的距离最大值时，三棱锥 的体积最大，
设球面分别交 于点 ，
因为 ，所以当点 与点 或 重合时，点 到底面 的距离最大，设为 ，则有
，得 ，
所以三棱锥 的体积的最大值为 ，所以D错误，
故选：BC
8．（2023春·湖北武汉）（多选）如图，在四边形 中， 和 是全等三角形， ，
， ， ．下面有两种折叠方法将四边形 折成三棱锥．折法①；将
沿着 折起，得到三棱锥 ，如图1．折法②：将 沿着 折起，得到三棱锥 ，
如图2．下列说法正确的是（ ）．
A．按照折法①，三棱锥 的外接球表面积恒为
B．按照折法①，存在 满足
C．按照折法②﹐三棱锥 体积的最大值为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．按照折法②，存在 满足 平面 ，且此时 与平面 所成线面角正弦值为
【答案】ACD
【解析】由题意知 ，
取 的中点 ,由于 和 是直角三角形且全等，
故 ,
故在折法①的折叠过程中,三棱锥 的外接球的球心为 ,半径为1,
故该球的表面积恒为 ,故A选项正确；
按照折法①,在折起过程中,点 在平面 内的投影 在线段 上(不包括端点),
而线段 (不包括端点)不存在 使得 ，故不存在 满足 ，故B选项错误；
按照折法②，取 的中点 ， ，
当平面 平面 时，三棱锥 体积取得最大值，
此时体积 ,故C选项正确;
当 时， ， ，
故此时 , ,
又因为 平面 ,
故 平面 ,
故 为 与平面 所成线面角,
则 ，故D选项正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选:ACD.
9（2023春·江苏南通）（多选）如图，圆锥 内有一个内切球 ，球 与母线 分别切于点 .若
是边长为2的等边三角形， 为圆锥底面圆的中心， 为圆 的一条直径（ 与 不重合），
则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为
B．平面 截得圆锥侧面的交线形状为抛物线
C．四面体 的体积的取值范围是
D．若 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 最大值为
【答案】ABD
【解析】对选项A，设圆锥的底面半径为 ，球的半径为 ，圆锥的母线长为 ，
因为 是边长为2的等边三角形，则 ， ，
连接 ， ， ，由条件可知， ， ，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，所以 ，
则 ，即 ，
所以球的表面积 ，圆锥的侧面积 ，
所以球的表面积与圆锥的侧面积之比为 ，故选项A正确；
因为平面 与母线VB平行，所以截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故选项B正确；
对选项C，由题意 是 的中点，所以四面体 的体积等于 ，
设点 到平面 的距离为 ，当 ， 处于 ， 时， ，
当 ， 处于弧 中点时， 最大，为1，所以 ，
如图作 交 于 ，由对选项A可知， ，
则 ， ，所以 ，从而 ，
所以 的面积 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，
所以四面体 的体积的取值范围是 ，故选项C不正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对选项D，由题意得球面和圆锥侧面的交线为以 为直径的圆，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ，设 ，
则 ，
，
所以 ，
所以
即 ，
所以当 时， 有最大值 ，故选项D正确.
故选：ABD.
10．（2023秋·全国·高三校联考开学考试））在三棱锥 中，平面 平面 ，底面 是
边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为 ，则该三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【解析】依题意，点 是三棱锥 外接球的球心，设球 的半径为 是 外接圆的圆心，
设圆 的半径为 ，点 到底面 的距离为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意，可得 ，则 .
因为 是边长为3的正三角形，
所以由正弦定理，可得 ，则 .
所以三棱锥 的体积为 ，
三棱锥 的体积取最大值则需要 最大.
由题意可知，点 在过 且与底面 （此处底面 为水平）垂直的截面圆的圆周上运动，当点 运
动到该圆的最高点时， 最大.
取 的中点 ，连接 ，过点 作 .如图所示，
由圆的对称性可知，此时 ，则 .
又平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，
所以 平面 .
因为在 中， ，
又 ，
所以 .
易得四边形 为矩形，
所以 .
因为在 中， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 .
故答案为： .
11（2023春·甘肃金昌 ）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，顶点M在底面的射影恰为A
点，且 为等腰三角形，则四棱锥 外接球的体积为 .
【答案】
【解析】如图所示，在四棱锥 中，顶点M在底面的射影恰为A点，
则 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， ，
因为 为正方形，所以 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
且 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，
因为 都是直角三角形，所以 ，
则球心为 ，底面是边长为4的正方形， 为等腰三角形，则 ，
∴ ，∴ ，
则四棱锥 外接球的半径为 ，
其体积 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．（2023春·海南 ）已知四棱锥 的外接球 的体积为 ， 平面 ，且底面
为矩形， ，则四棱锥 体积的最大值为 .
【答案】32
【解析】由于 平面 ，故可将四棱锥 补成长方体，如图示：
可知四棱锥 外接球直径即为该长方体的体对角线；
设四棱锥 外接球半径为R，则 ，
设长方体的长、宽、高分别为 ，不妨设 ，其中 ，
则 ，即 ，
由 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
所以底面 面积的最大值为24，
故四棱锥 体积的最大值为 ，
故答案为：32
13．（2023春·江西九江 ）正四棱台 的高为 ， ， ，球 在该正四棱台
的内部，则球 表面积的最大值为 .
【答案】
【解析】设正四棱台 上底面、下底面的中心为 ， ，
球 在该正四棱台的内部，要使球 的表面积尽可能大，
则球 与正四棱台 的尽可能多的面相切，显然球心 在 上，
设球 与面 ，面 分别切于点 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过 、 、 、 作其正四棱台的截面如图所示，则 ， ，
过点 作 交 于点 ，则 ， ， ，
所以 ，
连接 ，则 ，
所以 ，
解得 或 ，
显然 为锐角，所以 ，则 ，解得 ，
此时球的直径为 ，符合题意，
即正四棱台 内的最大球的半径 ，此时球与下底面、及四个侧面均相切，与上底面
不相切，
所以球的表面积为
故答案为：
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