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专题 15.2 分式的运算（5 大知识点 13 类题型）（知识梳理与题型分
类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表
a c ac
b d bd a、b、c、d bd 0
示为： ，其中 是整式， .
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表
a c a d ad
b d b c bc a、b、c、d bcd 0
示为： ，其中 是整式， .
【要点提示】
（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是 1的代数式）和分式的分子相乘作为
分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.
【知识点2】分式的乘方
a n an
b bn n
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （ 为正整
数）.
【要点提示】
a n an a n an
b bn b b
（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把 写成
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解
因式，再约分.
ab 2 ab2 a2 b2
b b2 b2
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如 .【知识点3】同分母分式的加减
a b ab
c c c
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；可用式子表为： .
【要点提示】
（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式
时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符
号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
【知识点4】异分母分式的加减
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.可用式子表为： .
【要点提示】
（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.
【知识点5】分式的混合运算
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算
加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须
达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.
【要点提示】
（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，
要牢牢掌握；
（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.
（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大
大提高运算速度.
知识点与题型目录
【考点一】分式的乘除
【题型1】分式乘法...........................................................3【题型2】分式除法...........................................................4
【题型3】分式乘除混合运算...................................................5
【题型4】分式乘方...........................................................7
【题型5】含乘方的分式乘除混合运算...........................................8
【考点二】分式的加减
【题型6】同分母分式加减法..................................................10
【题型7】异分母分式加减法..................................................11
【题型8】整式与分式相加减..................................................13
【题型9】已知分式恒等式,确定分子或分母.....................................15
【考点三】分式的加减乘除混合运算
【题型10】分式加减乘除混合运算.............................................17
【题型11】分式化简求值.....................................................19
【考点四】直通中考与拓展延伸
【题型12】直通中考.........................................................21
【题型13】拓展延伸.........................................................23
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】分式乘法
【例1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘法、因式分解相关运算方法．
先因式分解，再约分即可．
解：原式 ．
【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．根据乘法法则逐项计算即
可．
解：A． ，故不正确；
B． ，故不正确；
C． ，故不正确；
D． ，正确；
故选D．
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的乘法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
先将分子分母因式分解，然后根据分式的乘法运算法则求解即可．
解：
．
故答案为： ．
【题型2】分式除法
【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查分式的除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可；（2）先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可．
解：（1）
；
（2）
．
【变式1】（22-23九年级下·河北衡水·期中）若 ，则_________上的分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据被除式=商×除式求解即可．
解：∵ ，
∴________上的分式是： ．
故选A．
【点拨】本题考查了分式的除法运算，两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，
再按乘法法则计算即可．
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业） ．
【答案】【分析】本题考查分式的除法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
先将分子分母因式分解，然后将除法转化成乘法，然后求解即可．
解：
．
故答案为： ．
【题型3】分式乘除混合运算
【例3】（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）
（1）计算： ； （2）计算： ；
（3）计算： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）按照分式的乘法法则进行计算即可；
（2）按照分式的除法法则进行计算即可；
（3）将除法变成乘法，然后按照分式的乘法法则进行计算即可．
解：（1）
；
（2）；
（3）
．
【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，规定 ，按此规定图2中M处的代数式是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列代数式，分式的乘除混合运算．根据题意，用除法即可计算出 的代数式．
解：
，
故选：C．
【变式2】（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）化简 ，其结果为
【答案】【分析】本题考查了分式的乘除．熟练掌握运算法则是解题的关键．
先进行除法运算，然后进行乘法运算即可．
解：原式 ，
故答案为： ．
【题型4】分式乘方
【例4】（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方运算，再计算乘除运算
即可得到结果．
解：
．
【变式1】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查整式及分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用同底数幂除法法则，单项式乘单项式法则，幂的乘方法则，分式的乘方法则逐项判断即可．
解：A、 ，故本选项符合题意；
B、 ，故本选项不不符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；D、 ，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式2】（24-25八年级上·四川内江·期中）已知 ，则 的值为 ．
【答案】119
【分析】本题考查了分式的混合运算、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
根据 ，通过变形可以求得所求式子的值．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：119．
【题型5】含乘方的分式乘除混合运算
【例5】（2024·福建泉州·模拟预测）根据如图所示的程序，求输出 的化简结果．【答案】
【分析】根据题意列式 ，再结合分式混合运算法则进行计算即可．本题考查
分式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
解：依题意：
．
∴输出 的化简结果为
【变式1】（22-23八年级上·广西桂林·期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果．
解：
．
故选：A．
【变式2】（20-21八年级上·全国·课后作业）
．
【答案】－1
【分析】本题考查了分式的乘方和分式的除法运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关
键．先计算分式的乘方，再根据分式的除法法则解答即可．
解：
．
故答案为： ．
【题型6】同分母分式加减法
【例6】（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）计算： ；
【答案】【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（2）根据异分母分式的减法法则计算即可得出答案．
解： ；
【变式1】（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的性质、分式的加减运算进行计算即可求解．
解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了分式的性质，分式的运算法则，熟练掌握分式的性质与运算法则是解题的关键．
【变式2】（22-23八年级上·湖南郴州·期中）化简： ； = ．
【答案】
【分析】利用完全平方公式将分母 变形得到 ，再约分；根据同分母的加减运算法则计算
即可．
解： ；
．
故答案为： ；【点拨】本题考查分式的约分，同分母的分式相加，解题的关键是掌握完全平方公式，平方差公式，分
式的约分，同分母的分式相加．
【题型7】异分母分式加减法
【例7】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先找到最简公分母 ，再通分，最后约分即可得出答案；
（2）先找到最简公分母 ，再通分，最后约分即可得出答案．
解：（1）
；
（2）．
【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）若分式 的值为零，则a的值为
（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查分式值为0的条件；先化简分式，然后根据分式值为0，则分子为0且分母不为0得出
且 ，即可求出a的值．
解：
要使分式 的值为零，则 ，
∴ ，
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知 ( ，且 )，
，则（结果用含x的代数式表示）：
（1） ；
（2） ．
【答案】【分析】此题考查了与分式运算相关的规律探究，分式的加减法计算法则，分式的化简，正确掌握运算
法则得到计算结果的规律是解题的关键．
（1）直接求出 即可；
（2）分别计算 、 ，发现：每三个为一个循环，用2025除以3即可得到答案．
解：（1）∵ ，
∴ ，
（2）同理可得： ，
，
，
，
∴发现：每三个为一个循环，
∵ ，
∴ ，
故答案为：（1） ，（2） ．
【题型8】整式与分式相加减
【例8】（2024·河北石家庄·一模）老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计
算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．
规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
(1)写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)小明，小红 (2) ，过程见解析
【分析】本题考查了分式的混合运算，
（1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答；
（2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答．
准确熟练地进行计算是解题的关键．
解：（1）
故小明计算错误；
故小红计算错误；
故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：小明，小红；
（2）正确的解答过程如下：
．
【变式1】（2021·河北·中考真题）由 值的正负可以比较 与 的大小，下列正确的是
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】C【分析】先计算 的值，再根c的正负判断 的正负，再判断 与 的大小即可．
解： ，
当 时， ， 无意义，故A选项错误，不符合题意；
当 时， ， ，故B选项错误，不符合题意；
当 时， ， ，故C选项正确，符合题意；
当 时， ， ；当 时， ， ，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进
行准确判断．
【变式2】（20-21七年级下·安徽·期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】先通分再化简即可．
解：
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相
减，最后结果能约分的要约分．
【题型9】已知分式恒等式,确定分子或分母
【例9】（23-24八年级上·全国·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题：
已知 求整式 A，B．
本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式
相等，分母相等，则分子也相等，即： ，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B．
请你根据上面的思路解决下列问题：
已知 ，求 A，B 的值．
【答案】 ，
【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出 、 的二元一次方程组是解答此题的关键．先把
分式右边通分，再根据题意得出关于 的方程组，求出 、 的值即可．
解： 原分式可化为 ，
，即 ，
，
解得 ．
【变式1】（17-18八年级上·四川德阳·期末）若 ，则M、N的值分别为( )
A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1
【答案】B
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出M与N
的值．
解： ，
∴M+N=-3，N-M=1，
解得：M=-2，N=-1．
故选B．
【点拨】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
【变式2】（20-21八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 ＝ ，且A、B为常数，则
A+3B＝ ．
【答案】0
【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可．
解：
＝
＝
＝ ，
∵ ＝ ，且A、B为常数，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴A+3B＝3+3×(-1)=0，
故答案为：0．
【点拨】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键．
【题型10】分式加减乘除混合运算
【例10】（23-24八年级上·全国·课后作业）化简下列各式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1) (2) (3)1 (4)
【分析】（1）-（4）根据分式的混合运算，即可求解；
解：（1）.（2）
（3）
（4）【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握和运用分式混合运算的方法和顺序是解决本题的关键老．
【变式1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将括号内通分，再将除法转化
为乘法化简即可．
解：
，
故选：C
【变式2】（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）当x分别取值 ， ， ， ，…， ，
0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时，计算代数式 的值，将所得结果相加，其和等于
．
【答案】
【分析】本题主要考查的是数字的变化规律和分式的加减，发现当x的值互为倒数时，两分式的和为0是解题的关键．
将 和代入得 ，将 代入得 ，故此可知当互为倒数时，两分式的和为
0，再分别求出当 ， 时的值，然后求和即可．
解：将 ，代入 ，原式 ，
将 ，代入 ，原式 ，
当 时，原式 ，
当 时， ，
故当x分别取值 ， ， ， ，…， ，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时，
将所得结果相加，其和等于 ，
故答案为： ．
【题型11】分式化简求值
【例11】（24-25八年级上·重庆·期中）化简求值： ，其中x，y满足
．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式混合运算的化简求值，非负数的性质．题中先化简式子，再根据非负数的性质求
出 ， 代入即可．
解：原式．
∵ ，
，
，
原式 ．
【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如果 ，那么 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】方法一：将 变形为 ，再代入原式化简即可得出答案；
方法二：根据 ，分式的分子、分母同时除以 再化简即可得出答案．
解：方法一（条件变形）
，
∴ ，
∴ ．
方法二（所求变形）由题意得 ，分式的分子、分母同时除以 ，得 ．
答案：C．
【点拨】在给定的条件下求分式的值时，有时难以直接代入求值，需要根据题目的特点，将已知条件或
所求分式适当变形，然后巧妙求解．
【变式2】（2024·四川成都·模拟预测）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，平方差公式分解因式，熟练掌握以上知识是解
题的关键．
首先将 运用分式的混合运算，平方差公式化简为 ，由 ，可得
，然后代入求解即可．
解：原式= ，
，
，
，
，
∵ ，
∴ ，
故原式 ，
故答案为 ．第二部分【直通中考与拓展延伸】
【题型12】直通中考
【例1】（2022·湖南·中考真题）有一组数据： ， ， ， ，
．记 ，则 ．
【答案】
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
解： ；
；
；
，
，
当 时，
原式
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
【例2】（2024·山东淄博·中考真题）化简分式： ，并求值（请从小宇和小丽的对
话中确定 ， 的值）1
【答案】 ；
5
【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得 ， 的值，将原分式化简后代入数值
计算即可．
解：依题意， ， 且 为整数，又 ，则 ，
；
当 ， 时，原式 ．
【题型13】拓展延伸
【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于 的不等式组 的整数解仅为 ，若
为整数，则代数式 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到
，再根据不等式组的整数解仅为 得到 ，再把原分式化简，最后代值计算即可．
解：解不等式组 得 ．∵不等式组的整数解仅为1，2，3，且 为整数，
∴ ，
∴ ．
当 时，原式 ，
故答案为： ．
【例2】（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）已知 ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把
代入化简后的式子进行计算，即可解答, 准确熟练地进行计算是解题的关键．
解：
，∵ ，
∴ ，
当 时，原式 ，
故答案为： ．
【例3】（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）已知 ， ，则 的值为
（用含m，n的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查了分式混合运算．先化简原式，再根据 ， ，求出 ，
最后整体代入进行化简即可．
解：
，
∵ ， ，
故 ，
，
∴ ， ， ，
将 ， ， ，代入原式，得：原式 ．
故答案为：．
