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专题 19.1 函数
1.理解变量与常量概念，并会辨别自变量与因变量；
2.掌握自变量的取值范围运算方法；
3.理解函数定义，并能根据生活实际列出函数解析式；
4.掌握函数的三种表示方法。
知识点01 变量与函数
【知识点】
1)常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．
2)自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，
y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．
注：自变量的取值范围的确定方法：(1)当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；(2)当解析式
是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；(3)当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是
使被开方数不小于零的实数；(4)当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的
底数不为零；(5)当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
3)函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都
有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：(1)有两个变量；(2)一个变量的变化随另一个变
量的变化而变化；(3)自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
4)函数值： 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
注：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可
以是多个.比如： 中，当函数值为4时，自变量 的值为±2.
【知识拓展1】变量与常量例1．(2022·湖南长沙·八年级期中)把15本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本，
第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是( )
A．15是常量 B．15是变量 C．x是变量 D．y是变量
【答案】B
【分析】一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，据此判断即可．
【详解】解：把15本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．
则x和y分别是变量，15是常量．故选：B．
【点睛】本题考查函数的基础：常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题关键．
【即学即练】
1．(2023·山东济南市·七年级期中)李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，
则其中的常量是( )
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】C
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
【知识拓展2】自变量与因变量
例2．(2023·广西七年级课时练习)某品牌豆浆机的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，
结果如下：( )
定价/元 70 80 90 100 110 120
销量/个 80 100 110 100 80 60
A．定价是常量，销量是变量 B．定价是变量，销量是常量
C．定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量
D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量【答案】C
【分析】根据某个过程中，变量和常量的定义，即可得到答案．
【详解】由题意得：定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量．故选C．
【点睛】本题主要考查变量和常量的定义，掌握变量是在一个过程中，数值变化的量，是解题的关键．
【即学即练】
2.(2022·安徽宣城·八年级期末)寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用
电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是( )
A．每小时用电量 B．室内温度 C．设置温度 D．用电时间
【答案】C
【分析】根据题意分析，自变量是设置温度，因变量是空调的每小时用电量，据此分析即可．
【详解】解：空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是设置温度，故选：
C．
【点睛】本题考查了自变量与函数关系，理解题意是解题的关键．
2．(2022•成都市成华区七年级期中)汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而
变化，在这个变化过程中，自变量是
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
【分析】根据自变量的定义判断．
【解析】匀速行驶，速度不变，速度是常量，时间是自变量，路程是因变量，故选： ．
【知识拓展3】求自变量的取值范围
例3．(2022·河北唐山·八年级期末)下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是( )
A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝ 中，x≠﹣1
C．y＝ 中，x＝0 D．y＝ 中，x＞﹣7
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式，判断即可．
【详解】解：A、y＝2x2中，x为全体实数，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
B、y＝ ，x＞﹣1，本选项自变量x的取值范围错误，符合题意；C、y＝ ，x＝0，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
D、y＝ ，x＞﹣7，自变量x的取值范围正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是
解题的关键．
【即学即练】
3．(2022·江苏·八年级专题练习)函数 中，自变量x的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得x－1≠0，解得x≠1．故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全
体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数
非负．
【知识拓展4】函数的概念
例4．(2022·江苏·南通市八一中学八年级期中)下列图象中表示y是x的函数的有几个( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据函数的定义逐个图象判断，即可得出答案．
【详解】对于第一个图象，取一个x的值，y的值不唯一，不符合题意；
对于第二个图象，取一个x的值，y有唯一的值相对应，符合题意；
对于第三个图象，取一个x的值，y有唯一的值相对应，符合题意；
对于第四个图象，取一个x的值，y的值不唯一，不符合题意．
符合题意有2个．故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数的判断，掌握定义是解题的关键．【即学即练】
4．(2022·广西·梧州市八年级阶段练习)在下列关系式中，y不是x的函数的是( )
A．x+y=5 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，即可解答．
【详解】解：A、∵x+y=5，∴y=5-x，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以
y是x的函数，故A不符合题意；
B、∵ ，∴ ，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以y是x
的函数，故B不符合题意；
C、∵ ，∴ ，对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与之相对应，所以y
不是x的函数，故C符合题意；
D、 ，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与之相对应，所以y是x的函数，
故D不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
【知识拓展5】函数值
例5．(2022·安徽合肥·八年级阶段练习)已知函数 ，则x=-5时的函数y的值为( )
A．-15 B．15 C．-19 D．21
【答案】D
【分析】将x=-5代入y=-4x+1中可求出y值．
【详解】解：当x=-5时，y=-4x+1=-4×(-5)+1=21．故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b
是解题的关键．
【即学即练】
5．(2022·重庆八年级期末)根据以下程序，当输入x＝﹣7时，输出的y值为( )A． B．4 C．﹣2 D．5
【答案】D
【分析】由 ＜ 确定要使用的函数解析式为： ，再代入求值即可.
【详解】解:当 ＜ 故选：
【点睛】本题考查的是程序框图，求解函数的函数值，理解程序框图的含义，再求解函数值是解题的关键.
知识点02 函数的三种表示方法
【知识点】
1)函数的三种表示方法
①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，
但数据有限，规律不明显。
②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。
③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。
2)函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组
成的图形，就是这个函数的图象.
注：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，
既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面
反映图象情况.
【知识拓展1】列表法
例1．(2022·陕西西安·九年级模拟预测)在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h(cm)下滑
的时间t(s)，得到如下数据：支撑物高h(cm) 10 20 30 40 50 …
下滑时间t(s) 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
以下结论错误的是( )
A．当h＝10时，t为3.25秒 B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒 D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒
【答案】D
【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可．
【详解】解：由表格知：h＝10，t＝3.25．故A结论正确．
由表格知：随着高度的增加，下滑时间越来越短．故B，C结论正确．
当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s，
从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s，从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s，
从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s，
因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”的说法是错误的，故选项D结论错误．故选：D．
【点睛】本题理解表格中两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．
【即学即练1】
1．(2023·重庆一中七年级阶段练习)在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关
系如表：
所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8
弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
在弹簧限度内，弹簧的长度是13cm时，所挂重物的质量是______kg．
【答案】2
【详解】从表格中找到当弹簧的长度是13cm时，所挂物体的质量为2kg．
【解答】解：从表格中找到当弹簧的长度是13cm时，所挂物体的质量为2kg．故答案为：2．
【点评】本题考查了函数的概念，函数的表示方法，知道了函数值为13，找到自变量为2是解题的关键．
【知识拓展2】解析式法
例2．(2023·河北承德·八年级期中)琪琪拿9元钱去买单价为 元/只的笔芯，买笔芯所剩的钱数 (元)与所
买笔芯的数量 (只)之间的关系式为______．
【答案】【分析】根据总价等于单价乘以数量可以算出购买笔芯用掉的钱，再根据剩余的钱数等于总钱数减去用掉
的钱数，即可得出关系式．
【详解】解：由题知：买笔芯用去的钱数为：
所以买笔芯所剩的钱数为： 故答案为： ．
【点睛】本题主要考查列关系式，准确理解掌握“单价、数量和总价”以及“剩余钱数、用去的钱数与总
钱数”之间的关系，是解决本题的关键．
【即学即练】
2．(2022•密云区·七年级期末)如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，
当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是( )
A．S＝4x+6 B．S＝4x﹣6 C．S＝x2+3x D．S＝x2﹣3x
【分析】根据已知可得矩形的长为x+3，然后利用矩形的面积公式进行计算即可．
【解析】由题意得：S＝x(x+3)＝x2+3x，∴S与x满足的函数关系是：S＝x2+3x，故选：C．
【知识拓展3】图象法
例3．(2022·广东罗湖·七年级期末)一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一
段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地
刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【详解】解： 公共汽车经历：加速，匀速，减速到站，加速，匀速，
加速：速度增加， 匀速：速度保持不变， 减速：速度下降， 到站：速度为0．观察四个选项的图象：只有选项B符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查了图象的读图能力和与实际问题结合的应用．要能根据图象的性质和图象上的数据
分析得出类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【即学即练3】
3．(2022·甘肃九年级一模)如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿 、线段BO、OA匀速运动到点A，则
OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】点P在弧AB上时，OP的长度y等于半径的长度，不变；点P在BO上时，OP的长度y从半径的长
度逐渐减小至0；点P在OA上时，OP的长度从0逐渐增大至半径的长度．按照题中P的路径，只有D选
项的图象符合．故选D．
考点：图象(动点问题)
【知识拓展4】图象法-解行程(工程)问题
例4．(2022·莱阳市期末)周末，小明骑车从家前往公园，中途休息了一段时间．他从家出发后所用时间为
t(分钟)，所走的路程为s(米)，s与t之间的函数关系如图所示．对于下列说法：①小明中途休息了2分钟；
②小明休息前的骑车速度为每分钟400米；③小明所走的路程为4400米；④小明休息前的骑车速度小于
休息后的骑车速度．其中正确结论的序号是 ．【分析】根据函数图象可知，小依4分钟所走的路程为1600米，4～6分钟休息，6～10分钟骑车(2800﹣
1600)米，骑车的总路程为2800米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可．
【解析】①根据图象可知，在4～6分钟，路程没有发生变化，所以小依中途休息的时间为：6﹣4＝2分
钟，故①正确；②根据图象可知，当t＝4时，s＝1600，所以小依休息前骑车的平均速度为：1600÷4＝
400(米/分钟)，故②正确；③根据图象可知，小依在上述过程中所走的路程为2800米，故③错误；
④小依休息后的骑车的平均速度为：(2800﹣1600)÷(10﹣6)＝300(米/分)，小依休息前骑车的平均速度为：
1600÷4＝400(米/分钟)，
400＞300，所以小依休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度，故④错误；
综上所述，正确的有①②2个．故答案为：①②．
【即学即练】
4．(2022·河北保定·七年级期中)巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后
小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离
s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒，小明的速度为
______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？
【答案】(1)t，s；(2)2，6；(3)小明距起点的距离为300米．
【分析】(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变
(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答
【详解】解：(1)在上述变化过程中，自变量是t，因变量是s；
(2)朱老师的速度 ＝2(米/秒)，小明的速度为 ＝6(米/秒)；故答案为t，s；2，6；
(3)设t秒时，小明第一次追上朱老师根据题意得6t＝200+2t，解得t＝50(s)，则50×6＝300(米)，
所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为300米．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于看懂图中数据。
5．(2022•沙坪坝区校级开学)春节前，某加工厂接到面粉加工任务，要求 5天内加工完220吨面粉．加工
厂安排甲、乙两组共同完成加工任务．乙组加工中途停工一段时间维修设备，然后提高加工效率继续加工，
直到与甲队同时完成加工任务为止．设甲、乙两组各自加工面粉数量 y(吨)与甲组加工时间x(天)之间的关
系如图所示，结合图象，下列结论错误的是( )
A．乙组中途休息了1天 B．甲组每天加工面粉20吨
C．加工3天后完成总任务的一半 D．3.5天后甲乙两组加工面粉数量相等
【分析】根据图象的横纵坐标表示的意义，进行计算即可得出答案．
【解析】由图象可得：2﹣1＝1，即乙组加工中途停工1天，故选项A是正确的，
甲组每天加工面粉数量为： ＝20(吨)，故选项B是正确的，
甲组加工3天的面粉数量为20×3＝60(吨)，
乙组第一天加工15吨，第三天加工面粉数量为： ＝35(吨)，
∴加工3天后面粉数量为：60+15+35＝110(吨)，完成总任务的一半，故C选项正确，
3.5天后甲组加工面粉数量为20×3.5＝70(吨)，乙组加工面粉数量为15+35×1.5＝67.5(吨)，D选项错误，故
选：D．
【知识拓展5】图象法-方案选择与销售费用问题
例5．(2022•雁塔区校级期末)为增强居民的节水意识，某市自来水公司采用以户为单位分段计费的方式：即每月用水量不超过10吨时，每吨收费a元；若超过10吨，则10吨水按每吨a元收费，超过10吨的部
分按每吨b元收费．如图是自来水公司绘制的水费y(元)与当月用水量x(吨)之间的图象，则下列结论不正确
的是( )
A．a＝1.5 B．b＝2
C．若小明家当月用水量为14吨，则应缴水费23元
D．若小红家6月份缴水费30元，则当月用水量为18.5吨
【分析】利用(10，15)，(20，35)两点求出a，b的值即可．
【解析】由图象可知，a＝15÷10＝1.5；b＝ ＝2；
用水14吨，则应缴水费：1.5×10+2×(14﹣10)＝15+8＝23(元)；
缴水费30元，则该用户当月用水为：10+(30﹣15)÷2＝17.5(吨)．故结论错误的是选项D．故选：D．
【即学即练】
5．(2022•烟台期末)某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式，这三种收费方式每月所需的费
用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是( )
A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱
B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多
C．每月上网时间为50h时，选择A方式最省钱
D．每月上网费用为120元时，选择C方式上网的时间最长【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；
B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；
C、利用待定系数法求出：当x≥25时，y 与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可
A
求出当x＝50时y 的值，将其与50比较后即可得出结论C不正确；
A
D、由图可知：当y＝120时，A方式可上网55h，B方式可上网 h，而C方式上网任意小时，即可判断
D正确．
【解析】A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确，不符合
题意；B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确，
不符合题意；
C、设当x≥25时，根据图象得y ＝3x﹣45(x≥25)，当x＝50时，y ＝3x﹣45＝105＞50，
A A
∴每月上网时间为50h时，选择B方式最省钱，结论C不正确，符合题意；
D、由图可知：当y＝120时，A方式可上网55h，B方式可上网 h，而C方式上网任意小时，
∴结论D正确，不符合题意．故选：C．
【知识拓展6】图象法-动态综合问题
例6．(2022·山东淄博市·九年级一模)如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形
的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y(cm2)随时
间x(s)变化的函数图象．当x＝7时，y的值为( )
A．7 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得当点P在点D时，与当点P在点C时，分别三角形的面积公式求出正方形的边长，
EP,EC,BE的长，再根据当x＝7时，P点在CD上，根据y＝S −(S ＋S ＋S )，即可求解．
正方形ABCD ABE ECP APD
△ △ △【详解】解：设正方形的边长为a，①当点P在点D时，y＝ AB×AD＝ ×a×a＝8，解得：a＝4，
②当点P在点C时，y＝ EP×AB＝ ×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，
③当x＝7时，如下图所示：此时，PC＝1，PD＝7−4＝3，
当x＝7时，y＝S −(S ＋S ＋S )＝4×4− (4×1＋1×3＋4×3)＝ ，故选：C．
正方形ABCD ABE ECP APD
△ △ △
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进
而求解．
【即学即练】
7．(2022·河北保定市·八年级期末)如图，矩形 中，对角线 、 相交于点 ， 、 分别是
边 、 的中点， ， ，一动点 从点 出发，沿着 的方向在矩形的边上
运动，运动到点 停止．点 为图1中的某个定点，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，表示
与 的函数关系的图象大致如图2所示．那么，点 的位置可能是图1中的( )
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D【分析】从图2中可看出当x=6时，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，选项中只有点G在
BD上，所以点M的位置可能是图1中的点O．
【详解】解：∵AB=2，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴当x=6时，点P到达D点，此时△BPM的面积为0，说明点M一定在BD上，
∴从选项中可得只有G点符合，所以点M的位置可能是图1中的点G．故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当x=6时，此时△BPM的面积为0，说
明点M一定在BD上这一信息．题组A 基础过关练
1．(2022•无锡·七年级期末)某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡
七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王
到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件(x＞2)，则应付货款y(元)与商品件数x的函数关系式是(
)
A．y＝54x(x＞2) B．y＝54x+10(x＞2) C．y＝54x+90(x＞2) D．y＝54x+100(x＞2)
【分析】容易知道y大于100，所以应付货款分成两部分，一部分原价付款，一部分按 9折优惠．应付货
款y(元)＝100+超过100的部分．
【解析】∵x＞2，∴销售价超过100元，超过部分为60x﹣100，
∴y＝100+(60x﹣100)×0.9＝54x+10(x＞2，且x为整数)，故选：B．
2．(2022·辽宁大连·八年级阶段练习)已知一函数的图象如图所示，这个函数的自变量x的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像直接判断即可．
【详解】根据图像判断自变量x的取值范围为 ，故选：C
【点睛】本题主要考查函数图形，能够根据图像判断出相关信息是解题的关键．3．(2022·云南迪庆藏族自治州·八年级期末)为积极响应党和国家精准扶贫的号召，某扶贫工作队步行前往
扶贫点开展入户调查。队员们先匀速步行一段时间，途中休息几分钟后加快了步行速度，最终按原计划时
间到达目的地。设行进时间为t(单位：min)，行进的路程为s(单位：m)，则能近似刻画s与t之间的函数关
系的大致图象是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据行进的路程和时间之间的关系，确定图象即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，队员的行进路程s(单位：m)与行进时间t(单位：min)之间函数关系的大致图象
是 故选：A
【点睛】本题考查图象，正确理解自变量与因变量的关系及其实际意义是解题的关键．
4．(2023·山东七年级期中)某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据
(如下表)：
温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列说法不正确的是( )
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
【答案】C
【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴选项 正确；
∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，∴选项 正确；
∵ ，∴当气温为 时，声音 可以传播 ，∴选项C不正确；∵ ， ， ， ，
∴当温度每升高 ，声速增加 ，∴选项 正确．故选C．
【点睛】本题主要考查了自变量、因变量的含义和判断．熟练掌握自变量、因变量的含义是解题的关键．
5．(2022·广东茂名市·七年级期中)在烧开水时，水温达到 水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水
的沸腾”实验时所记录的变量时间 和温度 的数据：
0 2 4 6 8 10 12 14 …
30 44 58 72 86 100 100 100 …
在水烧开之前(即 )，温度 与时间 的关系式及因变量分别为( )
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】由表知开始时温度为 ，每增加2分钟，温度增加 ，即每增加1分钟，温度增加 ，
可得温度 与时间 的关系式．
【详解】∵开始时温度为 ，每增加1分钟，温度增加 ∴温度 与时间 的关系式为：
∵温度 随时间 的变化而变化∴因变量为 故答案选：A
【点睛】本题考查变量，关键是寻找两个变量之间的关系，同时注意自变量与因变量的区分．
6．(2022·硚口区期末)某种瓜苗早期在农科所温室中生长，长到20cm时，移至村庄的大棚内沿插杆继续向
上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗的平均高度y(cm)与生长时间x(天)的函数关系的图象如图所示．当
这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花，则这种瓜苗移至大棚后，继续生长至开始开花所用的时间是( )
A．33天 B．18天 C．35天 D．20天
【分析】利用图象求出15＜x≤60时y与x之间的关系式，再把y＝80代入计算即可求解．【解析】当15＜x≤60时， ∴y＝ x﹣30，
当y＝80时， x﹣30＝80，解得x＝33，33﹣15＝18(天)，
∴这种瓜苗移至大棚后，继续生长至开始开花所用的时间是是18天．故选：B．
7．(2022·湖南·衡阳市成章实验中学八年级阶段练习)已知函数 ，若函数值 ，则自变
量 取值为( )
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【分析】将 分别代入y=2x+1和y=4x中，即可求出 的值，结合x的取值范围即可得解．
【详解】解：当 时， ，解得：
∵ 所以 不合题意，舍去；
当 时， ，解得： ，符合题意，
当函数值 时，自变量 取值为 ．故选：B．
【点睛】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．
8．(2022·福建厦门市·八年级月考)如图，在直角坐标系中，有一矩形 ，长 ，宽
轴， 轴．点 坐标为 ，该矩形边上有一动点 ，沿 运动一
周，则点 的纵坐标 与点 走过的路程 之间的函数关系用图象表示大致是( )A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，当P点在AB上，
当P点在BC上，当P点在CD上，点P在AD上即可得出图象．
【详解】∵矩形 ，长 ，宽 矩形边上有一动点 ，沿 运动
一周，∴点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，
∴P点在AB上，此时纵坐标越来越大，最小值是1，最大值为2，
P点在BC上，此时纵坐标为定值2．
当P点在CD上，此时纵坐标越来越小，最大值是2，最小值为1，
P点在AD上，此时纵坐标为定值1．故选：D．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关
系，进而得出图象．
9．(2023·河南中原·七年级期末)一辆汽车油箱中原有汽油90升，若汽车匀速行使100km耗油9升，则该汽
车油箱中的剩余油量Q(升)与汽车匀速行驶的距离s(km)之间的关系式是____________．
【答案】
【分析】剩余的油量等于油箱中原有的油量减去总消耗的油量，由匀速行驶100km耗油9升可得出均速行
驶1km消耗的油量为0.09升，再乘以路程就是总消耗的油量．
【详解】解：∵汽车匀速行驶100km耗油9升，∴每千米消耗9÷100＝0.09升，∴Q＝90﹣0.09s，
故答案为：Q＝90﹣0.09s．
【点睛】本题主要考查列关系式，关键是要知道剩余的油量等于原有的油量减去消耗的油量，然后才能列
出关系式．
10．(2022·山东济阳·七年级期中)一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩
余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：(1)开始时，汽车的油量 ______升；
(2)在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______；
(3)当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？
【答案】(1)42；(2)5 ， 24 ， ；(3)当这辆汽车行驶9小时，剩余油量12升．
【分析】(1)直接由图象中的数据得出即可；(2)由加油前汽车每小时的耗油量，即可得出关系式；
(3)先求出加油后3小时的耗油量即可求得剩余量．
【详解】解：(1)由图象可知，开始时，汽车的油量42升，故答案为：42；
(2)由图象可知，在行驶了5小时汽车加油，加了36﹣12=24升，
∵加油前汽车每小时的耗油6升，∴加油前汽车剩余油量Q=42﹣6t，
故答案为：5 ，24 ， ；
(3)由题意，加油后汽车每小时的耗油6升，∴加油后剩余油量Q= (升)，
故当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升．
【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系、有理数的混合运算，理解题意，能从图象中获取有效信息是
解答的关键．
11．(2022•光明区期末)小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某
书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：(1)小明家到学校的路程是 米．(2)本次上学途中，小明一共行驶
了 米．一共用了 分钟．(3)在整个上学的途中最快的速度是 米/分．(4)小明当出发 分
钟离家1200米．【分析】(1)根据函数图象可以解答本题；(2)根据函数图象可以解答本题；(3)由函数图象可以得到哪段的速
度最快，进而求得相应的速度；(4)根据函数图象和图象中的数据，可以解答本题．
【解析】(1)由图象可得，小明家到学校的路程是1500米，故答案为：1500；
(2)本次上学途中，小明一共行驶了：1500+(1200﹣600)×2＝2700(米)，一共用了14(分钟)，
故答案为：2700，14；
(3)由图象可知，在整个上学的途中，12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：(1500﹣
600)÷(14﹣12)＝450米/分钟，故答案为：450；
(4)设t分钟时，小明离家1200米，则t＝6或t﹣12＝(1200﹣600)÷450，得t＝13 ，
即小明出发6分钟或13 分钟离家1200米．故6或13 ．
题组B 能力提升练
1．(2022·福建省华安县第一中学八年级阶段练习)在函数 中，自变量x的取值范围是( )
A．x≥﹣1 B．x≠3 C．x＞﹣1 D．x≥﹣1且x≠3
【答案】D
【分析】根据分式的分母不为零，二次根式被开方数非负即可得到不等式组，解不等式组即可．
【详解】由题意得： 解得： 且 故选：D
【点睛】本题考查了函数有意义的自变量的取值范围，一般地：若解析式中有分式，则分母不为零，若有
二次根式，则被开方数非负，其余情况下自变量取值无限制，实际问题要具体情况具体分析．
2．(2022·福建·厦门八年级期末)下面四个函数中，符合当自变量 为 时，函数值为 的函数是( )
A． B． C． D．【答案】C
【分析】把 代入每一个选项的函数关系式中，进行计算即可解答．
【详解】解：A．当 时， ，故此选项不符合题意；
B．当 时， ，故此选项不符合题意；
C．当 时， ，故此选项符合题意；
D．当 时， ，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查函数值，函数的概念．准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．(2022·广东高州·七年级期末)根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换
水时需要经排水﹣清洗﹣注水的过程，某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄
水2500m3，打开放水闸门匀速放水后，游泳池里的水量和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是(
)
放水时间(分钟) 1 2 3 4 …
游泳池中的水量(m3) 2480 2460 2440 2420 …
A．每分钟放水20 m3 B．游泳池中的水量是因变量，放水时间是自变量
C．放水10分钟时，游泳池中的水量为2300 m3 D．游泳池中的水全部放完，需要124分钟
【答案】D
【分析】据该游泳池共蓄水2500m3与每分钟后游泳池中的剩余水量可得，每分钟放水20m3，继而判断正
误．
【详解】解：A．由表格可得每分钟放水20m3，正确．
B．游泳池中的水量随放水时间变化而变化，故放水时间是自变量，游泳池中的水量是因变量，正确．
C．放水十分钟后，剩余水量2500﹣20×10＝2300(m3)，正确．
D．全部放完需要2500÷20＝125(分钟)，错误．故选：D．
【点睛】本题主要考查变量的表示方法：表格法，另外还有图象法和解析式法，解题关键是从实际应用中
构建变量模型求解．
3．(2022·北京市九年级其他模拟)如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑(可看作点)分别从相距8cm的A，B两
点同时开始沿线段AB运动，运动工程中甲光斑与点A的距离S (cm)与时间t(s)的函数关系图象如图2，乙
1
光斑与点B的距离S (cm)与时间t(s)的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s，且两图
2象中△P O Q ≌P Q O ，下列叙述正确的是( )
1 1 1 2 2 2
A．甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍
B．乙光斑从点A到B的运动速度小于1.5cm/s
C．甲乙两光斑全程的平均速度一样
D．甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次
【答案】C
【分析】甲乙两个光斑的运动距离与时间的图象，因为起始点不同，因而不易判断，如果图象将两个点运
到的基准点变为同一个点，再根据题意，问题即可解决.
【详解】∵甲到B所用时间为t s，从B回到A所用时间为4t ﹣t =3t ，
0 0 0 0
∵路程不变，∴甲光斑从A到B的速度是从B到A运动速度的3倍，∴A错误；
由于，△O P Q ≌△O P Q ，∵甲光斑全程平均速度1.5cm/s，∴乙光斑全程平均速度也为1.5cm/s，
1 1 1 2 2 2
∵乙由B到A时间为其由A到B时间三倍，
∴乙由B到A速度低于平均速度，则乙由A到B速度大于平均速度，∴B错误；
由已知，两个光斑往返总时间，及总路程相等，则两个光斑全程的平均速度相同，∴C正确；
根据题意，分别将甲、乙光斑与点A的距离与时间的函数图象画在下图中，两个函数图象交点即为两个光
斑相遇位置，故可知，两个光斑相遇两次，故D错误，故选C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确理解，分析两个图象纵坐标所代表的实际意义，将图象的
意义转化为动点实际运动的状态是解题的关键.
5．(2022·江苏·八年级专题练习)一个正方形的边长为 ，它的边长减少 后，得到的新的正方形周长
与 之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是__________．【答案】
【分析】自变量的范围应能使正方形的边长是正数，即满足x≥0，x＜3．
【详解】解： 自变量的范围应能使正方形的边长是正数，故x≥0，且x＜3，
解得：0≤x＜3．故答案为： 0≤x＜3．
【点睛】此题主要考查了自变量的取值范围，关键是正确理解题意，列出不等式组求解．
6．(2022·广东三水·西南中学九年级三模)已知y是x的函数，用列表法给出部分x与y的值．表中“▲”处
的数可以是 __．(填一个符合题意的答案)
x ﹣2 1 3 4
y ﹣3 6 2 ▲
【答案】1.5
【分析】观察表格发现：xy＝6，所以y＝ ，再将x＝4代入表达式，即可得出y的值．
【详解】解：观察表格发现：xy＝6，∴y＝ ，当x＝4时，y＝ ＝1.5，故答案为：1.5．
【点睛】本题考查了函数的表示方法，函数值，发现xy的值是定值是解题的关键．
7．(2022·山东肥城·八年级期末)一辆客车以从85km/h的速度从肥城驶往北京，若肥城到北京的距离为
470km，那么客车离北京的距离 (km)与所用时间 (h)的表达式为______．
【答案】
【分析】先求得 的取值范围，进而根据题意列出关系式即可．
【详解】 根据题意可得
故答案为：
【点睛】本题考查了列解析式，理解题意是解题的关键．
8．(2022·台州期末)小亮从家骑车上学，先经过一段平路到达A地后，再上坡到达B地，最后下坡到达学校，
所行驶路程s(千米)与时间t(分钟)的关系如图所示．如果返回时，上坡、下坡、平路的速度仍然保持不变，
那么他从学校回到家需要的时间是 分钟．【分析】据图象知：小明从家骑车上学，平路路程是 1千米，用3分钟；上坡的路程是1千米，用6分钟，
则上坡速度是 千米/分钟；下坡路程是2千米，用3分钟，因而速度是 千米/分钟，由此即可求出答案．
【解析】根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用6分钟，
则上坡速度是 千米/分钟；下坡路长是2千米，用3分钟，则速度是 千米/分钟，
他从学校回到家需要的时间为：2÷ +1÷ +3＝16.5(分钟)．故答案为：16.5．
9．(2022·全国八年级专题练习)已知一次函数
(1)若自变量 的范围是 ，求函数值 的范围．
(2)若函数值 的范围是 ，求自变量 的范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)先用y的代数式表示x，即 ，然后由 ，得到 ，解不等式
组即可； (2)由 得到 ，解不等式组，即可得出自变量x的取值范围．
【详解】解：(1)∵ ，又
∴ ∴ 即 且 解得：
(2)∵ ∴ 解得： ．
【点睛】此题主要考查了一次函数解析式的变形，同时考查了解不等式组的方法，同学们要熟练掌握．
10．(2022·成都市七年级期中)根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的
时间x(分钟)之间有如表所示的关系：提出概念所用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
(1)上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
(3)学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
【答案】(1)“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；(2)13分钟；(3)从第13分钟
以后开始逐渐减弱
【分析】(1)根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；(2)根据表格中两个变量变化数据得出答案；(3)
提供变化情况得出结论．
【详解】(1)表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时
间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；
(2)根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；
(3)学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．
【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义及变化关系是解决问题的关键．
11．(2022•叶县期末)新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其中最重要的一点就是对
环境的保护．如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y(千瓦时)与已行驶路程x(千米)
之间关系的图象．(1)图中点A表示的实际意义是什么？求当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是多
少？当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是多少？(2)当行驶了120千米时，求蓄电池的剩余电量；
(3)求行驶多少千米时，剩余电量降至20千瓦时？
【分析】(1)由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，进而解答即可；
(2)根据(1)中当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量，即可求解；
(3)根据(1)中当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量，即可求解．
【解析】(1)由图象可知，A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗电量是 ＝ (千瓦时)；
当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是 ＝ (千瓦时)；
答：A点表示充满电后行驶150千米时，剩余电量为35千瓦时；求当0≤x≤150时，行驶1千米的平均耗
电量是 千瓦时；当150≤x≤200时，行驶1千米的平均耗电量是 千瓦时；
(2)60﹣ ×120＝40(千瓦时)，答：当行驶了120千米时，蓄电池的剩余电量是40千瓦时；
(3) +150＝180(千米)，
答：汽车已行驶180千米时，剩余电量降至20千瓦时．
12．(2022•龙凤区校级期末)如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，
两地间的距离是80km，请你根据图象解决下面的问题．(1)谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？
早到多长时间？(2)两人在途中行驶的速度分别是多少？(3)若用y表示自行车行驶过的路程，用x表示自行
车行驶过的时间，写出y与x的关系．
【分析】(1)观察图象解答即可；(2)根据图中信息找出路程，时间，再求出速度；
(3)根据“路程＝速度×时间”可得结果．
【解析】(1)由图象可知，骑自行车者出发较早，早3小时，骑摩托者到达乙地较早，早3小时；
(2)骑自行车者速度：80÷8＝10(km/h)，骑摩托者速度：80÷2＝40(km/h)，
答：自行车的速度是10 km/h，摩托车的速度是40 km/h；
(3)由自行车的速度是10 km/h可得，y＝10x．题组C 培优拔尖练
1．(2022·山东禹城·八年级期末)根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是
﹣3，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是( )
A．10 B．14 C．18 D．22
【答案】C
【分析】将x＝8代入y＝ 中求出b＝2，再将x＝﹣8代入y＝﹣2x+b中即可求解．
【详解】当x＝8时， ＝﹣3，∴b＝2，∴当x＝﹣8时，y＝﹣2×(﹣8)+2＝16+2＝18，故选：C．
【点睛】本题主要考查了程序框图和函数值的计算，准确分析判断是解题的关键．
2．(2022·江苏徐州市·八年级期末)如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是
A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反
映y与x的函数关系的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求出不同时间段的解析式，依据解析式判断即可．【详解】解：当点P沿AD运动，即 时，y的值为0，故排除A、C选项；
当点P沿DC运动，即 时， ，图象由左到右上升；
当点P沿CB运动，即 时， ，图象平行于x轴；
当点P沿BA运动，即 时， ，图象由左到右下降；故选B．
【点睛】本题考查了函数的图象，根据题意列出函数解析式是解题关键．
3．(2022·安徽滁州市·八年级期末)如图①，在长方形 中，动点 从点 出发，沿着
方向运动至点 处停止．设点 运动的路程为 的面积为 ，如果 关于
的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是( )
A． B．长方形 的周长是 C．当 时， D．当 时，
【答案】D
【分析】
本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选项D，面积
为8时，对应x值不为10，所以错误．
【详解】解：由图2可知，长方形MNPQ的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A正确；
选项B，长方形周长为2×(4+5)=18，正确；
选项C，x=6时，点R在QP上，△MNR的面积y= ×5×4=10，正确；选项D，y=8时，即 ，解得 ，或 ，解得 ，
所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D错误；故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题分类讨论，对运动中的点R的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问
题，读懂函数图象是解题关键．
4．(2022·黑龙江林口·八年级期末)甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离
出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说
法，其中，不符合图象描述的说法是( )
A．他们都行驶了18千米； B．甲在途中停留了0.5小时；
C．乙比甲晚出发了0.5小时； D．甲、乙两人同时到达目的地．
【答案】D
【分析】直接根据图象逐一进行判断即可．
【详解】根据图象可知他们都行驶了18千米，故A正确；
甲出发后0.5-1小时直线是水平的，所以甲在途中停留了0.5小时，故B正确；
直接由图象可知乙比甲晚出发了0.5小时，故C正确；乙比甲先到达目的地，故D错误，故选：D．
【点睛】本题主要考查函数图象，能够从图象上获取信息是关键．
5．(2022·重庆九年级月考)如图1，某游池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的AB和CD两边，同
时朝着另一边以各自的速度匀速游泳，他们游泳的时间为t(s)，其中0≤t≤180，到AB边距离为y(m)，图2
中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系，以下推断：①在整个游泳过程中，
小林的总路程比小明的总路程更短；②小明游泳的速度是 m/s；③两人第一次与第三次相遇的时间间隔
是75s；④小林离AB边超过20米的总时长为36s．其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由图象可知，在整个游泳过程中，小明游了3个来回，小林游了2个来回，再根据“路程，速度
与时间”的关系逐一判断即可．
【详解】解：①正确．在整个游泳过程中，小明游了3个来回，小林游了2个来回，故小林的总路程比小
明的总路程更短；②正确．
小明游泳的速度是： ；③正确，
小林游泳的速度是： ；两人第一次相遇时间为： ，
两人第一次与第三次相遇的时间间隔是： ，小明游75米时小林游了50米；④正确．
小林远离 地超过20米的总时长为： ；故选： ．
【点睛】本题考查函数图象的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考
常考题型．
6．(2022·四川成都·模拟预测)对于不为零的两个实数a，b，如果规定：a☆b＝ ，那么函数y＝
2☆x，当y＝5时，则x的值为_______．
【答案】3或－
【分析】把 代入函数y＝2☆x中得到5＝2☆x，再根据新定义来列出一元一次方程，解方程求解．
【详解】解：根据题意得当 时，则5＝2☆x，∴ 或 ，解得 或 ．经检查 是 的根．故答案为：3或- ．
7．(2022·河南·镇平县七年级期末)综合与实践：制作一个无盖长方形盒子．
用一张正方形的纸片制成一个如图的无盖长方体纸盒．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角
减掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子．
(1)如果原正方形纸片的边长为a cm，剪去的正方形的边长为b cm，则折成的无盖长方体盒子的高为
_______cm，底面积为_____cm2，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______cm3；
(2)如果a=20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，
6cm，7cm，8cm，9cm，10cm时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表；
剪去正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
25
容积/cm3 324 512 _____ _____ 500 384 128 36 0
2
(3)观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？
( )
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
(4)分析猜想当剪去图形的边长为____时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是
____cm3．
(5)对(2)中的结果，你觉得表格中的数据还有什么要改进的地方吗？
【答案】(1)b；(a-2b)2；b(a-2b)2 (2)588；576 (3)C (4)3；588
(5)表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位
【分析】(1)根据截去的小正方形边长，得出无盖长方体盒子的高为bcm，然后求出底面边长，再求底面积，
和体积即可；(2)根据截去的边长，求出底面边长，再求出无盖的长方体盒子的体积即可；
(3)根据表格的信息可得随着减去的小正方形的边长的增大，得出无盖长方体盒子的容积变化规律；
(4)根据表格得出截去小正方形边长为整数3时，体积最大，计算即可；
(5)根据精确度要求越高，无盖长方体盒子的容积会更大些．
(1)解：无盖长方体盒子的高就是截去的小正方形边长，无盖长方体盒子的高为bcm，底面边长(a-2b)cm,底面面积为(a-2b)2cm2, 做成一个无盖的长方体盒子的体积为b(a-2b)2cm3，
故答案为：b；(a-2b)2；b(a-2b)2．
(2)解：当b=3cm， a-2b=20-6=14cm，b(a-2b)2=3×142=588cm3，
当b=4，a-2b=20,8=12cm，b(a-2b)2=4×122=576cm3，故答案为：588；576．
(3)解：随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先变大，再变小．故选择C．
(4)根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3cm时，无盖长方体盒子的容积最大
588cm3．
故答案为3,588．
(5)根据无盖长方体盒子的容积的变化，截去的正方形边长在3与4之间时，无盖长方体盒子的容积最大；
当x=3,5时，b(a-2b)2=3.5×(20-2×3.5)2=591.5cm3,
当 时，b(a-2b)2=3.25×(20-2×3.25)2=592.3125cm3,
当 时，b(a-2b)2=3.375×(20-2×3.375)2=592.5234375cm3,
当剪去图形的边长为3.3cm时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是592.548cm3．
因此表格中正方形的边长数据可以再精确一些，可以精确到小数点后一位或两位．
【点睛】本题考查无盖盒子的边长与体积关系探究，列代数式，从表格获取信息处理信息，应用信息解决
问题，掌握无盖盒子的边长与体积关系探究，列代数式，从表格获取信息处理信息，应用信息解决问题是
解题关键．
8．(2022·江苏宿迁市·八年级月考)已知动点P以每秒2cm的速度沿如图1所示的边框(相邻两边互相垂直)按
从B→C D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S(cm2)与点P的运动时间t(s)的函数图像如图2所
示，且AB=6cm，
(1)动点P在线段______________上运动的过程中△ABP的面积S保持不变；
(2)BC=______；CD=_______；DE=_______；EF=______；
(3)求出图2中的a与b的值；
(4)在上述运动过程中，求出△ABP的最大面积．【答案】(1)CD和EF；(2)8cm、4cm、6cm、2cm；(3)a=24，b=17；(4)42cm2．
【分析】(1)结合图甲可直接解答；(2)根据函数图象即可确定BC、CD、DE、EF的长度；
(3)根据三角形的面积计算公式进行计算即可；(4)根据题意可得，当点P移动到点E时面积达到最大值，然
后确定三角形的底和高，最后根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：(1)如图1所示，当动点P在线段CD和EF上运动时，△ABP的面积S保持不变
故答案是：CD和EF；
(2)当P在BC上时，以AB为底的高在不断增大，到达点C时，开始不变，
由图2可得得， P在BC上移动了4秒，则BC=4×2=8cm，
在CD上移动了2秒，CD=2×2=4cm 在DE上移动了3秒，DE=3×2=6cm，
由AB=6cm那么EF=AB-CD=2cm 故答案是：8cm、4cm、6cm、2cm；
(3)由图2得，当a是点P运行4秒时△ABP的面积，则a=S = ×6×8=24
ABP
△
b为点P走完全程的时间为：t=9+1+7=17s ∴a=24，b=17；
(4)∵点P移动到点E时面积达到最大值a,
∴S= AB(BC+DE)= ×66×(8+6)=42cm2．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象和从函数图像上获取有用的信息，从函数图象获取有用的信
息解决实际问题是成为解答本题的关键．
9．(2022•徐汇区校级期末)某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在
加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为 Q 吨，加油飞机的加油箱余油量为 Q 吨，加油时间为t(分)，
1 2
Q 、Q 与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
1 2
(1)加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 吨油；运输飞机的油箱有余油量 吨油；
(2)这些油全部加给运输飞机需 分钟；(3)运输飞机的飞行油耗为每分钟 吨油；
(4)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 小时．【分析】(1)通过观察线段Q ，Q 段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了 30吨油，运输飞机的油
1 2
箱有余油量为40吨油．(2)将这些油全部加给运输飞机中需10分钟．
(3)首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量．
(4)根据(3)中的耗油量，可直接得出最多飞行时间．
【解析】(1)由题意及图象得
加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油．故答案为：30；40．
(2)将这些油全部加给运输飞机中需10分钟；故答案为：10；
(3)∵运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，
所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨，∴运输飞机每分钟耗油量为0.1吨；故答案为：0.1；
(4)由(3)知运输飞机每小时耗油量为＝6(吨)，∴69÷6＝11.5(小时)，故答案为：11.5．
10．(2022·浙江温岭·八年级期末)公交公司员工小明住在 站点的员工宿舍，每天早上去 站点上班， 站
到 站唯一一条公交线路示意图如图1， 、 、 、 是四个公交站点，其中 、 两站相距的路程是
1200米，为了健身，小明往往沿公交线路步行到 站或 站后再乘公交车上班．
(1)星期一，小明步行到 站上车，记他距 站的路程为 米，离开 站的时间为 分， 关于 的函数图象
如图2，求 的解析式及公交车的速度；
(2)星期二，小明以与星期一相同出发时间和步行速度步行到 站上车，已知公交车无论上行( → )还是
下行( → )都每隔10分钟一班，每天始发时间和行车速度保持不变，乘客上下车时间忽略不计；
①通过计算判断小明步行到达 站时是否恰好有上行公交车到达 站；
②小明到达 站所用时间是星期一的1.5倍，求 、 两站相距的路程；
③若小明步行至 站时刚好遇见一辆下行班车，这一趟上班途中，直接写出他遇到下行班车的最短间隔时
间．【答案】(1) 公交车的速度为： 米 分；(2)①小明步行到达 站时恰好有上行公交车
到达 站；② 、 两站相距的路程是6600米；③ 分钟
【分析】(1)由图象上点 可得小明步行的速度，从而可得函数解析式；由点 的含
义可得公交车的速度；
(2)①先计算小明步行到达 站需要 分，再计算上行公交车到达 站需要 分，而
，从而可得小明步行到达 站时恰好有上行公交车到达 站；②设小明星期一所用时间为 ，
星期二到达 站所用时间为 ，可得 ， ，再利用 列方程，再解方程即可得到
答案；③由每隔10分钟一班，每辆公交车相距 米，而步行的速度小于坐车时的速度，可得最
短时间间隔发生在坐车时，从而可得答案.
【详解】解：(1)由图象可知，小明步行的速度为 (米 分)，
的解析式为 ，公交车的速度为 (米 分)；
(2)①小明步行到达 站需要 (分 ，
上行公交车到达 站需要 (分 ，
， 小明步行到达 站时恰好有上行公交车到达 站；
②设小明星期一所用时间为 ，星期二到达 站所用时间为 ，由题可知 ， ，
小明到达 站所用时间是星期一的1.5倍， ，解得 ，
、 两站相距的路程是6600米；③ 每隔10分钟一班，每辆公交车相距 (米 ，
步行的速度小于坐车时的速度， 最短时间间隔发生在坐车时，间隔时间为 (分钟)．
【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，列函数关系式，一元一次方程的应用，理解题意与理解函
数图象上点的坐标含义是解题的关键.
11．(2022·辽宁大东·七年级期末)某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生产零件的
个数y(个)与生产时间t(时)
(1)甲、乙两人中，直接写出谁先完成一天的生产任务？(2)在生产过程中，直接写出甲乙两人中谁因机器故
障停止生产？并直接写出停止生产了几小时？(3)当t＝ 时，甲、乙生产的零件个数相等；
(4)直接写出谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
【答案】(1)甲先完成一天的生产任务；(2)甲因机器故障停止生产，停止生产了2小时；(3)当t＝3或5.5或
8时，甲、乙生产的零件个数相等；(4)甲在4时—7时内的生产速度最快，他每小时生产零件的个数为10
个．
【分析】(1)从图像得甲7时完成一天的生产任务，乙8时完成一天的生产任务即可；
(2)在生产过程中，甲因机器故障停止生产，由时间推迟，生产产量不增加，在图像上找出时间段，再用减
法求出时间即可；(3)先乙生产时间大于2小时后生产效率6个/时，t时甲、乙生产的零件个数相等；再图
像上找出两图像的交点，利用方程可解；(4)求出每个时间段生产效率，在做比较即可．
【详解】解：(1)从图像得甲7时完成一天的生产任务，乙8时完成一天的生产任务，
∴甲先完成一天的生产任务；
(2)在生产过程中，甲因机器故障停止生产，由时间推迟，生产产量不增加，在图像上时间为4-2=2小时；
(3)乙生产时间大于2小时候生产效率为(40-4)÷(8-2)=6个/时
t时甲、乙生产的零件个数相等；6(t-2)+4=10,解得t=3
t=5.5时甲、乙生产的零件个数相等；t=8时甲、乙生产的零件个数相等；
∴当t=3或5.5或8时，甲、乙生产的零件个数相等；故答案为3或5.5或8；
(4)甲在4时前的生产效率为：10÷2=5个/时，在4时后的生产效率为：(40-10)÷(7-4)=30÷3=10个/时，
乙在2时前的生产效率为：4÷2=2个/时 ∴在4时至7时甲生产的速度最快，每小时生产10个零件．
【点睛】本题考查从图像上获取信息，利用生产件数=生产效率×时间解题，掌握从图像上获取信息，拐点，
水平线，交点的意义，利用生产件数=生产效率×时间解题是关键．
