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班级 姓名 学号 分数
第15章 分式(B 卷·能力提升练)
(时间：90分钟，满分：100分)
一、选择题(本题共13小题，每小题3分，共33分。)
1．(2022·湖南岳阳·八年级期中)代数式 ， ， ， ， ， 中，属于分式的有( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据分式的定义：一般地，如果 ， 表示两个整式，并且 中含有字母，那么 叫做分式，由
此即可判断．
【详解】解：分式有： ， ， ，
故选： ．
【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是掌握分式定义，注意 是数字．
2．(2022·湖南·临湘市第六中学八年级阶段练习)若分式 的值为零，则x的值为( )
A．3或−3 B．3 C．−3 D．9
【答案】C
【分析】根据分式的值为零的条件：分子=0且分母≠0，即可求出结论．
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴
解得：x=-3．
故选：C．
【点睛】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子=0且分母≠0是解决此题的
关键．
3．(2022·广东·深圳市宝安中学(集团)模拟预测)据研究发现，奥密克戎是一种新型冠状病毒，冠状病毒的平均直径为100nm，已知1nm= m，那么用科学记数法表示冠状病毒的平均直径为( )
A．1×10-9m B．0.1×10-8m C．1×10-7m D．1×10-8m
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：100nm ．
故选C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中1≤|a|＜10，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键．
4．(2021·贵州·北京市日坛中学贵阳分校七年级期中)已知 ，则a，b，c
的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将a，b，c三个数进行化简后再比较大小即可．
【详解】解： ， ， ．
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，整数指数幂，熟练掌握这些知识点是解题关键．
5．(2022·湖南岳阳·八年级期中)下列分式是最简分式的( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，可得结果．
【详解】解：A．分子分母不能分解因式，也没有公因式，是最简分式，符合题意；
B． ，不是最简分式，不符合题意；
C． ，不是最简分式，不符合题意；D． ，不是最简分式，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了最简分式，先将分子分母因式分解是解答此题的关键．
6．(江苏省南通市崇川区2015-2016学年八年级上学期期末考试数学试题)下列各式从左到右变形正确的是
A． B． C．- D．
【答案】A
【详解】A原式= ，正确；
B原式= ，错误；
C原式= ，错误；
D显然错误．
故选A
7．(2022·山东潍坊·八年级期中)已知 ，则 ( )
A． B． C．1 D．5
【答案】A
【分析】根据 得出 ，代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减以及分式性质，读懂题意，根据通分得出 是解本题的关键．8．(2021·黑龙江·兰西县崇文实验学校八年级阶段练习)一件工程甲单独做 小时完成，乙单独做 小时完
成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】甲、乙合作完成工程的时间=工作总量÷甲乙工效之和，没有工作总量，可设其为1，所以甲、乙
合做此项工程所需的时间为1÷( )= 小时．
【详解】设工作量为1，由甲1小时完成 ，乙1小时完成 ，
因此甲、乙合作此项工程所需的时间为1÷( )= 小时，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用列代数式(分式)，分式的加减乘除运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求
的量与已知量间的关系．
9．(2022·山东省淄博第五中学九年级阶段练习)关于x的分式方程 的解为正数，则a的取值
范围为( )
A．a＜5 B．a＞5 C．a＜5且a≠3 D．a＜5且a≠2
【答案】C
【分析】先去分母，然后得出方程的解，进而根据题意可列出不等式进行求解．
【详解】解：由分式方程 可得： ，
∵该分式方程的解为正数，
∴ ，且 ，
解得： 且 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
10．(2022·甘肃·临泽县第三中学九年级期中)《九章算术》中记载：“今有兔先走一百步，犬追之二百五十
步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？”大意是说：兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑
了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停的话，
再跑x步可以追到兔子，则可列方程为( )A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【答案】D
【分析】根据题意可得狗与兔子的速度比为250：180，设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：
(x-30)步，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：兔子先出发100步，狗跑了250步后距兔子30步，
∴兔子跑了250-100+30=180(步)，
即狗与兔子的速度比为250：180，
设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：(x-30)步，根据题意得：
＝ ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到狗与兔子的速度比为250：180是解题的关键．
11．(【万唯原创】2019年河北省中考数学面对面-练习册第二章2)为迎接2019年全国青运会，我市加紧城
市建设的步伐，某城区对一条全长1200m的公路进行绿化带改造，计划每天完成绿化带改造任务xm，当x
满足的方程为 时，下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是( )
A．实际每天比计划多完成改造任务300m，实际所用天数是计划的
B．实际每天比计划少完成改造任务300m，计划所用天数是实际的
C．实际每天比计划多完成改造任务300m，计划所用天数是实际的
D．实际每天比计划少完成改造任务300m，实际所用天数是计划的
【答案】A
【分析】根据所列方程得到等式关系，分析公式中 和 分别代表的含义，并结合等式关系作出
正确判断．
【详解】解：设计划每天完成绿化带改造x米，则(x+300)表示实际每天比计划多改造300米，
其中 和 都是表示的工作时间，前者表示按计划进行所需的天数，后者表示按照实际施工速度
进行所需的天数，∴当x满足方程 时，实际每天比计划多改造300米，实际所用天数是计划天数的 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系，找到关键描述语，找
到等量关系是解决问题的关键．
二、填空题(共5小题，每题3分，共15分)
12．(2021·广西·北海市实验学校八年级期中)要使分式 有意义，则x的取值应满足_____．
【答案】
【分析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴x的取值范围是： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
13．(2021·全国·八年级课时练习)填空：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不，从而
求出答案．
【详解】解：(1) ；
(2) ．
故答案为：(1) ；(2) ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，一定要熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，是一道基础题．
14．(2022·辽宁·盘山县教师进修学校八年级期末)计算：x2y-3 ·(x-1y)3＝_________．
【答案】
【分析】先计算积的乘方，再利用利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【详解】解：x2y-3 ·(x-1y)3
= x2y-3 ·x-3y3
=x2-3·y-3+3
=x-1
= ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的法则的掌握．积的乘方法则：
先把各因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘：底数不变，指数相加即可解答．
15．(山东省威海乳山市(五四制)2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题)如果 ，那么代数
式 的值是__________．
【答案】3
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 代入计算即可．
【详解】解：原式＝
∵ ，
∴原式= ．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
16．(河南省南阳市西峡县城区第二初级中学2021-2022学年八年级下学期第一学月月考数学试题)数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现： ．因此就将具有这样性质的三个数称为调和
数，如6，3，2也是一组调和数．现有一组调和数：x，5，3(x＞5)，则x=______．
【答案】15
【分析】根据题意，利用已知规律求未知数，从x＞5判断，x是调和数中最大的数．
【详解】解：∵x＞5，
∴x是调和数中最大的数，
依题意得， ，
解得，x=15．
经检验得出：x=15是原方程的解．
故答案为：15．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是通过观察分析，注意调和数的大小关系．
17．(2022·安徽·亳州市黉学英才中学七年级阶段练习)关于x的分式方程 无解，则a=______．
【答案】4或-3##-3或4
【分析】分两种情况分别计算，①当a-4=0时，该整式方程无解，②当a-4≠0时，由分式方程无解得到增
根x=0或x=3，代入整式方程即可求解．
【详解】解：去分母并整理得(a-4)x=-21，
①当a-4=0时，该整式方程无解，
此时a=4；
②当a-4≠0时，要使原方程无解，
则x(x-3)=0，即x=0或x=3，
把x=0代入整式方程，a的值不存在，
把x=3代入整式方程，得a=-3．
综合①②得a=4或a=-3．
故答案为：4或-3．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个
整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
三、解答题(52分)
18．(2022·吉林省实验中学八年级期中)(6分)计算：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先根据乘方运算法则进行计算，然后再按照分式除法运算法则进行计算；
(2)按照异分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】(1)解：
(2)解：
【点睛】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合运算和异分母分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分
式混合运算法则，准确进行计算．
19．(2022·四川·成都市西川汇锦都学校八年级阶段练习)(8分)解分式方程：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】(1)方程两边都乘 得出 ，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)方程两边都乘 得出 ，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】(1)解： ，
方程两边都乘 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解，
即原分式方程的解是 ；
(2)解： ，
方程两边都乘 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是增根，
即原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
20．(2022·四川·成都市西川汇锦都学校八年级阶段练习)(6分)先化简： ，再从 ， ，
中选取一个合适的数作为 的值代入求值．
【答案】 ，2
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
， ，
， ，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
21．(贵州省遵义市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题)(6分)化简运用：小丽在求解一个有解的分
式方程 ＝▓时，将等号右边的值写错，又找不到原题目了，但肯定的是“▓”为三
个“有理数的特殊数”﹣1，0，1中的一个，请你帮她确认这个数．并求出原分式方程的解(提示：先化简
分式再求解方程可不写出确认“▓”的过程，但要写出解方程的过程)．
【答案】这个数为1，分式方程的解为x＝0．
【分析】等式左边利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出右边的数字，求出解即可．
【详解】解：等式左边＝﹣ ＝﹣ ，
当﹣ ＝﹣1时，去分母得：﹣x+1＝﹣x﹣1，此方程无解，不符合题意；
当﹣ ＝0时，去分母得：x﹣1＝0，解得：x＝1，原分式方程无解，不符合题意；
当﹣ ＝1时，去分母得：﹣x+1＝x+1，解得：x＝0，经检验是分式方程的解，符合题意，
综上，这个数为1，分式方程的解为x＝0．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．(2022·河南·辉县市太行中学八年级期中)(8分)王明和高岩利用假期时间进行了两次徒步爬山活动．
(1)第一次爬北岳恒山，他们沿通往主峰的山路爬到某景点A，行程2000米，两人从山脚同时出发．王明爬
的很快，其平均速度是高岩的1.25倍，结果比高岩早到10分钟到达景点A，求王明爬山的平均速度是每分钟多少米．
(2)第二次爬五台山，王明爬到了顶峰用了n(n＞2)小时，高岩爬到顶峰所用的时间是王明的1.1倍还多1小
时，那么王明爬山的平均速度是高岩的2倍吗?请说明理由．
【答案】(1)王明爬山的平均速度是每分钟50米
(2)王明爬山的平均速度不是高岩的2倍．理由见解析
【分析】(1)设高岩爬山的平均速度是每分钟x米，则王明爬山的平均速度是每分钟 米，根据“王明
比高岩早到10分钟到达景点”列出方程并解答；
(2)根据已知条件得出王明爬山的平均速度是 ，高岩爬山的平均速度是 ，再用王明的平均爬山速
度除以高岩的平均爬山速度，然后进行整理，即可得出答案．
【详解】(1)解：设高岩爬山的平均速度是每分钟x米，则王明爬山的平均速度是每分钟 米，
根据题意得： ，
解得： ．
经检验 是原方程的解，所以 ，
答：王明爬山的平均速度是每分钟50米；
(2)王明爬山的平均速度不是高岩的2倍．
理由如下：由题意知，王明爬山的平均速度是 ，高岩爬山的平均速度是 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴王明爬山的平均速度不是高岩的2倍．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要
根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
23．阅读理解(9分)
【提出问题】(1)已知 ，求分式 的值；
【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数 ，得出 ， ， 与 的关系，然
后再代入待求的分式化简即可；
【解决问题】
(2)设 ，则 ， ， ，将它们分别代入 中并化简，可得分式 的值
为________；
【拓展应用】
(3)已知 ，求分式 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】解：(1)【解决问题】 ；
(2)【解法提示】把 ， ， 代入得，
原式 ．
(3)【拓展应用】令 ，则 ， ， ，
原式 ．
24．(湖北省武汉市高新区2019-2020学年八年级上学期期末数学试题)(9分)一辆汽车开往距离出发地
的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1．5倍匀速行驶，
并比原计划提前 到达目的地，设前一个小时的行驶速度为
(1)直接用 的式子表示提速后走完剩余路程的时间为
(2)求汽车实际走完全程所花的时间．
(3)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以 的速度行驶，另一半路程以 的速度行驶( )，
朋友提醒他一半时间以 的速度行驶,另一半时间以 的速度行驶更快，你觉得谁的方案更快？
请说明理由．【答案】(1) ；(2) 小时；(3)故朋友方案会先到达
【分析】(1)根据题意即可用 的式子表示提速后走完剩余路程的时间；
(2)根据题意可以列出相应的分式方程，求出x，即可求出汽车实际走完全程所花的时间；
(3)设出总路程和两种方案所用时间，作比后利用不等式的性质比较两种方案所用时间的大小．
【详解】(1)用 的式子表示提速后走完剩余路程的时间为
故答案为 ；
(2)由题意可得， +1+ = ，
解得，x＝60
经检验x＝60时，1.5x≠0，
∴x＝60是原分式方程的解，
即原计划行驶的速度为60km/h．
∴汽车实际走完全程所花的时间为 +1= 小时；
(3)设总路程s，司机自己的方案时间为t，朋友方案时间t，
1 2
则t=
1
∴t= ，
2
∴
因为m≠n，
所以，(m＋n)2＞4mn，
所以 ＞1，
所以， ＞1．t＞t．
1 2
故朋友方案会先到达．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，注意要验根．
