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专题 08 平行四边形的性质和判定的八类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段
类型二、利用平行四边形的性质求面积
类型三、利用平行四边形的性质求动点问题
类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）
类型五、利用平行四边形的性质证明
类型六、利用平行四边形的判定和性质求解
类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图
类型八、利用平行四边形的判定和性质证明
压轴专练
类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段
方法总结
1. 性质对应：明确问题所求（角或线段），选择平行四边形对应性质（如对角相等、对边相等、对角
线互相平分）。
2. 构建方程：根据选定的性质，将已知量和未知量建立等量关系，列出方程求解。
解题技巧
1. 标注已知：在图形上清晰标注已知条件，便于直观发现关系。
2. 性质联用：求角度常联用“对角相等”与“邻角互补”；求线段常联用“对边相等”与“对角线互
相平分”。
例1．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在 中，若 ， ， ，则
．
【变式1-1】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小驰用四根木条钉成一个 木框，推动
得到 ．现测得 ， ，则 的度数为 ．【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图， 的对角线相交于点 ，过点 的直线 分
别交 ， 于点 ， ， ． 的长度是 ．
【变式1-3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在 中，点 在 边上，且 于点 ，
平分 ．若 ， ，则 的长为 ．
类型二、利用平行四边形的性质求面积
方法总结
1. 公式应用：平行四边形面积 = 底 × 对应高，需确保底和高互相垂直对应。
2. 割补转化：将平行四边形通过割补法转化为矩形或三角形，利用其面积公式间接求解。
解题技巧
1. 确定对应：明确所选底边，并找到（或计算）该底边上的高。
2. 等积变换：利用“同底等高”或“等底等高”模型，将未知面积转化为已知图形的面积。
例2．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形 是平行四边形，若平行四边形 的面积
是 ，则阴影部分的面积 ．
【变式2-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，点E是 内任意一点．若 的面积是
6，则涂色部分的面积是 ．【变式2-2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，点E、F是平行四边形 的边 上两点，点G
是边 上一点，若平行四边形 的面积是 ，则 与 以及 的面积之和为
．
【变式2-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图， 的面积是32，点E，G在 上，点F，H
在 上，且 ， ，点M，N在 上，点P在 上，则阴影部分的面积是 ．
类型三、利用平行四边形的性质求动点问题
方法总结
1. 分类讨论：根据动点位置（在线段上、延长线上等），画出所有可能情形的平行四边形示意图。
2. 性质建等量：利用平行四边形对边平行且相等，建立关于动点坐标或线段长的方程。
解题技巧
1. 参照系选择：以图形中已知定点为参照，用含t的式子表示动点坐标或线段长。
2. 排除增解：解方程后需检验结果是否满足动点运动范围（如在线段上），舍去不合题意的解。
例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形 的边长为 ，动点 从点 出发，沿
的路径以 的速度运动；动点 从点 出发，沿 的路径以 的
速度运动．若动点 同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为 ，则
当 的值为 时，点 ， ， 以及 的边上一点 恰好能构成一个平行四边形．【变式3-1】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在 中， ， ， ，点
为直线 上一动点，则 的最小值为 ．
【变式3-2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形 中， ， ，
， ， ．动点 从点 出发，沿射线 以每秒 的速度运动．动点 同
时从点 出发，在线段 上以每秒 的速度向点 运动；当动点 到达点 时，动点 也同时停止运
动．设点 的运动时间为 秒，当以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时， 的值为
．
【变式3-3】（2024·江西南昌·模拟预测）在 中， ， ， ，点 为平行四边形
边上的动点，且满足 是直角三角形，则 的长度是 ．
类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）
方法总结
1. 逐项分析：对每个结论单独分析，判断其是否由已知条件结合平行四边形性质必然推出。
2. 反例排查：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊平行四边形（如矩形、菱形）进行检验。
解题技巧
1. 性质链推理：系统梳理“边、角、对角线”三条线索的性质及其推论，形成推理链条。
2. 图形直观法：准确画出一般平行四边形（非特殊）示意图，结合测量估算快速排除明显错误结论。
例4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图， 的对角线 ， 交于点O， 平分 交
于点E，且 ， ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．成立的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式4-1】（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知
， ， ，点F是边 中点，则下列结论：①
是等边三角形，② ，③ ，④四边形 是平行四边形，其中正确结论的个数是（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式4-2】（2025·河北唐山·二模）如图，在正六边形 中， 是对角线 上的两点．添加
下列条件中的一个：① ；② ；③ ；④ ．能使四边形
是平行四边形的条件的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图， 是 的对角线，过点B作
交 于点G，垂足为E，过点D作 交 于点H，垂足为F，连接 ．则下列结论：①
；②四边形 是平行四边形；③ ；④ 平分 的周长；⑤，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
类型五、利用平行四边形的性质证明
方法总结
1. 性质选择：根据待证结论（边相等、角相等、线平行等），选用平行四边形对应的边、角、对角线
性质。
2. 逻辑递推：从已知条件出发，结合所选性质，逐步推导出目标结论，形成完整证明链。
解题技巧
1. 标注关键：在图上明确标出已知的等边、等角或平行关系，为推理提供直观线索。
2. 灵活转化：若直接性质不足，可先证三角形全等或利用“对边平行”得出角相等，为后续证明铺
路。
例5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形 中， ， ，垂足分别为
E，F，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【变式5-1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在 中，对角线 与 相交于点 ，过点 作
于 ，过点 作 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长度．
【变式5-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图， 的对角线 ， 相交于点 ，点 在
上，点 在 上，连接 ，使 恰好经过点 ．(1)求证： ．
(2)若 ， ， ，求 的长．
(3)记四边形 的面积为 ， 的面积为 ，用等式表示 和 的关系为 ．
【变式5-3】（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①， 的对角线 ， 相交于点 ，直
线 过点 ，与 ， 分别交于点 ， ．求证： ．
（2）如图②，将 沿过对角线交点 的直线 折叠，使点 落在点 处，点 落在点 处，
交 于点 ， 与 ， 分别交于点 ， ．求证： ．
类型六、利用平行四边形的判定和性质求解
方法总结
1. 先判后用：先依据已知条件（如一组对边平行且相等）判定四边形是平行四边形。
2. 再用性质：在判定为平行四边形的基础上，应用其性质（对边相等、对角相等）进行求解。
解题技巧
1. 判定优选：优先选择条件最直接、步骤最少的判定定理（如“两组对边分别相等”）。
2. 性质联用：求解时综合运用多条性质（如对边平行与对角线互相平分结合）建立方程。
例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， 是边 上一点，，连接 ， ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ， ，求 的长．
【变式6-1】（2025·贵州遵义·一模）如图，平行四边形 的对角线 交于O， ，连接
．
(1)求证四边形 是平行四边形；
(2)若点E是 的中点， 的面积为2，求四边形 的面积．
【变式6-2】（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在 中， 是 的中点，延长 至 ，使得
，连接 ，延长 至点 ，使得 ，连接 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)连接 交 于点 ，若 ， ， ，求 的长．
【变式6-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ，点D在边BC所在的直线
上，过点D作 交AB于点E， 交AC于点F．(1)当点D在边BC上时，如图①，求证： ．
(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、
图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
(3)若 ， ，求DF的长．
类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图
方法总结
1. 依性质作图：利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，作平行线或截取等长线段。
2. 依判定构图：以满足平行四边形判定条件（如两组对边分别平行、一组对边平行且相等）为目标设计步
骤。
解题技巧
1. 先定一组对边：通常先作出一条边，再作其平行且相等的对边。
2. 对角线中点法：利用对角线互相平分，先定对角线中点，再确定顶点。
例7．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，在 中，点 为 的中点，请仅用无刻度直尺完成
以下作图（保留作图痕迹）：
(1)在图1中， ，作出 中 边上的高 ；
(2)在图2中，过点 作 的平行线 ．
【变式7-1】（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在平行四边形 中，点E是 边上一点．请
仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图（1）中， ，作一个三角形，使其面积为 的两倍；
(2)在图（2）中，E为 的中点，在 作一点F，使线段 ．
【变式7-2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在 中，点E是边 的中点， 是对角线，
请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）(1)如图1，在边 上找一点O，使 平分 的面积；
(2)如图2，分别在 边上找点P，M，N，作
【变式7-3】（2025·浙江衢州·三模）数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形 的边 上取一
点P，使得 是以 为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度
为半径作弧，分别交 ， 于点M，N；②以点A为圆心， 长为半径作弧，交 于点E：③以点
E为圆心，以 长为半径作弧，在 内部交前弧于点F；④连接 并延长，交 于点P．
(1)通过作图可以得到 的依据是______；
(2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留
作图痕迹；
(3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线 ，发现 恰好经过点P，此时小聪同学发现
， ， 都是等腰三角形，求 的度数．
类型八、利用平行四边形的判定和性质证明
方法总结
1. 判定为先：根据已知条件，选择恰当的判定定理证明四边形是平行四边形。
2. 性质导出：利用平行四边形的性质，推导出所需结论（如边相等、角相等、线段平行）。
解题技巧
1. 判定优选：优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等简捷判定方法。
2. 数形互化：将图形中的等量、平行关系转化为代数方程，或利用全等三角形辅助判定与证明。
例8．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在 中， ， 分别是边 ， 上的中线，
与 相交于点 ，点 ， 分别是 ， 的中点．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证： ；
(3)试猜想 与 的数量关系并给予证明．
【变式8-1】（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行
四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
（1）如图①，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，求证： ， ．
【知识应用】
（2）如图②，在 中， 为 的中点．延长 到点 ，使得 ，延长 到点 ，使得
，连接 ， ， ．若 ，请你探究线段 与线段 之间的数量关系．写出你的结
论，并加以证明．
【变式8-2】（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形 中，点O是对角线 中点，点E在边 上，
的延长线与边 交于点F，连接 ､ ，如图1．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)在（1）中，若 ，过点C作 的垂线，与 ､ ､ 分别交于点G､H､R，如图2
①当 ， 时，求 的长．
②探究 与 的数量关系，直接写出答案．【变式8-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形 中，点 在平行四边形 内，连
接 ， ， ， 是等腰直角三角形， ，其中 ．
(1)如图 ，求 的度数；
(2)如图 ，在 上取点 使得 ，求证： ；
(3)如图 ，在 问的条件下，若 、 、 在同一直线上，当 时，求平行四边形 的面积．
一、单选题
1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平行四边形 中，若∠A与∠B的度数之比为 ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形 中， 平分 交 边
于点 ，则线段 的长度分别为（ ）
A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线
AC上的两点．给出下列四个条件：① ；② ；③ ；④ ．其
中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，对角线 ， 交于点O，EF过点O．下列
结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，点P、Q是平行四边形 的边 上一点，且 ，
相交于R，连接 ，且 恰好平分 ，若 ，则点C到 的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形 中， ， 相交于点 ，点 ， 在对角
线 上，且 ， ．要使四边形 为平行四边形，则应添加的条件是
（写出一种情况即可）．7．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片 折叠成如图所示的图形， 为折痕，
点 的对应点为 ．若 ， ，则 的度数为 ．
8．（25-26八年级下·全国·周测）如图， ， ， ， ．若 ，
，则 的长为 ．
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知 ，
， ， ．当 时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E
的距离为 cm．
10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在 中， ，将 绕点 逆时
针旋转角 得到 ，连接 ．当 为等腰三角形时， 的值为 ．三、解答题
11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 的两条对角线 、 相交于点 ，点 、 分别
是 、 上的中点．连接 、 ．求证： ．
12．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ，
，垂足分别为 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，当 时，求 的面积．
13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，
连接AE，ED，过点C作 交ED的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若 ， 的面积为8，求 的面积．
14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点E在 内部，连接AE，BE，CE，DE，分别过点
A，D作 ， ．(1)求证： ．
(2)设 的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求 的值．
15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图， ， ， ，垂足分别为 ， ，
， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ， ，则 ____________．
16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图， 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，
．点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，连接 并延长，交 于点
．设点 的运动时间为 ．
(1)求 的长（用含 的代数式表示）．
(2)当四边形 是平行四边形时，求 的值．
(3)当点 在线段 的垂直平分线上时，直接写出 的值．
17．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在四边形 中， ，对角线 ， 相交于点
，且 ．(1)求证：
．
四边形 为平行四边形．
(2)过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，连结 若 ， ，求
的度数．
18．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图 ，在四边形 中， ， ， ，
， ．动点 从点 出发以每秒 个单位的速度沿 向终点 运动，点 从点 出发，以每
秒 个单位的速度沿射线 运动，点 和点 同时出发，当点 运动到点 时，点 也停止运动，设点
的运动时间为 （秒）（ ）．
(1) _________．
(2)当点 运动到 的垂直平分线上时，求 的值．
(3)当以点 ，点 ，点 ，点 为顶点的四边形是平行四边形时，求 的值．
(4)如图 ，作点 关于直线 的对称点 ，则当点 落在直线 上时，直接写出 的值．
