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人教版八年级上册数学期末培优检测卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全册； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式是分式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的概念，解答本题的关键在于熟练掌握分式的概念，逐个分析选项即可求解．
【详解】解：判断式子是否为分式，就看分母中是否含有字母，如果含有字母即为分式，否则为整式．
A. 分母中不含字母，所以不是分式，故不符合题意；
B. 分母中含有字母 ，所以是分式，符合题意；
C. 分母中不含字母，所以不是分式，故不符合题意；
D. 分母中不含字母，所以不是分式，故不符合题意．
故选：B．
2．下列算式，正确的是（ ）
A． B． ·
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，直接利用单项式乘单项
式、同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断，进而得出答案．
【详解】解：A． 不是同类项不能合并，故此选项不合题意；
B． ，故此选项不合题意；
C． ，故此选项不符合题意；D． ，故此选项符合题意．
故选：D．
3．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，据此对各选项分析判断即可
求解．
【详解】A选项：等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B选项： ，它不是因式分解，故本选项不符合题意；
C选项：等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D选项：该变形符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意．
故选：D
4．若分式 中a，b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的20倍 B．扩大到原来的10倍
C．缩小到原来的 D．不变
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质．分别用 、 去代换原来的a、b，利用分式的基本性质化简即
可．
【详解】解：分别用 、 去代换原来的a、b，
得： ，
则此分式的值是原来分式值的 ，
故选：C．
5．剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一。以下剪纸作品中，轴对称图形是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，
这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选不项符合题意．
故选：C．
6．如图， ， 于F， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，垂线的定义．先根据平行线的性质得到
，再由垂线的定义得到 ，由此即可利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
7．如图，正方形卡片 类、 类和长方形卡片 类各若干张，如果要拼成一个长为 ，宽为
的大长方形，则需要 类、 类和 类卡片的张数分别为（ ）A．3，5，2 B．2，3，7 C．2，5，7 D．3，7，2
【答案】B
【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是正确求出长方形的面积，本题属于基础题型． 根据多
项式乘多项式的运算法则可求出长方形的面积．
【详解】长方形的面积为
A类卡片的面积为 ，B类卡片的面积为 ，C类卡片的面积为 ，
需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张．
故选∶B．
8．如图，在 中， ， 分别是 上的点，且 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，根据等腰三
角形的性质得到 ，证明 ，得到 ，根据三角形的外角的性质求出
，根据三角形内角和定理计算即可，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定
理、三角形的外角的性质是解题的关键．
【详解】解： ，
，
在 和 中，
，，
，
，
，
，
故选：D．
9．如图，在 中， ．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折
线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A
运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且 ，过点
P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当 与 全等时，t的值不可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．6
【答案】C
【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．本题考查了三角形全等的性质、一元一次
方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．
【详解】解：当P在 上，Q在 上时，如图，过点P，Q，C分别作 直线l于点E， 直线l
于点F， 于点D，
∵ ，
∴ ，∵ 于E， 于F．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当P在 上，Q在 上时，即P、Q重合时，则 ，
由题意得， ，
解得 ；
当P在 上，Q在 上时，即A、Q重合时，则 ，
由题意得， ，
解得 ．
综上，当 与 全等时，t的值为2或 或6．
∴t的值不可能是3．
故选：C．
10．如图， 中，点E、F分别是 延长线上一点， 、 的角平分线 交于
点P，连接 ，过点P作 ， 垂足分别是点M、N，则下列结论中正确的个数（ ）
① 平分 ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定．过点 作
于 ，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明 和 ，根据全等三角形的性质得出可判断③和④．
【详解】解：过点 作 于 ，
∵ 平分 ， 平分 ， ， ， ，
， ，
，
∴点 在 的角平分线上，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中， ，
，
， ，
同理： ，
， ，
∴ ，故③正确；
，
，故④正确；
与 不一定相等，故②错误，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．六边形的外角和是 ．
【答案】 /360度
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，根据任何多边形的外角和都是 即可得出答案，熟练掌握任何多边形的外角和都是 是解此题的关键．
【详解】解：六边形的外角和是 ，
故答案为： ．
12．若分式 的值为0，则 ．
【答案】2023
【解析】略
13．如图，在四边形 中， ，根据“ ”添加条件 可得
．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
【详解】解：∵ ．
要用“ ”判定 ，由于 是公共边，则需要斜边对应相等，
∴需添加条件 ．
故答案为： ．
14．若 是一个完全平方式，则 的值为 ．
【答案】 或7
【分析】本题主要考查了完全平方公式，先将代数式写成完全平方的形式，然后计算、比较即可解答；掌
握完全平方公式 是解题的关键．
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，解得： 或7．
故答案为 或7．15．若关于 的分式方程 有正数解，求 的取值范围 ．
【答案】 且
【分析】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．解
分式方程得到 ，结合已知可得 ，同时注意，分式方程中 ， ，所以 ，
则可求 的取值范围．
【详解】解：分式方程两边同时乘以 ，得
，
整理，得 ，
解得 ，
方程有正数解，
，
解得 ，
， ，
，
∴ 且 ，
的取值范围是 且 ，
故答案为 且 ．
16．如图已知 为射线 上一动点（ 不与 重合）， ， ，当以 ， ， 三个
点中的某两个点与 点为顶点的三角形是等腰三角形时， 的度数为 ．【答案】 或 或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，先根据题意画出符合的情况，
再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：分为以下5种情况：
① ，
∵ ，
∴ ；
② ，
∵ ，
∴
∴ ；
③ ，
∵ ，∴ ，
∴ ；
④ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
⑤ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
所以当 或 或 时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，
故答案为： 或 或 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．（1）计算：
（2）分解因式：
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了整式的乘除混合运算，分解因式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算积的乘方，再计算同底数幂除法，最后计算同底数幂乘法即可；（2）综合提公因式法和公式法分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18．先化简，再求值： ，其中 、 满足
．
【答案】 ；
【分析】本题考查了整式的化简求值、乘方运算的符合规律、算术平方根的非负性，根据整式的混合运算
法则进行化简，再根据乘方运算的符号规律和算术平方根的非负性可得 ， ，再将其代入原式即可
求解，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
，
， ，
即 ， ，
将 ， 代入原式得： ．
19．（1）先化简，再求值： ，其中 ， ；（2）解方程： ．
【答案】（1） ， （2）
【分析】（1）先计算括号里面的，然后将除法转化为乘法，再利用完全平方公式，约分即可．最后将 和
求值代入即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，检验．
【详解】解：（1）
，
，
，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴原式 ．
（2）
整理得： ，
去分母得： ，
去括号，移项得： ，
解得： ，
当 时， ，
∴ 是方程的解．【点睛】本题主要考查了解分式方程以及分式化简求值，零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式，正确
计算是解题的关键．
20． 如图， 为 的中线， 为 的中线．
(1)若 ， ，求 的度数．
(2)作 的边 上的高，若 的面积为 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形外角以及三角形中线的性质，作三角形的高；
（1）利用三角形外角的性质即可求得；
（2）过 点作 于 ， 即为 的边 边上的高；三角形的中线将三角形的面积等分成两
份，从而求出 的面积．
【详解】（1）解：
（2）如图所示，过点 向 作垂线，设垂足为 ，则 为 的边 上的高．
∵ 为 的中线，
∴ ，
∵ 为 的中线，
∴
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图， 是 的角平分线， 分别是 和 的高．(1)试说明 垂直平分 ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解
(2)3
【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，与三角形高
有关的计算等知识．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题．
（1）由角平分线的性质定理可推出 ，从而可证 ，即得出 ，结
合 ，即证明 垂直平分 ；
（2）由图可知 ，结合 和三角形面积公式可得出
，即 ，解出 的值即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的角平分线， 分别是 和 的高．
∴ ．
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 垂直平分 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
22．如图，在 中， 平分 ，交边 于点 ，点 是边
的中点．点 为边 上的一个动点．
(1) ______， ______度；
(2)当四边形 为轴对称图形时，求 的长；
(3)若 是等腰三角形，请直接写出 的度数；
【答案】(1)3，45；
(2)3；
(3) 或 或 ．
【分析】（1）根据题意可得 ，则 ，即可求出 的长，再根据角平分线的性质即
可求出 的度数．
（2）根据轴对称图形的性质即可解答．
（3）根据题意可得 ，分三种情况：当 时；当 时；当 时．再依次根
据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
点 是边 的中点，
，
平分 ，
；
故答案为：3，45；（2） 四边形 为轴对称图形， 平分 ，
对称轴为直线 ，
；
（3） 平分 ，
，
当 时，
，
；
当 时，
；
当 时，
；
综上， 的度数为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形、角平分线
的性质，掌握轴对称图形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题关键．
23．阅读材料：
我们知道， ，类似地，我们把 看成一个整体，则
．
“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把 看成一个整体，合并 ______；
(2)已知 ，求 的值；
(3)探索：已知 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题主要考查整式的混合运算，完全平方公式的变形运用，整体代入计算的运用，掌握整式的混
合运算法则，完全平方公式的运用是解题的关键．
（1）根据材料提示的“整体思想”的运算方法即可求解；
（2）将代数式 变形为 ，再运用整体代数计算即可；
（3）运用完全平方公式变形，再整体代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为： ．
（2）解： ，
∵ ，
∴原式 ．
（3）解：已知 ， ，
∴ ， ，
∵
，
∴
．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．定义：若分式A与分式 的差等于它们的积．即 ，则称分式 是分式A的“可存异分式”．如 与 ．因为 ， ．所以 是 的“可存
异分式”．
(1)填空：分式 ________分式 的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）
(2)分式 的“可存异分式”是________；
(3)已知分式 是分式A的“可存异分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数 使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(4)若关于 的分式 是关于 的分式 的“可存异分式”，求 的值．
【答案】(1)不是
(2)
(3)① ；②分式A的值是1，3，5；
(4)520
【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可；
（2）设 的“可存异分式”为 ，根据定义得出 ，利用分式混合运算法则求出N即
可；
（3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可；
②根据整除的定义进行求解即可；
（4）设关于 的分式 的“可存异分式”为M，求出 ，根据关于 的分式
是关于 的分式 的“可存异分式”，得出 ，求出 ，
代入求值即可．【详解】（1）解：∵ ，
，
∴ ，
∴分式 不是分式 的“可存异分式”；
故答案为：不是．
（2）解：设 的“可存异分式”为 ，则 ，
∴ ，
∴
．
故答案为： ．
（3）①∵分式 是分式A的“可存异分式”，
∴ ，
∴ ，
∴；
②∵整数 使得分式A的值是正整数， ，
∴ 时， ，
时， ，
时， ，
∴分式A的值是1，3，5；
（4）解：设关于 的分式 的“可存异分式”为M，则：
，
∴
，
∵关于 的分式 是关于 的分式 的“可存异分式”，
∴ ，
整理得： ，
解得： ，
∴．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练
掌握分式混合运算法则，准确计算．
25．【问题情境】在 和 中， ， ， ．
(1)【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接 、 ，延长 交 于点F，则
与 的数量关系是________，位置关系是________；
(2)【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接 交 于点H，连接 交 于点
F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？
(3)【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接 并延长 交 于点G， 的大小固定吗？若固
定，求出 的度数；若不固定，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)成立，理由见详解；
(3) ，理由见详解．
【分析】（1）证明 ，得到 ，由对顶角相等得到 ，所以
，即可解答；
（2）证明 ，得到 ，又由 ，得到 ，即可解答；
（3） ，如图3，过点C作 ， ，垂足分别为M、N，由 ，得到
， ，证明得到 ，得到 平分 ，由 ，得到 ，所以 ，根据对顶角相等得到 ．
【详解】（1）证明：如图1，
在 和 中，
，
，
，
，
，
；
故答案为： ；
（2）解：成立，证明：如图2，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
；
（3） ，
如图3，过点C作 ， ，垂足分别为M、N，
，
，
，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明
，得到三角形的面积相等，对应边相等．
