19.2.3一次函数与方程、不等式(精讲)-重要笔记八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)（原卷版）_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_旧版-可参考_07专项讲练

19.2.3一次函数与方程、不等式 一次函数与一元一次方程的关系 y kxb k b y 一次函数 （ ≠0， 为常数）.当函数 ＝0时，就得到了一元一次方 kxb0 x kxb 程 ，此时自变量 的值就是方程 ＝0的解.所以解一元一次方程就可以 转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. y kxb k b x 从图象上看，这相当于已知直线 （ ≠0， 为常数），确定它与 轴交 点的横坐标的值. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出 它的解的个数． 题型1：一次函数图象与一元一次方程的解 1.如图，直线 y＝kx+b（k≠0）与 x 轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是 （ ） A．k＞0，b＜0 B．直线上两点（x ，y ），（x ，y ），若x ＜x ，则y ＞y 1 1 2 2 1 2 1 2 C．直线经过第四象限 D．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5 【变式1-1】如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，2），则方程 kx+b＝2的解是（ ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无法确定 【变式1-2】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结 论中正确的是（ ）x … ﹣1.5 0 1 2 … y … 6 3 1 ﹣1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 【变式1-3】如图，根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）当x＝1时，代数式kx+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 题型2：解一元一次方程与一次函数坐标轴交点 2.一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（ ） A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（a，0） D．（﹣b，0） 【变式2-1】如图所示，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），则关于x方程 kx+b＝0（k≠0）的解是x＝ ． 【变式2-2】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A，B两点． （1）求此一次函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出关于x的不等式kx+b＜4的解集．【变式2-3】已知一次函数y＝2x﹣1的图象如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）写出一次函数的图象与x轴y轴的交点坐标； （2）写出方程2x﹣1＝3的解； （3）写出函数值小于3时自变量x的取值范围． 一次函数与一元一次不等式 axb axb axb 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为 ＞0或 ＜0或 ≥0或 axb a b a ≤0（ 、 为常数， ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次 y axb 函数 的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的 取值范围. x axb a 注意：求关于 的一元一次不等式 ＞0（ ≠0）的解集，从“数”的角度看， x y axb y axb 就是 为何值时，函数 的值大于0？从“形”的角度看，确定直线 x y 在 轴（即直线 ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 如何确定两个不等式的大小关系： axbcxd （a≠c，且ac0）的解集 y axb的函数值大于 y cxd的函数值时的自变量x取值范围直线 y axb 在直线y cxd的上方对应的点的横坐标范围． 题型3：一次函数图象与一元一次不等式解集 3.．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（ ） A．x＞5 B．x＜5 C．x＞2 D．x＜2 【变式3-1】如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＜2的解集是（ ）A．x＜0 B．x＞2 C．x＞﹣3 D．﹣3＜x＜2 【变式3-2】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说 法正确的有（ ） A．y随x的增大而减小 B．k＞0，b＜0 C．当x＞﹣2时，y＜0 D．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2 【变式3-3】若k﹣3＞0，则一次函数y＝（3﹣k）x+k﹣3的图象可能是（ ） A． B． C． D． 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度 看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值； 从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 注意： 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两 个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的 解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点， 则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程 组就无解. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合， 反之也成立. 题型4：一次函数图象与二元一次方程组的解 4.如图，一次函数 y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点 P（m， 4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（ ）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【变式4-1】若方程组 的解所对应的点在一次函数y＝kx﹣3的图象上，求k 的值． 【变式4-2】如图，一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标 为4，则下列说法正确的个数是（ ） ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；②函数y＝ax+d不经过第一象限； ③方程ax+b＝cx+d的解是x＝4；④d﹣b＝4（a﹣c）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】已知：如图一次函数y ＝﹣x﹣2与y ＝x﹣4的图象相交于点A． 1 2 （1）求点A的坐标； （2）若一次函数y ＝﹣x﹣2与y ＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC 1 2 的面积． 题型5：函数的交点坐标与一元一次不等式的 解集 5.如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于 点A（m，3） （1）求m，a的值； （2）根据图象，直接写出不等式2x＞ax+4的 解集．【变式5-1】如图，已知直线y＝ax+2与直线y＝mx+b的交点的横坐标是﹣2．根据图象 有下列四个结论：①a＞0；②b＜0；③方程ax+2＝mx+b的 解是x＝﹣2；④不等式ax﹣b＞mx﹣2的解集是x＞﹣2．其中 正确的结论个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】如图，观察图象，可以得出不等式组 的解集是（ ） A． B． B．C．0＜x＜2 D． 【变式5-3】如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4） （1）求直线AB的表达式； （2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集． 题型6：含绝对值的一元一次函数问题 6.能否利用图象法解不等式：|x+1|﹣|2x﹣3|＜0．【变式6-1】请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数 y＝|2x﹣1|的图象和性 质，并解决问题． （1）根据函数表达式，填空m＝ ，n＝ ； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 m 1 0 n 3 5 … （2）利用（1）中表格画出函数y＝|2x﹣1|的图 象． （3）观察图象，当x 时，y随x的增大 而减小； （4）利用图象，直接写出不等式|2x﹣1|＜x+1 的解集． 【变式6-2】函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们对函数 y＝2| x+1|﹣x﹣2展开探索，请补充完以下探索过程： （1）列表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 11 8 m 2 ﹣1 0 1 n 3 … 直接写出m、n的值：m＝ ，n＝ ； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方 法画出这个函数的图象． （3）结合图象填空：当x≤﹣1时，y随x的增大 而 （填写“增大”或“减小”）； （4）已知函数y＝﹣ x+4的图象如图所示，结 合你所画的函数图象，直接写出不等式2|x+1|﹣x ﹣2≤﹣ x+4的解集 ．题型7：一元一次函数与数形结合的综合问题 7.如图：直线l ：y＝kx与直线l ：y＝mx+n相交于点P（1，1），且直线l 与x轴， 1 2 2 y轴分别相交于A，B两点，△POA的面积是1． （1）求△POB的面积； （2）直接写出kx＞mx+n的解集． 【变式7-1】如图，直线l是一次函数y＝kx+b的图象，点A、B在直线l上，根据图象 回答下列问题： （1）写出方程kx+b＝0的解； （2）写出不等式kx+b＞2的解集； （3）若直线l上的点P（m，n）在线段AB上移动，则m、n的取值范围分别是什 么？ 【变式7-2】如图，直线y＝kx+2与直线y＝ x相交于点A（3，1），与x轴交于点B． （1）求B点坐标；（2）根据图象写出不等式组0＜kx+2＜ x的解集． 题型8：实际应用问题 8.甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由 A地到B地，行驶过程中路程y（千 米）与时间x（分钟）的函数关系的图象如图： （1）谁先出发？先出发多长时间？谁先到达终点？先到多长时间？ （2）分别求出甲、乙两人的行驶速度； （3）请根据图象回答：在甲行驶途中，在什么时间段内：①甲在乙的前面？②两人 相遇？③甲在乙的后面？（不包括起点和终点） 【变式8-1】如图所示，L ，L 分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用＝灯的 1 2 售价+电费，单位：元）与照明时间x（h）的函数关系图象，假设两种灯的使用寿命 都是2000h，照明效果一样． （1）根据图象分别求出L ，L 的函数关系式． 1 2 （2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？ （3）小亮房间计划照明500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，观察图象，用哪种 灯照明最省钱？（简要说明理由即可）．【变式8-2】甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往 A城．由于墨迹遮盖，图中提供的是两车距B城的路程S甲 （千米）、S乙 （千米）与 行驶时间t（时）的函数图象的一部分． （1）分别求出S甲 、S乙 与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）； （2）求A、B两城之间的距离，及t为何值时两车相遇； （3）当两车相距300千米时，求t的值．