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专题 01 分式化简求值的五种类型
方法一：化简后直接求值
方法二：化简后整体带入求值
方法三：倒数法求值
方法四：自选条件求值
方法五：分式和条件均需化简带入
方法一：化简后直接求值
1．先化简，再求值： ，其中x＝﹣3．
【分析】先把括号内的式子通分，同时将除法转化为乘法，然后约分，最后将 x的值代入化简后的式子
计算即可．
【解答】解：
＝ •
＝
＝
＝
＝﹣（x+4）
＝﹣x﹣4，
当x＝﹣3时，原式＝﹣（﹣3）﹣4＝﹣1．
2．先化简，再求值： ，其中a＝1．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）•
＝ •
＝ ，
当a＝1时，原式＝ ＝﹣1．
3．先化简，再求值： ，其中 ．【分析】先通分，再除法，结果化为最简分式后，代入a＝ 求值．
【解答】解：原式＝（ + ）•
＝ •
＝2a，
∵a＝ ，
∴原式＝2×
＝1．
4．先化简，再求值 ，其中x＝﹣1．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝﹣ •
＝﹣ ，
当x＝﹣1时，原式＝﹣ ＝﹣2．
5．先化简，再求值 ，其中 ，y＝（﹣2024）0．
【分析】先把括号内的式子化简，然后计算括号内的式子，再算括号外的除法，最后将x、y的值代入
化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝[ ﹣ ]•
＝（ ﹣ ）•
＝ •
＝ ，当 ，y＝（﹣2024）0＝1时，原式＝ ．
方法二：化简后整体带入求值
6．先化简，再求值： ，其中x满足x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再将分子、分母分解因式并约分，化简后的形式为
，然后再将x2﹣2x＝4代入求值即可．
【解答】解：
＝[ ﹣ ]•
＝ •
＝ ．
∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x＝4，
∴原式＝ ＝ ．
7．已知a2+3a﹣1＝0，求代数式 的值．
【分析】由已知条件得到a2+3a＝1，然后将其代入化简后的分式求值即可．
【解答】解：由a2+3a﹣1＝0得到a2+3a＝1，
＝ •
＝ •
＝a（a+3）．
＝a2+3a
所以，原式＝1．
8．先化简，再求值： ，其中x满足x2﹣2x﹣1＝0．【分析】先把 化简得 ，再利用整体代入法求值即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝ ，
∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式＝ ．
9．先化简，再求值： ，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把 x2＝2x+2代入化简后的式子
进行计算即可解答．
【解答】解：
＝ •
＝ •
＝ ，
∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2＝2x+2，
∴当x2＝2x+2时，原式＝ ＝ ＝ ．
方法三：倒数法求值
10．（1）阅读下面解题过程：已知 ＝ ，求 的值．
解：∵ ＝ （x≠0），∴ ＝ ，即x+ ＝ ．
∴ ＝ ＝ ＝ ＝
（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：
已知 ＝2，求 的值．
【分析】类比（1）的方法把 ＝2变为 ＝2，得出x+ ＝ ，进一步把原式变形得代入
求出答案即可．
【解答】解：∵ ＝2，
∴ ＝2，
∴x﹣3+ ＝ ，
∴x+ ＝ ，
∴
＝
＝
＝
＝ ．
11．在本学期期末复习中，我们已遇到了这样的问题：已知 ＝ ， ＝ ， ＝ ，求
的值．根据条件中式子的特点，我们可能会想起 + ＝ ，于是将每一个分式的分子、分母颠倒位置，问题被转化为“已知 + ＝2， + ＝3， + ＝4，求 + + 的值”，这样解答就
方便了．
（1）通过阅读，上文中原问题 ＝ ；
（2）类比文中的处理方法与思路，求解下列问题：已知： ＝ ，求 的值．
【分析】（1）原式分子分母除以abc变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）已知等式变形求出m+ 的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵ + ＝2， + ＝3， + ＝4，
∴ + + ＝ ，
则原式＝ ＝ ；
故答案为： ；
（2）已知等式变形得： ＝ ，得到m+ ＝5，
则原式＝ ＝ ＝ ＝ ．
12．阅读下列解题过程：
已知 ＝ ，求 的值．
解：由 ＝ ，知x≠0，所以 ＝3，即x+ ＝3．
∴ ＝x2+ ＝ ﹣2＝32﹣2＝7．
∴ 的值为7的倒数，即 ．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知 ＝ ，求 的值．（2）已知 ＝2， ＝ ， ＝ ，求 的值．
【分析】（1）已知等式变形求出x+ 的值，原式变形后，将x+ 的值代入计算即可；
（2）已知三等式变形后相加求出 + + 的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）由 ＝ ，得到 ＝x+ ﹣1＝7，即x+ ＝8，
则原式＝ ＝ ＝ ＝ ；
（2）根据题意得： ＝ + ＝ ， ＝ + ＝ ， ＝ + ＝ ，
可得 + + ＝1，
则原式＝ ＝1．
13．先能明白（1）小题的解答过程，再解答第（2）小题，
（1）已知a2﹣3a+1＝0，求a2+ 的值．
解：由a2﹣3a+1＝0知a≠0，∴a﹣3+ ＝0，即a+ ＝3
∴a2+ ＝ ﹣2＝7；
（2）已知：y2+3y﹣1＝0，求 的值．
【分析】（1）由解答过程可以看出，可以先求得a+ 的值，再用换元法即可求得a2+ 的值．
（2）此题可以仿照（1）先求 ﹣y，然后求得 +y2，再求得 +y4，最后通过 分式分母
同除以y4求得结果．
【解答】解：由y2+3y﹣1＝0，知y≠0，∴y+3﹣ ＝0，即 ﹣y＝3，
∴ ＝ +y2﹣2＝9，即 +y2＝11，∴ ＝121，
∴ +y4＝119，
由 ＝y4﹣3+ ＝116，
∴ ＝ ．
方法四：自选条件求值
14．先化简，再求值： ，请从﹣3、﹣2、0、3中选取合适的x的值代入．
【分析】先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再结合原式中各个分式有意义的条件找出 x的值，
代入化简以后的式子中求值即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝ ，
∵x﹣3≠0，x≠0，x2﹣9≠0，
∴x≠3且x≠0且x≠﹣3，
∴当x＝﹣2时，原式＝ ．
15．先将分式化简： ，然后再从0，1，2，中选择一个适当的数代入求值．
【分析】根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定 x的值，代入计算
即可．
【解答】解：原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •＝﹣ ，
由题意得：x≠1和±2，
当x＝0时，原式＝﹣ ＝﹣ ．
16．先化简，再求值： ，请从﹣2，﹣1，0，2中选择一个数字a代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件得出a的值，代入计
算即可．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ ÷
＝﹣ •
＝﹣ ，
∵a（a﹣2）≠0且a+2≠0，
∴a≠0且a≠±2，
∴a＝﹣1，
则原式＝﹣ ＝3．
17．先化简 ，再从不等式2x﹣3＜5的正整数解中选一个使原式有意义的数作为 x的值
代入求值．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，解不等式求出x的范围，根据分式有意义的条件
确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝ ÷（ + ）
＝ ÷
＝ •
＝ ，
解不等式2x﹣3＜5，得x＜4，其中正整数有1、2、3，
由题意可知：x≠2、±3，当x＝1时，原式＝ ＝ ．
18．先化简，再求值： ．其中x是已知两边长为1和2的三角形的第三边长，且x
为整数．
【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后根据三角形的三边关系可得x＝2，再代入，即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝ ；
∵x是已知两边长为1和2的三角形的第三边长，
∴2﹣1＜x＜2+1，
即1＜x＜3，
∵x为整数，
∴x＝2，
当x＝2时，原式＝ ．
方法五：分式和条件均需化简带入
19．先化简，再求值： ，其中a，b满足a2+4a+4+|4﹣b|＝0．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由非负数的性质求出 a，b的值，代入代数式
进行计算即可．
【解答】解：
＝ • +
＝ • +
＝ +
＝＝ ，
a，b满足a2+4a+4+|4﹣b|＝0，即（a+2）2+|4﹣b|＝0，
∴a+2＝0，4﹣b＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∴原式＝ ＝2．
20．化简求值 ，x是不等式组 的一个整数解．
【分析】先通分括号内，再运算除法化简得 ，然后算出不等式组的整数解为：0，1，2，结合分式
有意义，则当x＝1时， ，据此即可作答．
【解答】解：原式＝
＝ •
＝ •
＝ ，
解 ，
得﹣1＜x≤2，
∴不等式组的整数解为：0，1，2，
∵2x≠0，x﹣2≠0，
∴x≠0，x≠2，
∴当x＝1时， ．
21．先化简，再求值： ，其中m，n满足（m﹣1）2+n2+6n+9＝0．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，利用完全平方公式、非负数的性质分别求出m、
n，代入计算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣ ÷（ ﹣ ）
＝ ﹣ ÷＝ ﹣ •
＝ ﹣
＝ ，
∵（m﹣1）2+n2+6n+9＝0，
∴（m﹣1）2+（n+3）2＝0，
∴m﹣1＝0或，n+3＝0，
解得：m＝1，n＝﹣3，
则原式＝ ＝﹣ ．
22．先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先利用分式的减法和除法化简分式，再求出a的值代入化简结果计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
当 时，
原式＝ ．
23．先化简，再求值： ÷（1+ ）﹣ ，其中x是不等式组 的整数解．
【分析】先对题目中的分式进行约分化简，然后根据 x是不等式组 的整数解，求出x
的值，代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解： ÷（1+ ）﹣
＝
＝＝
＝ ，
解不等式组 得，1≤x＜3，
∵x是不等式组 的整数解，
∴x＝1或x＝2，
∴当x＝1时，原式＝﹣1；
当x＝2时，原式无意义．
24．先化简，再求值： ，其中a，b是方程组的解 ．
【分析】先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将 a与b的值求出并代入原式即可求
出答案．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
由于 ，
解得： ，
当a＝2，b＝﹣3时，
原式＝
＝
＝ ．
25．已知关于x、y的二元一次方程组 （a为实数），若方程组的解始终满足y＝a+1，化简并求
的值．
【分析】根据分式的除法法则、加减法法则把原式化简，解二元一次方程组求出a，代入计算得到答案．【解答】解：原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ •
＝﹣ ，
对于方程组 ，②﹣①得y＝2a﹣1，
∵y＝a+1，
∴2a﹣1＝a+1，
解得：a＝2，
则原式＝﹣ ．
