文档内容
专题 14 分式运算与分式方程的七种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0..................................................................................................2
类型二、利用分式的基本性质变形问题............................................................................................................4
类型三、整式与分式混合运算易错问题............................................................................................................5
类型四、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0...................................................................................8
类型五、含零指数、负指数有关的计算问题...................................................................................................10
类型六、解分式方程不验根问题.....................................................................................................................12
类型七、分式方程的实际应用问题..................................................................................................................16
压轴能力测评（20题）....................................................................................................................................18
解题知识必备
1.分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
2.分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为
3.解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．压轴题型讲练
类型一、分式值为0时求值，忽略分母不为0
例题：（2024七年级上·上海·专题练习）若分式 的值为零，则 的值为 ．
【答案】2
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；
（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．根据分子为0；分母不为0求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴ 且
解得：
故答案为：2．
【变式训练1】（22-23八年级下·山东青岛·阶段练习）若分式 的值为零，则 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件分子等于零，分母不等于零得出
， ，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键．
【详解】解：∵分式 的值为零，
∴ ， ，
解得： ，
故答案为： ．
【变式训练2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若分式 的值为 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】分式值为零的条件、分式的求值
【分析】本题考查了分式的值为 的条件和分式的意义，求分式的值；根据分式的值为 的条件是：（1）
分子为 ；（2）分母不为 ．两个条件需同时具备，缺一不可．据此求得 ，代入代数式，即可求解．
【详解】解：由题意可得 ，
解得 ，
又∵ ，∴ ，
综合上述，解得： ．
当 时，
故答案为： ．
【变式训练3】（2023秋·八年级单元测试）已知分式 ．
(1)若分式无意义，求x；
(2)若分式值为0，求x；
(3)若分式的值为整数，求整数x的值．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或4或8
【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得 ，再解即可；
（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得 ，且 ，再解即可；
（3）分式值为整数，将分式变形为 ，再根据数的整除求解．
【详解】（1）解：∵分式无意义，
∴ ，
解得： 或 ；
（2）∵分式值为0，
∴ ，
解得： ；
（3）
∵分式的值为整数，
∴ 或5或 或 ，解得： 或8或2或 ，
∵ 且 ，
∴整数x的值为 或4或8．
【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的
条件．
类型二、利用分式的基本性质变形问题
例题：（24-25八年级上·湖南郴州·期中）若把分式 中 都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．不变
C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的
【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质解决此题．按照要求变形后，进行约分
后即可得到解答．
【详解】解：把分式 中 都扩大3倍，则
，
分式的值不变．
故选：B．
【变式训练1】（24-25八年级上·北京房山·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】根据分式的基本性质，变形计算解答即可．
本题考查了分式的性质，分式的化简，熟练掌握性质和化简是解题的关键．
【详解】解：A. 是错误的，不符合题意；
B. 是错误的，不符合题意；
C. 是错误的，不符合题意；
D. ，正确，符合题意，故选：D．
【变式训练2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的
系数为正数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子和分母同时乘以负1即可得到答案．
【详解】解： ，
故选：D．
类型三、整式与分式混合运算易错问题
例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【变式训练1】（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，首先将括号内的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，约分化简
即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．【详解】解：
．
【变式训练2】（2024·陕西西安·一模）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查分式的化简，掌握分式的混合运算法则，即可解题．
【详解】解：
．
【变式训练3】（2023上·山东东营·八年级校考期中）计算题：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)(3)
(4)
【分析】本题考查分式混合运算，涉及分式加减乘除混合运算、通分、约分等知识，熟练掌握分式混合运
算的运算法则是解决问题的关键．
（1）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案；
（2）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分，最后通过整式
乘法计算即可得到答案；
（3）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案；
（4）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，因式分解，再将除法转化为乘法，约分，最后通分、利
用同分母的分式减法运算计算后约分即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解：
．类型四、自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0
例题：（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值： ，再从 ， ，
， 中选择一个合适的数作为 的值代入求值．
【答案】 ， ．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，
最后选取符合题意的 代入求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键．
【详解】解：
，
，
，
，
由题意得， 且 ，
∴ 时，
原式 ，
．
【变式训练1】（2024·陕西西安·一模）先化简 ，再从 ，0， 中选取适合的数
字求这个代数式的值．
【答案】 ，当 时，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条
件得到 且 ，据此得到 ，最后代值计算即可．
【详解】解；，
∵分式有意义，
∴ ，
∴ 且 ，
∴当 时，原式 ．
【变式训练2】（23-24八年级上·湖南益阳·期中）先化简，再求值： ，请从0，
1、2、3中选取一个合适的数作为x的值．
【答案】 ， 时，原式
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．原式括号中两项通分并利
用同分母分式的减法法则变形，再计算除法运算，约分得到最简结果，将 代入计算即可求出值．
【详解】
∵ ， ，
∴ ， ，
∴当 时，原式 ．
【变式训练3】（23-24八年级上·江西赣州·期末）先化简 ，并从0， ，2中选
一个合适的数，作为a的值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式＝1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握运算顺序是解题的关键．
先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．【详解】解：
，
， ，
且 ，
当 时，原式 ．
类型五、含零指数、负指数有关的计算问题
例题：（23-24七年级下·江苏泰州·期末）（1）计算 ；
（2）计算 ．
【答案】（1）9；（2） ．
【分析】本题考查的是零指数幂、负指数幂、单项式除以单项式和积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题
的关键．
（1）根据零指数幂、负指数幂和乘方的运算法则计算，再进行加减计算即可；
（2）根据积的乘方和同底数幂的乘法和单项式除法法则计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【变式训练1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）计算： ．
【答案】0
【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值、有理数乘方的意义，先根据零指数幂、负整数指
数幂、绝对值、有理数乘方的意义计算，再算加减．
【详解】 ．．
【变式训练2】（22-23八年级上·湖南岳阳·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；
（2）根据整式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，零指
数幂和负整数指数幂运算法则，整式混合运算法则，准确计算．
【变式训练3】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）计算：
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、零指数幂以及幂的混合运算．
（1）先计算负整数幂，零指数幂，化简绝对值，最后再计算加减法．
（2）先计算同底数幂的乘除法，幂的乘方运算以及积的乘方运算，最后再合并同类项．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
类型六、解分式方程不验根问题
例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）解分式方程：
(1) (2)
【答案】(1)无解
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程；
（1）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案；
（2）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案．
【详解】（1）解：方程两边同乘以 得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
所以 是增根，原方程无解；
（2）解：方程两边同乘以 得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
所以 是增根，原方程无解．【变式训练1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查分式方程的求解能力：
（1）方程两边同乘以 得整式方程，再求解，检验即可；
（2）方程两边同乘以 得整式方程，再求解，检验即可；
【详解】（1）解： ，
方程两边同乘以 得： ，
解得， ，
检验：当 时，最简公分母 ，
∴ 是原方程的解；
（2）解：
方程两边同乘以 得：
解得，
经检验， 是增根，
∴原方程无解
【变式训练2】（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)方程无解
(2)
【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的一般步骤求解即可．
【详解】（1）解：
化为整式方程得， ，
去括号得， ，
移项、合并同类项得， ，
系数化为1得， ，检验：把 代入 ，
∴ 是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：
化为整式方程得， ，
去括号得， ，
移项、合并同类项得， ，
检验：把 代入 ，
∴ 是原方程的解．
【变式训练3】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
（1）根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解；
（2）根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
经检验， 是原方程的解，
原方程的解为： ；
（2）解： ，
，
，
，
，
经检验， 是增根，
原分式方程无解．
【变式训练4】（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程：(1) (2)
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化成整式方程，然后解整式方程，最后检验．
（1）方程两边都乘 ，得 ，解这个方程得 ，经检验： 是增根，原分式方程
无解；
（2）方程两边都乘 ，得 ，解这个方程得 ，经检验： 是原
分式方程的根，原分式方程的解为 ．
【详解】（1） ，
方程两边都乘 ，
得 ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
解这个方程，得 ，
经检验： 是增根，
故原分式方程无解．
（2） ，
方程两边都乘 ，
得 ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
经检验： 是原分式方程的根，
故原分式方程的解为： ．
类型七、分式方程的实际应用问题
例题：（24-25九年级上·陕西·期中）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变
阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种
的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元．(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
(2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑
动变阻器？
【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元；
(2)该校最少购买67个甲种滑动变阻器．
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是 元，乙种书的单价是 元，根据
“购买甲种滑动变阻器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5
倍”，可得出关于 的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器 个，利用总价 单价 数量，结合总费
用不超过5000元，可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是 元，
根据题意得：
解得： ．
经检验， 是所列方程的根，且符合题意．
∴ （元）
答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元；
（2）解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器 个．
根据题意得： ．
解得： ．
∵m为整数，
∴m的最小值为67，
答：该校最少购买67个甲种滑动变阻器．
【变式训练1】（24-25八年级上·湖南常德·期中）景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬
果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克 元和每千克 元，采摘这两种蔬菜一共支付了 元，
其中西红柿比土豆少 千克．
(1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？
(2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是 元和 元，
土豆的售价是西红柿售价的 ，土豆比西红柿多卖出 千克，求土豆和西红柿的售价．
【答案】(1)西红柿采摘了 ，土豆采摘了(2)土豆的售价是 元 ，西红柿的售价是 元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键．
（1）设西红柿采摘了 ，土豆采摘了 ，根据题意列出二元一次方程组，解答即可．
（2）根据题意可设土豆的售价是 元 ，西红柿的售价是 元 ，根据题意列出分式方程，解答即
可．
【详解】（1）解：设西红柿采摘了 ，土豆采摘了 ．
根据题意得 ，
解得 ．
答：西红柿采摘了 ，土豆采摘了 ．
（2）解：根据题意可设土豆的售价是 元 ，西红柿的售价是 元 ．
根据题意得 ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：土豆的售价是 元 ，西红柿的售价是 元 ．
【变式训练2】（2024八年级上·全国·专题练习）为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购
进一批足球．第一次用6000元购进 品牌足球 个，第二次又用6000元购进 品牌足球，购进的 品牌
足球的数量比购进的 品牌足球的数量多30个，并且每个 品牌足球的进价是每个 品牌足球进价的 ．
(1)求 的值；
(2)若这两次购进的 两种品牌的足球分别按照 元/个， 元/个的价格销售，全部销售完毕后，可获得
的利润不低于4800元．求出 的最小值．
【答案】(1)m的值是120
(2) 的最小值是70
【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1） 品牌足球的进价为 元/个，B品牌足球的进价为 元/个，再根据每个 品牌足球的进价
是每个 品牌足球进价的 列出方程求解即可；
（2）先求出A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个，再分别求出A、B两种品牌的足球的利润，再根据总利润不低于4800元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ；
（2）解： 元/个， 元/个，
∴A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个，
由题意得， ，
解得 ，
∴ 的最小值是70．
压轴能力测评（20题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式 有意义，则x的取值范围为（ ）
A． 且 B． 且 C． D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不等于0．
由分式有意义的条件进行计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵分式 有意义，
∴ ，
∴ 且 ．
故选：B．2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）若把分式 中的 ， 都扩大为原来的 倍，则分式的值
（ ）
A．扩大为原来的 倍 B．扩大为原来的 倍
C．缩小为原来的 D．不变
【答案】C
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变．
a，b都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成 和 ．用 和 代替式子中的a和b，看得
到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：由题意得： ，
∴分式的值缩小为原来的 ，
故选：C．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）如果 ，那么 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数大小比较、负整数指数幂、零指数幂
【分析】本题主要考查零指数幂和负指数幂，根据题意利用指数幂的运算法则化简a、b和c，结合有理数
大小比较即可．
【详解】解： 且
∵
，
故选：C．
∴
4．（2024八年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的运算．解决本题的关键是根据分式的运算法则计算即可．
【详解】解：A选项： ，故A选项错误；B选项： ，故B选项错误；
C选项： ，故C选项错误；
D选项： ，故D选项正确．
故选： D．
二、填空题
5．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）若分式 有意义，则x应满足的条件是 ．使分式
的值为零的x的值是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义，分式的值为0，根据分式有意义可知 ，求出答案，再根据
分式的值为0时， 且 ，可得答案．
【详解】解：当 时，分式 无意义，
解得 ．
所以当 时，分式 有意义；
当 且 时，分式 ，
解得 ．
故答案为： ， ．
6．（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式 的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，
分式的值不变，据此把分式 的分子分母同时乘以10即可得到答案．【详解】解：把分式 的分子分母同时乘以10得 ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
7．（24-25六年级上·上海·期中）已知： ，则满足条件的整数a所有值为 ．
【答案】 ，2，0．
【知识点】零指数幂
【分析】本题主要考查了零指数幂的运算，理解指数运算规则是解答关键．
根据题意分三种情况： 当 时， 当 时， 当 分别求解．
【详解】解：由题意可知
当 时， ，
，
；
当 时，1的任何次幂都等于1，
；
当 ， 的偶次幂等于1，
，
综上所述，满足条件的整数a所有值为 ，2，0．
故答案为： ，2，0．
8．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在 ．
若 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【分析】本题主要考查了解分式方程，新定义，根据新定义可得 ，则去分母可得
，再解方程后并检验即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
检验，当 时， ，
∴ ，
故答案为； ．
三、解答题
9．（24-25八年级上·湖南常德·期中）解分式方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程
【分析】（ ）按照解分式方程的步骤解答即可；
（ ）按照解分式方程的步骤解答即可；
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边同时乘 得， ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 ；
（2）解：方程两边同时乘 得， ，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
10．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可
【详解】（1）解： ，
方程两边同乘以 ，得： ，
去括号，可得： ，
移项、合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 ；
（2）
方程两边同乘以 ，
得： ，
去括号，可得： ，
移项、合并同类项，可得： ，
系数化为1，可得： ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程无解．
11．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算、分式除法
【分析】（ ）先进行因式分解，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（ ）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法即可求解；
本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．（24-25八年级上·全国·期中）化简分式：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式加减乘除混合运算、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了分式的混合运算．
（1）先对括号里面的分式进行通分，计算括号里面的减法运算，利用完全平方公式进行化简，再将除法
要转化为乘法，再计算分是乘法即可；
（2）先对括号里面的分式进行通分，计算括号里面的减法运算，利用平方差公式进行化简，再将除法要
转化为乘法，再计算分是乘法即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
13．（24-25八年级上·北京延庆·期中）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先对括号内进行通
分，然后将除法转化为乘法进行约分，即可得到化简后的结果，最后代入求值．
【详解】解：
．
当 时，原式 ．
14．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）先化简，再求值： ，再从 ， ，
0，1，2中取一个数代入求值其中．
【答案】 ，当 时，原式
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约
分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算．
【详解】解：，
由题意： 、 、 ，
故a取1，当 时，
原式 ．
15．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的问题．
……第一步
……第二步
．……第三步
……第四步
……第五步
问题解答：
(1)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
(2)请写出正确的化简过程，并从0，1，2中选一个合适的数作为m的值代入求值．
【答案】(1)一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号
(2)见解析，1
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的混合运算:先乘方再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（1）第一步加括号时，括号里第二项没有变号；
（2）根据分式的混合运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是加括号时，括号前面是负号，括号里第
二项没有变号，
故答案为：一，加括号时，括号前面是负号括号里第二项没有变号；
（2）解：；
∵ ， ，
∴
当 时地，原式 ．
16．（24-25八年级上·山东淄博·期中）（1）计算： ；
（2）先化简 ，再从 中选取一个你喜欢的整数代入求值．
【答案】（1） ；（2）化简为： ，当 时，原式 （代入x的值不为 即可）
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简与求值；
（1）先计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算；
（2）先计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算，然后代入数值计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）当 时，原式 ．
17．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）（1）先化简，再求值： ，其中
．
（2）先化简 ，再从 中选取合适的整数代入求值．
【答案】（1） ，7；（2） ，当 时，原式=1．
【知识点】分式化简求值
【分析】本题分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后合并同类项，最后将 、 的值代入化简后的式子计算
即可；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定 的值，把 的值代入计算即可．
【详解】解：（1）
，
当 ， 时，原式 ；
（2）原式
，
由题意得： ，2，4，
当 时，原式 ．
18．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；(2)已知 ，求 ；
(3) ，其中 ；
(4) ，请从不等式组 的整数解中选择一个你喜欢的求值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) ，
(4) ，当 时，原式
【知识点】求一元一次不等式组的整数解、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求解，解一元一次不等式组：
（1）先把两个小括号内的分式通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可；
（2）先把分式通分化简，再得到 ，据此代入化简式子求解即可；
（3）先把小括号内的分式通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着求出 ，最后代值计
算即可；
（4）先把除法变成乘法后约分化简，再计算分式加法，接着解不等式组，进一步根据分式有意义的条件
确定x的值，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：
，
当 时，原式 ；
（2）解：，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ；
（3）解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ；
（4）解：，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∵分式要有意义，
∴ ，
∴ 且 且 ，
∴ ，
当 时，原式 ．
19．（24-25八年级上·北京·阶段练习）观察下面的解题过程：
已知 ，求 的值．
解：因为
所以 ，即 ．
因此
请借鉴上述解题方法解答下面的题目：
已知 ，求 的值．
【答案】
【知识点】分式化简求值、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查分式的运算，先根据题意求出 ，再求出 ，将 变形为
，再代入 即可求解．解题的关键正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型．【详解】解：∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∴ ，则
则 ．
20．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知 ，求
的值．
解：由 ，知 ，所以 ，即 ．
，
的值为7的倒数，即 ．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，
（二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知 ，求 的值．
（三）问题解决：
已知： ．求代数式 的值．
【答案】实践探索： ；问题解决：6
【知识点】分式的求值、分式加减乘除混合运算、倒数、通过对完全平方公式变形求值
【分析】实践探索：把已知等式变形求出 的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
问题解决： 得出 ， ， ，求出
，得出 ， ， ，再求出结果即可．【详解】实践探索：解：由 ，知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ 的值为61的倒数，即 ．
问题解决：由 可知： ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，∴ ， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键．
