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专题 15.2 分式的运算
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1、掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律；
2、正确使用分式的四则运算；
3、掌握零指数幂和负整数指数幂的意义和运算；及小于1的科学计数法。
知识精讲
知识点01 分式的乘除
知识点
分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：
1)分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
．
2)分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为： ．
3)分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为： 为正整数， ．
【知识拓展1】分式的乘法
例1．(2022·山东·泰安市八年级阶段练习)计算 的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】C【分析】约去分子分母的公因式 即可得到答案．
【详解】解： 故选C．
【点睛】本题考查的是分式的乘法运算和约分，掌握“约分即是约去分子分母的公因式”是解本题的关键．
【即学即练】
1．(2022·湖南·新化县八年级期中)计算： 的正确结果是( )
A．2 B．2b C．-2b D．-2ab²
【答案】C
【分析】根据分式的乘法运算运算法则即可求出答案．
【详解】解： , 故选：C．
【点睛】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则．
【知识拓展2】分式的除法
例2．(2022·绵阳市八年级单元测试)化简 ，正确结果是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的除法进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝ ，故选D．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．
【即学即练】
2.(2022·浙江·宁波外国语学校七年级期中)化简： ÷ ＝_____．【答案】
【分析】先进行因式分解，把除法变成乘法，进行约分即可．
【详解】解： 故答案为：
【点睛】此题考查了分式的除法运算，熟练掌握除法法则是解题的关键．
【知识拓展3】分式的乘方
例3．(2022·江西宜春·八年级期中)下列计算中，错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的乘法法则计算，即可求解．
【详解】 、 ，故本选项错误，符合题意；
B、 ，故本选项正确，不符合题意；
C、 ，故本选项正确，不符合题意；
D、 ，故本选项正确，不符合题意；故选：A
【点睛】本题主要考查了分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键．
【即学即练】
3．(2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期末)计算分式 得( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别给分子、分母运用积的乘方运算法则计算即可．【详解】解： ．故选C．
【点睛】本题主要考查了分式的乘方，分式的乘方即给分子、分母分别乘方．
【知识拓展4】分式的乘除乘方混合运算
例4．(2022·海南·儋州川绵中学八年级阶段练习)计算 的结果是( )
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】先将除法改写成乘法，在按照分式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解： = = 故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，先将除法改写成乘法是解题的关键．
【即学即练】
4．(2022·湖北·京山市实验中学八年级期中)计算：
(1) (2) (3)
【答案】(1) (2) (3)
【分析】(1)先算乘方，再把除法变乘法，最后用乘法进行运算即可；
(2)先把除法变乘法，再因式分解，约分即可；
(3)先把除法变乘法，第一个式子和第二个式子先因式分解，再约分即可．
(1)解：原式 ；
(2)原式 ；(3)原式 ．
【点睛】本题考查了因式分解，分式的化简，其中准确使用公式是解题的关键．
知识点02 分式的加减
知识点
1)分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： ．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为： ．
2)分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式
【知识拓展1】分式的加减(同分母)
例1．(2022·山东·济宁八年级阶段练习)分式① ；② ；③ 中，
计算结果是整式的序号_______．
【答案】①③
【分析】根据各项化简得到的结果，即可做出判断．
【详解】解：①原式 ，满足题意；
②原式 ，不合题意；
③原式 ，符合题意；则计算结果是整式的是：①③．
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．【即学即练】
1．(2022·湖南·新化县八年级期中)计算 ( )
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据同分母分式的减法法则计算即可．
【详解】解： ．故选：A
【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母分数加减法，分母不变，分子相加减．
【知识拓展2】分式的加减(异分母)
例2．(2022·江苏连云港·八年级期中)计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)1； (2)
【分析】(1)根据同分母分式的加法法则求出即可；
(2)先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．
(1)
解： ，
=
=
=1；
(2)
解：.
【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
【即学即练】
2.(2022·浙江·七年级阶段练习)化简 ，得( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，
异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
【详解】解：
．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加减运算．熟练掌握通分和分式的加减运算是解题的关键．
【知识拓展3】分式的混合运算
例3．(2022·湖南长沙·七年级阶段练习)已知 ，其中 ， ， ， 为常数，
则 ______．
【答案】6
【分析】由于 ，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，
然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于 、 、 、 的方程组，解方程组即可求解．
【详解】解： ，且 ，
当 时， ①
当 时， ②
当 时， ③
∵ ,
即
∴ ④
联立 解之得 、 、 ，
．故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出
关于 、 、 、 的方程组即可解决问题．
【即学即练】
3．(2022·河北唐山·八年级期末)由 值的正负可以比较 与 的大小，下列正确的是( )
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】C
【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算
的正负，即可判断出选项C，D的对错．
【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意；B选项，当c=0时， ，故该选项不符合题意；
C选项，
∵c<−3，
∴3+c<0，c<0，
∴3(3+c)<0，
∴ ，
∴ ，故该选项符合题意；
D选项，当c<0时，
∵3(3+c)的正负无法确定，
∴A与 的大小就无法确定，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键．
【知识拓展4】分式的化简求值
例4．(2022·广西贵港·八年级期中)先化简，再求值
(1) ，其中 ； (2) ，其中a满足 ．
【答案】(1) ， (2) ，
【分析】(1)先算括号，再算除法，能因式分解的先进行因式分解，进行化简计算，再代值求解即可；
(2)利用整体通分法，先算括号，再算除法进行化简，利用整体思想求值．
【详解】(1)解：原式；
当 时，
原式 ；
(2)解：原式
，
∵ ，
∴ ，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值．根据分式的运算法则正确的进行化简，是解题的关键．
【即学即练4】
4．(2022·江苏·八年级阶段练习)先化简 ，再从﹣2≤a≤2中选取一个合适的整数代入求值．
【答案】 ，a=1时，原式=
【分析】根据分式的运算法则化简，再代入使分母有意义的值即可求解．
【详解】解：原式＝ = ＝ ＝
∵a≠2，a≠0，a≠-1，a≠−2，且﹣2≤a≤2，a取整式，∴a＝1
∴当a=1时，原式＝【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则，取值时忽略分母为0或被除
式为0是解题的易错点．
知识点03 整数指数幂
知识点
【知识拓展1】零指数幂与负指数幂
例1．(2022·广西桂林·八年级期中)计算： ．
【答案】
【分析】根据绝对值，零指数幂，负整数指数幂的计算法则求解即可．
【详解】解：原式 ．
【点睛】本题主要考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键，注意零指
数幂的结果为零．
【即学即练1】
1．(2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中)计算： ；
【答案】
【分析】根据化简绝对值，有理数的乘方，负整数幂，零次幂进行计算即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，有理数的乘方，负整数幂，零次幂是解题的关键．
【知识拓展2】科学记数法表示除法
例2．(2022·河北·廊坊市八年级阶段练习) _____．
【答案】
【分析】根据单项式的除法法则计算即可求解．
【详解】解：原式
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在
被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
【即学即练2】
2．(2022·山东·烟台市期中)福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．
现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
(3)若P=4×1012，求 的值(结果用科学记数法表示)．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】(1)由总付款=甲书进价×甲书数量+乙书进价×乙书数量，即可求得Q．
(2)将 代入(1)式，计算化简后用科学记数法表示即可．
(1)
解：由题意得， ；
(2)
解：将 代入 ，得：
；
(3)
解： ．
【点睛】本题考查了用字母表示数，同底数幂的乘法，除法，科学记数法，在解题中要注意正确计算以及
代数式的正确书写．
【知识拓展3】科学记数法相关问题
例3．(2022·江苏盐城·七年级阶段练习)某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数
法表示为 mm(n为负整数)，则n的值为( )A．-5 B．-6 C．-7 D．-8
【答案】C
【详解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7∴n=-7故选：C
【即学即练3】
3．(2022·广东·佛山市南海区大沥谢边南桥学校七年级期中)纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，
1纳米= 米．某细胞的直径是1000纳米，用科学记数法表示该细胞的直径为( )
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n
是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： 米，
故选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
能力拓展
考法01 分式的应用
【典例1】(2022·江苏·盐城市毓龙路实验学校八年级阶段练习)【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买
一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如：
第一次
水果单价6元/千克
质量 金额
甲 5千克 30元
乙 5千克 30元
第二次：水果单价4元/千克
质量 金额
甲 5千克 元
乙 千克 30元
(1)完成上表；
(2)计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．(均价＝总金额÷总质量)
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的水果，乙每次买金额为n元的水果，两次的单价分别是a元/千克、
b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价 、 ，比较 、 的大
小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为
；如果水流速度为p时(p＜v)，船顺水航行速度为(v+p)，逆水航行速度为(v﹣p)，所需时间为 ．请借鉴
上面的研究经验，比较 、 的大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)甲两次买水果的均价为5元/千克，乙两次买水果的均价为 元/千克；数学思考： ，
， ，理由见解析；知识迁移： ，理由见解析
【分析】(1)根据金额等于质量乘以单价、质量等于金额除以单价即可得；
(2)根据均价＝总金额÷总质量进行计算即可得；
数学思考：根据均价＝总金额÷总质量分别求出 、 ，再根据分式的减法法则计算 ，利用完全
平方公式进行化简即可得出答案；
知识迁移：先根据时间等于路程除以速度分别求出 ， ，再根据分式的减法法则计算 ，由此即可得．
(1)
解：甲第二次买水果的金额为 (元)，乙第二次买水果的质量为 (千克)．
则完成表格如下：
水果单价4元/千克
质量 金额
甲 5千克 20元
乙 千克 30元
(2)
解：甲两次买水果的均价为 (元/千克)，
乙两次买水果的均价为 (元/千克)；
数学思考： ， ，
则
即 ；
知识迁移：由题意可知， ， ，
则，
，
，
，即 ．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算和完全平方公式在计算中的应用，本题计算量较大，熟练掌握均
价＝总金额÷总质量的基本计算方法是解题关键．
变式1．(2022·全国·八年级单元测试)某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器
的速度为v，往返所需时间为 ；如果风速度为 ，则飞行器顺风飞行速度为 ，逆风飞行
速度为 ，往返所需时间为 ．则 、 的大小关系为( )
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】直接根据题意表示出 ， 的值，进而利用分式的性质的计算求出答案．
【详解】解：∵ = ， = ，
∴ = = ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式，熟练的掌握正确的分式加减运算是解题的关键．
变式2．(2022·四川成都·八年级期中)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边
长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为 米的正方形，两块试
验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是______．
【答案】
【分析】先用含a的式子表示出两块试验田的面积，再由高产量的减去低产量，从而可求解．
【详解】解：由题意得：
“丰收1号”的单位面积产量为： ，
“丰收2号”的单位面积产量为： ，
∴
，
即高的单位面积产量比低的单位面积产量多 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意列出正确的式子求解．
分层提分题组A 基础过关练
1．(2022·湖南衡阳·八年级期末)计算 的结果是( )
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】根据分式的乘法运算法则来求解．
【详解】解： ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式乘法的运算法则，理解约分是解答关键．
2.(2022·全国·八年级专题练习)计算 的结果为( )
A． B．m C． D．
【答案】A
【分析】直接进行分式的除法运算，把除法转为乘法后，最后要注意将结果进行约分．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键．
3．(2022·湖南·岳阳县八年级阶段练习)计算： ，结果为( )
A．1 B． C． D．
【答案】A【分析】根据同分母分式相加减法则计算，即可求解．
【详解】解：
故选：A
【点睛】本题主要考查了同分母分式相加减，熟练掌握同分母分式相加减法则是解题的关键．
4．(2022·海南·八年级期末)化简 的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据异分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了异分母分式相减，解题的关键是对分式进行通分，将异分母分式变为同分母分式．
5．(2022·湖南·新化县八年级期中)2010年，国外科学家成功制造出世界上最小的晶体管，只有
，请用科学记数法表示它的长度( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为整数，据此判断即可．
【详解】解： ．
故选D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ， 为由原
数左边起第一个不为零的数字前面的 的个数所决定，确定 与 的值是解题的关键．
6．(2022·山东青岛·八年级期末)某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 元，现每册降价 元
销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为 元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是
( )册．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数量＝销售额÷单价，从而可列式求解．
【详解】解：这种图书的库存量是： (册)，故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的应用，解答的关键是理解清楚题意，得到相应的等量关系．
7．(2022·四川·仁寿八年级期中)计算： ＝____________________．
【答案】
【分析】先把除法转变为乘法，再根据乘法法则计算．
【详解】解：
=
= ．
故答案案为 ．
【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．(2022·广西贵港·八年级期中)计算： ________．【答案】 ##-0.5
【分析】先算乘方，负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，负整数指数幂和零指数幂．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
9．(2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习)计算：
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】(1)根据分式的基本性质：分式的分子与分母乘以(或除以)同一个不为 的整式，分式的值不变，
进行约分即可；
(2)根据分式的加减法运算法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，进行计算即可；
(3)根据分式的加减法运算法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即可得出结果．
(1)
解： ；
(2)
解： ；
(3)
解：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质、分式的加减法，解本题的关键在熟练掌握分式的加减法法则．
10．(2022·福建福州九年级开学考试)先化简，再求值： ，其中x＝3．
【答案】 ，3．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
【详解】解：
＝
＝
＝ ，
当x＝3时，原式＝ ＝3．
【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
11．(2022·山东威海·期中)先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】先将括号内的通分加减，再根据除以不为零的数等于乘以这个数的倒数，最后约分化简即可，把
的值代入即可求解．
【详解】解：原式
，
将 代入 ，得 ．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式在分式中的运算是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．(2022·山东·新泰市八年级阶段练习)化简 的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质结合乘法公式化简即可．
【详解】解： ，故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，乘法公式，熟知分式的基本性质是解题的关键．
2．(2022·四川·隆昌市知行中学八年级阶段练习)化简 的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂的运算进行计算即可，同时将除法转化为乘法，进而根据分式的性质计算即可
【详解】 故选B
【点睛】本题考查了分式的性质，幂的运算，正确的计算是解题的关键．
3．(2022·河北邢台·八年级阶段练习)若分式“ ”可以进行约分化简，则“○”不可以是( )
A．1 B．x C． D．4
【答案】C
【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合
题意．【详解】A． ，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意；
B． ，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意；
C． ，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意；
D． ， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意．故选：
C．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简．
4．(2022·黑龙江·兰西县八年级阶段练习)一件工程甲单独做 小时完成，乙单独做 小时完成，甲、乙二人
合作完成此项工作需要的小时数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】甲、乙合作完成工程的时间=工作总量÷甲乙工效之和，没有工作总量，可设其为1，所以甲、乙
合做此项工程所需的时间为1÷( )= 小时．
【详解】设工作量为1，由甲1小时完成 ，乙1小时完成 ，
因此甲、乙合作此项工程所需的时间为1÷( )= 小时，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用列代数式(分式)，分式的加减乘除运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求
的量与已知量间的关系．
5．(2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习)学完分式运算后，老师出了一道题：化简
．
小明的做法是：原式 ；小亮的做法是：原式 ；
小芳的做法是：原式 ．
对于这三名同学的做法，你的判断是( )
A．小明的做法正确 B．小亮的做法正确
C．小芳的做法正确 D．三名同学的做法都不正确
【答案】C
【分析】小明的做法错误，原因是在把分子相减时，去括号没有改变符号，而且选择的方法也不是很合适，
小亮的做法错误，分式的加减运算不能去分母，应该先通分，小芳的做法是正确的，选择的方法是合适的，
从而可得答案．
【详解】解：∵
∴小明与小亮的做法错误，小芳的做法正确，
故选C．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握“异分母分式的加减运算的运算法则”是解本题的关键．
6．(2022·江苏·七年级期末)已知一种细胞的直径约为2.13× cm，请问2.13× 这个数原来的数是
_____．
【答案】
【分析】利用绝对值小于1的数的科学记数法的表示方法的逆运算求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】题目考查绝对值小于1的数的科学记数法的表示方法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
7．(2022·陕西·西北大学附中八年级期中)若 ，则 _________， _________．【答案】 2 1
【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．
【详解】解：
∴A=2，B=1
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．
8．(2022·北京市八年级期中)老师所留的作业中有这样一个分式的计算题 ，甲、乙两位同学完
成的过程分别如下：
甲同学：
乙同学：
= 第一
步
= 第一步
= 第二步
= 第二步
= 第三步
= 第三步
老师发现这两位同学的解答过程都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同
学的解答过程进行分析(填“甲”或“乙”)．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是
_______；
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：
【答案】(1)甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；(或乙，二，直接去掉分母)；
(2)【分析】(1)根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断；
(2)根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得．
(1)
我选择甲同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是通分时第一个分
式的分子少乘了x-1；
或我选择乙同学的解答过程进行分析，该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是直接去掉分母；
故答案为：甲，一，通分时第一个分式的分子少乘了x-1；(或乙，二，直接去掉分母)；
(2)
(选甲为例)
=
=
=
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
9．(2022·广西宁明·七年级期末)课堂上，李老师给大家出了这样一道题：“当 、 、 时，求代数式
的值．”小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请
你写出具体过程．
【答案】当 时，原式 ；当 时，原式 ；当 时，原式
【分析】根据分式的混合运算法则化简 ，然后代入求值即可．
【详解】原式＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ ，
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的混合运算法则是解本题的关键．
10．(2022·浙江·八年级单元测试)先阅读后思考：
克糖水中有 克糖 ， 且 ，则糖与糖水的质量比为 ，如果再加 克糖 ，则糖与糖
水的质量比为 ，生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是有 ，趣称“糖水不等式”．
请你思考：若能从 克糖水中提炼出 克糖 ，则糖水会变得没有原来甜，你能得出另外的“糖水不
等式”吗？
【答案】
【分析】根据已知条件得出从 克糖水中提炼出 克糖 ，则糖与糖水得质量比为 ，再根据糖水
会变得没有原来甜得出不等式即可．
【详解】解：从 克糖水中提炼出 克糖 ，则糖与糖水的质量比为 ．
糖水会变得没有原来甜，
．
【点睛】本题考查了分式的大小比较，能正确根据题意列出不等式是解决本题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．(2022·山东威海·期中)设 ， ，则 ， 的关系是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断 ， 的关系，可以计算 的结果，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，
，∴ ， 的关系是互为相反数，
故选： ．
【点睛】本题主要考查分式的加减混合运算，掌握分式加减法法则是解题的关键．
2．(2022·湖南·邵阳市八年级阶段练习)已 ，则 的值是__________．
【答案】4
【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于 、 、 的方程组，
求出方程组的解，即可得出答案．
【详解】解： ，
，
，
，
解得， ，
．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于 、 、 的方程组是解题的关键．
3．(2022·山东·峄城区八年级阶段练习)一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后
返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A
港出发到返回A港共用多少时间？______．(只需列式表示，不必化简)
【答案】 时【分析】根据题意得：船顺流航行的速度为 千米/时，逆流航行的速度为 千米/时，可得到
顺流航行和逆流航行的时间，即可求解．
【详解】解：根据题意得：船顺流航行的速度为 千米/时，逆流航行的速度为 千米/时，
所以该船从A港出发到返回A港共用的时间为 时．
故答案为： 时
【点睛】本题考查列分式表示实际问题，理解题意，掌握列分式的基本规则是解题关键．
4．(2022·江苏·南通八年级阶段练习)对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝axy+bx﹣4(其中a、b均为
非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4．若T(2，1)＝2，T(﹣
1，2)＝﹣8．(1)求a，b的值；(2)若T(m，n)＝0(n≠﹣2)，①用含n的代数式表示m；②若m、n均取整数，
求m、n的值；③当n取s、t时，m对应的值为c、d．当t＜s＜﹣2时，试比较c、d的大小．
【答案】(1) 的值为1， 的值为2
(2)① ；② 或 或 或 或 或
；③
【分析】(1)根据新运算的定义和 可得一个关于 的二元一次方程组，解方程组即
可得；
(2)①先根据 和(1)的结论即可得；
②根据(2)①可得 ，再根据 均取整数进行分析即可得；
③先求出 ， ，再根据分式的减法法则可得 ，然后根据 即可得．
(1)
解： ，，
解得 ，
即 的值为1， 的值为2．
(2)
解：①由(1)可知， ，
，
，
；
②由(2)①可知， ，
取整数，
是整数，
又 也是整数，
的所有可能的取值为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上， 或 或 或 或 或 ；③由题意得： ， ，
则
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式减法的应用，理解新运算的定义是解题关键．
5．(2022·河南·八年级期末)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为
1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田的
小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为
．
(1) ； ．(用含a的式子表示)
(2)求证： ．(3)求 的值．
(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)
(4)高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍
【分析】(1)利用小麦的产量分别除以“丰收1号”、“丰收2号”的面积即可得 ；
(2)根据分式的减法法则计算 ，利用偶次方的非负性即可得证；
(3)根据分式的除法法则进行计算即可得；
(4)先求出 时， 的值，再根据(2)的结论即可得．
(1)
解：由题意得： ， ，
故答案为： ， ．
(2)
证明：，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
(3)
解：
．
(4)
解：当 时， ，
∵ ，
，
，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍．
【点睛】本题考查了列代数式、分式的减法与除法的实际应用等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题
关键．
6．(2022·绵阳市·八年级单元测试)课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而
成的什锦糖的价格：设 种糖的单价为 元/千克， 种糖的单价为 元/千克，则 千克 种糖和 千克种糖混合而成的什锦糖的单价为 (平均价)．现有甲乙两种什锦糖，均由 ， 两种糖混合而成．其
中甲种什锦糖由10千克 种糖和10千克 种糖混合而成；乙种什锦糖由100元 种糖和100元 种糖混
合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为 和 (用 、 的代数式表示)；
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将 与 进行作差比较，即计算 的差与0比较
来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理(若石油价格经常波动．方
式一：每次都加满；方式二：每次加200元)．选择哪种方式？请简要说明理由．
【答案】(1) ，
(2)甲糖的单价较高，理由见解析
(3)方式二更合算
【分析】(1)根据单价=总价÷数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；
(2)根据作差法比较大小即可求解；
(3)由探究的结果进行分析即可．
(1)
解：甲糖单价为： = (元)，
乙糖单价为： = (元)；
(2)
∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成，∴ ，
∴甲糖的单价较高．
(3)
由探究可知方式一相当于甲种什锦糖，方式二相当于乙种什锦糖，
故选择方式二更合算．
【点睛】本题考查了列代数式(分式)，分式的加减法.注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线
代替．
