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第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x－h)2的图象和性质
学习目标：1.会画二次函数y=a(x－h)2的图象.
2.掌握二次函数y=a(x－h)2的性质.
3.比较函数y=ax2与y=a(x－h)2的联系.
重点：会画二次函数y=a(x－h)2的图象.
难点：掌握二次函数y=a(x－h)2的性质并会应用其解决问题.
自 主 学
习
一、知识链接
1.说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
2.二次函数 y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系？
3.函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=a(x－h)2的图象和性质
引例 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象．
根据所画图象，填写下表：
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y= x2
y= （x-2）2
试一试 画出二次函数 ， 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点
坐标.
想一想 通过上述例子，函数y=a(x－h)2的性质是什么？
第 1 页 共 6 页要点归纳：二次函数y=a(x－h)2(a≠0)的性质
当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，y有最小值为0.
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当a＞0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，y有最大值为0.
当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.
典例精析
例1 已知二次函数y＝ （x﹣1）2
（1）完成下表；
x … …
y … …
（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（4）当x取何值时，y随x的增大而增大．
（5）若3≤x≤5，求y的取值范围；
想一想：若-1≤x≤5，求y的取值范围；
（6）若抛物线上有两点A(x，y)，B(x，y)，如果x＜x＜1，试比较y 与y 的大小．
1 1 2 2 1 2 1 2
变式：若点A(m，y)，B(m+1，y)在抛物线的图象上，且m＞1，试比较y，y 的大小，并说明理由．
1 2 1 2
探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x－h)2的关系
想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？
要点归纳：二次函数y=a(x－h)2与y=ax2的图象的关系
y=ax2向右平移︱h︱得到y=a(x－h)2；
y=ax2向左平移︱h︱得到y=a(x+h)2.
左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变.
第 2 页 共 6 页例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个
单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
练一练
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
三、课堂小结
描点法
图象的画法
平移法
二次函数y=a(x-h)2(a≠0) 1.开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下.
的图象和性质 图象的特征 2.对称轴：直线x=h.
3.顶点坐标：(h，0)
平移规律：
与y=ax2的关系
括号内左加右减；括号外不变.
当堂检
测
1.指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
2.如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是_____．
3.把抛物线y=－x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
4.若（－ ，y）（－ ，y）（ ，y）为二次函数y=(x－2)2图象上的三点，则y，y，y 的大小关系为
1 2 3 1 2 3
___________.
5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x－2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
能力提升
已知二次函数y＝（x﹣h）（2 h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，
求h的值.
参考答案
自主学习
知识链接
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，c）,当a＞0时，图象的开口向上，有最低点
（即最小值c），当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当a＜0时，图象的开口向下，有最
第 3 页 共 6 页高点（即最大值c），当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
2.答：二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0)的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移- k个单位长度得到.
3.能
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=a(x－h)2的图象和性质
引例 列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y= x2 … 2 0 2 …
y= （x-2）2 … 8 2 0 …
描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示.
图① 图②
填表如下：
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y= x2 向上 y轴 （0,0）
y= （x-2）2 向上 直线x=2 （2,0）
试一试
填表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=- （x+1）2 … -2 0 -2 -8 …
y=- （x-1）2 … -8 -2 0 -2 …
描点、连线，画出这两个函数的图象如图②所示.
典例精析
例1 解：（1）填表如下：
x … -1 0 1 2 3 …
第 4 页 共 6 页y … 2 0 2 …
（2）解：描点，画出该二次函数图象如下：
（3）对称轴为直线x=1.顶点坐标为(1,0).
（4）当x＞1时，y随x的增大而增大.
（5）∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2;当x=5时，y=8,∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8.
想一想 ∵当-1≤x≤5时，y的最小值为0，∵当-1≤x≤5时，y的取值范围是0≤y≤8.
（6）∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当x＜x＜1时，y＞y.
1 2 1 2
变式 ∵m＞1，∴1＜m＜m+1，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴y＜y.
1 2
探究点2：二次函数y=ax2与y=a(x－h)2的关系
想一想
抛物线 向左平移1个单位得到抛物线 ，抛物线 向右平移1个单位得到抛
物线 .
例2 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y
＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a= ，∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
练一练 C
当堂检测
1.填表如下：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线x=3 (3,0)
向上 直线x=2 (2,0)
向下 直线x=1 (1,0)
2.a＞0 3.y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 4.y ＞y ＞ y
1 2 3
5. 解：图象如图.
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
第 5 页 共 6 页能力提升
解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y取
得最小值4，可得（﹣1﹣h）2＝4，解得h＝﹣3或h＝1（舍）；②若﹣1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4，可
得：（3﹣h）2＝4，解得：h＝5或h＝1（舍）；③若﹣1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4，∴此种
情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣3或5.
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