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第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
学习目标：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
3.理解y=ax2与 y=ax2+k之间的联系.
重点：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.理解y=ax2与 y=ax2+k之间的联系.
难点：掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用其解决问题.
自主学习
一、知识链接
1.用描点法画出二次函数y=4x2的图象.
2.函数y=－3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随
x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 .
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质
合作探究
在同一直角坐标系内画出函数 +1， -1的图象并考察它们的开口方向、对称
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是____________________；
(2)两条抛物线的开口方向____________________；
(3)对称轴都是____________________ ；
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________；
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、_______﹑
________；
(6)函数的增减性都相同：_______________________________________________________.
想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＞0) 的性质是什么？典例精析
例1 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（ ）
A．其图象的开口方向向上 B．当x=0时，y有最大值4
C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为（0，4）
探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质
做一做 在同一坐标系内画出 ， ， 的图象并考察它们的
开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是____________________；
(2)三条抛物线的开口方向____________________；
(3)对称轴都是____________________ ；
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________；
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑
________；
(6)函数的增减性都相同：_______________________________________________________.
要点归纳：二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质：
①当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最
小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大；
②当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最
大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小.
例2 关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是 （ ）
A．开口方向相同 B．顶点相同
C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
探究点3：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象及平移
做一做：填写下表，画出二次函数 y=2x2， y=2x2+1 ，y=2x2－1的图象
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 … …
y=2x2 … …
y=2x2-1 … …
观察上述图象，说说它们之间的区别与联系.知识要点：二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2的图象的关系
二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时，向下平移－k个单位长度得到.
上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
想一想
1. 要得到函数y=ax2+k (a≠0)的图象有哪些方法？
2.抛物线y=ax2+k (a≠0)中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶
点坐标怎样表示？
例3 在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝﹣x2+1的图象大致是（ ）变式训练
在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象可能是( )
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有
关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
三、课堂小结
1.开口方向由a的符号决定；
图象 2.k决定顶点位置；
3.对称轴是y轴
二次函y=ax2+k(a≠0)
的图象和性质 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定
平移规律：
与y=ax2 (a≠0)的
k正向上；
关系
k负向下
当堂检测
1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．
2.填表
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点3. y = 3x2
已
知
( y = 3x2＋1
m
，
n) y =－4x2－5
在
y
=ax2+a (a ≠ 0)的图象上，则点(－m，n) (填“在”或“不在”) y=ax2+a(a≠0)的图象
上.
4. 若y = x2+(k－2)的顶点是原点，则k ；若顶点位于x轴上方，则k ；若顶点位
于x轴下方，则k .
5.已知抛物线y=(a－2)x2+a2－2的最高点为(0，2)，则a= .
6.已知抛物线y=ax2+k.
（1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0，-3)，则该
抛物线的函数表达式是____________;
（2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则
a=______，k=______;
（3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1，5)，则该抛物线的解析式是__________，
将此抛物线向下平移3个单位，得到的新的抛物线的解析式是_____________.
能力提升：
如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S ＝4，求P点
△PAB
的坐标．
参考答案
自主学习
知识链接
1.画图略
2.向下 y轴 （0，0） 增大 减小
课堂探究
二、要点探究
探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质
合作探究
列表如下：x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
y=2x2-1 … 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 …
描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示.
图① 图②
根据图象回答下列问题:
(1)抛物线 (2) 向上 (3)y 轴 (4)( 0，1)，( 0，−1)
（5）低 小 y=1 y=−1
（6）对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大
典例精析
例1 B
探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质
做一做
二次函数 ， ， 的图象如图②所示.
（1）抛物线 （2）向下 （3）y轴（或直线x=0） (4)(0,2),(0,0),（0，-2）
(5)高 大 y=2 y=0 y=-2
(6)对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小例2 C
探究点3：二次函数y=ax2+k的图象及平移
探究1
x … －1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 … 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 …
探究2
画图如图所示.
从形的角度探究
上 y=2x2+1 下 y=2x2-1
练一练 D
想一想
1.第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱个单
位长度.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标，对称轴为 y 轴；顶点坐标为(0，k).
例3 D 变式训练 D
当堂检测
1.y = 2x2－42.
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = 3x2 向上 （0,0） y轴 有最低点
y = 3x2＋1 向上 （0,1） y轴 有最低点
y =－4x2－5 向下 （0,-5） y轴 有最高点
3.在 4.=2 ＞2 ＜2 5.-2
6.（1）y=-2x2-3 （2）-0.5 -3 （3）y=x2+4 y=x2+1
能力提升
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为
(2，0)，∴AB＝4.由于S ＝4，设P点纵坐标为b，则 ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝±2.当
△PAB
b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ，此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)；当b＝－2时，
x2－4＝－2，解得x＝± ，此时P点坐标为( ，－2)，(－ ，－2)．
