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第 01 讲 分式
课程标准 学习目标
1. 掌握分式的概念并能够根据概念熟练解题。
①分式的概念 2. 掌握分式有意义的条件，并能够熟练解决相应的题
②分式有意义的条件 目。
③分式的性质 3. 掌握分式的性质，能够熟练的应用分式性质进行约
分和通分。
知识点01 分式的概念
1. 分式的概念：
一般地，若A与B均是 整式 且B中含有 字母 ，那么式子 叫做分式。其中A叫做分子，
B叫做分母。
2. 分式满足的三个条件：
①式子一定是 的形式；
②A与B一定是整式；
③B中一定含有字母。
简单理解：分母中含有 字母 的式子就是分式。
题型考点：①分式分判断。
【即学即练1】1．下列各式m2﹣ ， ， x， ， ， ，属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解： ， 是分式，共2个．
故选：C．
【即学即练2】
2．代数式 ， ，x2﹣ ， ， ， 中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：分式有： ， ， ， ，
整式有： x， ，x2﹣ ，
分式有4个，
故选：C．
知识点02 分式有意义的条件
1. 分式有意义的条件：
即要求分式的分母不能为 0 。即 中， B 不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进
行因式分解，让每一个因式都不为0。
题型考点：①根据分式有意义的条件求值。
【即学即练1】
3．当x取什么值时，式子 有意义（ ）
A．x＝ B．x＝﹣5 C．x≠ D．x≠﹣5
【解答】解：由题意可得x+5≠0，
则x≠﹣5，
故选：D．
【即学即练2】
4．若分式 有意义，则实数x的取值范围是 x ≠﹣ 7 ．
【解答】解：∵分式 有意义，
∴x+7≠0，解得x≠﹣7．
故答案为：x≠﹣7．
【即学即练3】
5．当x为一切实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．当x＝﹣1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；
B．∵x2≥0，
∴x2+1＞0，
∴当x为任意实数时，该分式一定有意义，故本选项符合题意；
C．当x＝﹣1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；
D．当x＝±1时，该分式没有意义，故本选项不合题意；
故选：B．
知识点03 分式的值
1. 分式的值为0的条件：
分式的值为0的条件为要求分子必须为 0 ，同时要求分母不为 0 。
即 中，A ＝ 0，B ≠ 0。
对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的
值不等于0。
题型考点：①分式值为0的条件。
【即学即练1】
6．若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．1 C．1或0 D．0或﹣1
【解答】解：根据题意得x2﹣x＝0且x2﹣1≠0，，
解得x＝0．
故选：A．
【即学即练2】7．分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【解答】解：∵分式 的值为0，
∴（x+2）（x+3）＝0且x2﹣4≠0，
解得：x＝﹣3，
经检验，x＝﹣3是方程的解，
故选：D．
【即学即练3】
8．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．±3 B．0 C．﹣3 D．3
【解答】解：由题意得 ，
解得x＝3．
故选：D．
2. 分式的值：
若分式 的值是正的，则 ，即A与B同号；若分式 的值是负的，则
，即A与B
异号。
题型考点：① 根据分式的值求取值范围。②根据式子的值求分式的值
【即学即练1】
9．若使分式 的值为负数，则x可以取的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵x2+1＞0，
∴当分式 的值为负数时，
2x﹣5＜0，
解得x＜ ，
故选：A．
【即学即练2】10．若分式 的值为整数，则正整数x的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【解答】解：
＝
＝ ，
∵分式 的值为整数，
∴x﹣3＝±1或±2或±3或±6，且x+2≠0，
∴正整数x＝4或2或5或1或6或9，共6个，
故选：B．
【即学即练3】
11．已知x+y＝5，xy＝2，则 的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：原式＝ ，
把x+y＝5，xy＝2代入得：
原式＝ ＝ ．
故选：D．
【即学即练4】
12．已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ＝x2+2+
＝（x﹣ ）2+2+2
＝4+2+2
＝8，∴ 的值为 ，
故选：C．
知识点04 分式的性质
1. 分式的性质的基本内容：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个 不等于 0 的整式，分式的值 不变 。
2. 式子表达：
（A、B、C均是整式且C≠0）
3. 分式的符号改变法则：
分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意 两个 符号分式不会发生改变。
即：
题型考点：①分式基本性质的应用。
【即学即练1】
13．下列等式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【解答】解：A、 ≠ （m≠0），所以A选项不正确；
B、若c＝0，则 ≠ ，所以B选项不正确；
C、 ＝ ，所以C选项正确；
D、 ＝ ，所以D选项不正确．
故选：C．
【即学即练2】
14．根据分式的基本性质，分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A．∵ ＝ ＝ ，∴ ≠ ，故本选项不符合题意；
B． ≠ ，故本选项不符合题意；
C． ＝ ≠ ，故本选项不符合题意；
D． ＝ ＝ ，故本选项符合题意；
故选：D．
【即学即练3】
15．若把分式 中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定
【解答】解： ，所以分式的值不变．故选A．
【即学即练4】
16．把分式 中的x，y都变为原来的5倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的5倍 B．不变
C．缩小到原来 D．变为原来的25倍
【解答】解： ，
∴分式的值不变，
故选：B．
题型01 分式的判定【典例1】
下列各式： ， ，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ， ， 是分式，
故选：C．
【典例2】
下列各式： ， ，5， 中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：下列各式： ， ，5， 中，分式有： ， ， ，共有3
个．
故选：C．
【典例3】
下列各式：x2+5x， ， ， ，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： 是分式，共1个，
故选：A．
【典例4】
在式子 ； ； ； ； ； ； 中，分式的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：在式子 ； ； ； ； ； ； 中，
分式有： ； ； ； ，
即分式有4个．
故选：B．
题型02 分式有意义的条件
【典例1】要使分式 有意义，则x应满足（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x＝1
【解答】解：∵分式 有意义，
∴1﹣x≠0，
解得x≠1．
故选：C．
【典例2】
要使分式 有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠2 B．x≠0 C．x≠﹣1 D．x≠﹣2
【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
【典例3】
要使式子 有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1且m≠1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＞﹣1
【解答】解：要使式子 有意义，则m﹣1≠0，
解得m≠1，
故选：B．
【典例4】
下列分式中，有意义的条件为x≠2的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵ 有意义，∴2x﹣4≠0，解得x≠2，符合题意；
B、∵ 有意义，∴x+2≠0，解得x≠﹣2，不符合题意；
C、∵ 有意义，∴x+2≠0，解得x≠﹣2，不符合题意；
D、∵ 有意义，∴x﹣1≠0，解得x≠1，不符合题意．
故选：A．题型03 分式值为0的条件
【典例1】
当x______时，分式 的值为0．（ ）
A．x＝3 B．x＝1 C．x＝±3 D．x＝﹣3
【解答】解：由题意得： ，
解得x＝﹣3．
故选：D．
【典例2】
若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0或1或2 B．0或﹣2或2 C．0或1 D．0或﹣2
【解答】解：∵ 的值为0，
∴x（x﹣1）（x﹣2）＝0且x2﹣4≠0，
解得：x＝0或x＝1．
故选：C．
【典例3】
如果分式 的值为零，那么x等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
【解答】解：∵ 的值为零，
∴|x|﹣2＝0且x﹣2≠0，
解得x＝﹣2．
故选：B．
【典例4】
若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．4
【解答】解：由题意得：
，
解得x＝8．
故选：A．题型04 式子的求值问题
【典例1】
若分式 的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．x为任意数 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x≤2
【解答】解：∵x2+1＞0，
要使分式 的值为负数，
即2x﹣4＜0，
∴x＜2．
故选：B．
【典例2】
若分式 的值为正，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． ，且x≠0 D．
【解答】解：∵x2＞0，且x≠0，分式 的值为正，
∴2x+1＞0，
∴ ，
∴ 且x≠0．
故选：C．
【典例3】
若分式 的值为正整数，则整数x的值为 0 ， 1 ．
【解答】解：∵ ＝ 值为正整数，且x≠3，
∴整数x的值为0，1．
故答案为：0，1．
【典例4】若y＝ ，则 的值为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
【解答】解：∵y＝ ，
∴y﹣2xy＝x，
∴y﹣x＝2xy，
∴ ＝
＝
＝﹣ ，
故选：D．
【典例5】
已知x2﹣3x﹣m＝0，则代数式 的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【解答】解：由x2﹣3x﹣m＝0得x2﹣m＝3x，
则 ，
故选：D．
题型05 分式的性质
【典例1】
下列等式从左到右变形正确的是（ ）
A． ＝x B． ＝1
C． ＝﹣1 D． ＝
【解答】解：A． ＝ ，故本选项不符合题意；
B． ＝1+ ，故本选项不符合题意；C． ＝ ＝﹣1，故本选项符合题意；
D． ≠ ，故本选项不符合题意．
故选：C．
【典例2】
根据分式的基本性质，把分式 中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，那么分式的值
（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．改变 D．不改变
【解答】解：根据题意得： ＝ ＝ ，
即分式的值不改变．
故选：D．
【典例3】
若分式 中的x，y都扩大原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍
C．不变 D．缩小到原来的
【解答】解：分式的x，y都扩大原来的3倍变为： ＝ ＝ ，
即x，y都扩大原来的3倍后分式的值不变，
故选：C．
【典例4】
下列分式从左到右的变形中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、 ＝ ，故A不符合题意；
B、 ＝ ，故B符合题意；
C、 ≠ ，故C不符合题意；
D、 ＝ （a≠0），故D不符合题意；故选：B．
【典例5】
分式变形 ＝ 中的整式A＝ x 2 ﹣ 2 x ，变形的依据是 分式的分子与分母同乘（或除以）一个
不等于 0 的整式，分式的值不变 ．
【解答】解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
∴分式变形 ＝ 中的整式A＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：x2﹣2x，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
1．下列式子中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， 是整式；是分式．
故选：C．
2．若分式 不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≠1
【解答】解：∵不论x取任何数分式总有意义，
∴x2﹣2x+m≠0，
∴方程x2﹣2x+m＝0无解，
∴Δ＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1，
故选：B．
3．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当x＝3时， 的值为0
B．当x≠3时， 有意义
C．无论x为何值， 不可能是整数
D．无论x为何值， 的值总为正数
【解答】解；A．当x＝3时， 无意义，故A不符合题意．
B．当x≠0时， 有意义，故B不符合题意．
C．当x＝4、0、﹣2、﹣6时， 是整数，故C不符合题意．
D．根据偶次方的非负性，得x2+1＞0，即无论x为何值， 的值总为正数，故D符合题意．
故选：D．
4．下列结论：①无论a为何值， 都有意义；②当a＝﹣1时，分式 的值为0；③若 的
值为负，则x的取值范围是x＜1；④若 有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正
确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵a2≥0，∴a2+1≥1≠0，
∴不论a为何值 都有意义，故此结论正确；
②∵当a＝﹣1时，
∴a2﹣1＝1﹣1＝0，此时分式无意义，故此结论错误；
③∵若 的值为负，
∴x﹣1＜0，
∴x＜1，故此结论正确；
④∵ 有意义，
∴ ，
解得x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此结论错误．
综上所述，其中正确的个数是2．
故选：B．
5．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴b＝ ，
则 ＝ ＝ ．
故答案为：A．
6．不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以﹣
1，
A、 ＝ ；B、 ＝ ；
C、 ＝﹣ ；
D、 ＝1，
故选：B．
7．如果将分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．扩大到原来的9倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍
【解答】解：把x和y都扩大3倍后，原式＝ ＝ ，
约分后缩小到原来的 ，
故选：C．
8．已知三个数a、b、c满足 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ ，
∴ ＝5， ＝6， ＝7，
∴ ＝5， + ＝6， + ＝7，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ ＝ ，
故选：A．
9．下列四个代数式1， ，x2﹣1，x+1，请从中任选两个整式，组成一个分式为 （答案不唯一）
（只需写出一个即可）．
π
【解答】解：分式为 ．故答案为： （答案不唯一）．
10．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，则 的值是 ﹣ 2 ．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，
∴a+b＝0，cd＝1，m2＝4，
∴ ＝0﹣4+2＝﹣2．
故答案为：﹣2．
11．如果分式 的值等于0，那么m＝ ﹣ 4 ．
【解答】解：由题意得：|m|﹣4＝0且|m﹣4|≠0，
∴m＝±4且x≠4，
∴m的值为﹣4，
故答案为：﹣4．
12．已知 的值为5，若分式 中的x、y均变为原来的2倍，则 的值为 1 0 ．
【解答】解：∵ ＝5，
∴ ＝ ＝ ＝2×5＝10，
故答案为：10．
13．已知a，b，c均是非零有理数，请完成下面的探索：
（1）试求 的值；
（2）试求 + 的值；
（3）请直接写出 + + 的值．
【解答】解：（1）当a为正数时， ＝ ＝1；
当a为负数时， ＝ ＝﹣1；
（2）当a＞0，b＞0时， ；
当a＜0，b＜0时， ；当a＞0，b＜0时， ；
当a＜0，b＞0时， ；
（3）当a＞0，b＞0，c＞0时，原式＝1+1+1＝3；
当a＞0，b＞0，c＜0时，原式＝1+1﹣1＝1；
当a＞0，b＜0，c＞0时，原式＝1﹣1+1＝1；
当a＜0，b＞0，c＞0时，原式＝﹣1+1+1＝1；
当a＜0，b＜0，c＞0时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；
当a＜0，b＞0，c＜0时，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1；
当a＞0，b＜0，c＜0时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；
当a＜0，b＜0，c＜0时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，
则原式＝1，﹣1，3，﹣3．
14．（1）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且m的立方等于它的本身．求 +cd的值．
（2）已知当x＝﹣1时，ax3﹣bx+c＝5，则当x＝﹣1时，求代数式7+ax4﹣bx2﹣c的值．
【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且m的立方等于它的本身，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1，0或1．
∴ +cd＝ +cd＝ +1＝1．
（2）∵当x＝﹣1时，ax3﹣bx+c＝﹣a+b+c＝5，
∴当x＝﹣1时，7+ax4﹣bx2﹣c＝7+a﹣b﹣c＝7﹣（﹣a+b+c）＝7﹣5＝2．
15．阅读下面的解答过程．
计算：
解：因为 ， ， ， ，
所以原式＝
＝
＝
＝
根据以上解题方法计算：
（1） ＝ （n为正整数）；（2） ．
（3） ．
【解答】解：（1）由题意得 ；
故答案为： ；
（2）
＝1﹣（ + + +…+ ）
＝1﹣（ + + +…+ ）
＝1﹣（1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝1﹣（1﹣ ）
＝1﹣1+
＝ ；
（3）
＝ （ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
＝ （ ﹣ ）
＝ ×
＝．
