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2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍（人教版）
专题 1.2 勾股定理精讲精练（12 大易错题型深度导练）
【目标导航】
【知识梳理】
1.勾股定理：
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于 的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有 , ,
（4）证明勾股定理时，用几个全等的 拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个
小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
2.勾股定理逆定理：
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形就是直角三角
形．
说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的
和等于 才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是 ．然后进一步结合其他已知条
件来解决问题．
3.勾股定理的应用：
①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形
的面积等于以 的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成 是两个正整数
的直角三角形的斜边．
考点1 勾股定理
【例1】）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、
E．求AE的长．
【变式训练】
1．（2022春·内蒙古锡林郭勒盟·八年级校考期末）已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直
角三角形的周长是（ ）
5 √3+3
A． B．3 C．√3+2 D．
2 2
2．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB−AC=2，
BC=3，则AC的长为（ ）
5
A．3 B．4 C．5 D．
4
3．（2022春·广东河源·八年级校考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离是（ ）
12√13
A．3 B．4 C．2√5 D．
13
考点2勾股定理与数轴
【例2】利用勾股定理可以在数轴上画出表示√20的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：
第一步：（计算）尝试满足 ，使其中a，b都为正整数，你取的正整数a＝ 4 ，b＝ 2
√20=√a2+b2
；
第二步：（画长为√20的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为
原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF＝90°，则斜边OF的长即为√20．
请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）
第三步：（画表示√20的点）在下面的数轴上画出表示√20的点M，并描述第三步的画图步骤：
．
【变式训练】
4．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数
−1的点重合，点D与数轴上表示数−4的点重合，AB=1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与
数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）
A．−√10 B．1−√10 C．√10−1 D．−1−√10
5．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，
AB=3，AD=1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）
A．√10−1 B．√10 C．√10+1 D．√10+2
6．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考期中）如图，Rt△OAB的直角边OA的长为2，直角边AB的长为1，
OA在x轴上，在OB上截取BC=BA，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交x轴的正半轴于点P，则
OP中点的横坐标是（ ）
√5−1 √3−1
A． B． C．√5−2 D．√3−1
2 2
考点3勾股定理与网格问题
【例3】如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画
出下列图形：
（1）在网格中画出长为√5的线段AB．
（2）在网格中画出一个腰长为√10、面积为3的等腰△DEF．
【变式训练】
7．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点
上，则BC边上的高为（ ）√13 4√5 √30 8√5
A． B． C． D．
2 5 2 5
8．（2023春·八年级课时练习）如图是3×3的正方形网格，每一个小正方形的边长为1．关于图中的正方
形ABCD的面积S，三人的说法如下：
甲：要求面积S的值，必须先求出正方形ABCD的边长才行．
乙：正方形ABCD的边长是√5．
丙：正方形ABCD的对角线长m的值介于整数3和4之间．
下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对 B．甲和乙对 C．甲、乙、丙都不对D．乙和丙对
9．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成
图中三条线段AB，BC，CD．现在取出这三条线段AB，BC，CD首尾相连拼三角形．下列判断正确的
是（ ）
A．能拼成一个锐角三角形 B．能拼成一个直角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
【考点4】勾股定理与折叠问题
【例4】（2022秋•垣曲县期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD的长为（ ）
A． B． C．7cm D．9cm
【变式训练】
10．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考开学考试）如图，在长方形ABCD中，点E是
CD上一点，连接AE，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=9，CE=4，
则折痕AE的长度为（ ）
A．5√10 B．10√3 C．10√5 D．5√3
11．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在△ABC中，∠C=90°，
AC=BC=6，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点
F，如果CF=2，则BE的长为（ ）
3√2 7√2
A．6 B．5√2 C． D．
2 2
12．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，
点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当
△DEB是直角三角形时，DE的长为（ ）A．3 B．5 C．3或6 D．2或5
【考点5】勾股定理与图形面积
【例5】（2022秋•慈溪市期末）勾股定理是我国的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC的各边为边向
外作正方形，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，三个阴影部分的面积分别为 S ＝1，S
1 2
＝2，S ＝3，则较小两个正方形重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
3
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【变式训练】
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半
圆，其面积分别为S ,S ,S ，若S =40,S =18，则S =（ ）
1 2 3 1 3 2
A．18 B．20 C．22 D．24．
14．（2022春·河南三门峡·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为S ,S ,S ,S ，若S +S =135,S =49，则S =（ ）
1 2 3 4 1 4 3 2
A．184 B．86 C．119 D．81
15．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，以直角三角形ABC的各边边长分别向外作等边三角形，
再把较小的两个三角形按如图2的方式放置在最大的三角形内，S 是小梯形面积，S 是三个三角形重叠部
1 2
分的面积，S 是大梯形的面积，S 是平行四边形的面积，则下列关系一定成立的是（ ）
3 4
A．S =S B．S =S C．S =S D．S =S
1 4 2 4 3 4 1 3
【考点6】勾股定理与最短路径问题
【例6】．（2022秋•东明县校级期末）空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A有一只
飞虫，要吃到B点的食物，最短路径的长是（ ）
A．6 B．7 C．13 D．10
【变式训练】
16．（2021秋·四川乐山·八年级统考期末）已知 ，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角
√52+122=13三角形的两直角边分别为5、12，计算结果为斜边13，同理计算 可以看成直角边分别为a、
√a2+82(a>0)
8，结果为斜边长度，利用此原理解决问题：已知 ，计算 的最小值
a+b=15(a>0,b>0) √a2+9+√b2+25
为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
17．（2023春·八年级单元测试）如图，有一个圆柱，底面圆的周长为16πcm，高BC=12πcm，P为BC
的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（ ）
A．9πcm B．10πcm C．11πcm D．12πcm
18．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm
的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度
ℎ
cm，则h的取值范围是（ ）
A． ℎ≤17cm B． ℎ≥8cm
C．15cm≤ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm
【考点7】勾股定理与弦图问题
【例7】（2022秋•广饶县校级期末）如图①是美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直
角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全等的直角三角形
紧密拼接，形成飞镖状，且外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，则该飞镖状图案的面积（ ）
A．6 B．12 C．16 D．24【变式训练】
19．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，
若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则a＋b
的值是（ ）
A．6 B．5 C．√19 D．4
20．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的
直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ．若
1 2 3
S +S +S =2022，则S 的值是（ ）
1 2 3 2
A．672 B．673 C．674 D．675
21．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）某大会会标如图所示，它是由相同的直角
三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角
形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，则 的值（ ）
(a+b) 2
A．13 B．19 C．25 D．169【考点8】勾股定理的逆定理
【例8】（2022秋•南召县期末）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为 1，△ABC的顶点A，B，C
均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB2＝20 B．∠BAC＝90°
C．S△ABC ＝10 D．点A到直线BC的距离是2
【变式训练】
22．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C，的对边分别是a，b，c，下
列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a=3，b=4，c=5， B．a2=b2−c2
C．∠A:∠B:∠C=1:1:2 D．∠A+∠B=80°
23．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）下列数据中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB=2，BC=3，AC=4 B．AB=7，CB=8，AC=9
C．AB=1，BC=√2，AC=√3 D．AB=6，CB=8，AC=11
24．（2023春·全国·八年级专题练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的
13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角
便是直角，这样做的道理是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于180°C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【考点9】勾股定理的计算问题
【例9】．（2022秋•宛城区校级期末）已知：如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝
3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【变式训练】
25．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，BD是四边形ABCD的一条对角线．
(1)作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E．F，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹．
不要求写作法）；
(2)若∠C=90°，BC=8，CD=4，求BF的长．
26．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB=17，
AC=10．
(1)若CD=6，则AD= ，BD= ；
(2)若BC=20，求CD的长．27．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E，F在边AB上，将边
AC沿CE翻折，使点A落在AB上的D点处，再将边CB沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处．
(1)求∠ECF的度数；
(2)若CE=4，B′F=1，求线段BC的长；
(3)在（2）的条件下，求△ABC的面积．
【考点10】勾股定理逆定理的应用
【例10】（2022秋•长安区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝4，BC＝2 ，CD＝1，
AD＝ ．
（1）求AC的长；
（2）求证：AD⊥CD．
【变式训练】
28．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一
块空地，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，小区为美化环境，欲在空地
上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．29．（2022秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，
DA=1，求四边形ABCD的面积．
30．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点
上．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的面积及AC边上的高．
【考点11】勾股定理与实际问题
【例11】（2022秋•鸡泽县期末）如图，笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点AB，其中AB
＝AC，由于某种原因由C到A的路现在已经不通．为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H（A、
H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5km，CH＝4km，BH＝3km．
（1）CH是否为从旅游地C到河流的最短路线？请通过计算加以说明；
（2）求原来路线AC的长．【变式训练】
31．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子
底端离墙(BO)6米
(1)此时梯子顶端A离地面多少米?
(2)若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处?
32．（2023秋·陕西西安·八年级西安市西光中学校考期末）如图，笔直的公路上A，B两点相距25km，C，
D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段
上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
33．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，
AB=BC=6cm，CD=10cm；
(1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的
最大长度是多少？【考点12】有关勾股定理的综合问题
【例12】（2022秋•衢江区期中）阅读材料，解答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”，这句话的意思
是：“如果直角三角形两直角边长为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载说明：在Rt△ABC中，
如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是： a 2 + b 2 ＝ c 2 ．
（2）如图①，它是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形ABDE，中间部分是一个小正方形
CFGH，请结合图①，证明（1）中的数量关系．
（3）如图②，以Rt△ABC的三条边分别作三个等边三角形，若S ＝15，S ＝7，S ＝14，求出S 的值．
1 2 3 4
【变式训练】
34．（2022秋·吉林长春·八年级校联考期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的
部分内容．
把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A、E、D在同一条直线
上，
利用此图的面积表示式证明勾股定理．
(1)请结合图，写出完整的证明过程；(2)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=√2，P是射线BC上一点，以AP为直角边在
AP边的右侧作△APD，使∠APD=90°，AP=PD．过点D，作DE⊥BC于点E，当DE=2时，则
BD=___________．
35．（2022秋·山西忻州·八年级统考期末）综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为
b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，
求该飞镖状图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT
的面积分别为S ,S ,S ，若S +S +S =42，求S 的值．
1 2 3 1 2 3 2
36．（2022秋·八年级校考阶段练习）如图，已知△ACB和△ECF中，∠ACB=∠ECF=90°，AC=BC，
CE=CF，连接AE．BF交于点O．(1)求证：△ACE≌△BCF；
(2)求∠AOB的度数；
(3)连接 ， ，求证
BE AF BE2+AF2=2(AC2+CE2)
