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第一章 丰富的图形世界
1.3 截一个几何体
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·山东东营·期末）用一个平面去截如图所示的立体图形，可以得到三角形截面的立体图形有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据截面与几何体的三个面相交，可得截面是三角形．
【详解】
解：用一个平面去截一个几何体，可以得到三角形的截面的几何体有：圆锥，长方体，三棱柱，
故选：B．
【点睛】
本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，
最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
2．（2022·陕西·西安工业大学附中三模）正方体的截面形状不可能是（ ）
A．三角形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【解析】
【分析】正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形或多于七边的图形．
【详解】
解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形．
故选：D．
【点睛】
本题考查正方体的截面．熟记正方体的截面的四种情况是解题的关键．
3．（2021·全国·七年级单元测试）用一个平面去截三棱柱，可能截出以下图形中的（ ）
等腰三角形； 等边三角形； 圆； 正方形； 梯形．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面截三棱柱的不同角度与位置判断相应截面形状即可．
【详解】
解：当截面与底面平行时，得到的截面形状是三角形，故①②正确；
当截面与底面垂直且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是正方形，故④正确；
当截面与底面斜交且经过三棱柱的四个面时，得到的截面形状是等腰梯形，故⑤正确；
不可能截出圆．
故选：C．
【点睛】
本题考查了截一个几何体，解决本题的关键是理解截面经过三棱柱的几个面，得到的截面形状就是几边形；
经过截面相同，经过位置不同，得到的形状也不相同．
4．（2022·全国·七年级）下列说法正确的是（ ）
A．长方体的截面形状一定是长方形； B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形；
C．“天空划过一道流星”能说明“点动成线”； D．圆柱的截面一定是长方形．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据用平面截一个几何体，从不同的位置截取，得到的截面形状不一定相同，通过分析如何做截面即可得
到答案.
【详解】解：A. 长方体的截面形状也可能是三角形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是三角形，故该选项不正确，不符合题意；
C. “天空划过一道流星”能说明“点动成线”，故该选项正确，符合题意；
D. 圆柱的截面不一定是长方形，也可能圆形，故该选项不正确，不符合题意；．
故选:C.
【点睛】
本题考查了平面截一个几何体，点、线、面之间的关系，掌握好空间想象能力是解决本题的关键.
5．（2022·全国·七年级课时练习）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，那么被截的几何体
可能是（ ）
A．三棱柱 B．四棱锥 C．长方体 D．圆柱
【答案】D
【解析】
【分析】
根据每一个几何体的截面形状判断即可．
【详解】
解：用一个平面去截一个几何体，三棱柱，四棱锥，长方体的截面形状不可能是圆，只可能是多边形，
圆柱的截面形状可能是圆，
故选：D．
【点睛】
本题考查了截一个几何体，熟练掌握每一个几何体的截面形状是解题的关键．
6．（2022·福建三明·七年级期末）以下几何体的截面不可能是圆的是（ ）
A．球体 B．长方体 C．圆柱体 D．圆锥体
【答案】B
【解析】
【分析】
根据每一个几何体的立体特征判断截面形状即可；
【详解】
解：球体的截面是圆形；圆柱体和圆锥体沿着与底面平行的方向切，截面也是圆；长方体的截面只可能是
多边形，不可能是圆；
故选：B
【点睛】本题考查了几何体的截面形状，掌握每一个几何体的形状特征是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·全国·七年级）如图所示，用一个平面去截一个底面直径与高不相等的圆柱，则甲、乙两图中截
面的形状分别是___、___．
【答案】 圆 矩形
【解析】
【分析】
用平面截一个圆柱体，横着截时截面是圆（截面与上下底平行），竖着截时，截面是矩形（截面与两底面
垂直）．
【详解】
解：甲图为横截圆柱体，截面与上下底平行，
∴甲图的截面是圆；
乙图为竖截圆柱体，截面与两底面垂直，
∴甲图的截面是矩形；
故答案为：圆；矩形．
【点睛】
本题考查圆柱的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，解题的关键是掌
握常见几何体的截面图形．
8．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，截去正方体一角变成一个新的多面体，这个多面体有
________个面；截去的几何体有________个面，图中阴影表示的截面形状是________ 三角形．
【答案】 7 4 等边【解析】
【分析】
当截面经过正方体的一面的对角线和相对面顶点组成的面截取正方形时，可以得到一个三棱锥．
【详解】
解：截去正方体一角变成一个新的多面体，这个多面体有7个面；截去的几何体有4个面，图中阴影表示
的截面形状是等边三角形．
故答案为：7；4；等边．
【点睛】
此题考查了截一个几何体，熟练掌握截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
9．（2022·江苏南京·一模）若用平面分别截下列几何体：①三棱柱；②三棱锥；③正方体；④圆锥；⑤球，
得到的截面可以三角形的是_______（填写正确的几何体前的序号）
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
当截面的角度和方向不同时，球的截面无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．
【详解】
①用平面截三棱柱时，可以得到三角形截面.
②当平面平行于三棱锥的任意面时，得到的截面都是三角形.
③当平面经过正方体的三个顶点时，所得到的截面为三角形.
④当平面沿着母线截圆锥时，可以得到三角形截面.
⑤用平面球时，无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．
故答案为:①②③④．
【点睛】
本题主要考查的是截面的相关知识，截面的形状既与被截的几何体有关系，又与截面的角度和方向有关．
10．（2021·陕西咸阳·七年级期末）用一个平面分别去截棱柱、圆柱、圆锥、球，所得截面可能是长方形
的是 _____．
【答案】圆柱，棱柱##棱柱，圆柱
【解析】
【分析】
根据棱柱、圆柱、圆锥、球的截面判断即可．
【详解】解：棱柱的截面可能是多边形，
圆柱的截面可能是圆形，椭圆形，长方形，
圆锥的截面可能是三角形，圆形，椭圆形，
球的截面可能是圆形，
∴用一个平面分别去截棱柱、圆柱、圆锥、球，所得截面可能是长方形的是：圆柱，棱柱，
故答案为：圆柱，棱柱．
【点睛】
本题考查几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
三、解答题
11．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，把一个底面半径是5cm，高是8cm的圆柱放在水平桌面上．
(1)若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是 ；
(2)若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是 ；
(3)若用一个平面去截这个圆柱，使截得的截面是长方形且长方形的截面面积最大，请写出截法，并求出此
时截面面积．
【答案】(1)圆
(2)长方形
(3)当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，80cm2
【解析】
【分析】
（1）根据截的方向可得截面形状；
（2）根据截的方向可得截面形状；
（3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，再根据截面形状求面积即可．
(1)
解：若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是圆；
故答案为：圆；
(2)若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是长方形；
故答案为：长方形；
(3)
当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，
此时截面的面积为：5×2×8＝80（cm2）．
【点睛】
本题考查用一个平面去截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
12．（2022·全国·七年级）我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是
等边三角形，如图，大正三棱柱的高为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．
(1)请写出截面的形状；
(2)请计算截面的面积．
【答案】(1)长方形
(2)10
【解析】
【分析】
（1）由图可得截面的形状为长方形；
（2）根据小正三棱柱的底面周长为3，求出底面边长为1，根据高是10，即可求出截面面积．
(1)
解：由图可得截面的形状为长方形；
(2)
∵小正三棱柱的底面周长为3，
∴底面边长＝1，
∴截面的面积1×10＝10．
【点睛】本题考查了截面，考查学生的空间观念，根据长方形的面积＝长×宽求出截面的面积是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2021·陕西榆林·七年级期末）在“长方体、圆柱、圆锥”这三种几何体中，用一个平面分别去截这三
种几何体，则所得的截面的形状既可以是长方形也可以是圆形的几何体是_________．
【答案】圆柱
【解析】
【分析】
根据长方体、圆柱、圆锥的特点判断即可．
【详解】
解：长方体截面形状不可能是圆；圆锥截面形状不可能是长方形；
圆柱截面形状可以是长方形也可以是圆形．
故答案为：圆柱．
【点睛】
此题主要考查了截一个几何体，明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关是解
题的关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）如图是一个五棱柱，用平面将其截成两个几何体，若其中一个几何体为
三棱柱，则另一个几何体最少有______个面．
【答案】6
【解析】
【分析】
用一个平面将一个五棱柱截成两个几何体，其中有一个是三棱柱，根据截面位置的不同，另一个几何体有
不同的情况，根据题意画出符合题意的图形，进行比较即可得答案．
【详解】
用一个平面去截五棱柱，其中一个为三棱柱，有以下几种截取方法，如图所示：图1中另一个几何体为四棱柱，有6个面，
图2中另一个几何体为五棱柱，有7个面，
图3中另一个几何体为六棱柱，有8个面，
所以另一个几何体最少有6个面，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了用一个平面截一个几何体，截取所得几何体的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和
方向有关．本题注意分情况讨论．
3．（2022·全国·七年级课时练习）如图，所示的正方体竖直截取了一个“角”，被截取的那个“角”的体
积是______．
【答案】15cm3
【解析】
【分析】
根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，然后确定出底面积为和高，然后求解即可．
【详解】
解：根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，
三棱柱的体积= ×2×3×5=15（cm3）．
【点睛】
本题主要考查了直三棱柱体积的计算，判断出被截取的几何体的形状是解题的关键．
4．（2020·全国·单元测试）一块长方体的木块，从左面和右面分别裁去长为2厘米和5厘米的长方体，成
为一个正方体后，表面积减少了84平方厘米，那么原来长方体的体积为_______．【答案】90立方厘米
【解析】
【分析】
设正方体棱长为 厘米，根据题意列方程可求得x的值，进而得到原长方体的长、宽、高的值，再计算体
积即可.
【详解】
设正方体棱长为 厘米，
依题意得 ，
解得 ，
则原长方体的宽为3厘米，高为3厘米，长为 厘米，
则 立方厘米．
【点睛】
此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，解题的关键是熟记公式．
5．（2022·全国·七年级课时练习）正方体切去一块，可得到如图几何体，这个几何体有______条棱．
【答案】12
【解析】
【分析】
通过观察图形即可得到答案．
【详解】
如图，把正方体截去一个角后得到的几何体有12条棱．
故答案为：12．
【点睛】
此题主要考查了认识正方体，关键是看正方体切的位置．
二、解答题6．如图所示，长方形ABCD的长AB为10 cm，宽AD为6 cm，把长方形ABCD绕AB边所在的直线旋
转一周，然后用平面沿AB方向去截所得的几何体，求截面的最大面积．
【答案】120cm2
【解析】
【详解】
试题分析：长方形ABCD绕直线AB旋转一周得到一个圆柱体，沿线段AB的方向截所得的几何体其中轴截
面最大．
试题解析：解：由题可得，把长方形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，圆柱的
底面半径为6cm，高为10cm，∴截面的最大面积为6×2×10=120（cm2）．
点睛：本题主要考查的是截一个几何体、点、线、面、体求得长方形的长和宽是解题的关键．
7．如图①是一个正方体，不考虑边长的大小，它的平面展开图为图②，四边形APQC是截正方体的一个
截面．问截面的四条线段AC，CQ，QP，PA分别在展开图的什么位置上？
【答案】线段AC，CQ，QP，PA分别在展开图的面ABCD，BCGF，EFGH，EFBA上.
【解析】
【分析】
把立体图形表面的线条画在平面展开图上，找到四边形APQC四个顶点所在的位置这个关，再进一步确定
四边形的四条边所在的平面即可．
【详解】
根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：
顶点：A−A，C−C，P在EF边上，Q在GF边上．边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF
面上，PQ在EFGH面上．如图：【点睛】
此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形APQC四个顶点所在的位置，再进一步确定四边
形的四条边所在的平面就可容易地画出．
8．（2022·全国·七年级课时练习）如图①②③是将正方体截去一部分后得到的几何体．
（1）根据要求填写表格：
图 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
①
②
③
（2）猜想f，v，e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个几何体有2021个顶点，4035条棱，试求出它的面数．
【答案】（1）7；9；14；6；8；12；7；10；15；（2）f＋v－e＝2；（3）2016
【解析】
【分析】
（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出f+v-e=2．
（3）代入f+v-e=2求出即可．
【详解】
解：（1）图①，面数f=7，顶点数v=9，棱数e=14，
图②，面数f=6，顶点数v=8，棱数e=12，
图③，面数f=7，顶点数v=10，棱数e=15，故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）f+v-e=2．
（3）∵v=2021，e=4035，f+v-e=2
∴f+2021-4035=2，
f=2016，
即它的面数是2016．
【点睛】
本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律．
