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人教版八年级数学上学期期末易错精选 30 题
考试范围：全册的内容，共30小题.
一、选择题（共8小题）
1．（2022·山东济宁·八年级期中）若等腰三角形一个角为 ，那么它的底角为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】分类讨论这个 的角是等腰三角形的顶角（利用三角形内角和求）还是底角．
【详解】解：若 的角是顶角，则底角是 ，
若 的角是底角，则底角是 ，
则它的底角是 或 ，
故选择：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
2．（2022·上海奉贤·七年级期中）如果计算 的结果是一个二项式，那么a的值是（ ）
A．1 B．2或0 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据结果是一个二项式，即可求出 的值．
【详解】解： 是一个二项式，
或 ，
或 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式、二项式的定义，理解二项式的含义是解题的关键．
3．（2022·山东淄博·八年级期中）若 能用完全平方公式因式分解，则k的值是（ ）
A． B． 或 C． D．无法确定
【答案】B
【分析】根据完全平方公式的结构特点即可得出答案．
【详解】解：∵ 能用完全平方公式因式分解，
，
∴ ，
解得： 或 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特点是解本题的关键，即
．4．（2022·云南·玉溪市红塔区溪汇中学九年级阶段练习）已知若分式 的值为0，则x的值（ ）
A．3 B．3或 C． D． 或1
【答案】A
【分析】直接根据分式的值为零的条件列方程组求解即可．
【详解】解：由题意得 ，
解①得：
解②得： ，
即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②
分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
5．（2022·福建·泉州市第六中学八年级期中）若关于x的分式方程 无解，则实数a的值为
（ ）
A．7 B．3或7 C．3或 D．
【答案】B
【分析】将原分式方程去分母化解为整式方程，然后整理为 ，则 时，分式方程无解；
当分式方程的分母为 ，即 时原分式方程也无解，分别计算得出实数a的值即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
整理为： ，
当 时，即 时，此方程无解，原分式方程也无解；
当 ，即 ，
将 代入 ，
解得： ，
或 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，分整式方程无解和整式方程有解但分式方程的增根两种情况进行讨论
是解决问题的关键．
6．（2022·山东·平原县第四中学八年级期中）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足
，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．7或8 D．8或10【答案】B
【详解】首先根据 ，求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
当a为底时，三角形的三边长为2，2，4，构不成三角形；
当b为底时，三角形的三边长为4，4，2，则周长为10．
故此等腰三角形的周长为10．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式得非负性，等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系，解题的关键
是熟练掌握“几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0”，三角形两边之和大于第三边，两边之差
小于第三边．
7．（2022·福建省漳州第一中学八年级阶段练习）如图，在 中， ，
一条线段 ，P，Q两点分别在线段 和 的垂线 上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与
以A、P、Q为顶点的三角形全等，则 的值为( )
A．6cm B．12cm
C．12cm或6cm D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】分两种情况：①当 时， ，②当P运动到与C点重合时， ，
，分别求解即可．
【详解】解：①当 时， ，
在 与 中，
，∴ ，
即 ；
②当P运动到与C点重合时， ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
即 ．
综上所述， 或12cm．
故选：C
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握 证明三角形全等，分类讨论思想方法是关键．
8．（2022·山东济宁·八年级期中）对于两个不相等的实数a．b，我们规定符号 表示a，b中较小
的值，如 ．按照这个规定，方程 （ ）的解为（ ）
A． 或2 B．2 C． D．无解
【答案】D
【分析】根据新定义运算的规定，先得分式方程再求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
经检验， 是方程 的根．
∵ ，
故 不是方程 的根，
故原方程无解．
故选：D．【点睛】本题考查了解分式方程，新定义运算等知识，理解规定符号 的意义是解答本题的关键．
二、填空题（共8小题）
9．（2022·湖北孝感·八年级期中）若等腰三角形的两条边长分别为5cm和11cm，则它的周长为
___________cm．
【答案】27
【分析】分两种情况，当腰长分别为5cm、11cm，结合三角形三边关系，求解即可．
【详解】解：当腰长为5cm时，则三角形三边分别为5cm、5cm、11cm，
∵ ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去，
当腰长为11cm，则三角形三边分别为5cm、11cm、11cm，
∵ ，满足三角形三边关系，符合题意，
此时周长为 cm，
故答案为：27．
【点睛】此题考查了等腰三角形的定义，以及三角形三边关系，解题的关键是掌握等腰三角形的定义以及
三角形三边关系．
10．（2022·江苏苏州·八年级期中） 中， ，当 ________时， 是等腰三角形．
【答案】 、 、
【分析】运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理求出 的值，即可解决问题．
【详解】解：若 为顶角，且 ，
则 ；
若 为底角，且 为底角，
则 ；
若 为底角，且 为顶角，
则 ， ，
故答案为： 、 、 ．
【点睛】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，
借助三角形的内角和定理来逐一判断、解析．
11．（2022·浙江·台州市书生中学八年级期中）如果 是一个完全平方式，那么k的值是
___________．
【答案】﹣13或17##17或﹣13
【分析】式中首尾两项分别是3x和5的平方，所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍，据此解答
即可．
【详解】解：由 ，
得 或17．
故答案是：﹣13或17．【点睛】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
12．（2022·湖南常德·八年级期中）关于x的方程 有增根，那么a的值为_________．
【答案】1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到 ，将 代入整式方程计算即可
求出a的值．
【详解】解： ，
去分母得： ，
∵分式方程有增根，
∴ ，即 ，
把 代入 ，得： ．
故答案为∶1
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化
分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．（2022·广东广州·九年级期中）等腰三角形的两边 满足 ，则这个三角形的周长
为 ___________．
【答案】11或13##13或11
【分析】已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出 与 的值，即可确定出等腰三角形周长．
【详解】解：已知等式变形得： ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
当3是腰时，三边长为3，3，5，符合三角形三边关系，周长为 ；
当3是底边时，三边长为3，5，5，符合三角形三边关系，周长为 ．
则这个三角形的周长为11或13．
故答案为：11或13．
【点睛】本题主要考查了完全平方式、非负数的性质、等腰三角形的性质以及三角线三边关系等知识，熟
练掌握完全平方式，用于分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
14．（2022·江苏连云港·八年级期中）如图， 是边长为2的等边三角形，直线 经过顶点 ，且与边
平行，在直线 上有一点 ，当 的值为 _____时，使得 ．【答案】2或4##4或2
【分析】在直线 上分别截取 ，连接 ，根据等边三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：当 或4时，使得 ，理由如下：
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ，
如下图，在直线 上分别截取 ，点 为 中点，连接 ，
∴ ，
∵直线 经过顶点 ，且与边 平行，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，连接 ，
∵ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴当AP的值为2或4时，使得 ．
故答案为：2或4．
【点睛】本题主要考查了作图—尺规作图、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
等知识，解题关键是灵活运用所学知识．
15．（2022·全国·八年级期中）如图， 中， ， ， ．点 从 点出发
沿 路径向终点运动，终点为 点；点 从 点出发沿 路径向终点运动，终点为 点．
点 和 分别以每秒 和 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分
别过 和 作 于 ， 于 ．设运动时间为 秒，则当 ________秒时，以点 ， ，
为顶点的三角形与以点 ， ， 为顶点的三角形全等．
【答案】2或 或14
【分析】分四种情况：①当 时，点 在 上，点 在 上，②当 时，③ 时，④
当 时，点 停在点 处，点 在 上，分别求解即可．
【详解】解：①当 时，点 在 上，点 在 上，如图①，
此时有 ， ， ， ．
当 即 ，也即 时，
， ， ，
．
．
在 和 中，
．
．②当 时，
，
③ 时，不存在，
④当 时，点 停在点 处，点 在 上，如图②，
当 即 ，也即 时，
同理可得： ．
综上所述：当 等于2或14秒时，以点 ， ， 为顶点的三角形与以点 ， ， 为顶点的三角形全
等．
故答案为：2或 或14．
【点睛】本题主要考查全全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想方法以及全等三角形的性质是关键．
16．（2022·四川·成都七中八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为
，点M为x轴上方一动点，且 ，以点M为直角顶点构造等腰直角三角形 ，当线段AP取
最大值时， _____，点M的坐标为 _____．
【答案】 或
【分析】以M为直角顶点， 为直角边构造等腰直角三角形 ，连接 ，然后证明根
，接着得到当N，A，B三点共线时， 最大，即 最大，最好利用等腰直角三角
形的性质解答即可．
【详解】解：如图，以M为直角顶点， 为直角边构造等腰直角三角形 ，连接 ，
由题意 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
当N，A，B三点共线时， 最大，即 最大，此时 ，
如图2，过M作 轴，垂足为T，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 的最大值 ，
∴
当M在x轴下方时，同上，此时 ．
故答案为： ， 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、利用了
等量代换及转化的思想等知识点，熟练掌握相关判定与性质是解本题的关键．
三、解答题（共14小题）
17．（2022·山东德州·八年级期中）如图，在 中， ， 于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若点 在边 上， 交 的延长线于点 ，试判断 的形状并证明．
【答案】(1)
(2) 为等腰三角形
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余即可求解；（2）根据三线合一得出 ，根据平行线的性质得出 ，等量代换可得
，根据等角对等边即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， 于点D，
∴ ， ，
又 ，
∴ ．
（2）证明：∵ ， 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，等腰三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定
是解题的关键．
18．（2022·江苏·仪征市第三中学八年级期中）如图，已知在四边形 中，点E在 上，
， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明 ，即可得到结论；
（2）由 ， ，得到 ，由 ，得到 ，即
可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判
定和性质是解题的关键．
19．（2022·福建·莆田锦江中学八年级期中）如图，四边形 ，分别延长 、
(1)求证：
(2)如图2， 与 的角平分线相交于G点，若 ，求 ．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）连接 ，根据三角形的外角性质可得 ， ，
进而得出 ，即 ．
（2）根据 ，得出 ，进而得出
，根据 ，得出 ，
联立方程即可得出答案．
【详解】（1）连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ , 与 的角平分线相交于G点，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形的外角性质，四边形的内角和，正确理解
题意是解题的关键．
20．（2022·江西省宜春实验中学八年级阶段练习）（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别
平分∠ADC和∠ACD．如果∠A＝50°，那么∠P＝_____°；如果∠A＝100°，那么∠P＝______°．（直接写
出答案，不必说明理由）
（2）如图2，P为四边形ABCD内一点DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B的
数量关系：______（直接写出答案，不必说明理由）
（3）如图3，P为五边形ABCDEP内一点；DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B+∠E
的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）115；140；（2） ；（3）【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，然后根据三角形内角和定理
列式整理即可得解；
（2）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（3）根据五边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
【详解】解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ADC+∠ACD=130°，
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
同理：如果∠A=100°，那么∠P= 140°；
故答案为：115，140；
（2）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴ ，
∴
；
∴ ；
故答案为： ；
（3）五边形ABCDE的内角和为： ，
∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，
∴ ，
∴，
即 ；
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，角平分线的定义，综合运用以上知识是
解题的关键．
21．（2022·山东泰安·八年级期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 ，得
则
∴ ．
解得： ，
∴另一个因式为 ，m的值为 ．
问题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及p的值．
【答案】另一个因式为 ，p的值为15
【分析】仿照例题解法思路和步骤，设另一个因式为 ，利用整式乘法运算法则求解即可．
【详解】解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
∴
解得： ， ．
∴另一个因式为 ，p的值为15．
【点睛】本题考查因式分解、整式的乘法、解二元一次方程组，看懂题中所给的解题思路，掌握因式分解
与整式乘法是互逆变形是解答的关键．
22．（2022·山东聊城·八年级期中）如图，在 中，点D是 边上一点，连接 ．(1)若点D是 的中点，则 _____；
(2)若 是 的角平分线，求证： ；
(3)若点D是 的中点，且 是 的角平分线，请判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)1
(2)见解析
(3) 为等腰三角形．见解析
【分析】(1)由三角形的中线性质得 ，即可求解；
(2)过点D作 ， ，垂足分别为点E、F，由角平分线的性质得 ，
再由三角形面积公式得 ， ，即可求解；
(3)由(1) (2)的结论可知， ，得 ，则 为等腰三角形，再由等腰三角
形得性质即可得出结论．
【详解】（1）如图，作 ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴
∴
（2）证明：如图，过点D作 ， ，垂足分别为点E、F，
∵ 是 的角平分线，∴
又∵ ， ，
∴ ；
（3） 为等腰三角形， ．理由如下：
由（1）的结论可知：
由（2）的结论可知：
∴ ，
∴ 为等腰三角形．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了三角形中的中线性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性
质以及三角形面积等知识，熟练掌握三角形的中线性质和角平分线的性质是解题关键．
23．（2022·河南·辉县市太行中学八年级期中）阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分
式当分式的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”．如： ．当分子的次数小于分
母的次数时，我们称之为“真分式”．如： ．假分式也可以化为带分式． 如：
．
(1)思考：分式 是___________分式(填“真”或“假”)；
(2)探究：将假分式 化为带分式．
(3)拓展：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)真
(2)
(3) ，
【分析】（1）根据“真分式”、“假分式”的定义判断即可；
（2）按照题目给出的方法将假分式化为带分式即可；
（3）根据分式的混合运算法则计算化简，结合分式有意义的条件确定出x的值．【详解】（1）解：∵ 的分子是常数，即为0次，分母是1次，
∴分子的次数小于分母的次数，
∴ 是真分数，
故答案为：真；
（2）解：
；
（3）解：
，
可知当 ， ， 或者 时，整式的结果可以为整数，
又∵根据分式有意义的条件可得： ， ， ， ，
∴ 且 ， ，
∴ ，
检验：当 时，原式 ，符合要求．
即：化简结果为 ， ．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算及化简，分式有意义的条件等知识，掌握分式的混合运算法则是
解答本题的关键．
24．（2022·江苏江苏·八年级期中）在 中， ， ，点 为线段 的中点，动点
以2cm/s的速度从 点出发在射线 上运动．
(1)若 ，求出发几秒后， 为等边三角形？
(2)若 ，求出发几秒后， 为直角三角形？
(3)若 ，点 与点 同时出发，其中点 以 （ 且 ）的速度从 点出发在线段 上
运动，当a为何值时， 和 全等？
【答案】(1)5秒
(2)2.5秒或10秒
(3) cm/s或2cm/s
【分析】（1）根据等边三角形的判定求解即可；
（2）设运动时间为x秒，分两种情况进行讨论：①当 时，由 ，得到 ，求得
，求出 ；②当 时，根据三角形的内角和定理得到 ，求出
；即可得到当 出发2.5秒或10秒后， 为直角三角形；
（3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点 运动的
时间，再求得点 的运动速度．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， 为等边三角形，
∵ ，点 为线段 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵动点 以2cm/s的速度运动，
∴动点 的运动时间为： （秒），
即出发5秒后， 为等边三角形；（2）解：设运动时间为x秒，
①当 时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，点 为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵动点 以2cm/s的速度运动，
∴ ，
解得， ；
②当 时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，点 为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵动点 以2cm/s的速度运动，
∴ ，
解得， ；
∴当 出发2.5秒或10秒后， 为直角三角形；
（3）解：设运动时间为t秒，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
①当 ， 时， ，
则有， ，
∵ ，
∴ ，
∵动点 以2cm/s的速度运动，
∴ ，
∴ ，
∵点 以 的速度从 点出发在线段 上运动，
∴ ．∵ ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得， cm/s，
②当 ， 时， ，
∵ ，动点 以2cm/s的速度运动，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴
解得， ，
∴ ， ，
∴ ，
综上所述，当 cm/s或 时， 和 全等．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和，
直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定、等边三角形的判定、直角三角形的判定是解题的关键．
25．（2022·山东威海·七年级期中）如图1， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值
范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 到点 ，使 ，请根据小明的
方法思考：
(1)由已知和作图能得到 的理由是______．
(2)求得 的取值范围是______．
(3)如图2，在 中，点 是 的中点，点 在 边上，点 在 边上，若 ，求证：
．【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长 到E，使 ，连接 ， ，证明 ，得到 ，证明
，得到 ，再利用 即可证明 ．
【详解】（1）解：∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
故答案为：
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
（3）解：延长 到E，使 ，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系应用等知识；熟练掌握
三角形的三边关系，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
26．（2022·江苏盐城·七年级期中）（1）在下列横线上用含有 的代数式表示相应图形的面积．
___________
（2）请在图 画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用
数学式子表达：___________．
（3）利用（2）的结论计算 的值．
【答案】（1）① ，② ，③ ，④ ；（2） ；（3）400
【分析】（1）根据正方形、长方形面积公式即可解答；
（2）前三个图形的面积之和等于第四个正方形的面积；
（3）借助于（2）中的结论解答即可．
【详解】解：（1）① ，② ，③ ，④ ；
（2）画出的拼图为：，
观察图形可知， ；
（3）
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式及其应用，难易程度适中，解题的关键是掌握几种特殊几何图形的
面积表达式．
27．（2022·上海市进才实验中学八年级期中）在 中， ， ，射线 上有一点
分别为点P关于直线 的对称点，连接
(1)如图1，当点P在线段 上时，则 ______ ， ______ ．
(2)如图2，当点P在线段 的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得 ，若
存在，直接写出满足条件时 的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，
(2)补全图形见解析，5
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出 ，根据轴对称的性质可得
∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后结合图形即可即可；
（2）先根据轴对称图形的特点补全图形；再根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=CN，设 ，
则 或 ， ，利用 和线段的和差列出方程求解即可．
【详解】（1）解： ， ，，
， 分别为点 关于直线 ， 的对称点，
， ， ，
，
．
故答案为 ， ．
（2）解：补全图形如图所示．
存在点P，使得 ．
设 ，则 或 ，
，
或 ，
或5．
经检验 或5为方程的解，
∵线段不可能为负
．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的特点、角度的计算、分式方程的应用等知识点，理解题意、熟练掌
握运用轴对称图形的性质是解题关键．
28．（2022·江苏南通·八年级期中）如图 ，在 中， ， ，直线 经过点 ，过
作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ．(1)求证： ≌ ；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)如图 ，延长 至 ，连接 ，过点 作 ，且 ，连接 交直线 于点 ，若
， ，则 ______．
【答案】(1)见解析
(2)8
(3)12
【分析】（1）先根据互余角性质得 ，再根据 得结论；
（2）由（1）中全等三角形的性质求得 ，再由线段和差求得结果；
（3）过点 作 于 ，先证明 ≌ ，得 ，再已知三角形的面积求得 ，
再证明 ≌ 得 ，最后由线段和差得结果．
【详解】（1）证明： ， ，
∴ ，
∵ ，
，
在 和 中， ，
≌ ；
（2）解： ≌ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ；
（3）解：过点 作 于 ，，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
≌ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
≌ ，
∴ ， ，
∴ ，
， ，
≌ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形
解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
29．（2022·江苏南通·八年级期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填写序号）．
①顶角是 的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一个角是 的直角三角形．
(2)如图 ，在 中， ， ，将 沿边 所在的直线翻折 得到 ，延
长 到点 ，连接 ．
①若 ，求证： 是“倍角三角形”；
②点 在线段 上，连接 ．若 ， 分 所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个
是“倍角三角形”，请直接写出 的度数．
【答案】(1)②③
(2)①见解析；② 的度数为 或 或 或
【分析】（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解；
（2） 由折叠的性质和等腰三角形的性质可求 ，由等腰三角形的性质可得 ，
可得结论； 分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．
【详解】（1）解：若一个三角形是顶角为 的等腰三角形，
则两个底角均为 ，
，
顶角是 的等腰三角形不是“倍角三角形”；
若一个三角形是等腰直角三角形，
则三个角分别为 ， ， ，
，
等腰直角三角形是“倍角三角形”；
若一个三角形是有一个角为 的直角三角形，则另两个角分别为 ， ，
，
有一个 的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案为：②③；
（2） 证明： ，
，
将 沿边 所在的直线翻折 得到 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
是“倍角三角形”；
②解：由 可得 ，
如图，
若 是等腰三角形，则 是“倍角三角形”，
是等边三角形，
，
，
，
是“倍角三角形”，
或 ，
或 ；
若 是等腰三角形，则 是“倍角三角形”，或 或 或 ，
当 时， ，
；
当 时， ，
；
当 时， ，
，
；
当 时， ，
，
；
综上所述： 的度数为 或 或 或 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角
的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键．
30．（2022·全国·八年级专题练习）已知 为等边三角形，取 的边 中点 ，连接
，如图1，易证 为等边三角形，将 绕点 顺时针旋转，设旋转的角度 ，其中
．
(1)如图2，当 ，连接 ，求证： ；
(2)在 旋转过程中，当 超过一定角度时，如图3，连接 会交于一点，记交点为点 交
于点 交 于点 ，连接 ，请问 是否会平分 ？如果是，求出 ，如果不是，请说
明理由；(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段 和 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不会 平分 ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）由边角边即可证明三角形全等，根据全等三角形的性质即可得出结论．
（2）由边角边即可证明三角形全等，再由面积法即可求出 ，再由三角形内角和定理
可求得角相等，即可得 ，与题干矛盾，即可求解．
（3）由边角边即可证明三角形全等，可得 ，即可得结论．
【详解】（1）证明：∵ 都是等边三角形，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）解：不是，
理由如下：如图3，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
都是等边三角形，
，
，
在 和 中，
，，
，
又 ，
，
，
，
，
，
，
当 平分 时，则 ，
，
，
，与题干 相矛盾，
不会平分 ；
（3）解： ，
理由如下：如图4，在 上截取 ，连接 ，
，
∴ 是等边三角形，
，
，
在 和 中，
，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，添加
恰当辅助性构造全等三角形是解题关键．
