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专题 15.1 分式【九大题型】
【人教版】
【题型1 分式的定义】..............................................................................................................................................1
【题型2 根据分式有意义的条件求取值范围】.....................................................................................................3
【题型3 分式值为零的条件】..................................................................................................................................4
【题型4 列代数式（分式）】..................................................................................................................................5
【题型5 求分式的值】..............................................................................................................................................7
【题型6 分式的规律性问题】..................................................................................................................................9
【题型7 根据分式的值为整数求未知数的值】....................................................................................................11
【题型8 按要求构造分式】....................................................................................................................................14
【题型9 根据分式的值的正负求取值范围】.......................................................................................................15
知识点1：分式的定义
A
一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子B叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。
A
分式满足的三个条件：①式子一定是B的形式；②A与B一定是整式；③B中一定含有字母。
简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。
【题型1 分式的定义】
【解题方法】观察式子的分母是否有字母，若有则是分式，若没有则不是。
3 y a 3 x a2+1
【例1】（24-25八年级·山东淄博·阶段练习）在式子 , , , , 中，分式有（ ）个
x π x+1 3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意π不是字母，是常数．根据分母中是
否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案．
3 y a 3 x a2+1 3 y 3
【详解】解：式子 , , , , 中，分式有 , ，共2个，
x π x+1 3 3 x x+1
故选：B．
x 3x x x−1
【变式1-1】（23-24八年级·江苏徐州·阶段练习）下列各式 、 、 、 不是分式的是
y x+1 π xx
【答案】
π
A
【分析】根据分式的定义：形如 ，B中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．
B
x 3x x x−1 x 3x x−1
【详解】解： 、 、 、 中： 、 、 是分式，共3个，
y x+1 π x y x+1 x
x
分母不含字母，不是分式，是整式；
π
x
故答案为： ．
π
【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键
【变式1-2】（23-24八年级·重庆江北·期中）下列式子是分式的是（ ）
2 x+1 1
A． x2y B． C． D．−5ab
3 π x
【答案】C
【分析】本题考查分式的识别，涉及分式定义，根据分式的定义对各选项进行分析即可得到答案．熟记分
式定义是解决问题的关键．
2
【详解】解：A、 x2y是整式，不符合题意；
3
x+1
B、 是整式，不符合题意；
π
1
C、 是分式，符合题意；
x
D、−5ab是整式，不符合题意．
故选：C．
a−b 2 5+x a−b p
【变式1-3】（2024八年级·全国·专题练习）在① ，② ，③ ，④ ，⑤ 中，是分
2 a π a+b 5(m−n)
式的有 （填序号）
【答案】②④⑤
【分析】利用分式的定义，依次判断，其中注意π是常数．
【详解】解：由分式的定义知
a−b 2 5+x a−b p
不是分式； 是分式； 不是分式； 是分式； 是分式；
2 a π a+b 5(m−n)
2 a−b p
故分式有： 、 、 ，共3个，
a a+b 5(m−n)故答案是：②④⑤．
【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是：理解分式的定义，判断的依据是看分母中是否含有字母．
知识点2：分式有意义的条件
A
即要求分式的分母不能为0。即 中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式
B
分解，让每一个因式都不为0。
【题型2 根据分式有意义的条件求取值范围】
【解题方法】结合分母不能为0建立不等式求解，若式子中含有偶次根号，考虑被开方数大于等于0。
x2−16
【例2】（24-25八年级·上海·期中）当x满足条件 时，分式 有意义．
2x−8
【答案】x≠4
【分析】本题考查分式有意义的条件，要使分式有意义，则分式的分母不为0，据此即可解答．
x2−16
【详解】解：当2x−8≠0，即x≠4时，分式 有意义．
2x−8
故答案为：x≠4
1 1
【变式2-1】（23-24八年级·四川绵阳·期末）已知式子 − 有意义，则x的取值范围是 ．
x x−1
【答案】x≠0且x≠1
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解决此题的关键．利用使
分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意，得x−1≠0且x≠0，
解得x≠1且x≠0．
故答案为：x≠1且x≠0．
【变式2-2】（23-24八年级·广东汕头·期末）当x=−1时，下列分式没有意义的是（ ）
x+1 x x−1 x
A． B． C． D．
x x−1 x x+1
【答案】D
【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为
零即为分式无意义的条件．
【详解】解：当x=−1时，x+1=0，
x
∴当x=−1时，分式 没有意义，
x+1
故选：D．x
【变式2-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）若分式 有意义，请写出一个满足要求的x的值 ．
x2−1
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：要使分式有意义，
即x2−1≠0，
则x≠±1．
故x=0时分式有意义．
故答案为：0（答案不唯一）．
知识点3：分式值为零的条件
A
分式的值为0的条件为要求分子必须为0，同时要求分母不为0。即 中，A＝0，B≠0。
B
对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不
等于0。
【题型3 分式值为零的条件】
【解题方法】利用分子的式子等于0，分母的式子不等于0建立方程与不等式进行计算即可。
【例3】（23-24八年级·甘肃定西·期末）已知某个分式，当x=−1时，分式无意义，当x=2时，分式的值
为0，则该分式可能是（ ）
x−2 x+2 x+2 x−2
A． B． C． D．
x+1 x+1 x−1 x−1
【答案】A
【分析】本题考查了分式无意义，分式求值，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当x=−1时，
分式无意义，排除选项C、D，然后把x=2代入A、B选项计算即可判断．
x−2 x+2 x+2 x−2
【详解】解：当x=−1时，x+1=0，则分式 ， 无意义；x−1=−2≠0，则分式 ， 有
x+1 x+1 x−1 x−1
意义，故排除选项C、D，
x−2 x+2 4
当x=2时， =0， = ，故选项A符合题意，选项B不符合题意，
x+1 x+1 3
故选：A．
m+2
【变式3-1】（23-24八年级·广东茂名·期末）若分式 的值为零，则m= ．
(m−2)(m+3)
【答案】-2
【分析】根据分式的值为零的条件(分子为零、分母不为零)可以求出m的值．【详解】解：根据题意，得
m+2=0，且m−2≠0、m+3≠0；
解得m=−2；
故答案是：−2．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母
不为0.这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·安徽合肥·期末）当x=3时，下列分式中，值为0的是（ ）
x−3 2x−6 1 x+3
A． B． C． D．
x2−9 x+2 x−3 x+1
【答案】B
【分析】本题考查求分式的值，将x=3分别代入各个选项，进行运算，即可求解；理解分式无意义，正确
计算是解题的关键．
【详解】解：A.当x=3时，分式无意义，结论错误，不符合题意；
2x−6 2×3−6
B.当x=3时， = =0，结论正确，符合题意；
x+2 3+2
C.当x=3时，分式无意义，结论错误，不符合题意；
x+3 3+3 3
D.当x=3时， = = ≠0，结论正确，符合题意；
x+1 3+1 2
故选：B．
|x|−1
【变式3-3】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）当x= 时，分式 的值为零．
x2−2x+1
【答案】−1
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，完全平方公式．熟练掌握分式的分子为零且分母不为零时，分
式的值为零是解题的关键．
由题意知 ，计算求解，然后作答即可．
|x|−1=0，x2−2x+1=(x−1) 2≠0
【详解】解：由题意知， ，
|x|−1=0，x2−2x+1=(x−1) 2≠0
解得，x=±1，x≠1，
∴x=−1，
故答案为：−1．
【题型4 列代数式（分式）】
【例4】（23-24八年级·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了w瓶消毒液，原计划每天用m瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了n瓶消毒液，则这些消毒
液提前几天用完？？（ ）
w w w w w w
A． B． C． − D． −
m+n m m m+n m+n m
【答案】C
【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的
天数，再求出实际用的天数，作差即可．
w w
【详解】解：由题意得，原计划用的天数为 天，实际用的天数为 天，
m m+n
w w
∴这些消毒液提前( − )天用完．
m m+n
故选：C．
【变式4-1】（23-24八年级·山西晋城·阶段练习）已知A、B两地相距50km，甲、乙两人分别从A、B两地
同时出发，相向而行，速度分别为xkm/h、ykm/h，当甲、乙两人第二次相距a(a<50)km时，行驶时
间为 h．
50+a
【答案】
x+ y
【分析】本题主要考查了列分式，解题的关键是理解题意，根据速度、路程和时间的关系，列出分式即可．
【详解】解：根据题意可知，甲、乙两人第二次相距akm时，两人所行驶的路程之和为(50+a)km，
∵两人的速度之和为(x+ y)km/h，
50+a
∴行驶的时间为 h．
x+ y
50+a
故答案为： ．
x+ y
【变式4-2】（23-24八年级·河北衡水·期中）在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b
个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（ ）
m+n a+b am+bn am+bn
A． 分 B． 分 C． 分 D． 分
2 2 a+b m+n
【答案】C
【分析】先求出两班的总分，再运用求平均数公式即可求出平均成绩．
【详解】解：∵甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，
∴两班在这次测验中的总分为：(ma+nb)分，am+bn
∴两班在这次测验中的总平均分是 ，
a+b
故选：C．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共x人租了一辆大巴车，
租金为1000元．出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需
分摊的车费少 元．
(1000 1000)
【答案】 −
x x+2
【分析】本题考查列分式，根据题意列出代数式可求得结果，准确理解题意是解题的关键．
1000
【详解】解：计划平均每人需分摊的车费是： 元，
x
1000
当增加了两人时，实际平均每人需分摊的车费是： 元，
x+2
(1000 1000)
则实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少： − 元，
x x+2
(1000 1000)
故答案为： − ．
x x+2
【题型5 求分式的值】
【解题方法】根据已知条件变形，或用一个字母来表示所有的字母然后带入求解。
4
【例5】（23-24八年级·贵州毕节·期末）已知
m2−3m−2=0，则2m2−3m+
值为（ ）
m2
A．10 B．11 C．15 D．16
【答案】C
2
【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知变形得到m2−3m=2，进而可得m− =3，求出
m
4
m2+ =13，再将所求代数式变形得到即可答案．
m2
【详解】解：∵m2−3m−2=0，且根据题意有：m≠0，
2
∴m2−3m=2，即m−3= ，
m
∴ ( m− 2) 2 =32=9，
m4
∴m2−4+ =9，
m2
4
∴m2+ =13，
m2
4
∴2m2−3m+
m2
4
=m2−3m+m2+
m2
=2+13
=15．
故选：C．
x y z xy−x2
【变式5-1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）已知 = = ，则 = ．
2 3 4 yz
1
【答案】
6
x y z
【分析】设 = = =k，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解．
2 3 4
x y z
【详解】设 = = =k，根据题意有，k≠0，
2 3 4
则有x=2k，y=3k，z=4k，
即xy−x2 (2k)(3k)−(2k) 2 6k2−4k2 1，
= = =
yz (3k)(4k) 12k2 6
1
故答案为： ．
6
x y z
【点睛】本题考查为了分式的求值，设 = = =k是解答本题的关键．
2 3 4
x 2x+xy+2y
【变式5-2】（23-24八年级·福建厦门·期末）已知非零实数x，y满足y= ，则 的值等于
2x−1 xy
．
【答案】5
x
【分析】本题考查分式的求值，根据y= ，得到x+ y=2xy，整体代入法求出分式的值即可．
2x−1
x
【详解】解：∵y= ，
2x−1
∴x+ y=2xy，2x+xy+2y 2(x+ y)+xy 4xy+xy
∴ = = =5；
xy xy xy
故答案为：5．
【变式5-3】（23-24八年级·山东日照·期末）若1 ，则 x2 =（ ）
+x=3
x x4+x2+1
1 1
A．8 B． C．8或 D．无法确定
8 8
【答案】B
1
1 1 x2
【分析】由 +x=3可得x2+ =7，再把 变形为 1 ，再整体代入计算即可．
x x2 x4+x2+1 x2+ +1
x2
1
【详解】解：∵ +x=3，
x
∴ (1 +x ) 2 =32 ，
x
1
整理得，x2+ =7，
x2
1 1 1
x2 = =
∴ = 1 7+1 8，
x4+x2+1 x2+ +1
x2
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及求代数式值，把1 和 x2 进行正确变形是解答本题
+x=3
x x4+x2+1
的关键．
【题型6 分式的规律性问题】
2 5 10 17
【例6】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）按一定规律排列的一列分式依次为：− ， ，− ， ，
a a4 a7 a10
……（a≠0），按此规律排列下去，第n个分式是 ．（n为正整数）
【答案】 n2+1
(−1) n
a(3n−2)
【分析】本题考查分式的规律性问题，根据前四个分式总结出规律是解题关键．根据题意写出前四个分式的变形分别为 12+1 ， 22+1 ， 32+1 ， 42+1 ，即得出规律，从而
(−1) 1× (−1) 2× (−1) 3× (−1) 4×
a(3×1−2) a(3×2−2) a(3×3−2) a(3×4−2)
得出第n个分式．
【详解】解：第1个数为
−
2
=(−1) 1×
12+1 ，
a a(3×1−2)
第2个数为 5
=(−1) 2×
22+1 ，
a4 a(3×2−2)
第3个数为
−
10
=(−1) 3×
32+1 ，
a7 a(3×3−2)
第4个数为17
=(−1) 4×
42+1 ，
a10 a(3×4−2)
……，
∴第n个数为 n2+1 ．
(−1) n
a(3n−2)
故答案为： n2+1 ．
(−1) n
a(3n−2)
【变式6-1】（23-24八年级·天津·期末）观察给定的分式，探索规律：
1 2 3 4
（1） ， ， ， ，…其中第6个分式是 ；
x x2 x3 x4
（2）x2， x4，x6， x8，…其中第6个分式是 ；
− −
y y3 y5 y7
（3） b2，b5， b8，b11，…其中第n个分式是 （n为正整数）．
− −
a a2 a3 a4
【答案】 6 x12 b3n−1
− (−1) n
x6 y11 an
【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是
x6（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第
偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是 y11,
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数
是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n, 分子是
b3n-1，分母是 an,
6
【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是 ，
x6
（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第
偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是 x12，
−
y11
（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数
是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分
式是 b3n−1
(−1) n
an
【点睛】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次
变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键
a 2a 3a 4a
【变式6-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列一组分式： ，− ， ，− ，…．
b 3b2 5b3 7b4
根据你的发现，第8个分式是 ．
8a
【答案】−
15b8
【分析】本题考查代数式规律，对于分式规律，从三个方面：符号、分子和分母分别寻找，最终得到这组
na
分式的规律是(−1)
n+1
，当n=8时，代入求解即可得到答案，准确找准分式的规律是解决问题的
(2n−1)bn
关键．
【详解】解：首先观察符号：奇数项为正、偶数项为负，则符号规律是 ；
(−1)
n+1
观察分子a,2a,3a,4a,⋯，则分子规律为na；
观察分母b,3b2,5b3,7b4,⋯，则分母规律为(2n−1)bn ；na
∴这组分式的规律是(−1)
n+1
，
(2n−1)bn
na 8a 8a
∴当n=8时，(−1) n+1 =(−1) 8+1 =− ，
(2n−1)bn (2×8−1)b8 15b8
8a
故答案为：− ．
15b8
【变式6-3】（23-24八年级·云南文山·期末）给定一列分式：x， x3 ， x5 ， x7 ， x9 ， x11 ，…
y 2y2 4 y3 8 y4 16 y5 32y6
（其中y≠0），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（ ）
A．x2n+1 B． x2n−1 C． x2n−1 D． x2n
2n yn 2n yn−1 2n−1yn 2n−1yn−1
【答案】C
【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分
别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案．
x
【详解】解：第一个分式为： ，
y
第二个分式为： x3 x2×2−1，
=
2y2 21y2
第三个分式为： x5 x2×3−1，
=
4 y3 22y3
第四个分式为： x7 x2×4−1，
=
8 y4 23y4
第五个分式为：x2×5−1，
24 y5
……，
按此规律，那么这列分式中的第n个分式为 x2n−1 ，
2n−1yn
故选：C．【题型7 根据分式的值为整数求未知数的值】
6x+21
【例7】（23-24八年级·江苏扬州·期末）能使分式 值为整数的整数x有（ ）个．
2x−3
A．0 B．1 C．2 D．8
【答案】D
6x+21 30
【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将 转化为3+ ，进一步求解
2x−3 2x−3
即可．
6x+21 6x−9+30 3(2x−3)+30 30
【详解】解： = = =3+ ，
2x−3 2x−3 2x−3 2x−3
∵分式的值为整数，
30
∴ 的值为整数，
2x−3
∴2x−3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30，
∵x也是整数，
∴2x−3=±1,±3,±5,±15，
解得：x=2,x=1,x=3,x=0,x=4,x=−1,x=9,x=−6；
故选D．
6
【变式7-1】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期末）若分式 的值是整数，则满足条件的所有正整数m的
m+1
和等于（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
【答案】B
6
【分析】本题考查了分式的值，根据分式 的值是整数得m+1=1或2或3或6，求得m的值即可求解，
m+1
根据题意得m+1=1或2或3或6是解题的关键．
6
【详解】解：∵分式 的值是整数，
m+1
∴m+1是6的约数，即m+1=1或2或3或6，
解得：m=0（舍去）或1或2或5，
则满足条件的所有正整数m的和为1+2+5=8．
故选：B．x+8
【变式7-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）若x及 都是正整数，则所有满足条件的x的值的和是
2x+1
．
【答案】10
【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并
x+8
求解是解题关键．根据x为整数，且 的值也为正整数，列出不等式，求出x的取值范围，再枚举求出
2x+1
符合题意的x的值，即可求解．
x+8
【详解】解：∵x及 都是正整数，
2x+1
x+8
∴ ≥1，
2x+1
即x+8≥2x+1，
解得：x≤7，
x+8 7−x 7−1
故当x=1时， =1+ =1+ =1+2=3，
2x+1 2x+1 2+1
x+8 7−x 7−2
当x=2时， =1+ =1+ =1+1=2，
2x+1 2x+1 4+1
x+8 7−x 7−3 4
当x=3时， =1+ =1+ =1+ ，
2x+1 2x+1 6+1 7
x+8 7−x 7−4 1
当x=4时， =1+ =1+ =1+ ，
2x+1 2x+1 8+1 3
x+8 7−x 7−5 2
当x=5时， =1+ =1+ =1+ ，
2x+1 2x+1 10+1 11
x+8 7−x 7−6 1
当x=6时， =1+ =1+ =1+ ，
2x+1 2x+1 12+1 13
x+8 7−x 7−7
当x=7时， =1+ =1+ =1，
2x+1 2x+1 14+1
故所有满足条件的x的值有：1、2、7，
∴所有满足条件的x的值的和是1+2+7=10．
故答案为：10．
9x−7
【变式7-3】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）已知x为整数，且分式 的值也为整数，则满足条件
3x+1
的所有x的值之和为 ．【答案】0
【分析】根据x为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出x的值再求和即可．
9x−7
【详解】解：
3x+1
9x+3−10
=
3x+1
10
=3− ，
3x+1
9x−7
∵x为整数，分式 的值也为整数，
3x+1
∴当x=0时，分式=−7，符合题意；
当x=−1时，分式值=8，符合题意；
当x=−2时，分式值=5，符合题意；
当x=3时，分式值=2，符合题意；
∴满足条件的x的值为0、−1、−2、3，
所有满足条件的数的和为0−1−2+3=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值．
【题型8 按要求构造分式】
【例8】（23-24八年级·上海·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（1）分式的值不可能为零；
（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠−3；
（3）当a=0时，分式的值为−1．
你所写的分式为
−3
【答案】 （答案不唯一）
a+3
【分析】根据所满足的条件解答即可：（1）分式的分母不为零、分子不为零；（2）分式有意义，分母不
等于零；（3）将a=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．
【详解】解：根据（1）分式的值不可能为零，可得分式的分子不等于零；
根据（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠−3，可知当a=−3时，分式的分母等于零；
根据（3）当a=0时，分式的值为−1，可知把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．
−3
综上可知，满足条件的分式可以是： ，
a+3−3
故答案为： （答案不唯一）．
a+3
【点睛】本题考查了分式的值、分式有意义的条件、分式的值不为零的条件等，掌握分式的分母不能为0
是解题的关键．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）请你写出一个值恒为正数的分式 ．
1
【答案】 （答案不唯一）
x2+1
【分析】根据条件写出分式即可．
1
【详解】解：一个值恒为正数的分式为： （答案不唯一）．
x2+1
1
故答案为： （答案不唯一）．
x2+1
【点睛】本题主要考查了分式，解题的关键是注意两个条件：①值恒为正数；②是分式．
【变式8-2】（23-24八年级·上海浦东新·期末）从整式π，2，a+3，a−3中，任选两个构造一个分式
．
2
【答案】 （答案不唯一）
a+2
A
【分析】本题考查分式的定义．分式的定义：如果A，B表示两个整式，且B中含有字母，则 称为分式，
B
根据定义选取含有字母的整式作为分母即可构造分式．
2
【详解】解：2和a+3可构造分式 ，答案不唯一，以a+3或a−3为分母均可．
a+3
2
故答案为： （答案不唯一）．
a+2
【变式8-3】（23-24八年级·安徽安庆·期中）有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式
的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是x≠±1；丙：当x=-2时，分式的值为1．请你写出满足上
述全部特点的一个分式： ．
3 |x)+1 1
【答案】 ， ，
x2−1 x2−1 |x)−1
【详解】根据分式的值为0的条件，由甲的叙述可知此分式的分子一定不等于0；根据分式有意义的条件，
由乙的叙述可知此分式的分母当x=±1时的值为0；根据求分式的值的方法，由丙的叙述可知，把x=-2代入
3 x+1 1
此分式，得分式的值为1，可知所求分式可以是 ， ， 等，答案不唯一．
x2−1 x2−1 x−1【题型9 根据分式的值的正负求取值范围】
【解题方法】现将分子分母能进行因式分解的式子进行因式分解，若分式的值大于 0，则分子分母同号，
若分式的值小于0，则分子分母异号，以此建立不等式组求解。注意始终要考虑分母不能为0。
2x−5
【例9】（23-24八年级·山东威海·期末）若分式 的值为负数，则x的取值范围是（ ）
x2+4
5 5 5 5
A．x≠ B．x≤− C．x> D．x<
2 2 2 2
【答案】D
2x−5
【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式 的值为负数，而分母x2+4
x2+4
一定是正数，可知分子2x−5<0，然后解不等式即可．
2x−5
【详解】解：∵分式 的值为负数，而分母x2+4>0，
x2+4
∴2x−5<0，
5
解得x< ．
2
故选：D．
−6
【变式9-1】（23-24八年级·北京房山·期中）若分式 的值为正数，则x满足
7−x
【答案】x>7/70，
7−x
∵−6<0，
∴7−x<0，
∴x>7，
故答案为：x>7．
1
【变式9-2】（23-24八年级·全国·单元测试）如果分式 的值为负数,则x的取值范围是( )
1−2x
1 1 1 1
A．x≤ B．x< C．x≥ D．x>
2 2 2 2
【答案】D
1
【分析】由于分式 的值为负数，而分子为正数，则分母1−2x小于0，然后解不等式即可；
1−2x1
【详解】解：当1-2x＜0时,分式的值为负数,即 x> ，
2
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是分析得到关于x的不等式
x+2
【变式9-3】（23-24八年级·四川凉山·期末）若分式 的值为正数，则x的取值范围是
x2−2x+1
．
【答案】x>−2且x≠1
x+2
【分析】由分式 的值为正数，得到x2−2x+1=(x−1) 2>0，x+2>0，即可得到x的取值范围．
x2−2x+1
x+2
【详解】解：∵分式 的值为正数，
x2−2x+1
∴ ， ，
x2−2x+1=(x−1) 2>0 x+2>0
解得x>−2且x≠1，
即x的取值范围是x>−2且x≠1．
故答案为：x>−2且x≠1
【点睛】此题考查了分式的性质，熟练掌握两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键．
