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专题 16.1 二次根式
1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围；
2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简；
知识点01 二次根式的相关概念
【知识点】
1.二次根式的定义：我们把形如 ( ) 的式子叫做根式； 叫做被开方数； 叫做二次根号；根
式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证
被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【知识拓展1】二次根式的识别
例1．(2022·云南昭通·八年级期中)在下列代数式中，不是二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的定义即可解答．
【详解】解： 、 是二次根式，故此选项不合题意；
、 是二次根式，故此选项不合题意；
、 是二次根式，故此选项不合题意；
、 ，不是二次根式，故此选项符合题意．故答案为D．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，一般形如 ( )的代数式叫做二次根式，正确把握二次根
式的定义是解答本题的关键．
【即学即练】
1．(2022·辽宁大连·八年级期末)下列各式中是二次根式的为( )
A．a+b B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义判定即可．
【详解】解：A、a+b是整式不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、 是分式不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、 是单项式不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、 是二次根式，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握二次根式的定义“形如 的式了叫二次根式”是解题的关
键．
【知识拓展2】根据二次根式的定义求字母的值
例2．(2022·广东惠州·八年级期末)使 是整数的正整数 的最小值为___________．
【答案】
【分析】把12分解质因数，然后根据二次根式的性质解答．
【详解】解：∵12＝4×3，
∴ 是整数的正整数m的最小值是3．故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，把12分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
【即学即练】
2．(2022·北京朝阳·八年级期末)若 是整数，则正整数n的最小值是( )
A．3 B．7 C．9 D．63
【答案】B【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答．
【详解】解：∵63=7 9，∴ ，
×
∵ 是整数，∴正整数n的最小值是7，故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键．
【知识拓展3】根据二次根式有意义条件求范围
例3．(2022·安徽·定远县八年级阶段练习)在函数 中，自变量x的取值范围是( )
A． B． C． D． 且
【答案】D
【分析】直接根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件计算即可．
【详解】解：根据题意得： ，解得： 且 ．故选：D．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【即学即练3】
3．(2022·河北保定·八年级期中)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得3−2x≥0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：3−2x≥0，解得：x≤ ，故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
【知识拓展4】根据二次根式有意义条件求值
例4．(2022·重庆市八年级期中)若 ，则 的值是( )
A．5 B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】用二次根式被开方数是非负数，可得y的值，代入 可得x的值，从而得解．【详解】解：依题意得：
，解得： ，将 代入 得 ，∴ ，故选D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数
是解题的关键．
【即学即练4】
4．(2022·广西贺州·八年级期中)若 ，则 等于( )
A．－1 B．1 C． D．0
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 ，从而得到 ，即可求解．
【详解】解： ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．故选：B
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，乘方，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
知识点02 二次根式的性质
【知识点】
二次根式的性质： ① ， (双重非负性)
【知识拓展1】二次根式的性质化简绝对值(1)
例1．(2022·湖北十堰·八年级阶段练习)已知x满足|2021﹣x|+ ＝x，那么x﹣20212的值为( )
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，然后去绝对值化简即可得出答案．
【详解】解：∵x−2022 0，∴x 2022，∴2021−x＜0，
∴原式变形为x−2021＋ ＝x，∴ ＝2021，两边平方得： ，∴ ．故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和化简绝对值，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【即学即练1】
1．(2022·福建龙岩·七年级期中)已知 ，求 的值．
【答案】2023
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出a的范围，去绝对值，化简即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ∴
故
从而 ，∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【知识拓展2】二次根式的化简绝对值(2)
例2．(2022·山东淄博·八年级期末)已知等式 成立，化简|x﹣6|+ 的结果为 _____．
【答案】4
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则得出x的取值范围，进而化简得出答案．
【详解】解：∵等式 成立，∴ ，解得：3＜x≤5，
∴|x﹣6|+ ＝6﹣x+x﹣2＝4．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算以及非负数的性质，正确得出x的取值范围是解题关键．
【即学即练2】
2．(2022·浙江杭州·八年级期中)在△ABC中，三边分别为a，b，c，则化简|a﹣b+c|﹣2 的结果
为( )
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a【答案】B
【分析】根据三角形三边关系化简求解即可．
【详解】∵a，b，c是△ABC的三边，∴ ， ，
∴|a﹣b+c|﹣2 故选：B．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，化简绝对值和二次根式的性质，解题的关键是熟
练掌握三角形三边关系．
3.(2022·福建·福鼎市第四中学八年级阶段练习)计算 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用 即可求解．
【详解】解： ，故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握运算法则．
【知识拓展3】复合二次根式的化简(二重根号)
例3． (2022·福建·柘荣县八年级阶段练习)有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 ， ，
使 并且 ，则将 变成 ，开方，从而使得 化简．
例如：化简：
∵
∴
仿照上例化简下列各式：(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】(1)根据 ，确定后化简计算．(2)根据 ，确定后化简计算．
【详解】(1)因为 ，所以 ．
(2)因为 ，所以 ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键．
【即学即练3】
3．(2022·湖南怀化·八年级期末)同学们，我们以前学过完全平方公式 ，你一定熟练掌
握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数(以及0)都可以看作是一个数的平方，如
， ，下面我们观察： ，反之，
，∴ ，∴
求：(1) ；(2) ；
(3)若 ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ， ，理由见解析
【分析】(1)将3拆分为2+1，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
(2)将4拆分为3+1，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
(3)利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【详解】解：(1) ＝ ＝ ； (2) ；
(3)m+n＝a，mn＝b.
理由：∵ ，∴ ，
∴m+n+2 ＝a+2 ，∴m+n＝a，mn＝b
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
4．(2022·湖北随州·八年级期中)阅读下面材料，回答问题：(1)在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下：
小李的化简如下：
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
(2)请你利用上面所学的方法化简 ．(3)计算： ．
【答案】(1)小李化简正确，小张的化简结果错误，理由见解析 (2) (3)-2
【分析】(1)根据 的性质来进行判定得出答案；
(2)将被开方数转化为完全平方式，从而得出答案．
(3)将被开方数转化为完全平方式，进而根据二次根式的加减进行计算即可求解．
(1)解：小李化简正确，小张的化简结果错误．
；∴小李化简正确，小张的化简结果错误．
(2) ；
(3) ．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的化简，解决本题的关键就是将整数转化为两个实数的平方和，从而
得出完全平方式．
题组A 基础过关练
1．(2022·四川·泸县五中八年级期中)下列式子中是二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次根式必须满足两个条件：被开方数大于等于0，且根指数必须是2；根据上述信息，对题中的各个式子进行判断即可．
【详解】A．被开方数可以是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B．被开方数是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
C．是二次根式，故本选项符合题意；
D．根指数是3不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的判断，掌握二次根式的定义是解题的关键．
2．(2022·广西钦州·八年级期中)若 ， 为实数，且 ，则代数式 的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【分析】根据二次根式的有意义的条件求出x的值，故可求出y的值，即可求解．
【详解】解：依题意可得 ，解得x=3，∴y=2，∴ ，故选：D．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质应用，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．
3．(2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末)下列各式中，无意义的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．
【详解】解：A．原式 ，故该选项不符合题意；B．原式 ，故该选项不符合题意；
C．原式 ， 是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；
D．原式 ，故该选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4．(2022·河北廊坊·八年级阶段练习)若 ，则 的值为( )
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】根据二次根式和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵20，则a取值范围是( )
A．a<0 B．a>0 C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的非负性可知 ，根据题意可得 ，则 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， 成立，且b>0，∴ ， ， ．
【点睛】本题考查二次根式的非负性，据二次根式的性质化简，掌握二次根式的双重非负性是解题的关键．
3．(2022·四川南充·中考真题)若 为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
【答案】4或7或8
【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据
为整数即可得 的值．
【详解】解：∵ ∴
∵ 为正整数∴ 可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵ 为整数∴ 为4或7或8故答案为：4或7或8．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答
本题的关键．
4．(2022·湖北·嘉鱼县教学研究室八年级期末)代数式 的最小值为__________．
【答案】2
【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．
【详解】解：根据题意可得 ，∴
，∴ 的最小值为2，故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键．
5．(2021·贵州黔西·九年级期末)当 时，化简 ___________．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式，结合二次根式的性质化简，再根据绝对值的意义，去绝对值，计算即可．【详解】解： ，
∵ ，∴ ， ，∴原式 ．故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质与化简、绝对值的意义，正确化简二次根式是解
题关键．
6．(2022·河北邢台·八年级期末)若 是二次根式，则a的取值范围是______；若 是正整数，则
正整数a的最小值是______．
【答案】 3
【分析】根据二次根式被开方数有意义的条件求出a的取值范围，利用正整数的意义得到a的最小值．
【详解】解：∵ 是二次根式，∴300a≥0，解得a≥0；
∵ 是正整数，且300a=100×3a，∴整数a的最小值是3，故答案为 ，3．
【点睛】此题考查了二次根式被开方数有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题
的关键．
7．(2022·四川绵阳·八年级期中)若a，b为实数， ，则 _________．
【答案】4
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【详解】解：由题意可知： ， ，解得： ， ，
，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数．
8．(2022·山东济宁·八年级期中)已知a满足 ．
(1) 有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将 去掉绝对值符号可得
______．(2)根据(1)的分析，求 的值．
【答案】(1) ； (2)
【分析】(1)先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；
(2)去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．(1)解：∵ 有意义，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ；故答案为： ； ；
(2)∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解
此题的关键．
9．(2022·山东·德州市八年级期中)阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简∶
解∶隐含条件 ，解得：
∴
∴原式
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简
【类比迁移】
(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
(3)已知a，b，c为ABC的三边长．化简：
【答案】(1)1；(2) ；(3) ．
【分析】(1)根据二次根式有意义的条件判断出 的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
(2)由a，b在数轴上的位置判断出 、 ，再利用二次根式的性质化简即可得；
(3)由三角形的三边关系得出 ， ， ，再利用二次根式的性质化简可得．
【详解】解：(1)隐含条件 ，解得：
∴∴原式 ；
(2)观察数轴得隐含条件： ， ，
∴ ，
∴原式 ；
(3)由三角形的三边关系可得隐含条件：
， ， ，
∴ ， ，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质 及三角形
的三边关系等知识点．
10．(2022·广东·佛山市八年级期中)先阅读材料，然后回答问题
(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简 经过思考，肖战解决这个问题的
过程如下，
①
②
③
④
在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________
(2)根据上述材料中得到的启发，化简 ﹒
【答案】(1)④， (2)
【分析】(1)由于 ，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可；(2)仿照题意进行化简即可．
【详解】(1)解： ①
②
③
④
，
∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为 ，故答案为：④， ；
(2)解： ．
【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．(2022·山东临沂·八年级期末)若 成立，则a，b满足的条件是( )
A． 且 B． 且 C． 且 D．a，b异号
【答案】B
【分析】由 有意义，则 可得 再由 可得 从而可得答案．
【详解】解：∵
∴ 故选B
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式有意义的条件，熟练的掌握二次根式的化简的法则是解
本题的关键．
2．(2022·湖北武汉·八年级期中)已知n是正整数， 是整数，则n的最小值是_____．
【答案】3【分析】根据 是整数可知 是一个完全平方数，即可得出结果．
【详解】∵ 是整数，∴可知 是一个完全平方数，∴ 的最小值为16，
当 时，解得 ；故答案为：3
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键在于理解完全平方数．
3．(2022·四川乐山·九年级期中)若三角形的三边长为 、 、 ，化简 _______．
【答案】 ##
【分析】根据二次根式的性质 化简即可求解．
【详解】解：∵ 、 、 为三角形的三边长，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查的运用二次根式的性质化简，理解二次根式的性质是解题的关键．
4.若z适合 ，求z的值．
【答案】3358．
【解析】 ， ∴ ．
又 ， ， ．
．
即 ， 解得： ．
【总结】本题先根据二次根式有意义的条件，得出 ，又考查当两个非负数的和为零时，则这两
个式子必然都等于零．
5．(2022·福建漳州·九年级期中)求代数式 ， ，如图是小亮和小芳的解答过程：(1)______的解法是正确的；
(2)化简代数式 ，(其中 )；
(3)若 ，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)小芳
(2)3
(3)
【分析】(1)由 知 ，据此可得 ，从而作出判断；
(2)利用二次根式的性质化简、代入求值即可得；
(3)分三种情况，化简等号左边，再求出相应 值，合并即可．
【详解】(1)解： ，
，
则 ，
所以小芳的解法是正确的，
故答案为：小芳；
(2) ，
；(3)
当 时， ，
解得： ；
当 时， ；
当 时， ，
解得： ，
综上， 的取值范围是： ．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．
6．(2022·全国·九年级专题练习)数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结
构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝(a±b)2，那么 ，如何将双重
二次根式 化简．我们可以把 转化为 完全平方的形式，因此
双重二次根式 得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若 则称点Q为
点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣
2，﹣5)．问题：
(1)点 的“横负纵变点”为 ，点 的“横负纵变点”为 ；
(2)化简：
【答案】(1) ， ；(2) ；
【分析】(1)根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．(2)模仿例题解决问题即可．
【详解】解：(1)根据题目意思，
∵ 和 ,
点 的“横负纵变点”为 ，
点 的“横负纵变点”为 ，
故答案为： ， ；
(2)∵2+5=7,2×5=10,
∴ ；
【点睛】双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．
7．(2022·河南安阳·八年级阶段练习)先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 的化简，只要我们找到两个数 ， 使 ， ，这样 + ＝m， • ＝
，那么便有 ＝ ＝ ± (a＞b)例如：化简
解：首先把 化为 ，这里m=7，n=12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即 ， ，
∴ ＝ ＝ ＝
由上述例题的方法化简：(1) ；(2) ；(3) ．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ．
【分析】(1)先把各题中的无理式变成 的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
(2)先把各题中的无理式变成 的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．(3)先把各题中的无理式变成 的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
(1)解：
．
(2)解：
．
(3)解： ．
【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了
完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
8．(2022·湖南永州·八年级期末)观察下列各式及其化简过程：
，
．
(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将 化简；
(2)化简 ；
(3)针对上述各式反映的规律，请你写出 中，m，n与a，b之间的关系．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ， ．
【分析】(1)将31分解成 ，再利用完全平方公式即可求出答案；
(2)先将7分解成 ，计算第二层根式，再将35分解成 ，利用完全平方公式即可求出答案；
(3)将等式两边同时平方即可求出答案．
【详解】(1)
(2)(3)
两边平方可得： ∴ ，
【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质及配方法的应用，读懂题中的配方法并明确二次根式的化简方
法是解题关键．
