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专题 16.1 二次根式【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别二次根式】..........................................................................................................................................1
【题型2 二次根式有意义的条件】..........................................................................................................................2
【题型3 求二次根式的值】......................................................................................................................................2
【题型4 由二次根式的非负性求字母的值】.........................................................................................................3
【题型5 由二次根式的非负性求字母的的取值范围】.........................................................................................3
【题型6 由二次根式的值求参数】..........................................................................................................................3
【题型7 根据二次根式是整数求字母的值】.........................................................................................................4
【题型8 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式】.....................................................................................4
【题型9 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】.........................................................................................4
【题型10 复合型二次根式的化简求值】..................................................................................................................4
知识点1：二次根式的概念
形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式，❑√a叫做二次根号，a叫做被开方数.
【题型1 辨别二次根式】
【例1】（23-24九年级下·湖北随州·期末）下列式子中，是二次根式的是（ ）
3
A．π B． C．√32 D．❑√3
5
【变式1-1】（23-24九年级下·河北唐山·阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√−3 ❑√x2+0.1 √31−a ❑√x+1
【变式1-2】（23-24九年级上·重庆万州·期末）下列各式中，属于二次根式的是（ ）
x+1
A．2x B． C．❑√5 D．√3 x
2x
√ y
【变式1-3】（23-24九年级下·甘肃武威·阶段练习）在式子❑√3、❑√x2+1、❑√a+1(a<−3)、❑ (y>0)、
2
❑√−2x(x<0)中，是二次根式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个知识点2：二次根式有意义的条件
(1)二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：❑√a≥0.
【题型2 二次根式有意义的条件】
【例2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）若x=3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是
（ ）
√ 1
A．❑√x−1 B．❑ C．❑√x−4 D．❑√−2x
2−x
【变式2-1】（24-25九年级上·全国·假期作业）“❑√△”表示的是一个二次根式，则“△”不可能是
（ ）
A．－1 B．4 C．2 D．8
1
【变式2-2】（23-24九年级下·广东惠州·期中）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
❑√2−x
A．x≠2 B．x<2 C．x>2 D．x≥2
1
【变式2-3】（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）函数y= −❑√x+1自变量x的取值范围在数轴上
❑√2−x
表示为（ ）
A． B．
C． D．
知识点3：二次根式的性质
性质1： = （ ），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
(❑√a) 2 a a≥0
{ a（a≥0）
性质2：❑√a2=|a|= ，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
−a（a<0）
【题型3 求二次根式的值】
【例3】（2024·河北张家口·三模）若 ，则计算 的结果正确的是（ ）
a=❑√10 ❑√200a2
A．20❑√5 B．±20❑√5 C．±100❑√2 D．100❑√2
【变式3-1】（23-24九年级下·浙江衢州·期中）当x=−2时，二次根式❑√−3x+10的值为（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【变式3-2】（23-24九年级下·四川绵阳·期末）将一次函数y=kx+b的图象向上平移9个单位得到直线y=3x+6，则❑√−kb的值为（ ）
A．3 B．3❑√6 C．±3 D．3❑√10
【变式3-3】（23-24九年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，❑√2a+1＋1的值最小，为
；
（2）当a为 时， 的值最大，为 ．
❑√4−(a+2) 2
【题型4 由二次根式的非负性求字母的值】
【例4】（23-24九年级下·浙江·阶段练习）已知|2012−a)+❑√a−2013=a，则a−20122的值（ ）
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
【变式4-1】（23-24九年级上·湖北十堰·期末）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足
a=5❑√b−6−4❑√12−2b+3，此三角形的周长为 ．
【变式4-2】（23-24九年级下·安徽池州·期末）已知：
．求 的值．
❑√2x+ y+2027+❑√x+2y−2024=❑√(m−n)−2024×❑√2024−(m−n) (x+ y) m−n
【变式4-3】（23-24九年级下·安徽淮北·期末）已知❑√3x−6+❑√6−3x+ y=2024，则❑√2024xy的值为
（ ）
A．2024❑√3 B．2024❑√2 C．2024 D．2025
【题型5 由二次根式的非负性求字母的的取值范围】
【例5】（23-24九年级下·湖北恩施·期末）点(m,n)在第一象限，m，n均为整数，且满足
√5
n=❑ m−1−❑√3−m，则m+n的值为（ ）．
3
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-1】（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足 ，则m的取值范围是
❑√(m−1) 2=1−m
．
【变式5-2】（23-24九年级下·四川自贡·期中）如果 成立，那么实数a的取值范围是
a+❑√a2−6a+9=3
( )
A．a≤0 B．a≤3 C．a≥−3 D．a≥3
【变式5-3】（23-24九年级下·浙江杭州·期末）若 ，则 的取值范围是 ．
|a−❑√a2|=−2a a【题型6 由二次根式的值求参数】
√3 5 7 2n+1
【例6】（23-24九年级下·河南新乡·阶段练习）若 ❑ × × ×⋯× =11，则n的值为（ ）
1 3 5 2n−1
A．40 B．50 C．60 D．70
【变式6-1】（23-24九年级上·河南开封·期末）❑√1−a＝2，则a＝ ．
【变式6-2】（23-24九年级下·江苏扬州·期末）已知❑√x=3,那么x2= ．
【变式6-3】（2023九年级下·江苏·周测）已知a为整数，且满足❑√a−1<5<❑√a+1，则a的值为
．
【题型7 根据二次根式是整数求字母的值】
【例7】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）已知❑√6n+4是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
√36
【变式7-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）若❑ 是整数，则整数n的所有可能的值为 ．
n
❑√m
【变式7-2】（2023·河南周口·九年级期末）若 属于真分数，任意写出一个符合条件的m的值 ．
6
【变式7-3】（23-24九年级下·辽宁营口·阶段练习）❑√12−n是一个正整数，则n的最小正整数是 ．
【题型8 逆用二次根式的性质在实数范围内分解因式】
【例8】（23-24九年级上·上海普陀·期中）在实数范围内分解因式：x2+8x﹣11＝ ．
【变式8-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）将3x2−4在实数范围内分解因式得 ．
【变式8-2】（23-24九年级下·全国·课后作业）在实数范围内分解因式：
(1)x2−7；
(2)x3−5x；
(3)4x2−11；
(4)x2−2❑√3x+3．
【变式8-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在实数范围内分解因式：x4−9x2+20= ．
【题型9 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】
√ x √ y
【例9】（23-24九年级下·湖北荆门·阶段练习）已知xy=3，则y❑ +x❑ = ．
y x
【变式9-1】（23-24九年级下·北京昌平·期中）数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示：
化简： ．
❑√(a−b) 2−❑√(a+1) 2−❑√(b−1) 2【变式9-2】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）若6，8，m为三角形的三边长，则化简 的结
❑√(2−m) 2+m
果为 .
√ −1
【变式9-3】（23-24九年级上·上海嘉定·阶段练习）化简：3a2b2❑ =
9ab
【题型10 复合型二次根式的化简求值】
【例10】（23-24九年级下·云南昆明·期中）有这样一类题目：将❑√a+2❑√b化简，如果你能找到两个数
m、n，使 且 ，则将 将变成 ，即变成 ，从而使得
m2+n2=a mn=❑√b a+2❑√b m2+n2±2mm (m+n) 2 ❑√a+2❑√b
得以化简．
(1)例如， ．
5+2❑√6=3+2+2❑√6=(❑√3) 2+(❑√2) 2+2❑√2⋅❑√3=(❑√3+❑√2) 2
________
∴❑√5+2❑√6=❑√ (❑√3+❑√2) 2=
(2)请仿照上例化简：❑√11−2❑√30．
【变式10-1】（23-24九年级下·山东潍坊·期中）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应
任务．
双层二次根式的化简
二次根式中有一类带双层根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：化简❑√3+2❑√2，先思考(1+❑√2) 2=12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=3+2❑√2（根据1）
❑√3+3❑√2=❑√12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=❑√(1+❑√2) 2=1+❑√2．
通过计算，我还发现设❑√a+b❑√2=❑√(m+n❑√2) 2=m+n❑√2（其中m，n，a，b都为正整数），则有
a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2．∴a=m2+2n2，b=_____．
这样，我就找到了一种把部分❑√a+b❑√2化简的方法．
任务：
(1)文中的“根据1”是________，b=_______；
(2)根据上面的思路，化简：❑√14−6❑√5；
(3)已知❑√a+4❑√3=x+2❑√3，其中a，x均为正整数，求a和x的值．
【变式10-2】（23-24九年级下·河南信阳·阶段练习）(1)化简：❑√6−2❑√5；
(2)计算：❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−2❑√12+⋅⋅⋅+❑√19−2❑√90．
【变式10-3】（23-24九年级下·江西新余·期中）化简：
(1)❑√12−2❑√35；(2)❑√5−❑√24；
(3)．
