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专题 16.1 二次根式【八大题型】
【人教版】
【题型1 判断二次根式】..........................................................................................................................................1
【题型2 根据二次根式有意义的条件求参数范围】.............................................................................................2
【题型3 利用二次根式被开方数的非负性求值】.................................................................................................2
【题型4 根据二次根式是整数求字母的值】.........................................................................................................2
【题型5 数轴与二次根式的化简的综合运用】.....................................................................................................3
【题型6 逆用 = （ ）在实数范围内分解因式】...................................................................................4
(√a) 2 a a≥0
【题型7 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】.........................................................................................4
【题型8 复合型二次根式的化简求值】..................................................................................................................4
【知识点1 二次根式的定义】
形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，√a叫做二次根号，a叫做被开方数.
【题型1 判断二次根式】
【例1】（2023春·八年级单元测试）a是任意实数，下列各式中：① ；② ；③ ；④
√a+2 √(-2a) 4 √a2+3
；⑤ ，一定是二次根式的个数是（ ）
√a2+6a+9 √a2-3
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
√1
A．√a B．√32 C． D．√-4
2
【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）下列式子一定是二次根式的是 ( )
A． B．－ C． D．
√a2 √a √3 a √a
【变式1-3】（2023春·陕西·八年级阶段练习）下列式子：
中，一定是二次根式的是（ ）
√7，√2x，√1-m，√a2+b2，√100，√a2-1，√|a|+1A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【知识点2 二次根式有意义的条件】
(1)二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：√a≥0.
【题型2 根据二次根式有意义的条件求参数范围】
√2-x
【例2】（2023·辽宁丹东·八年级统考期末）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
√x-1
A．-1<x≤2 B．-2<x≤1 C．1≤x≤2 D．1<x≤2
√1-3x
【变式2-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）若式子 有意义，则x的取值范围是___．
x
【变式2-2】（天津市南开区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）下列各式中x的取值范围是x≥3
的是（ ）
1
A．√3-x B．√x-3 C．√3+x D．
√x-3
【变式2-3】（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）若x=2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可
以是（ ）．
A．√x-1 B．√1-x C．√x-3 D．√-x
【知识点3 二次根式的性质】
性质1： = （ ），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
(√a) 2 a a≥0
{a（a≥0）
性质2：√a2=|a|= ，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
-a（a<0）
【题型3 利用二次根式被开方数的非负性求值】
【例3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知y=√x-2022-√2023-x+1，其中x为整数，则y的
值为__________．
【变式3-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期末）若√x-1+√y+3=0，求x- y的值．
【变式3-2】（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）若y=√x-3+√3-x-2，则xy=______.
【变式3-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知实数 满足 ，求 的
a √(2008-a) 2+√a-2009=a a-20082
值是多少？【题型4 根据二次根式是整数求字母的值】
√36
【例4】（2023春·八年级单元测试）若 是整数，则整数n的所有可能的值为_______．
n
【变式4-1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：√20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（
）
A．2 B．4 C．5 D．20
【变式4-2】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知√10-n是整数，则自然数n所有可能的值的和为
______．
【变式4-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如果√17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．8
【题型5 数轴与二次根式的化简的综合运用】
【例5】（2023春·广东云浮·八年级统考期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：
．
√a2+(√-a+b) 2-|c-b|
【变式5-1】（2023春·八年级单元测试）已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：
．
√(a+1) 2+2√(b-1) 2-∣a-b∣
【变式5-2】（2023春·全国·八年级期末）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简
√c2-(√a) 2+(√3 a+b)
3得（ ）
A．b-c B．-2a-b-c C．b+c D．-b-c
【变式5-3】（2023春·山东临沂·八年级统考期中）阅读材料，解答问题。
例：若代数式 的值是常数2，求a的取值范围．
√(2-a) 2+√(a-4) 2分析：原式=|a-2|+|a-4|，而|a| 表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，|a-2|表示数a在数轴上的
对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．
解：原式=|a-2|+|a-4|在数轴上，分别讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表
示的点之间，在数4表示的点右边，可得a的范围应是2≤a≤4．
（1）此例题的解答过程用了哪些数学思想？请举例．
（2）化简 ．
√(7-a) 2+√(a-10) 2
【题型6 逆用 = （ ）在实数范围内分解因式】
(√a) 2 a a≥0
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：x4-9x2+20=___________．
【变式6-1】（2023春·八年级单元测试）将3x2-4在实数范围内分解因式得______．
【变式6-2】（2023·全国·八年级专题练习）（2023贵州省黔东南州）在实数范围内因式分解：x5-4x=
______．
【变式6-3】（2023春·全国·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：
(1)x2-7；
(2)x3-5x；
(3)4x2-11；
(4)x2-2√3x+3．
【题型7 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】
【例7】（2023春·八年级课时练习）一次函数y=mx+n的图象如图所示，化简
_______．
√m2+2mn+n2-|m+1|=
【变式7-1】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简 的结果是 ，
|1-x|-√x2-8x+16 2x-5则x的取值范围是___________
【变式7-2】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是 的小数部分，则式子
√2 √(m-1) 2=
___________．
【变式7-3】（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简 ______
√a2b=
【题型8 复合型二次根式的化简求值】
【例8】（2023春·江苏·八年级专题练习）像√4-2√3，√√48-√45，…这样的根式叫做复合二次根式．
有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
再如：
√4-2√3=√3-2√3+1=√ (√3) 2-2√3×1+12=√ (√3-1) 2=√3-1
请用上述方法探索并解决
√5+2√6=√3+2√6+2=√ (√3) 2+2×√3×√2+(√2) 2=√ (√3+√2) 2=√3+√2
下列问题：
(1)化简：√10+2√21；
(2)化简：√14-8√3；
(3)若 ，且 ， ， 为正整数，求 的值．
a+6√5=(m+√5n) 2 a m n a
【变式8-1】（2023春·北京海淀·八年级校考期中）a，b为有理数，且a+√3b=√4+2√3，则a+b=
___________．
【变式8-2】（2023春·八年级课时练习）化简 _______．
√4-√10+2√5+√4+√10+2√5=
【变式8-3】（2023春·八年级单元测试）观察下面的运算，完成计算：
√5-2√6=√3-2√6+2=√ (√3) 2-2×√3×√2+(√2) 2=√ (√3-√2) 2
=|√3-√2|=√3-√2
(1)√3-2√2
(2)．
