文档内容
专题 17.7 勾股定理章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 由勾股定理求两条线段的平方和（差）】.............................................................................................1
【题型2 勾股定理在网格问题中的运用】..............................................................................................................2
【题型3 勾股定理在折叠问题中的运用】..............................................................................................................4
【题型4 以弦图为背景的计算】..............................................................................................................................6
【题型5 勾股定理的证明方法】..............................................................................................................................7
【题型6 勾股定理与全等综合】............................................................................................................................10
【题型7 由勾股定理确定在几何体中的最短距离】...........................................................................................12
【题型8 由勾股定理构造图形解决实际问题】...................................................................................................13
【题型1 由勾股定理求两条线段的平方和（差）】
【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，射线AM⊥AN于点A、点C、B在AM、AN
上，D为线段AC的中点，且DE⊥BC于点E．
（1）若BC=10，直接写出AC2+AB2的值；
（2）若AC=8，△ABC的周长为24，求△ABC的面积；
（3）若AB=6，C点在射线AM上移动，问此过程中，BE2-CE2的值是否为定值？若是，请求出这个定
值；若不是，请求出它的取值范围．
【变式1-1】（2023·福建·模拟预测）如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为
AD上任一点，则MC2-MB2等于 ．【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所
示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB=3，CD=2，则AD2+BC2= ．
【变式1-3】（2023春·福建莆田·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点A(4,4)，B(8,0)．
(1)如图1，判断△AOB的形状并说明理由；
(2)如图2，M，N分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，且AM⊥AN，探究线段OM，ON，OA之间的
数量关系并证明；
(3)如图3，延长BA交y轴于点C，M，N分别是x轴负半轴和y轴负半轴上的点，连接AN交x轴于D，且
∠AMO+∠ANO=45°，探究BD2，DM2，OM2的数量关系并证明．
【题型2 勾股定理在网格问题中的运用】
【例2】（2023春·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称
为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点
E,F,G,H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的
格点弦图中，正方形ABCD的边长为√26，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形
ABCD的边长为√26时，正方形EFGH的面积的所有可能值是 (不包括52)．【变式2-1】（2023春·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在 ABC中，AB、BC、AC三边的长分别
为√5，√10，√13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题△时，先建立一个正方形网格（每个小正
方形的边长为1），再在网格中画出格点 ABC（即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所
示．这样不需求 ABC的高，而借用网格△就能计算出△它的面积．
（1）请你将 A△BC的面积直接填写在横线上： ；
思维拓展： △
（2）我们把上述求 ABC面积的方法叫做构图法．若 ABC三边的长分别为√5a，2√2a，√17a（a＞
0），请利用图②的△正方形网格（每个小正方形的边长为△a）画出相应的 ABC，并求出它的面积．
探索创新： △
（3）若 ABC三边的长分别为 （m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构
√m2+16n2,√9m2+4n2,2√4m2+n2
△
图法求出这三角形的面积．
【变式2-2】（2023春·湖北武汉·八年级校考期中）在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；
（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA＋
PB的最小值：______；
（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出 ＋ 的最小值：____
√x2+32 √(7-x) 2+42
【变式2-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每
个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画
图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）五边形ABCDE的周长为 ．
（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；
（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；
（4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°．
【题型3 勾股定理在折叠问题中的运用】
【例3】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是
边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线
段CP的长是 ．【变式3-1】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则
称△ABC为“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝√3，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，
点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝√2，求△PDC的面积．
【变式3-2】（2023春·浙江·八年级期末）如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．
(1)求BC边上的高线长．
(2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE．
①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积．
②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长．【变式3-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2=2c2，
则称△ABC为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是___．
A. ①一定是“方倍三角形” B. ②一定是“方倍三角形”
C. ①②都一定是“方倍三角形” D. ①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB=√3，则该三角形的面积为___；
(3)如图，△ABC中，∠ABC=120∘，∠ACB=45∘，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，
点A落在点D处，连结CD，AD，若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝√2，求BC的长．
【题型4 以弦图为背景的计算】
【例4】（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等
的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若
AB=7，BC=8，则小正方形的边长为（ ）
A．√5 B．√6 C．√7 D．2√2
【变式4-1】（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，它是由弦图变化得到的，是
由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别
记为S 、S 、S ．
1 2 3（1）若S =25，S =1，则S = ．
1 3 2
（2）若S +S +S =24，则S = ．
1 2 3 2
【变式4-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由
四个全等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面积为80．连接ACAC，交BE
于点P，交DG于点Q，连接FQ．则图中阴影部分的面积之和为 ．
【变式4-3】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅
“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，
记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S ，S ，S ，若S +S +S =45，则
1 2 3 1 2 3
S 的值是 ．
2
【题型5 勾股定理的证明方法】
【例5】（2023春·广西百色·八年级统考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是
用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)证明勾股定理
取4个与Rt△ABC（图1）全等的三角形，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，把它们拼成边
长为a+b的正方形DEFG，其中四边形OPMN是边长为c的正方形，如图2，请你利用以下图形验证勾股
定理．
(2)应用勾股定理
①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于DA，在l上取点B，使AB=2，
以点D为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
②应用场景2：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推至C处时，水平距离
CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
【变式5-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积
是 ，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为 ，由此得到：
(a+b) 2 a2+2ab+b2
．
(a+b) 2=a2+2ab+b2(1)如图2，正方形ABCD是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对
图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）
(2)已知：两数x，y满足x+ y=14，xy=24，求x- y的值．
(3)如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组
成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简）
【变式5-2】（2023春·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三
角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四
1 1
个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ab×4+(b-a) 2，从而得到等式c2= ab×4+(b-a) 2，化
2 2
简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求
法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三
边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的
关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶
点，可得△ABC，则AB边上的高为______．(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
【变式5-3】（2023春·全国·八年级期中）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜
边为c）
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2；
（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出
证明过程；
（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角
边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线
BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．
①请写出C、D两点的坐标；
②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．
【题型6 勾股定理与全等综合】
【例6】（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为底边BC上的高线，
E是AC上一点，连接BE交AD于点F，且∠CBE=45°．(1)求证：AB2-AD2=BD⋅CD；
(2)如图1，若AB=6.5，BC=5，求AF的长；
(3)如图2，若AF=BC，以BF，EF和AE为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由．
【变式6-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期中）如图，把一张矩形纸片沿对角线BD折叠，若BC=9，
CD=3，那么AF的长为 ．
【变式6-2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，
BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（ ）
5√3 14
A． B．2√2 C． D．10-5√2
8 5
【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6√2，
D是射线CB上的动点，过点A作AF⊥AD（AF始终在AD上方），且AF=AD，连接BF．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，判断BF与DC的关系，并说明理由．(2)如图2，若点D、E为线段BC上的两个动点，且∠DAE=45°，连接EF，DC=3，求ED的长．
(3)若在点D的运动过程中，BD=3，则AF=___．
(4)如图3，若M为AB中点，连接MF，在点D的运动过程中，当BD=__时，MF的长最小？最小值是___．
【题型7 由勾股定理确定在几何体中的最短距离】
【例7】（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面
均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C 处．若AB=3，BC=4，CC =5，则蚂蚁
1 1
爬行的最短路程是（ ）
A．√74 B．3√10 C．√89 D．12【变式7-1】（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为
10cm，底面圆的周长为32cm
(1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需
要爬行的最短路程是 cm；
(2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面3cm，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧
中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
【变式7-2】（2023春·全国·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，
如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在
正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD
上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是
cm
【变式7-3】（2023春·广东佛山·八年级统考期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦
平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略．
问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，如
何求最短路程呢？
(1)问题分析：蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，可以有几条路径？在图中画出来；(2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为18cm，高为12cm，蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到
点B，求最短路程；
②若圆柱体的底面圆的周长为24cm，高为4cm，蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，求最短路
程；
③若圆柱体的底面圆的半径为r，高为h，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，求最短路程．
【题型8 由勾股定理构造图形解决实际问题】
【例8】（2023春·吉林白城·八年级统考期末）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC
＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H
分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．【变式8-1】（2023春·全国·八年级期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学
校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红
旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高
度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到
距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高
度为（ ）
A．10m B．11m C．12m D．13m
【变式8-2】（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考期末）【问题探究】
1
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF= AE，并说明理由；
2
1
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求 AM+MC的最小值；
2
【问题解决】
(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离
为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每
千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最
小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)
【变式8-3】（2023·四川德阳·八年级校考期末）目前，某市正积极推进“五城联创”，其中扩充改造绿地
是推进工作计划之一.现有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为a＝9m和b＝12m，现要将此绿地
扩充改造为等腰三角形，且扩充部分包含以b＝12m为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长
为 .
