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专题 17.6 勾股定理章末八大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 勾股数的运用】..........................................................................................................................................1
【题型2 勾股树的探究】..........................................................................................................................................2
【题型3 由勾股定理在坐标系中求距离】..............................................................................................................3
【题型4 由勾股定理探究图形面积】......................................................................................................................5
【题型5 由勾股定理求线段长度】..........................................................................................................................6
【题型6 由勾股定理证明线段之间的关系】.........................................................................................................8
【题型7 勾股定理中的规律探究】..........................................................................................................................9
【题型8 由勾股定理求最值】................................................................................................................................11
【题型1 勾股数的运用】
【例1】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，
弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，
弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此
类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）（ ）
A．m2-1 B．2m+2 C．m2+1 D．2m+3
【变式1-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）下列各组a，b，c是勾股数的是（ ）
A．a=30，b=40，c=50 B． a=1，b=1，c= √2
C．a=√3，b=√4，c＝√5 D．a=7，b=14，c=15
【变式1-2】（2023春·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数
为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规
律；
3，4，5； 9，40，41；
5，12，13； ……；
7，24，25； a，b，c．(1)当a=11时，求b，c的值
(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【变式1-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，
这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即
c=a2+b2，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边数，则下面的结论：①m为正整数，则3m，
4m，5m为一组勾股数；②1，2，3是一组广义勾股数；③13是广义斜边数；④两个广义斜边数的和是广
义斜边数；⑤若a=2k2+2k,b=1+2k,c=2k2+2k+1，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；⑥
两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
【题型2 勾股树的探究】
【例2】（2023春·全国·八年级期中）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角
三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵
树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，
则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）
A．31 B．63 C．65 D．67
【变式2-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开
始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为
②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ．【变式2-2】（2023春·湖南长沙·八年级长郡中学校考期末）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，
其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律
长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S ，第二个正方形和第
1
二个直角三角形的面积之和为S ，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S ．
2 n
设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1）S = ．
1
（2）通过探究，用含n的代数式表示S ，则S = ．
n n
【变式2-3】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他
的左右肩上生出两个小正方形（如图1），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”
后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生
长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ．
【题型3 由勾股定理在坐标系中求距离】
【例3】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图，点P是平面坐标系内一点，则点P到原点的距离是
（ ）A．3 B．√2 C．2√2 D．√7
【变式3-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直面坐标系中有两点A(3,0)和B(0,4)，则这两
点之间的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【变式3-2】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而|4-1|=3；表示－3和2两点之间的距离是5：而
|-3-2|=5；表示-4和-7两点之间的距离是3，而|-4-(-7)|=3，一般地，数轴上表示数m和数n的
两点之间的距离公式为|m-n|．
（1）数轴上表示数-5的点与表示-2的点之间的距离为___；
【探索新知】如图1，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是化为求
Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．下面我们以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现： ， ，所以 ， ，所以由勾殿定理
D(-7,5) E(4,-3) DF=|5-(-3)|=8 EF=|4-(-7)|=11可得： ．
DE=√82+112=√185
（2）在图2中：设 ，试用 表示AB的长： ___．
A(x ,y ),B(x ,y ) x ,y ,x ,y AB=
1 1 2 2 1 1 2 2
得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”；
【学以致用】请用此公式解决如下问题：
（3）如图3，已知：A(2,1)，B(4,3)，C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．
请求出C点的坐标．
【变式3-3】（2023春·湖南·八年级期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点 、
A(x ,0)
1
的距离记作 ，如果 、 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角
B(x ,0) AB=|x -x | A(x ,y ) B(x ,y )
2 1 2 1 1 2 2
三角形来求AB间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM 、AN 和BM 、BN ，垂足
1 1 2 2
分别是 、 、 、 ，直线 交 于点Q，在 中， ， ，
M N M N AN BM Rt△ABQ AQ=|x -x | BQ=|y - y |
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
∴ AB2=AQ2+BQ2=|x -x | 2+|y - y | 2=(x -x ) 2+(y - y ) 2 ．
1 2 1 2 1 2 1 2
(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点 、 间的距离公式为： ______．
A(x ,y ) B(x ,y ) AB=
1 1 2 2
(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点A(1,-3)，B(-2,1)之间的距离为______．
利用上面公式解决下列问题：
(3)在平面直角坐标系中的两点A(0,3)，B(4,1)，P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值和此时点P的坐
标；(4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最小值（直接写出答案）．
√x2+(y-2) 2+√(x-3) 2+(y-1) 2
【题型4 由勾股定理探究图形面积】
【例4】（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AB=8，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCD．记△ACE的面积是S ，
1
△BCD的面积是S ，则S +S =（ ）
2 1 2
A．16 B．32 C．48 D．64
【变式4-1】（2023春·吉林四平·八年级统考期末）如果一个三角形，三条边的长度之比为3:4:5，且周长
为48cm，那么这个三角形的面积是（ ）
A．48cm2 B．96cm2 C．192cm2 D．220cm2
【变式4-2】（2023春·广西南宁·八年级校联考期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，
三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；
用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．
(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示
为 ，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ，结论②；图
(a+b) 2
3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ，结论③；
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式 ；结合结论②和结论③，可以得到一个等式 ；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S 、S 、S ，且S +S +S =20，求S 的值．
1 2 3 1 2 3 2
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边a=5，b=12，斜边c=13，
求图中阴影部分面积和．
【变式4-3】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）在△ABC中，AB=10，BC= 2√7，∠A=30°，则
△ABC的面积是 ．
【题型5 由勾股定理求线段长度】
【例5】（2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，△ABC的周长为4+2√5，其中
AB=4，BC=√5-√3．
(1)AC=______；
(2)判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由．
(3)过点A作AE⊥AB，AE=2√2，在AB上取一点D，使得DB=DE，求AD的长度．
【变式5-1】（2023春·山西太原·八年级校联考期中）如图，∠ACB=∠BDC=90°，且AB=13，
AC=12，BD=4，则DC的长度为（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【变式5-2】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，线段
AB，AC的垂直平分线交于点O，则OA的长度为 ．
【变式5-3】（2023春·重庆合川·八年级统考期末）如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=√29，D是AC上一点，连接BD，BD＝5，CD＝2．
(1)求证：ΔBDC是直角三角形；
(2)求AB边的长度．
【题型6 由勾股定理证明线段之间的关系】
【例6】（2023春·四川成都·八年级校联考期中）已知△ABC是等边三角形．
(1)如图1，△BDE也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：AD=CE；
(2)如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请证明结论DA2=DC2+DB2；
(3)如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13，DB=5√2，DC=7．试求∠BDC的度数．
【变式6-1】（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且
A(4,0)，点B在y轴上，且B(0,4)．
(1)求线段AB的长；
(2)若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AE+AF的值；
(3)在（2）的条件下，过点O作OM⊥EF，交AB于点M，试证明：AM2+BE2=EM2
【变式6-2】（2023春·河南鹤壁·八年级统考期末）亲爱的同学们，在全等三角形中，我们见识了很多线段关系的论证题，下面请你用本阶段所学知识，分别完成下列题目．
(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，
垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE；
(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，
CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．容易证明△ACD≌△BCE，则：
①∠AEB的度数为______；
②直接写出AE、BE、CM之间的数量关系．
(3)如图3，△ABC中，若∠A=90°，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求证：
BE2+CF2=EF2．
【变式6-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为y轴正半轴上
一点，点C为x轴正半轴上一点，AO=a，BO=b，CO=c,且a、b、c满足a=√a-b+√b-a+c有意义．
(1)若c=3，求AB=__________________；
(2)如图1，点P在x轴上（点P在点A左边），以PB为直角边在PB的上方作等腰直角三角形PDB，求证：
PA2+PC2=PD2；
(3)如图2，点M为AB中点，点E为射线OA上一点，点F为射线BO上一点，且∠EMF=90°，设AE=m，
BF=n，请求出EF的长度（用含m、n的代数式表示）．
【题型7 勾股定理中的规律探究】
【例7】（2023春·四川眉山·八年级统考期末）如图，△OA A 为等腰直角三角形，OA =1，以斜边
1 2 1
OA 为直角边作等腰直角三角形OA A ，再以OA 为直角边作等腰直角三角形OA A ，…，按此规律
2 2 3 3 3 4作下去，则OA 的长度为 ．
n
【变式7-1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数
a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+ y的值为
（ ）
a b c
3 4 5
8 6 10
15 8 17
24 10 26
… … …
x 14 y
A．67 B．34 C．98 D．73
【变式7-2】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一
串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA =A A =A A =⋯=A A =1，按此规律，在线段
1 1 2 2 3 7 8
OA ，OA ，OA ，⋯，OA 中，长度为整数的线段有 条．
1 2 3 10
【变式7-3】（2023春·江西南昌·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的
等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA →A A →A A →A A →A A …的路线运动，设第n秒运动到点P （n为正整数），则点P 的
1 1 2 2 3 3 4 4 5 n 2023
坐标是（ ）
A． B． C． D．
(2022,0) (2022,-√3) (2023,√3) (2023,-√3)
【题型8 由勾股定理求最值】
【例8】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）如图，已知∠MON=60∘，点P,Q为∠MON内的两个动
点，且∠POQ=30∘，OP=3，OQ=4，点A,B分别是OM,ON上的动点，则PA+AB+BQ的最小值是
（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【变式8-1】（2023春·贵州贵阳·八年级统考期中）如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4
和2，其中∠BAC=∠DAE=90°，M为边DE的中点．若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的
距离的最大值为 ．
【变式8-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，线段EF在边BC上左右滑动，若EF=1，则AE+DF的最小值为 ．
【变式8-3】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，
BC=2√2，点D在AC上，将△ABD沿BD折叠，点A落在点A 处，A B与AC相交于点E，则A E的最
1 1 1
大值为 ．
