文档内容
专题 17.6 勾股定理全章专项复习【3 大考点 8 种题型】
【人教版】
【考点1 探索勾股定理】..........................................................................................................................................1
【题型1 利用勾股定理求线段的长】......................................................................................................................1
【题型2 利用勾股定理求图形的面积】..................................................................................................................5
【题型3 勾股定理的证明】....................................................................................................................................10
【考点2 勾股定理的逆定理】................................................................................................................................15
【题型4 利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状】...............................................................................15
【题型5 勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用】...............................................................................19
【题型6 格点中勾股定理的应用】........................................................................................................................23
【考点3 勾股定理的应用】....................................................................................................................................27
【题型7 勾股定理在实际生活中的应用】...........................................................................................................27
【题型8 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】...............................................................................32
【考点1 勾股定理】
1.勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
如果直角三角形的两条直
直角三角形两直角
边的平方和等于斜 角边长分别为 ，斜边
边的平方
长为 ，那么 .
【题型1 利用勾股定理求线段的长】
【例1】（23-24八年级·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子OA长5米，荡到最高点D时秋干
离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段BC的长是4米，求秋千的起始位置距离地
面的高度（线段AB的长）．【答案】秋千的起始位置距离地面的高度为1米
【分析】本题考查了勾股定理的应用．作DE⊥OB于点E，在Rt△ODE中，利用勾股定理求得OE的
长，据此求解即可．
【详解】解：作DE⊥OB于点E，
∵OB⊥BC，CD⊥BC，
∴四边形BCDE是矩形，
∴DE=BC=4米，OD=OA=5米，CD=BE=3米，
在Rt△ODE中，OE=❑√OD2−DE2=3米，
∴AE=OA−OE=2米，
∴AB=BE−AE=1米，
答：秋千的起始位置距离地面的高度为1米．
【变式1-1】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，∠C=90°，AB∥CD，AB=5，CD=11，AC=8，
点E是BD的中点，则AE的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长AE交DC于点F，然后证明△ABE≌△FDE，得到AE=EF，DF=AB=5，然后利用勾股定理得到AF=10，然后解题即可．
【详解】解：延长AE交DC于点F，
∵点E是BD的中点，
∴BE=ED，
又∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，∠BAE=∠DFE，
∴△ABE≌△FDE，
∴AE=EF，DF=AB=5，
∴CF=DC−DF=11−5=6，
又∵∠C=90°，
∴AF=❑√AC2+CF2=❑√82+62=10，
1
∴AE=EF= AF=5，
2
故答案为：5．
【变式1-2】（23-24八年级·广东深圳·期末） 在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，E是CD边上一点，
连接BE，把△BEC沿BE翻折，点C恰好落在AD边上的F处，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，
BM交AD于点N，则NF的长度为（ ）
10 15
A．2❑√2 B． C．4 D．
3 4【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点N作NG⊥BF，可得AN=NG，设AN=NG=x
，勾股定理求出AF的长，表示出FN的长，等积法列出方程求出x的值即可．
【详解】解：过点N作NG⊥BF，
∵长方形ABCD，
∴∠A=90°，
∵BM平分∠ABF，
∴NA=NG，
由翻折可得BC=BF=10，
由勾股定理，得：AF=❑√BF2−AB2=6，
设AN=NG=x，
∴FN=AF−AN=6−x，
1 1
∵S = FN⋅AB= BF⋅NG，
△BNF 2 2
∴8(6−x)=10x，
8
解得：x= ，
3
8 10
∴FN=6− = ；
3 3
故选：B．
【变式1-3】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB=17，
AC=10．(1)若CD=6，则AD=___________，BD= ___________；
(2)若BC=20，求CD的长．
【答案】(1)8，15；
211
(2)CD= ．
40
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
（1）由勾股定理计算即可得出答案；
（2）设CD=x，则BD=20−x，由勾股定理得出102−x2=172−(20−x) 2，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AB=17，AC=10，CD=6，
∴AD=❑√AC2−CD2=❑√102−62=8，
∴BD=❑√AB2−AD2=❑√172−82=15．
故答案为：8，15；
（2）解：设CD=x，则BD=20−x，
∵AC2−CD2=AD2，AB2−BD2=AD2，
∴AC2−CD2=AB2−BD2，
∴102−x2=172−(20−x) 2，
211
解得x= ，
40
211
∴CD= ．
40【题型2 利用勾股定理求图形的面积】
【例2】（23-24八年级·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个
小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中
的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3
中阴影部分的面积
【答案】21
【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出AB=CD=2，从而得到
S =2，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解．
△ADC
【详解】解：如图，
根据题意得：BC=5,AC2=29，∠ABC=90°，AB=CD，
∴AB=❑√AC2−BC2=2，
∴CD=2，
1
∴S = CD×AB=2，
△ADC 2
∴阴影部分的面积为29−4×2=21．
故答案为：21
【变式2-1】（23-24八年级·广东汕头·期末）如图，△ABC中，AC=BC,CD平分∠ACB，交AB于点
D，延长BC至点E，使CE=BC，连接AE．(1)求证：CD∥AE；
(2)连接DE，若AC=5,AB=6，求△DCE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定，掌握等腰三角形的判定和性质是
解题的关键．
（1）根据等边对等角得到∠CAE=∠CEA，由外角的性质得到∠ACB=2∠CEA，再根据角平分线的定
义得到∠ACB=2∠BCD，既可以证得∠CEA=∠BCD，进而得到结论；
1
（2）根据三线合一得到CD⊥AB，DB= AB，然后根据勾股定理得到CD=4，然后利用S =S
2 △BDC △EDC
解题即可．
【详解】（1）证明：∵AC=BC，CE=BC，
∴AC=CE，
∴∠CAE=∠CEA，
∵∠ACB=∠CAE+∠CEA=2∠CEA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠BCD，
∴∠CEA=∠BCD，
∴CD∥AE；
（2）解：∵AC=BC，CD平分∠ACB，
1
∴CD⊥AB，DB= AB=3，AC=BC=5，
2
∴CD=❑√BC2−BD2=❑√52−32=4，
又∵CE=BC，
1 1
∴S =S = BD×CD= ×3×4=6．
△DCE △BDC 2 2【变式2-2】（23-24八年级·广东江门·期末）如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l 、l
1 2
、l 、l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为ℎ、ℎ、ℎ (ℎ >0，ℎ >0，ℎ >0)，若ℎ =5，
3 4 1 2 3 1 2 3 1
ℎ =2，则正方形ABCD的面积S等于 ．
2
【答案】74
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角
形是解题的关键．由“AAS”可证△ADN≌△BAH，可得BH=AN=5，AH=DN=5+2=7，由勾股定
理可求AD2，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作l 作BH⊥l 于H，过点D作DN⊥l 于N，
1 1 1
∴∠AHB=∠∧=90°=∠BAD
，
∴∠BAH+∠ABH=90°=∠BAH+∠DAN，
∴∠DAN=∠ABH，
∴△ADN≌△BAH(AAS)，
∴BH=AN=5，AH=DN=5+2=7，
∴AD2=AN2+DN2=25+49=74，
∴正方形ABCD的面积S等于74，
故答案为：74．
【变式2-3】（23-24八年级·山东威海·期末）如图，在长方形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=DC=6
，BC=AD=8．分别沿AE，AF折叠长方形，使点B，D分别落在AC边上的G，H处．连接EH，FG，
求FG和△GEH的面积．10
【答案】FG的长为 ，△GEH的面积为3
3
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，垂直平分线的性质和判定，以及等面积法求线段长，利
用勾股定理得到AC=10，再结合折叠性质得到GH=CH=2，FH⊥AC， 推出FH垂直平分CG，利用
8
等面积法求得HF=DF= ，进而得到FG=FC=DC−DF，再结合勾股定理求出¿=3，最后利用三角形
3
面积公式求解，即可解题．
【详解】解：∵ ∠B=∠D=90°，AB=DC=6，BC=AD=8．
∴ AC=❑√AB2+BC2= ❑√62+82=10，
由折叠得¿=BE，AG=AB=6，AH=AD=8，HF=DF，∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，
∴ CG=AC−AG=10−6=4，CH=AC−AH=10−8=2，∠CGE=90°，
∴ GH=CG−CH=4−2=2，
∴ GH=CH，
∵ FH⊥AC，FD⊥AD，
1 1 1
∴ S = AC⋅HF+ AD⋅DF= AD⋅DC，
△ACD 2 2 2
1 1 1
∴ ×10HF+ ×8HF= ×8×6，
2 2 2
8
∴ HF=DF= ，
3
∵ FH垂直平分CG，
8 10
∴ FG=FC=DC−DF=6− = ，
3 3
∵ GE2+CG2=CE2，且CE=8−BE=8−≥¿，
∴ GE2+42=¿¿，
解得¿=3，1 1
∴ S = ≥⋅GH= ×3×2=3，
△GEH 2 2
10
∴ FG的长为 ，△GEH的面积为3．
3
【题型3 勾股定理的证明】
【例3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，E是AD
上的一点，且DC=DE，连接BE，CE，并延长BE交AC于点F．
(1)求证：BE=AC；
(2)若BA=BC=13，求△CDE的周长；
(3)在Rt△BDE中，设DE=a，BD=b，BE=c，请借助本题提供的图形及相关信息，设EF=x，利用
△ABC的面积证明：a2+b2=c2．
【答案】(1)详见解析
(2)13
(3)详见解析
【分析】（1）证明△ACD≌△BED，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）证明∠1=∠2，再证明BF⊥AC．可得EA=EC．结合DA=DB，再进一步的利用周长公式计算即
可；
1 1 1 1 1 1
（3）先表示S = DC×DE= a2 ，S = DB×DA= b2 ．S = AC×EF= cx，
△CDE 2 2 △ADB 2 2 △AEC 2 2
1 1
S = AC×BF= c(c+x)．结合S =S +S +S ，可得结论；
△ABC 2 2 △ABC △ADB △CDE △AEC
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°．∵在△BDE和△ADC中，
{
BD=AD
)
∠BDE=∠ADC ，
DE=DC
∴△BDE≌△ADC(SAS)．
∴BE=AC．
（2）解：∵△BDE≌△ADC(SAS)，
∴∠1=∠2．（全等三角形的对应角相等）
∵∠ACD+∠2=90°，
∴∠ACD+∠1=90°，即∠BFC=90°．
∴BF⊥AC．
∵BA=BC，
∴BF是AC的中垂线．
∴EA=EC．
∵DA=DB，
∴△CDE的周长=DE+DC+CE=BD+DC=BC=13．
（3）解：∵△CDE和△ADB均为等腰直角三角形，1 1 1 1
∴S = DC×DE= a2 ，S = DB×DA= b2 ．
△CDE 2 2 △ADB 2 2
∵BF⊥AC，
1 1 1 1
∴S = AC×EF= cx，S = AC×BF= c(c+x)．
△AEC 2 2 △ABC 2 2
∵S =S +S +S ，
△ABC △ADB △CDE △AEC
1 1 1 1
∴ c(c+x)= b2+ a2+ cx．
2 2 2 2
1 1 1 1 1
即 c2+ cx= b2+ a2+ cx．
2 2 2 2 2
∴a2+b2=c2．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角的余角相等，勾股定理的证明方法，掌握全等三角形
的性质与判定是解题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级·江西赣州·阶段练习）如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由
四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为
a，b（b>a>0），斜边长为c．
（1）请利用图1验证勾股定理．
知识应用
（2）在图1中，若c=15，b=12，求小正方形的面积．
（3）小明按图2的方式把边长为3cm和2cm的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）❑√13cm
【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，利用勾股定理进行计算，算术平方根的应用，解题的关键
是数形结合．
（1）根据大正方形的面积的两种表示方法=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，列式证明即可；
（2）先根据勾股定理求出a=9，然后根据正方形的面积公式求解即可；
（3）根据两个图形的面积相等，求出图3中大正方形的面积，然后再求出边长即可．
【详解】（1）证明：∵大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，
1
∴c2=(b−a) 2+4× ab
2
=b2−2ab+a2+2ab
=b2+a2，
∴a2+b2=c2．
（2）由勾股定理得a=❑√c2−b2=❑√152−122=9，
∴小正方形的面积S=(12−9) 2=9．
（3）大正方形的面积为：32+22=9+4=13(cm2)，
大正方形的边长：❑√13cm．
【变式3-2】（15-16八年级·江苏泰州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其
中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以
用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．
1 1
证明：∵S ❑ =S +S = b2+ ab，
四边形 ADCB △ACD △ABC 2 2
1 1
又S四边形∴S ❑ =S +S = c2+ a(b−a)，
四边形 ADCB △ADB △DCB 2 2
1 1 1 1
∴ b2+ ab= c2+ a(b−a),∴a2+b2=c2 ．
2 2 2 2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b−a，仿照已知材
料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可．
【详解】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b−a．
1 1 1
∵S =S +S +S = ab+ b2+ ab
五边形ACBED △ACB △ABE △ADE 2 2 2
1 1 1
又∵S =S +S +S = ab+ c2+ a(b−a)，
五边形ACBED △ACB △ABD △BDE 2 2 2
1 1 1 1 1 1
∴ ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a(b−a)，
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
∴ ab+ b2+ ab= ab+ c2+ ab− a2 ，
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
∴
b2= c2− a2
，
2 2 2
∴b2=c2−a2，
∴a2+b2=c2．
【变式3-3】（23-24八年级·河南驻马店·期末）阅读下列材料，完成任务
我们知道，平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还
有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．任务：
(1)图1是由2个边长分别为a，b的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以
写出所表示的代数恒等式为______；
(2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的
大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．
(3)在Rt△ABC中，a，b为直角边长，c为斜边长，且a2−b2=28，a−b=2，求直角三角形的斜边长c．
【答案】(1)(a+b) 2=a2+2ab+b2
(2)见解析
(3)c=10
【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个矩形的面积和计算即可．
（2）根据正方形的面积不变性，三角形的面积公式计算证明即可．
（3）根据勾股定理，公式变形计算即可．
【详解】（1）解：根据正方形的面积等于边长的平方，得到正方形的面积为(a+b) 2；
结合图形，得到正方形的面积还等于a2+2ab+b2，
故(a+b) 2=a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b) 2=a2+2ab+b2．
1
（2）解：∵(a+b) 2=4× ab+c2 ，
2
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
（3）解：∵a2−b2=28，
∴(a+b)(a−b)=28∵a−b=2，
∴a+b=14
∴a=8，b=6，
∵a2+b2=c2，
∴c2=100，
∴c=10,c=−10（舍去）．
【点睛】本题考查了数学公式的几何表示，完全平方公式的几何意义，勾股定理的证明，计算应用，熟练
掌握公式和勾股定理是解题的关键．
【考点2 勾股定理的逆定理】
1.勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在 中， . 在 中， .
结论
勾股定理以“一个三角形是直角三 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边
角形”为条件，进而得到数量关系
满足 ”为条件，进而得到“这
区别
“ ”，即由“形”到 个三角形是直角三角形”，即由“数”到
“数” “形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系
【延伸】
设三角形的三边长分别为 （ 为最长边的长）.如果 ，那么这个三角形是直角三角形；如
果 ，那么这个三角形是钝角三角形；如果 ，那么这个三角形是锐角三角形.
【题型4 利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状】
【例4】（23-24八年级·陕西西安·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条
件：
①∠A=∠C−∠B；
②(a+b)(a−b)=c2；
③a=32，b=42，c=52；
④∠A:∠B:∠C=3:4:5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】∵∠A=∠C−∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
则①正确；
∵(a−b)(a+b)=c2，
∴a2−b2=c2，
即a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，
则②正确；
∵a2=92=81，b2=162=256，c2=252=625，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形．
则③不正确；
设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x，根据三角形内角和定理，得
3x+4x+5x=180°，
解得x=15°，
∴3x=45°，4x=60°，5x=75°，
∴△ABC不是直角三角形．
则④不正确．
正确的有2个．
故答案为：2．
【变式4-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足
(a−6) 2+❑√b−8+|c−10)=0，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非
负性，求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形，熟练掌握知识点的应用是
解题的关键．【详解】解：∵(a−6) 2+❑√b−8+|c−10)=0，
∴a−6=0，b−8=0，c−10=0，
∴a=6，b=8，c=10，
∴a2+b2=c2，
∴三角形的形状是直角三角形，
故选：D．
【变式4-2】（23-24八年级·全国·课后作业）三角形的三边长分别是2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1（其中n
为自然数），则此三角形的形状为 ．
【答案】直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理即可得．
【详解】(2n2+2n+1) 2−(2n2+2n) 2
=(2n2+2n+1+2n2+2n)⋅(2n2+2n+1−2n2−2n)
=4n2+4n+1
=(2n+1) 2
即(2n+1) 2+(2n2+2n) 2=(2n2+2n+1) 2，满足勾股定理的逆定理
则此三角形为直角三角形
又∵2n2+2n−(2n+1)=2n2−1≠0，即两直角边的边长不相等
则此直角三角形不是等腰直角三角形
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握并灵活运用逆定理是解题关键．
【变式4-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）若实数y的立方根为2，且实数x，y，z满足
❑√x−6+ y+(y−z+2) 2=8．
(1)求x+ y−2z的值；
(2)若x，y，z是△ABC的三边，试判断三角形的形状．
【答案】(1)−6
(2)△ABC是直角三角形．【分析】（1）根据立方根的定义和非负数的性质进行解答；
（2）根据等腰三角形的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵实数y的立方根是2，
∴y=8；
∵❑√x−6+ y+(y−z+2) 2=8，
∴❑√x−6+(8−z+2) 2=0，
∴x−6=0，8−z+2=0，
∴x=6，z=10，
∴x+ y−2z=6+8−20=−6；
（2）解：∵x2+ y2=36+64=100，z2=100，
∴x2+ y2=z2．
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】此题考查非负数的性质，立方根的定义，解题的关键是根据立方根的定义和非负数的性质得出
x，y，z的值．
【题型5 勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用】
【例5】（23-24八年级·四川成都·期末）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一动
点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE=AB，连接CE．
(1)若∠AED＝20°，则∠DEC＝ 度；
(2)若∠AED＝α，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
(3)如图2，延长EC到点H，连接BH2+CH2＝2AE2，连接AH与BE交于F，试探究BE与FH的关系．
【答案】(1)45
(2)∠AEC-∠AED=45°，证明见解析
(3)BE⊥FH，BE=2FH．【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE=140°，可得∠CAE=50°，由等腰三角形的性质可得
∠AEC=∠ACE=65°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE=180°-2α，可得∠CAE=90°-2α，由等腰三角形的性质可得
∠AEC=∠ACE=45°+α，可得结论；
（3）由条件得出∠BHC=90°，进而得出BH=EH，再结合AB=AE，得出AH垂直平分BE，进一步得出结
论．
【详解】（1）解：∵AB=AC，AE=AB，
∴AB=AC=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠ACE=∠AEC，
∵∠AED=20°，
∴∠ABE=∠AED=20°，
∴∠BAE=140°，且∠BAC=90°，
∴∠CAE=50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，
∴∠AEC=∠ACE=65°，
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=45°，
故答案为：45；
（2）猜想：∠AEC-∠AED=45°，
理由如下：∵∠AED=∠ABE=α，
∴∠BAE=180°-2α，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=90°-2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，且∠ACE=∠AEC，
∴∠AEC=45°+α，
∴∠AEC-∠AED=45°；
（3）解：BE⊥FH，BE=2FH．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC2=AB2+AC2=2AB2，
∵AE=AB，BH2+CH2=2AE2，
∴BH2+CH2=2AB2=BC2，
∴∠BHC=90°，由（2）得：∠DEC=45°，
∴∠HBE=45°，
∴BH=EH，
∵AB=AE，
∴AH垂直平分BE，
∴BE⊥FH，BE=2FH．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线判定等知识，解决
问题的关键熟练掌握等腰三角形和勾股定理逆定理等相关知识．
【变式5-1】（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，四边形ABCD中，
∠B=90°,AB=9m,BC=12m,CD=8m，AD=17m，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．108 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接AC，勾股定理求出AC的长，勾股定理逆定理得到△ACD
为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可．
【详解】解：连接AC，
∵∠B=90°,AB=9m,BC=12m,
∴AC=❑√92+122=15，
∵CD2+AC2=82+152=172=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
1 1
∴四边形ABCD的面积=S +S = ×9×12+ ×8×15=114m2 ；
△ABC △ACD 2 2
故选B．
【变式5-2】（23-24八年级·河北衡水·期末）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
(1)若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
(2)若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)60
【分析】（1）根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明；
（2）根据中点的定义求出AC，根据勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面积公式列式计算即
可求解．
【详解】（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD=8，CE=6，
∴AC=2CE=12，BC=2CD=16，
∵AB=20，
∴AB2=AC2+BC2，
∴ΔABC是直角三角形，
∴∠C=90°；
（2）∵E是边AC的中点，AE=6，
∴AC=2AE=12．
在RtΔACD中，∵∠C=90°，AC=12，AD=13，
∴CD=❑√AD2−AC2=❑√132−122=5，
∴BC=2CD=10，
1 1
∴ΔABC的面积= AC⋅BC= ×12×10=60．
2 2
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，线段中点的定义，三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定
理的逆定理是解本题的关键．
【变式5-3】（23-24八年级·广东河源·期末）（1）如图1，在△ABC中，AC=13，AD=5，CD=12，
BC=20，求△ABC的面积；（2）如图2，在△EFG中，EF=13，EG=20，FG=11，求△EFG的面积．
【答案】（1）126；（2）66
【分析】（1）根据勾股定理求出CD2+AD2=169，AC2=169，求出CD2+AD2=AC2，根据勾股定
理的逆定理得出△ADC是直角三角形，根据勾股定理求出BD，求出AB，再求出△ABC的面积即可；
（2）过点E作EM⊥FG，交GF的延长线于点M．设FM=x，则GM=11+x，根据勾股定理得出
EM2=EF2−FM2=EG2−GM2，代入求出x，再求出EM，最后求出△EFG的面积即可；
【详解】解：（1）∵ AC=13，AD=5，CD=12，
∴ CD2+AD2=122+52=169，AC2=132=169，
∴ CD2+AD2=AC2，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠BDC=90°，
由勾股定理得BD=❑√BC2−CD2=❑√202−122=16，
∴ AB=AD+BD=5+16=21，
1 1
∴ S = AB⋅CD= ×21×12=126．
△ABC 2 2
（2）如图，过点E作EM⊥FG，交GF的延长线于点M．设FM=x，则GM=11+x，
∵在Rt△FEM和Rt△GEM中，由勾股定理得EM2=EF2−FM2，EM2=EG2−GM2，
∴ EF2−FM2=EG2−GM2，
∴ 132−x2=202−(11+x) 2，
解得x=5，即FM=5，
∴ EM=❑√132−52=12，1 1
∴ S = FG⋅EM= ×11×12=66．
△EFG 2 2
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理的逆定理是
解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角
三角形．
【题型6 格点中勾股定理的应用】
【例6】（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，则
∠CBD+∠ABC＝ ．
【答案】45°
【分析】取格点E，连接BE、AE．利用勾股定理得到BE＝BD，根据等腰三角形的性质得出∠CBE＝
∠CBD．由勾股定理的逆定理以及AB＝AE证明△ABE是等腰直角三角形，进而求出∠CBD+∠ABC＝
45°．
【详解】解：如图，取格点E，连接BE、AE
由勾股定理得，BE2＝12+52＝26，BD2＝12+52＝26，
∴BE＝BD，
∵BC⊥ED，
∴∠CBE＝∠CBD
∵AB2＝22+32＝13，AE2＝22+32＝13，
∴AB2+AE2＝BE2，AB＝AE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝45°，∴∠CBD+∠ABC＝45°
故答案为：45°．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
【变式6-1】（23-24八年级·福建南平·期末）如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称
为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是
（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【分析】此题考查勾股定理及其逆定理，证明△DMN直角三角形，即可得到答案.
【详解】解：连接MN,DN,MD，
M N2=12+12=2,N D2=22+22=8,M D2=12+32=10，
∴M N2+N D2=M D2，
∴△DMN直角三角形，
∴点M符合题意，
用同样的方法证明其它点不符合要求，
故选：D
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c
（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： ．（填“能”或“不
能”．）【答案】能
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】由题意得
a2=12+12=2
b2=12+32=10
c2=22+22=8
∴a2+c2=b2
∴能构成直角三角形
故答案为：能．
【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式6-3】（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C
也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当
AB是斜边时有四个Rt△ABC，当AB是直角边时有2个Rt△ABC．
【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
【考点3 勾股定理的应用】
【题型7 勾股定理在实际生活中的应用】
【例7】（23-24八年级·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路MN北侧200米的点A处，小
红家位于小明家北500米（AC=500米）、东1200米（BC=1200米）点B处．
（1）求小明家离小红家的距离AB；
（2）现要在公路MN上的点P处建一个快递驿站，使PA+PB最小，请确定点P的位置，并求PA+PB的
最小值．
【答案】（1）AB=1300米；（2）见解析，1500米
【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的
最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，连接AB，由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
【变式7-1】（12-13八年级·湖北黄冈·期末）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．
如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF
方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间?
【答案】(1)A城会受台风影响
(2)6小时
【分析】本题考查勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC>200，则A城不受影响，否则受影
响；
（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于
AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受
台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】（1）解：由A点向BF作垂线，垂足为C，
1
在Rt△ABC中，∠ABC=30°,AB=320km，则AC= AB=160km，
2
因为160<200，所以A城会受台风影响；
（2）解：设BF上点D,G，使AD=AG=200千米，
∴△ADG是等腰三角形，
∵AC⊥BF，
∴AC是DG的垂直平分线，
∴CD=GC，
在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，
有勾股定理得，CD=❑√AD2−AC2=❑√2002−1602=120（千米）
则DG=2DC=240千米，
遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6小时
【变式7-2】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，在倾斜角为45°（即∠NMP=45°）的山坡MN上有
一棵树AB，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树CD的根部C处，已知AE=1m，AC=❑√18m．
(1)求这两棵树的水平距离CF；
(2)求树AB的高度．
【答案】(1)3m
(2)6m
【分析】（1）根据平行的性质，证得AF=CF，根据勾股定理即可求得．
（2）在Rt△CEF中，根据勾股定理即可解得．
【详解】（1）由题可知MP∥CF，∠F=90°
∴∠ACF=∠NMP=45°，
∴AF=CF
在Rt△ACF中，
CF2+AF2=AC2，
∴2CF2=18，
∴AF=CF=3（m）．
即这两棵树的水平距离为3m．
（2）在Rt△CEF中，
CE2=CF2+EF2
∴CE=❑√32+42=5，
∴AB=AE+CE=5+1=6（m）．
即树AB的高度为6m．
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用．
【变式7-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为
100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该
如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A
中学170米．一辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16．7m/s），请判断该车是否超
速，并说明理由．
【答案】(1)见解析，80米
(2)超速，见解析
【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出BD=60，然后利用勾股定理可求出新路
AD长度；
（2）先根据勾股定理求出DE的长，再求出BE的长，然后计算出速度判断即可．
【详解】（1）过点A作AD⊥l，交l于点D．
∵AB=AC，AD⊥l，BC=120
1 1
∴BD= BC= ×120=60，∠ADB=90°
2 2
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
由勾股定理得AD2+BD2=AB2
∵AB=100,BD=60，
∴AD=80∴新路AD长度是80米．
（2）该车超速
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
由勾股定理得AD2+DE2=AE2
∵AE=170，AD=80，
∴DE=❑√1702−802=150
∴BE=DE−DB=90
∵该车经过BE区间用时5s
90
∴该车的速度为 =18m/s
5
∵18m/s>16.7m/s
∴该车超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两
直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用
勾股定理进行求解．
【题型8 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】
【方法总结】立体图形表面的最短路线的一般解题步骤：
【例8】（23-24八年级·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行
到点B的最短路程为（ ）
A．❑√481dm B．20dm C．25dm D．35dm
【答案】C
【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形
后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[(2+3)×3) 2 =252，
解得：x=25(dm)．
故选：C．
【变式8-1】（23-24八年级·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm，
底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器
上沿2cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm．
【答案】10
【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作A关于EF的对
称点A′，连接A′B，过点B作BD⊥AE于点D，则A′B即为最短距离，A′B的长度即为所求，接下来结合
已知数据，根据勾股定理相信你可以求出A′B的长了．
本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
【详解】解：如图：作A关于EF的对称点A′，连接A′B，过点B作BD⊥AE于点D，则A′B即为最短距
离，∵高为13cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器
外壁且距离容器上沿2cm的点B处，
∴A′E=AE=13−7=6cm, DE=2cm，BD=6cm，
∴A′D=A′E+DE=8cm，
在Rt△A′DB中，A′B=❑√A′D2+BD2=❑√82+62=10(cm)，
故答案为：10．
【变式8-2】（23-24八年级·山东威海·期末）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，
若PA=❑√17米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）
米
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展
开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常
要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．
【详解】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，
此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程，
∵PA=❑√17米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，
∴PG=4米，∴AG=❑√PA2−PG2=❑√(❑√17) 2 −42=1（米），
∴BG=GA+AB=1+2=3（米），
∴PB=❑√GB2+PG2=❑√32+42=5（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是5米．
故选：C．
【变式8-3】（23-24八年级·山东日照·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距
离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】25
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段
最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之
间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
∵ B C
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=❑√BD2+AD2=❑√152+202=25；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵ B C
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=❑√BD2+AD2=❑√102+252=5❑√29；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵ B C
长方体的宽为10，高为20，点 离点 的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√302+52=5❑√37；
∵25<5❑√29<5❑√37，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25，
故答案为：25．
