文档内容
专题 17.6 勾股定理全章专项复习【3 大考点 8 种题型】
【人教版】
【考点1 探索勾股定理】..........................................................................................................................................1
【题型1 利用勾股定理求线段的长】......................................................................................................................1
【题型2 利用勾股定理求图形的面积】..................................................................................................................3
【题型3 勾股定理的证明】......................................................................................................................................4
【考点2 勾股定理的逆定理】..................................................................................................................................6
【题型4 利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状】.................................................................................6
【题型5 勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用】.................................................................................7
【题型6 格点中勾股定理的应用】..........................................................................................................................8
【考点3 勾股定理的应用】......................................................................................................................................9
【题型7 勾股定理在实际生活中的应用】..............................................................................................................9
【题型8 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】...............................................................................11
【考点1 勾股定理】
1.勾股定理
文字语言 符号语言 图示 变式 应用
如果直角三角形的两条直
直角三角形两直角
边的平方和等于斜 角边长分别为 ，斜边
边的平方
长为 ，那么 .
【题型1 利用勾股定理求线段的长】
【例1】（23-24八年级·安徽铜陵·期末）如图，在荡秋千时，已知绳子OA长5米，荡到最高点D时秋干
离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段BC的长是4米，求秋千的起始位置距离地
面的高度（线段AB的长）．【变式1-1】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，∠C=90°，AB∥CD，AB=5，CD=11，AC=8，
点E是BD的中点，则AE的长为 ．
【变式1-2】（23-24八年级·广东深圳·期末） 在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，E是CD边上一点，
连接BE，把△BEC沿BE翻折，点C恰好落在AD边上的F处，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，
BM交AD于点N，则NF的长度为（ ）
10 15
A．2❑√2 B． C．4 D．
3 4
【变式1-3】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB=17，
AC=10．(1)若CD=6，则AD=___________，BD= ___________；
(2)若BC=20，求CD的长．
【题型2 利用勾股定理求图形的面积】
【例2】（23-24八年级·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个
小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中
的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3
中阴影部分的面积
【变式2-1】（23-24八年级·广东汕头·期末）如图，△ABC中，AC=BC,CD平分∠ACB，交AB于点
D，延长BC至点E，使CE=BC，连接AE．
(1)求证：CD∥AE；
(2)连接DE，若AC=5,AB=6，求△DCE的面积．
【变式2-2】（23-24八年级·广东江门·期末）如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l 、l
1 2
、l 、l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为ℎ、ℎ、ℎ (ℎ >0，ℎ >0，ℎ >0)，若ℎ =5，
3 4 1 2 3 1 2 3 1
ℎ =2，则正方形ABCD的面积S等于 ．
2【变式2-3】（23-24八年级·山东威海·期末）如图，在长方形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=DC=6
，BC=AD=8．分别沿AE，AF折叠长方形，使点B，D分别落在AC边上的G，H处．连接EH，FG，
求FG和△GEH的面积．
【题型3 勾股定理的证明】
【例3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，E是AD
上的一点，且DC=DE，连接BE，CE，并延长BE交AC于点F．
(1)求证：BE=AC；
(2)若BA=BC=13，求△CDE的周长；
(3)在Rt△BDE中，设DE=a，BD=b，BE=c，请借助本题提供的图形及相关信息，设EF=x，利用
△ABC的面积证明：a2+b2=c2．
【变式3-1】（23-24八年级·江西赣州·阶段练习）如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由
四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为
a，b（b>a>0），斜边长为c．（1）请利用图1验证勾股定理．
知识应用
（2）在图1中，若c=15，b=12，求小正方形的面积．
（3）小明按图2的方式把边长为3cm和2cm的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方
形，则大正方形的边长是________．
【变式3-2】（15-16八年级·江苏泰州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其
中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以
用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．
1 1
证明：∵S ❑ =S +S = b2+ ab，
四边形 ADCB △ACD △ABC 2 2
1 1
又S四边形∴S ❑ =S +S = c2+ a(b−a)，
四边形 ADCB △ADB △DCB 2 2
1 1 1 1
∴ b2+ ab= c2+ a(b−a),∴a2+b2=c2．
2 2 2 2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．
【变式3-3】（23-24八年级·河南驻马店·期末）阅读下列材料，完成任务
我们知道，平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．
任务：
(1)图1是由2个边长分别为a，b的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以
写出所表示的代数恒等式为______；
(2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的
大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．
(3)在Rt△ABC中，a，b为直角边长，c为斜边长，且a2−b2=28，a−b=2，求直角三角形的斜边长c．
【考点2 勾股定理的逆定理】
1.勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在 中， . 在 中， .
结论
勾股定理以“一个三角形是直角三 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边
角形”为条件，进而得到数量关系
满足 ”为条件，进而得到“这
区别
“ ”，即由“形”到 个三角形是直角三角形”，即由“数”到
“数” “形”.
联系 两者都与三角形的三边有关系
【延伸】
设三角形的三边长分别为 （ 为最长边的长）.如果 ，那么这个三角形是直角三角形；如
果 ，那么这个三角形是钝角三角形；如果 ，那么这个三角形是锐角三角形.
【题型4 利用直角三角形的判定方法判断三角形的形状】
【例4】（23-24八年级·陕西西安·期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条
件：
①∠A=∠C−∠B；②(a+b)(a−b)=c2；
③a=32，b=42，c=52；
④∠A:∠B:∠C=3:4:5，其中可以判定△ABC是直角三角形的有 个．
【变式4-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足
，则三角形的形状是（ ）
(a−6) 2+❑√b−8+|c−10)=0
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【变式4-2】（23-24八年级·全国·课后作业）三角形的三边长分别是2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1（其中n
为自然数），则此三角形的形状为 ．
【变式4-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）若实数y的立方根为2，且实数x，y，z满足
．
❑√x−6+ y+(y−z+2) 2=8
(1)求x+ y−2z的值；
(2)若x，y，z是△ABC的三边，试判断三角形的形状．
【题型5 勾股定理及直角三角形的判定方法的综合应用】
【例5】（23-24八年级·四川成都·期末）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一动
点，且不与点A、点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE=AB，连接CE．
(1)若∠AED＝20°，则∠DEC＝ 度；
(2)若∠AED＝α，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
(3)如图2，延长EC到点H，连接BH2+CH2＝2AE2，连接AH与BE交于F，试探究BE与FH的关系．
【变式5-1】（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，四边形ABCD中，
∠B=90°,AB=9m,BC=12m,CD=8m，AD=17m，则四边形ABCD的面积为（ ）A．108 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2
【变式5-2】（23-24八年级·河北衡水·期末）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，
连接AD，BE．
(1)若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
(2)若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
【变式5-3】（23-24八年级·广东河源·期末）（1）如图1，在△ABC中，AC=13，AD=5，CD=12，
BC=20，求△ABC的面积；
（2）如图2，在△EFG中，EF=13，EG=20，FG=11，求△EFG的面积．
【题型6 格点中勾股定理的应用】
【例6】（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，则
∠CBD+∠ABC＝ ．
【变式6-1】（23-24八年级·福建南平·期末）如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是
（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c
（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： ．（填“能”或“不
能”．）
【变式6-3】（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C
也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【考点3 勾股定理的应用】
【题型7 勾股定理在实际生活中的应用】
【例7】（23-24八年级·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路MN北侧200米的点A处，小
红家位于小明家北500米（AC=500米）、东1200米（BC=1200米）点B处．（1）求小明家离小红家的距离AB；
（2）现要在公路MN上的点P处建一个快递驿站，使PA+PB最小，请确定点P的位置，并求PA+PB的
最小值．
【变式7-1】（12-13八年级·湖北黄冈·期末）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．
如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF
方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?
(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间?
【变式7-2】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，在倾斜角为45°（即∠NMP=45°）的山坡MN上有
一棵树AB，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树CD的根部C处，已知AE=1m，
AC=❑√18m．
(1)求这两棵树的水平距离CF；
(2)求树AB的高度．
【变式7-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．
(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该
如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A
中学170米．一辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16．7m/s），请判断该车是否超
速，并说明理由．
【题型8 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题】
【方法总结】立体图形表面的最短路线的一般解题步骤：
【例8】（23-24八年级·四川达州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行
到点B的最短路程为（ ）
A．❑√481dm B．20dm C．25dm D．35dm
【变式8-1】（23-24八年级·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm，
底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部7cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器
上沿2cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm．【变式8-2】（23-24八年级·山东威海·期末）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，
若PA=❑√17米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）
米
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式8-3】（23-24八年级·山东日照·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距
离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
