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专题 17.5 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想之七大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】............................................................................................1
【考点二 巧妙割补求面积】............................................................................................................................7
【考点三 结合乘法公式巧求面积或长度】..................................................................................................13
【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】..............................................................................................16
【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】...................................................21
【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】...................................................29
【考点七 实际问题中的方程思想】..............................................................................................................31
【典型例题】
【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】
例题：（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图， 的顶点 ， ， 在边长为1的正方形网格
的格点上，则 边上的高是 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知 ，且其边
上的高为 ，即可求出 ．由勾股定理可求出 ，设 边上的高为x，结合三角形面积公
式可列出关于x的方程，解出x的值即可．【详解】解：由图可知 ，且其边上的高为 ，
∴ ．
由图可知 ，
设 边上的高为x，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 边上的高是 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）若直角三角形两条直角边的长分别为3和6，则该直角三角形斜
边上的高为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理的和面积法的应用．由勾股定理求斜边，再由面积法求斜边上高即可．
【详解】解：由勾股定理该三角形的斜边为
设斜边上高为h，
由面积法
∴ ，
故答案为： ．
2．（2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，由四个边长为 的小正方形构成一个大正方
形，连接小正方形的三个顶点，可得到 ，则 中 边上的高是 ．【答案】
【分析】作 于 ，根据勾股定理求出 的长，再利用三角形的面积求出三角形的高 即可．
【详解】作 于 ,如图所示：
∵小正方形的边长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据题意得出 的面积等于正方形面积减去其他
个三角形的面积是解题的关键．
3．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图， 网格中每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均
为网格上的格点．(1) __________， __________， __________；
(2) 的形状为__________三角形；
(3)求 中 边上的高__________．
【答案】(1) ， ，
(2)直角
(3)
【分析】（1）本题主要考查网格中的勾股定理，直接计算即可求解．
（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形状，直接把三边长度分别平方，可以发现
即可判定三角形的形状．
（3）考查利用等面积法求斜边上的高，直接计算就可以求解．
【详解】（1）由题可知， ；
；
．
（2）解：∵ ， ， ；
∴ ；
∴ 为直角三角形．
（3）如下图，过点 作 的垂线，垂足为 ；
∴ ；
∵ 是直角三角形；∴ ；
∴ ；
∴ ．
4．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边
上高的长度之差．如图1， 中， 为 边上高，边 的“边高差”等于 ，记为 ．
(1)如图2，若 中， ， ， ， ，则 ______．
(2)若 中， ， ， ，则 ______；
(3)若 中， ， ， 边上的高为15，求 的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)13或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算；（1）根据等腰三角形的性质得出 ，求出 ，即可求出结果；
（2）作 于 ，根据勾股定理求出 ，根据三角形面积得出 ，求出
，即可求出结果；
（3）分两种情况画出图形，求出结果即可．
解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么
．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
．
故答案为：1．
（2）解：如图3中，作 于 ，
， ， ，
，
，
，
；
．
故答案为 ．
（3）解：如图4所示，，
，在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，
，
，
；
如图5所示，
，
．
综上所述， 为13或 ．
【考点二 巧妙割补求面积】
例题：（2023春·河南许昌·八年级校考期中）如图，在四边形 中，已知 ， ，
， ， ．(1)求证： 是直角三角形；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据 角的直角三角形的性质得到 ，再根据跟勾股定理的逆定理即可得证；
（2）根据勾股定理得到 ，再利用三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形；
（2）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴四边形 为 ．
【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理， 角的直角三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握
勾股定理的逆定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中 米， 米，
米， 米， ，求这块地的面积.【答案】24平方米
【分析】连接 ，根据勾股定理求出 米，根据 ， ，根
据直角三角形的面积公式求出结果即可．
【详解】解：如图，连接 ，如图所示：
， 米， 米，
米，
米， 米，
，
，
这块地的面积为：
（平方米）．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形
中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么 ．如果一个三角形的三条边a、b、c满足
，那么这个三角形为直角三角形．
2．（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）已知 ， ， 是 的三边，且 ， ，
．
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的面积．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见解析(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解： 是直角三角形．理由：
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 是直角；
（2）解： 的面积 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．（2023上·辽宁辽阳·八年级校联考阶段练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， 的顶
点在格点上．
(1)直接写出三角形的周长______，面积______．
(2)直接写出 边上的高 ______．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；
（2）利用面积法，进行计算即可解答．
【详解】（1）由题意得：
，
，
，∴ ；
故周长为： ；
的面积为： ，
故答案为： ， ；
（2）设 边上的高为h，
∵ 的面积为
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理和面积法，熟练掌握利用面积法构造方程求出未知元素是解题的关键．
4．（2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)求线段 与 的长；
(2)求四边形 的面积；
(3)求证： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）运用分割法解答即可；（3）连接 ，根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】（1）∵每个小正方形的边长都为1，
∴ ，
（2）
（3）连接 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 为斜边，
∴ ．
【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答．
5．（2023上·河南周口·八年级校考期中）知识回顾：如图①， 中， ， ， 为角平
分线， ， ．
（1）若 ，则 ， 的数量关系是 ；
发现问题：
（2）若 ，则 ，猜测 ， ， ， 之间有何关系？
大胆探究：
如图②，假设 ， ， ， ，过点 分别向 ， 作垂线，垂足分别是 ， ，
，过点 作 ，垂足为 ， ．（3）用含有 ， ， 的式子的最简结果填空： ， ，则 ；
（4）用含有 ， ， 的式子的最简结果填空： ， ，则 ；
（5）由上述（3），（4）推导过程可以得出，如图①，当 平分 时， ；
（6）小试牛刀：如图③， 中， ， ， ， 平分 ，点 是 的中
点，请直接写出 的面积．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ， ；（4） ， ， ；（5） ；（6）
【分析】（1）由等腰三角形三线合一即可解答；
（2）可进行合理猜测；
（3）由三角形面积公式即可解答；
（4）由三角形面积公式即可解答；
（5）根据（3）（4）中的结论和等量代换即可解答；
（6）先由勾股定理求出 ，再由（5）中结论可得 ，根据面积公式可得
，再由三角形中线可将三角形面积分为相等的两部分即可求解．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ 为角平分线，
∴ 为 边上的中线，
∴ 即 ，
故答案为： ；（2） ， ， ， 的数量关系为： ；
（3） ， ，
∴ ，
故答案为： ， ， ；
（4） ， ，
∴ ，
故答案为： ， ， ；
（5）由上述（3），（4）推导过程可以得出，如图①，当 平分 时，
， ，
∴ 即 ，
故答案为： ；
（6）∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形三线合一，角平分线的性质，根据题目引导由三角形面积相等推
理得出结论．
【考点三 结合乘法公式巧求面积或长度】
例题：已知在 中， 所对的边分别为a，b，c，若 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知， 的面积为 ，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可
【详解】
解： 中， 所对的边分别为a，b，c，
∵
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是完全平方公式的变形．
【变式训练】
1．在 中，AD是BC边上的高， ，则 的面积为（ ）
A．18 B．24 C．18或24 D．18或30
【答案】D
【解析】
【分析】
由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可．
【详解】解：在Rt△ABD中，
由勾股定理得：BD= =12，
在Rt△ACD中，
由勾股定理得：CD= = ，
分两种情况：
①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC=12+3=15，
则△ABC的面积= BC×AD= ×15×4=30；
②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC=12-3=9，
则△ABC的面积= BC×AD= ×9×4=18；
综上所述，△ABC的面积为30或18，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
3．直角 三边长分别是x， 和5，则 的面积为__________．
【答案】6或30
【解析】
【分析】
根据 是直角三角形，则在 中分类讨论，运用勾股定理即可求出答案．【详解】
解： 是直角三角形，则在 中即可运用勾股定理，不确定 与 哪一个大，所以讨论：
（1）若 ，则存在 ，
解得 ，
；
（2）若 ，则 ，
解得
．
的面积为6或30．
故答案为：6或30．
【点睛】
本题主要考查直角三角形中勾股定理的应用，本题中讨论 与 的大小是解题的关键．
【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】
例题：（2023·广西柳州·校考一模）如图， ，正方形 和正方形 的面积分别是289
和225，则以 为直径的半圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出 ，再求半圆的面积即可．
【详解】解：∵正方形 和正方形 的面积分别是289和225，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴以 为直径的半圆的面积为： ；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图中字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．25
【答案】D
【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得出结果．
【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积
和等于以斜边为边长的正方形的面积，
∴字母A所代表的正方形的面积为： ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的
关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能
否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
2．（2023春·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ，分别以 的三
条边分别作等腰直角三角 ， ， ，若它们的面积分别表示为 ， ， ，则 ， ，
的关系是（ ）A． B．
C． D． ， ， 无等量关系
【答案】B
【分析】根据勾股定理可得 ，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式进行分析即可
求解．
【详解】解：∵ 中， ，
故 ；
∵ 是等腰直角三角形， 是斜边，
∴ ，
则 ，
∴
故 ，
同理， ， ，
∵ ，
则 ，
即 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 ，正方形A的面积是 的面积是 的面积是 ，则 的
面积为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积
，由此即可解决问题．
【详解】解：如图记图中三个正方形分别为 、 、 ．
根据勾股定理得到：A与 的面积的和是 的面积； 与 的面积的和是 的面积；而 的面积的和是
的面积．
即A、 、 、 的面积之和为 的面积．
的面积是 ，
、 、 、 的面积之和为 ，设正方形 的面积为 ，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形 的面积和即是最大正方形 的面
积是解题的关键．
4．（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，
图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若 ， ，则图中阴影部分的面积为
．【答案】6
【分析】根据勾股定理求出 ，分别求出三个半圆的面积和 的面积，两小半圆与直角三角形的和
减去大半圆即可得出答案．
【详解】解：在 中 ， ， ，
由勾股定理得：
，
阴影部分的面积为：
，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．利用规则图形面积的和差关系求阴影
面积是这类题型的关键．勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一．
5．（2023上·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西
方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国
汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至
今．
(1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定
理．
(2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为 ，请猜想的等量关系，并证明你的结论．
(3)拓展应用：如图， 中， ，分别以 的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：
、 、 ，若图中阴影部分的面积 ， ， ，则 ．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
(3)
【分析】本题考查勾股定理的证明及运用；
（1）通过三个直角三角形的面积等于大直角梯形的面积可以推导出勾股定理；
（2）由题意得 ，可得 ；
（3） 分别交 、 于点 、点 ，设 ， ， ， ，
，由 ，可得 ，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：由题意得 ，
，
，
；
（2）解： ，理由如下，
如图，，
∵ ，
∴ ；
（3）解：如图， 分别交 、 于点 、点 ，
∵ ， ， 均是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
设 ， ， ， ， ，
∵ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ．
故答案为： ．【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】
例题：（2023春·河南许昌·八年级统考期中）已知直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将
按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图形翻折变换的性质可知， ，设 ，则 ， ，再 中利
用勾股定理即可求出 的长度．
【详解】解：∵△ADE翻折后与 完全重合，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵在 中， ，
即 ，
解得， ，
∴ ．
故选：B
【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性
质，折叠前后图形的形状和大小不变．
【变式训练】
1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片， ，
将斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】利用勾股定理求得 ，由折叠的性质可得 ， ，求得 ，设
，则 ，根据勾股定理可得 ，进而求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质得， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023上·宁夏银川·八年级银川九中校考期中）如图，在 中， ， ，
，按图中所示方法将 沿 折叠，使点C落在边 的 点．
(1)求 的长度；
(2)求 的面积．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形的面积；
（1）由勾股定理得 ，设 ，由折叠的性质得 ，从而可得
， ，再由勾股定理得 ，即可求解；
（2）由三角形面积公式得 ，即可求解；
掌握折叠的性质，将相关线段长转移到一个直角三角形中，用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】（1）解：在 中，
，
设 ，
由折叠得： ，
，
，
，
，
，
在 中，
，
即： ，
解得： ，
故 的长度 ；（2）解：
( )
故 的面积为 ．
3．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，将长方形纸片 折叠，使点D与点B重合，点C
落在点 处，折痕为 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)10
【分析】（1）根据翻折变换的性质得 ，由平行线的性质得 ，可得
，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）根据勾股定理列出关于线段 的方程即可解决问题．
【详解】（1）由翻折变换的性质得： ，
∵四边形 为矩长方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）由翻折变换的性质得：BE＝DE，
设 ，则 ，
由勾股定理得：
，解得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识．解题的关键
是翻折变换的性质、勾股定理等知识点来解题．
4．（2023上·四川成都·八年级统考期末）如图，在 中， ，把 沿直线 折叠，点
与点 重合．
(1)若 ，则 的度数为 ；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)当 的周长为 ， ，求 的面积 用含 、 的代数式表示
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由折叠的性质得到 ，再根据三角形内角和定理得到 ，由此即可
得到答案；
（2）由折叠的性质可得 ，则 ，勾股定理得 ，设 ，则
，由勾股定理得 ，解方程即可得到答案；
（3）根据三角形周长公式得到 ，由折叠的性质得 ，由此得到 ，再
根据三角形面积公式得到 ，利用勾股定理推出 ，则．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：由折叠的性质可得 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：∵ 的周长为 ，
∴ ，
由折叠的性质得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．（2023上·福建三明·八年级统考期末）如图，在 中， ，点E，F在边 上，将边
沿 翻折，使点A落在 上的D点处，再将边 沿 翻折，使点B落在 的延长线上的点 处．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求线段 的长；
(3)在（2）的条件下，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由折叠可得， ， ，再根据 ，
即可得出 ；
（2）在 中，根据勾股定理可得 ；（3）设 ，则 ，根据勾股定理可得 ，即 ，求得
，即可得出 ．
【详解】（1）由折叠可得， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）由折叠可得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ；
（3）结合（2），设 ，则 ，
∵在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
解得
∴ ．
【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键．
【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】
例题：已知：如图，在 中， 是 的角平分线， ，则 ____．【答案】6
【分析】作 ，如图，根据角平分线的性质可得 ，勾股定理求出 ，证明
，推出 ，设 ，根据勾股定理列出方程即可求出 ．
【详解】解：作 于点E，如图，
∵在 中， 是 的角平分线， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在直角三角形 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，
即 ；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，熟
练掌握上述知识，利用勾股定理得出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．如图，在 和 中， ， ， ，延长 ， 交于点 ．(1)求证：点A在 的平分线上；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接 ，证明 ，可得 ，根据角平分线的判定即可解决问题；
（2）证明 ，设 ，所以 ，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
，
，
， ，
平分 ，
点 在 的平分线上；
（2）解： ，
，
，
，
设 ，
，
在 中， ，，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理，解决本题的关键是得到
．
【考点七 实际问题中的方程思想】
例题：（2023上·河南郑州·八年级校考期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水
池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的
水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？
【答案】水的深度是15米，芦苇长为17米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理构造方
程求解即可．
【详解】解：设水池里水的深度是x米，则芦苇长为 米，
由题意得， ，
解得： ，
，
答：水池里水的深度是15米，芦苇长为17米
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距
离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【答案】C
【解析】
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝ CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
2．（2022·河南·金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰
好是竿长的 倍．问门高、门宽各为多少？
【答案】门高为7尺，门宽为1尺．
【解析】
【分析】
设竿的长度为x尺，则门高为（x+2）尺，门宽为（x-4）尺，利用勾股定理，即可得出关于x的方程，解之
即可得出x的值即可得出结论．
【详解】
解：设竿的长度为x尺，则门高为（x+2）尺，门宽为（x-4）尺，
依题意得：
化简得：4x=20，
解得： ．
答：门高为7尺，门宽为1尺．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点
A，B，其中 ，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个
取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得 千米， 千米， 千
米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．
【答案】(1)CH是从村庄C到河边的最近路； 理由见解析；(2)原来的路线AC的长为1.25千米．
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理证明△CHB是直角三角形即可；
（2）设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2， 再根据勾股定理解答即可．
(1)
解：是， 理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△CHB是直角三角形，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
(2)
设AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-0.9）2+1.22，
解这个方程，得x=1.25，
答：原来的路线AC的长为1.25千米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
4．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所．如图是公园内一个滑
梯的示意图，左边是楼梯，中间是过道，右边是滑道，已知滑道 与 的长度一样，滑梯的高度
， ．(1)要想求 的长度，我们可以设 为 ，则 ______；
(2)请求出滑梯 的长度．
【答案】(1)
(2)滑道 的长度为
【分析】本题主要考查了列代数式，勾股定理；
（1）根据 ， ，求出 的长度即可；
（2）根据勾股定理求出结果即可；
解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么
．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：由题意得： ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
答：滑道 的长度为 ．
5．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子
的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是
1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之
间的距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度 为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．(1)依题知 米，用含有x的式子表示 为 米；
(2)请你求出旗杆的高度．
【答案】(1)5；
(2)12米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题
型．
（1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长
度是1米”填空；
（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为 米，根据
勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】（1）解：根据题意知： 米， 米．
故答案为：5； ；
（2）解：在直角 中，由勾股定理得：
，
即 ．
解得 ．
答：旗杆的高度为12米．
