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专题 17.5 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想之七大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】............................................................................................1
【考点二 巧妙割补求面积】............................................................................................................................7
【考点三 结合乘法公式巧求面积或长度】..................................................................................................13
【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】..............................................................................................16
【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】...................................................21
【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】...................................................29
【考点七 实际问题中的方程思想】..............................................................................................................31
【典型例题】
【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】
例题：（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图， 的顶点 ， ， 在边长为1的正方形网格
的格点上，则 边上的高是 ．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）若直角三角形两条直角边的长分别为3和6，则该直角三角形斜
边上的高为 ．
2．（2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校校考期中）如图，由四个边长为 的小正方形构成一个大正方
形，连接小正方形的三个顶点，可得到 ，则 中 边上的高是 ．3．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图， 网格中每个小正方形的边长都为 ， 的顶点均
为网格上的格点．
(1) __________， __________， __________；
(2) 的形状为__________三角形；
(3)求 中 边上的高__________．
4．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边
上高的长度之差．如图1， 中， 为 边上高，边 的“边高差”等于 ，记为 ．
(1)如图2，若 中， ， ， ， ，则 ______．(2)若 中， ， ， ，则 ______；
(3)若 中， ， ， 边上的高为15，求 的值．
【考点二 巧妙割补求面积】
例题：（2023春·河南许昌·八年级校考期中）如图，在四边形 中，已知 ， ，
， ， ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)求四边形 的面积．
【变式训练】
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中 米， 米，
米， 米， ，求这块地的面积.
2．（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）已知 ， ， 是 的三边，且 ， ，．
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的面积．
3．（2023上·辽宁辽阳·八年级校联考阶段练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， 的顶
点在格点上．
(1)直接写出三角形的周长______，面积______．
(2)直接写出 边上的高 ______．
4．（2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)求线段 与 的长；
(2)求四边形 的面积；
(3)求证： ．5．（2023上·河南周口·八年级校考期中）知识回顾：如图①， 中， ， ， 为角平
分线， ， ．
（1）若 ，则 ， 的数量关系是 ；
发现问题：
（2）若 ，则 ，猜测 ， ， ， 之间有何关系？
大胆探究：
如图②，假设 ， ， ， ，过点 分别向 ， 作垂线，垂足分别是 ， ，
，过点 作 ，垂足为 ， ．
（3）用含有 ， ， 的式子的最简结果填空： ， ，则 ；
（4）用含有 ， ， 的式子的最简结果填空： ， ，则 ；
（5）由上述（3），（4）推导过程可以得出，如图①，当 平分 时， ；
（6）小试牛刀：如图③， 中， ， ， ， 平分 ，点 是 的中
点，请直接写出 的面积．
【考点三 结合乘法公式巧求面积或长度】
例题：已知在 中， 所对的边分别为a，b，c，若 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．【变式训练】
1．在 中，AD是BC边上的高， ，则 的面积为（ ）
A．18 B．24 C．18或24 D．18或30
3．直角 三边长分别是x， 和5，则 的面积为__________．
【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】
例题：（2023·广西柳州·校考一模）如图， ，正方形 和正方形 的面积分别是289
和225，则以 为直径的半圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图中字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．25
2．（2023春·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ，分别以 的三
条边分别作等腰直角三角 ， ， ，若它们的面积分别表示为 ， ， ，则 ， ，
的关系是（ ）A． B．
C． D． ， ， 无等量关系
3．（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中最大的正方形的边长为 ，正方形A的面积是 的面积是 的面积是 ，则 的
面积为 ．
4．（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，
图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若 ， ，则图中阴影部分的面积为
．
5．（2023上·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西
方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国
汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至
今．(1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定
理．
(2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为 ，请猜想
的等量关系，并证明你的结论．
(3)拓展应用：如图， 中， ，分别以 的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：
、 、 ，若图中阴影部分的面积 ， ， ，则 ．
【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】
例题：（2023春·河南许昌·八年级统考期中）已知直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将
按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片， ，
将斜边 翻折，使点B落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．3
2．（2023上·宁夏银川·八年级银川九中校考期中）如图，在 中， ， ，
，按图中所示方法将 沿 折叠，使点C落在边 的 点．
(1)求 的长度；
(2)求 的面积．
3．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，将长方形纸片 折叠，使点D与点B重合，点C
落在点 处，折痕为 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的面积．4．（2023上·四川成都·八年级统考期末）如图，在 中， ，把 沿直线 折叠，点
与点 重合．
(1)若 ，则 的度数为 ；
(2)若 ， ，求 的长；
(3)当 的周长为 ， ，求 的面积 用含 、 的代数式表示
5．（2023上·福建三明·八年级统考期末）如图，在 中， ，点E，F在边 上，将边
沿 翻折，使点A落在 上的D点处，再将边 沿 翻折，使点B落在 的延长线上的点 处．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求线段 的长；
(3)在（2）的条件下，求 的面积．【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】
例题：已知：如图，在 中， 是 的角平分线， ，则 ____．
【变式训练】
1．如图，在 和 中， ， ， ，延长 ， 交于点 ．
(1)求证：点A在 的平分线上；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【考点七 实际问题中的方程思想】
例题：（2023上·河南郑州·八年级校考期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水
池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的
水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？
【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距
离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
2．（2022·河南·金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不
知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰
好是竿长的 倍．问门高、门宽各为多少？
3．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点
A，B，其中 ，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个
取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得 千米， 千米， 千
米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．
4．（2023上·江苏盐城·八年级统考期中）大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所．如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中间是过道，右边是滑道，已知滑道 与 的长度一样，滑梯的高度
， ．
(1)要想求 的长度，我们可以设 为 ，则 ______；
(2)请求出滑梯 的长度．
5．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子
的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是
1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之
间的距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度 为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
(1)依题知 米，用含有x的式子表示 为 米；
(2)请你求出旗杆的高度．
