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专题17.5 勾股定理（直通中考）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2017·湖南娄底·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B
（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标
是（ ）
A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，
渔船从B点出发由西向东航行10 到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛
A的距离为（ ）
A． B． C．20 D．
3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在 中， ，点 在边 上，
且 平分 的周长，则 的长是（ ）A． B． C． D．
4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在 中， ， ，
，点 为 边上的中点， 交 的延长线于点 ， 交 的延长线于点 ，且
．若 ，则 的面积为（ ）
A．13 B． C．8 D．
5．（2023·山西·统考中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房
的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点 均为正六
边形的顶点．若点 的坐标分别为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．6．（2023·四川泸州·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股
数 ， ， 的计算公式： ， ， ，其中 ， ， 是互质的奇数．
下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
7．（2022·湖北荆门·统考中考真题）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在
A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为（ ）
A．20 B．60 C．30 D．30
8．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小
正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
9．（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案
中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 ．若 ， ，
则点 到 的距离为（ ）A． B． C．1 D．2
10．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿
过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与
AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在 中， ，D为AC上
一点，若 是 的角平分线，则 ．
12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在 中， ， 是 边的中线，若 ，
，则 的长度为 ．13．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形 中， ．连接 ，在 和
上分别截取 ，使 ．分别以点E和点F为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交
于点G．作射线 交 于点H，则线段 的长是 ．
14．（2023·江苏·统考中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、
衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台
扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 （精确到个位，参考数据： ）．
15．（2022·西藏·统考中考真题）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：（1）分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大
于 GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB
＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 ．
16．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在Rt ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，
△
C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为
．
17．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，
经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，
弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，
17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
18．（2022·四川遂宁·统考中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该
直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一
棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，
则第六代勾股树中正方形的个数为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 个单位
长度，线段 和线段 的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出 ，且 为钝角（点 在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段 向下平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度后得到线段 （点
的对应点是点 ，点 的对应点是点 ），连接 ，请直接写出线段 的长．
20．（8分）（2023·湖南·统考中考真题）如图， ， ， ，垂足分别为 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．21．（10分）（2021·四川攀枝花·统考中考真题）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国
时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角
三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为
c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．
22．（10分）（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在 中， ， ，
是 边上的一点，以 为直角边作等腰 ，其中 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 时，求 的长．23．（10分）（2020·湖南株洲·中考真题）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全
巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线 ，点
A、B分别在 、 上，斜坡AB的长为18米，过点B作 于点C，且线段AC的长为 米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚 为60°，过点M作
于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
24．（12分）（2019·湖北省直辖县级单位·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC
的顶点坐标分别为O（0,0），A（12,0）,B（8,6）,C（0,6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的
速度沿边向OA终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．
设运动的时间为t秒，PQ =y．
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ；
（2）当PQ=3 时，求t的值；
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线 经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
参考答案：
1．B
解：∴AO=3，BO=4，
∴AB=AB′=5，故OB′=8，
∴点B′的坐标是（8，0）．
故选：B．
2．D
【分析】连接 ，此题易得 ，得 ，再利用勾股定理计算 即可．
解：连接 ，
由已知得： ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ （ ），
故选：D
【点拨】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计
算．3．C
【分析】如图所示，过点B作 于E，利用勾股定理求出 ，进而利用等面积法求出
，则可求出 ，再由 平分 的周长，求出 ，进而得到 ，则由
勾股定理得 ．
解：如图所示，过点B作 于E，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 的周长，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4．D
【分析】依据题意，连接 ，然后先证明 ，从而 ，又由等腰 可得 ，从而在 中可以求得 ，又 ，从而可得 的值，进而可以得解．
解：如图，连接 ．
在 中， ，
，点 为 边上的中点，
， ， ， ．
．
， ，
， ．
．
又 ， ，
．
， ．
在 中， ．
在 中， ．
又在 中， ，
．
．
．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵
活运用是关键．
5．A【分析】连接 ，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得
点M的坐标．
解：连接 ，如图，设正六边形的边长为a，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点P的坐标为 ，
∴ ，
即 ；
∴ ， ，
∴点M的坐标为 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，
掌握这些知识是解题的关键．
6．C
【分析】首先证明出 ，得到a，b是直角三角形的直角边然后由 ， ， 是互质的
奇数逐项求解即可．解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴a，b是直角三角形的直角边，
∵ ， 是互质的奇数，
∴A． ，
∴当 ， 时， ， ， ，
∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；
B． ，
∴当 ， 时， ， ， ，
∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；
C． ， ，
∵ ， 是互质的奇数，
∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；
D． ，
∴当 ， 时， ， ， ，
∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股数的应用，通过 ， ， 是互质的奇数这两个条件去求得符合题意
的t的值是解决本题的关键．
7．C
【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算即可求解．
解：在Rt ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝30，
∴∠B＝∠A△＝45°，∴BC＝AC＝30，
∴AB＝ ，
故选：C
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长度是解此题的关键．
8．B
【分析】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解．
解：图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是 ．
故选B．
【点拨】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．
9．B
【分析】根据题意求得 ，进而求得 ，进而等面积法即可求解．
解：在 中，
， ，
，
，
设 到 的距离为 ，
，
，
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，
继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+（3-x）2 =x2，
解得
即AE=
故选A
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
11．5
【分析】首先证明 ， ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方程
即可解决问题．
解：如图，过点D作 的垂线，垂足为P，
在 中，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．4
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．
解：∵在 中， ， 是 边的中线，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
故答案为：4．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．
13． /
【分析】过H作 于Q，再根据角平分线的性质和勾股定理列方程求解．
解：设 ，
过H作 于Q，
在矩形 中， ，
∴ ，
由作图得： 平分 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，有 ，
即： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了基本作图，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
14．
【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．
解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，
则 ， ，
在 中， ，
即
∵这台扫地机能从角落自由进出，
∴这台扫地机的直径不小于 长，
即最小时为 ，
解得： （舍）， ，
∴图中的x至少为 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．
15．
【分析】根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠AOB
的平分线，利用线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质的求解即可．
解：如图所示：
根据题意可知：EF是线段AB的垂直平分线，AO是∠BAC的平分线，
∵AB=6，∠BAC=60°，
∴∠BAO=∠CAO= ∠BAC=30°，AD= AB=3，
∴AM=2MD，
在Rt△ADM中， ，
即 ，
∴MD= ，∵AM是∠AOB的平分线，MD⊥AB，
∴点M到射线AC的距离为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是
理解题意灵活运用基本作图的知识解决问题．
16．
【分析】利用勾股定理求出AC，再利用线段的垂直平分线的性质求出AD．
解：在Rt ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，
△
∴AC= = =4 ，
由作图可知，PQ垂直平分线段AC，
∴AD=DC= AC=2 ，
故答案为：2 ．
【点拨】本题考查作图﹣基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂
图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
17．m2+1
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
【点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18．127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点拨】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
19．（1）画图见分析；（2）画图见分析，
【分析】（1）找到 的格点的 ，使得 ，且 ，连接 ，则 即为所
求；
（2）根据平移画出 ，连接 ，勾股定理即可求解．
（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， ， 即为所求；
．
【点拨】本题考查了平移作图，勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）利用“ ”可证明 ；
（2）先利用全等三角形的性质得到 ，再利用勾股定理计算出 ，从而得到 的长，然后计算 即可．
解：（1）证明： ， ，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： ，
，
在 中， ，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段
和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
21．见分析
【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积证明即可
解：由题意得大正方形面积 ，小正方形面积 ，
4个小直角三角形的面积 ，
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于能够根据题意知晓大正方形的面积=小正
方形的面积+4个直角三角形的面积．
22．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得 ，进而证明 ，即
可根据 证明 ；
（2）勾股定理求得 根据已知条件证明 是等腰三角形可得 ，进而根据即可求解．
解：（1）证明： 是等腰直角三角形，
，
，
，
在 与 中
；
，
（2）在 中， ， ，
,
,
,
,
,
∴∠ADC=∠ACD，
,
．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角
形的性质与判定是解题的关键．
23．（1） ；（2）2米
【分析】（1）运用勾股定理解题即可；
（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．
解：（1）在Rt△ABC中， ；
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
∵在Rt△ABC中， ，
∴
∴ ，
∴ ，∴ ．
综上所述，长度增加了2米．
【点拨】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键．
24．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）过点 作 于点 ，由点 ， 的出发点、速度及方向可找出当运动时间为 秒
时点 ， 的坐标，进而可得出 ， 的长，再利用勾股定理即可求出 关于 的函数解析式（由时间
路程 速度可得出 的取值范围）；
（2）将 代入（1）的结论中可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，利用勾股定理可求出 的长，由
可得出 ，利用相似三角形的性质结合可 求出 ，由 可得出
，在 中可求出 及 的值，由 ，
可求出点 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 值，此题得解．
解：（1）过点 作 于点 ，如图1所示．
当运动时间为 秒时时 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，| ，，
．
故答案为 ．
（2）当 时， ，
整理，得： ，
解得： ．
（3）经过点 的双曲线 的 值不变．
连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，如图2所示．
， ，
．
，
，
，
．
，
．
在 中， ， ，
， ，点 的坐标为 ，
经过点 的双曲线 的 值为 ．
【点拨】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线
的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解
析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ=时t的值；（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，
找出点D的坐标．
