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期末复习必考解答压轴题十八大题型总结
【人教版】
【题型1 二次根式的运算与求值技巧】..................................................................................................................1
【题型2 复合二次根式的化简】..............................................................................................................................2
【题型3 利用分母有理化求值】..............................................................................................................................4
【题型4 勾股定理在网格中的运用】......................................................................................................................4
【题型5 勾股定理在折叠问题中的运用】..............................................................................................................7
【题型6 由勾股定理构造图形解决实际问题】.....................................................................................................9
【题型7 由勾股定理求最短距离】........................................................................................................................11
【题型8 四边形中的最值问题】............................................................................................................................13
【题型9 四边形中的动态问题】............................................................................................................................15
【题型10 四边形中的存在性问题】........................................................................................................................16
【题型11 四边形中的探究问题】............................................................................................................................19
【题型12 一次函数与几何变换】............................................................................................................................22
【题型13 一次函数与动点最值】............................................................................................................................24
【题型14 一次函数中的定值问题】........................................................................................................................26
【题型15 一次函数中的探究题】............................................................................................................................28
【题型16 一次函数中的存在性问题】....................................................................................................................30
【题型17 分段函数与绝对值函数】........................................................................................................................32
【题型18 一次函数的应用】....................................................................................................................................35
【题型1 二次根式的运算与求值技巧】
【例1】（24-25八年级·江西赣州·期中）定义：我们将(❑√a+❑√b)与(❑√a−❑√b)称为一对“对偶式”．因为
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2 −(❑√b) 2=a−b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶
式”来解决．
例如：已知❑√18−x−❑√11−x=1，求❑√18−x+❑√11−x的值，可以这样解答：
因为(❑√18−x−❑√11−x)×(❑√18−x+❑√11−x)=(❑√18−x) 2 −(❑√11−x) 2=18−x−11+x=7，
所以❑√18−x+❑√11−x=7．
(1)已知：❑√20−x+❑√4−x=8，求❑√20−x−❑√4−x的值；(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：❑√20−x+❑√4−x=8；
1 1 1 1
(3)计算： + + +⋅⋅⋅+ ．
3❑√1+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 2023❑√2021+2021❑√2023
【变式1-1】（24-25八年级·上海长宁·阶段练习）计算
√ 1 √ 1
(1)❑1 −10❑√0.4+4❑ ；
9 40
1 √ y2
(2)2❑√3x2y⋅ ❑√6x+❑ ；
3 x
2❑√2 ❑√6
(3) − ；
❑√6−❑√10 2❑√3+3❑√2
( 1 1 )
(4)❑√6÷ − ；
❑√2 ❑√3
(2 √a) √b
(5) ❑√ab3−3b❑ ÷❑ (b>0)；
b b a
❑√a−❑√b a−2❑√ab+b 1
(6) ⋅ ÷ ．
a−b a−b a+2❑√ab+b
√ 1 1 1
【变式1-2】（24-25八年级·安徽宣城·期中）观察下列各式：❑1+ + =1+ ，
12 22 1×2
√ 1 1 1
❑1+ + =1+ ，
22 32 2×3
√ 1 1 1
❑1+ + =1+ ，
32 42 3×4
请利用你所发现的规律．
(1)写出第4个式子______；
(2)写出第n个式子______，并证明其正确性（用n含的等式表示，n为正整数）．
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
(3)计算❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋅⋅⋅+❑1+ + ．
12 22 22 32 32 42 992 1002
【变式1-3】（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）若m满足关系式
❑√2x+3 y+❑√4x+5 y−m=❑√x−2012+ y+❑√2012−x−y，求m的值．【题型2 复合二次根式的化简】
【例2】（24-25八年级·安徽合肥·专题练习）有这样一类题目：将❑√a±2❑√b化简，如果你能找到两个数
m、n，使m2+n2=a且mn=❑√b，则可将a±2❑√b将变成m2+n2±2mn，即变成(m+n) 2，从而使得
❑√a±2❑√b化简．例如，5±2❑√6=3+2±2❑√6=(❑√3) 2+(❑√2) 2+2❑√2×❑√3=(❑√3±❑√2) 2 ，∴
❑√5±2❑√6=❑√(❑√3±❑√2) 2=(❑√3±❑√2)．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简5±2❑√6的结果是
❑√x±❑√y(x>y>0)，可知5±2❑√6=(❑√x±❑√y) 2 ．整理，得5±2❑√6=x+ y±2❑√xy，比较等式两边的组
成，可得x+ y=5，xy=6，即x=3，y=2，所以❑√5±2❑√6=(❑√3±❑√2)．
尝试化简下列各式：
(1)❑√7+4❑√3；
(2)❑√8−❑√60．
【变式2-1】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）化简：
(1)❑√12−2❑√35；
(2)❑√5−❑√24；
(3)❑√4+❑√15+❑√4−❑√15．
【变式2-2】（24-25八年级·陕西西安·阶段练习）像❑√4−2❑√3,❑√❑√48−❑√45…这样的根式叫做复合二次
根式，有些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
❑√4−2❑√3=❑√3−2❑√3+1=❑√(❑√3) 2 −2×❑√3×1+12=❑√(❑√3−1) 2=❑√3−1请用上述方法探索并解决下列
问题：
(1)化简：❑√10−2❑√21
(2)若a+6❑√5=(m+n❑√5) 2，且a，m，n为正整数，求a的值
【变式2-3】（24-25八年级·安徽安庆·期中）像❑√4−2❑√3，❑√❑√96−❑√63……这样的根式叫做复合二次根
式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：❑√4−2❑√3=❑√3−2❑√3+1=❑√ (❑√3) 2 −2×❑√3+12=❑√ (❑√3−1) 2=❑√3−1；再如：❑√5+2❑√6=❑√3+2❑√6+2=❑√(❑√3) 2+2×❑√6+(❑√2) 2=❑√(❑√3+❑√2) 2=❑√3+❑√2．请用上述方法探索并
解决下列问题：
(1)请你尝试化简：
①❑√11+2❑√30=______；
②❑√13−2❑√42=______．
(2)若a+6❑√5=(m+❑√5n) 2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【题型3 利用分母有理化求值】
【例3】（24-25八年级·山东烟台·期末）阅读下列材料，解答后面的问题：
1 1
+ =❑√3−1；
❑√2+1 ❑√3+❑√2
1 1 1
+ + =2−1=1；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 2+❑√3
1 1 1 1
+ + + =❑√5−1；⋯
❑√2+1 ❑√3+❑√2 2+❑√3 ❑√5+2
(1)写出下一个等式；
1 1 1 1
(2)计算 + + +…+ 的值；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 2+❑√3 ❑√100+❑√99
( 1 1 1 )
(3)请求出 + +…+ ×(❑√2122+❑√100)的运算结果．
❑√101+❑√100 ❑√102+❑√101 ❑√2122+❑√2121
【变式3-1】（24-25八年级·湖南娄底·期末）计算：
1 1 1 1
+ + +⋯+
2+❑√2 3❑√2+2❑√3 4❑√3+3❑√4 100❑√99+99❑√100
x−b x−a
【变式3-2】（24-25八年级·上海·期中）已知 =2− 且a+b=2，请化简并求值：
a b
❑√x+1−❑√x ❑√x+1+❑√x
+
❑√x+1+❑√x ❑√x+1−❑√x
【变式3-3】（24-25八年级·湖南长沙·开学考试）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简
5 √2 2
与运算时，我们有时会碰上如 ，❑ ，
❑√3 3 ❑√3+1
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：5 5×❑√3 5❑√3
= = ；
❑√3 ❑√3×❑√3 3
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ；
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
2 √2 1
（1）化简： = ；❑ = ； = ；
❑√3 5 ❑√5+❑√3
1 1 1 1
（2）化简： + + +⋯+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017
❑√5−❑√3 ❑√5+❑√3 y x
（3）已知x= ，y= ，求 + 的值.
❑√5+❑√3 ❑√5−❑√3 x y
【题型4 勾股定理在网格中的运用】
【例4】（24-25八年级·广东云浮·期中）综合探究：
“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为❑√5、❑√10、❑√13，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网
格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．
(1)直接写出图1中△ABC的面积是______；
(2)若△MNP的边长分别为❑√m2+16n2、❑√9m2+4n2、❑√4m2+4n2（m>0，n>0，且m≠n），试运用构
图法在图2中画出相应的△MNP，并求出△MNP的面积．
(3)拓展应用：求代数式：❑√x2+1+❑√(4−x) 2+4(0≤x≤4)的最小值．
【变式4-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点
上．
（1）画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12；
（2）画一个直角三角形，且三边长为❑√5，2❑√5，5，并直接写出这个三角形的面积．
【变式4-2】（24-25八年级·山东淄博·期中）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们
可以把它剪开拼成一个正方形如图2．
（1）你能在3×3方格图（图3）中，连接四个格点（网格线的交点）组成面积为5的正方形吗？若能，请
用虚线画出．
（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重
新拼成一个正方形．
（3）如图，是由两个边长不等的正方形纸片组成的一个图形，要将其剪拼成一个既不重叠也无空隙的大
正方形，则剪出的块数最少为________块．请你在图中画出裁剪线，并说明拼接方法．
【变式4-3】（24-25八年级·山西晋中·期末）问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三
边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长
方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了
△ABC的面积．
（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ．△ABC的面积是
．
（2）已知△PMN中，PM＝❑√17，MN＝2❑√5，NP＝❑√13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出
△PMN，并直接写出△RMN的面积 ．
【题型5 勾股定理在折叠问题中的运用】
【例5】（24-25八年级·辽宁葫芦岛·期末）（1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如
图1，四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=45°，BD平分∠ABC，求证：AB+AD=BC．
①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=AB，连接DE，将线段
AB，AD，BC的数量关系转化为DE与CE的数量关系；
②如图3，乐琪同学从BD平分∠ABC这个条件出发，想到将△BDC沿BD翻折，所以她延长线段BA到点
F，使FB=CB，连接FD，发现了∠F与∠ADF的数量关系；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，
李老师提出了下面的问题，请解答．
如图4，△ABC中，∠A=90°，平面内有点D（点D和点A在BC的同侧），连接DC，DB，
∠D=45°，∠ABD+2∠ABC=180°，求证：❑√2BD+❑√2AB=CD．
（3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若∠ABD=30°，AB=1，请直接写出线段AC的长度．【变式5-1】（24-25八年级·广东佛山·期末）综合探究
直观感知和操作确认是几何学习的重要方式，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3.
(1)尺规作图：如图1，在△ABC中，作∠ABC的角平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)操作探究：在（1）的条件下，将∠C沿着过点D的直线折叠，使点C落在△ABC三边所在直线上（顶
点除外），画出示意图；
(3)迁移运用：
①如图2，若E为AC边的中点，F为射线BA上一点，将△AEF沿着EF翻折得到△A′EF，点A的对应点
为A′，当∠F A′B=90°时，求AF的长；
②如图3，若点E是BC边的中点，N是AC边上一点，将△ENC沿EN折叠至△ENC′，点C的对应点为C′
，连接BN、BC′，求△BNC′的面积的最大值.
【变式5-2】（24-25八年级·四川成都·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上的动点，连
接BD，将△ABD沿直线BD翻折，得到对应的△A′BD．(1)如图1，当AD⊥A′D于点D时，求证：BC=DC；
(2)若BC=a，AC=2a．
①如图2，当B，C，A′三点在同一条直线上时，求AD的长（用含a的代数式表示）；
AB
②连接A A′，A′C，当A′C=❑√2a时，求 的值．
A A′
【变式5-3】（24-25八年级·四川成都·期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
(1)如图1，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上，求CD的长；
(2)如图2，E为线段AB上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求证：AE＝AC；
(3)如图3，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称为点C′，是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶
点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC′长；若不存在，请说明理由．
【题型6 由勾股定理构造图形解决实际问题】
【例6】（24-25八年级·河南郑州·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数
思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人
们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)证明勾股定理
取4个与Rt△ABC（图1）全等的三角形，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，把它们拼成边
长为a+b的正方形DEFG，其中四边形OPMN是边长为c的正方形，如图2，请你利用以下图形验证勾股
定理．(2)应用勾股定理
①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于DA，在l上取点B，使AB=2
，以点D为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
②应用场景2：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推至C处时，水平距离
CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
【变式6-1】（24-25八年级·四川资阳·期末）已知：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∠ACD=∠BCE=90°．
（1）如图,摆放△ACD和△BCE时（点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上），连接AE、BD线段
AE 与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．（直接写出答案）
（2）如图,摆放△ACD和△BCE时，连接AE、BD，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图,摆放△ACD和△BCE时，连接AE、DE．若有AE2=DE2+2CE2，试求∠DEC的度数．
【变式6-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问
题．
例：求代数式❑√x2+32+❑√(12−x) 2+22的最小值．
分析：❑√x2+32和❑√(12−x) 2+22是勾股定理的形式，❑√x2+32是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，
❑√(12−x) 2+22是直角边分别是12−x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△≝¿
，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时
CF=x+12−x=12，AC=3，DF=2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两
点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
【模型应用】
（1）代数式❑√x2+32+❑√(12−x) 2+22的最小值为 ；
（2）变式训练：利用图3，求代数式❑√x2+4+❑√(5−x) 2+1的最小值；【模型拓展】
（3）已知正数x满足❑√36−x2+❑√64−x2=10，求x的值．
【变式6-3】（24-25八年级·广西南宁·期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长
分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另
外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．
(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示
为(a+b) 2，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ，结论②；图
3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ，结论③；
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式 ；结合结论②和结论③，可以得到一个等式
；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作
S 、S 、S ，且S +S +S =20，求S 的值．
1 2 3 1 2 3 2
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边a=5，b=12，斜边c=13
，求图中阴影部分面积和．
【题型7 由勾股定理求最短距离】
【例7】（24-25八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱
(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)【变式7-1】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，观察图形解答下面的问题：
(1)此图形的名称为_______；
(2)请你与同伴一起做一个这样的立体图形，并把它的侧面沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是
一个_______；
(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食物，且它只能绕此立体图形的侧
面爬行一周到C处．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．
【变式7-2】（24-25八年级·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面
上与点A相对的点B处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程．
（一）理解问题、拟定计划
小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线．
路线1：如图2，路线1的路程s 即为线段AB的长度；
1
路线2：如图3，路线2的路程s 即为线段AB的长度．
2
（二）实施计划
（1）小林说：“由图可知，s 0
）．
(1)当点P和点B重合时，求线段PQ的长；
(2)如图2，当点P在边AD上时，猜想△PQE的形状，并说明理由；
(3)作点E关于直线PQ的对称点F，当点F恰好落在边AB上时，直接写出t的值．
【变式9-1】（24-25八年级·天津·期中）已知，▱ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线
EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．(1)如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形；
(2)如图1，求AF的长；
(3)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自
A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，点Q的速
度为每秒0.8cm，设运动时间为t秒，若当以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的
值．
【变式9-2】（24-25八年级·江西南昌·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=11，AD=10，G，H分别在
AB，CD上，且AG=CH=3，E，F分别是AD，BC上的两个动点，点E从A向D移动，点F从C向B移
动，它们同时以每秒1个单位长度的速度移动，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)四边形EGFH一定是______；
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)若四边形EGFH为菱形，求t的值；
(3)若四边形EGFH为矩形，求t的值．
【变式9-3】（24-25八年级·广东广州·期中）已知如图，矩形ABCD中，AD=8，DC=10，菱形EFGH
的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=3，连接CF．
(1)若DG=3，求证：四边形EFGH为正方形；
(2)当点G在边CD上运动时，点F到边CD的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)当△FCG的面积取最小值时，求菱形EFGH的面积．
【题型10 四边形中的存在性问题】
【例10】（24-25八年级·四川自贡·期中）如图所示，正方形ABCO的边长为6，点C在x轴上，点A在y
轴上．
(1)如图 1，动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出
发，沿CO方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设
运动时间为t(s)(00)，结论CD=ED是否成立，请说明理由；
(3)在y轴上是否存在点M，使得四边形BMDE是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理
由．
【题型11 四边形中的探究问题】
【例11】（24-25八年级·吉林松原·期中）综合与探究
已知在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为AB的中点，连接DE．
【动手操作】
第一步：如图①，将四边形BCDE沿DE折叠，得到四边形MNDE，点B的对应点为点M，点C的对应点
为点N．
第二步：如图②，连接MA、MB．
【问题解决】
（1）如图①，若∠B=50°，则∠N的度数是_________；
（2）如图②，判断△MAB的形状，并说明理由；
【拓广探索】
（3）如图②，若AD=4，∠MAE=30°，在线段ED上存在点P，使△AEP是以∠EAP为顶角的等腰三
角形，直接写出DP的长度．
【变式11-1】（24-25八年级·广东深圳·期中）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，
正方形ABCD中，点P是BC边上的一个动点，E是边BC延长线上一点，连接AP．过点P作AP⊥PF，
与∠DCE的平分线CF相交于点F，求证：AP=PF．【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在AB上截取
AG=PC，连接GP，易得BG=BP，∠AGP=∠PCF=135°，______，可得△AGP≌△PCF
（______），∴AP=PF．
【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接AF，
与边CD相交于点Q，连接PQ，给出下列四个结论，①∠PAQ=45°；②PQ=BP+DQ；③
∠QPF=∠CPF；④FQ=FC，正确结论的序号是_______．
【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作AP的平行线交直线
CD于点H，以CH为斜边向右作等腰直角三角形HCM，点M在直线CF上．
①试探究PC与FM的数量关系，并说明理由；
②若AB=5，P在射线BC上运动，当CP=2时直接写出线段DH的长．
【变式11-2】（24-25八年级·江苏南通·期中）实践操作 矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=4，现将纸片
折叠，点A的对应点记为点P，折痕为MN（点M，N是折痕与矩形的边的交点），再将纸片展平．
初步思考 （1）如图1，当点N在AB上，点M和点P在DC上，AP与MN交于点O．求证：四边形
AMPN为菱形；
继续探究 （2）如图2，在（1）的条件下，当点P与点C重合时，求AM的长；
拓展延伸 （3）如图3，当点N和点B重合，点M在AD上运动时（点M不与点A重合），作∠CBP的平
分线，与MP的延长线交于点Q．求出点Q到CD的距离，并直接写出在点M运动过程中，点Q到直线
AD的最大距离．【变式11-3】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形ABCD、正方形CEFG，连接AF，取
AF的中点H，连接CH、GH．
(1)【尝试探究】如图1，当点D落在CG上时，则AF=______CH；
(2)【深入探究】如图2，将正方形CEFG绕着点C旋转至点F落在AD的延长线上．求证：GH⊥AF；
(3)【拓展应用】如图3，继续将正方形CEFG绕着点C旋转，连接DH交CG于点P，连接DG，若点P为
CG的中点，△CDH的面积为2，则线段DG的长为______．
【题型12 一次函数与几何变换】
【例12】（24-25八年级·重庆万州·期中）如图1，直线l ：y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，直
1
线l ：y=−x+b与x轴交于点C，与直线l 交于点D，AC=6．
2 1
(1)求直线l 的解析式．
2
1
(2)点P为y轴正半轴上的一点，若S = S ，在x轴上存在一点E，使DE+EP最小，求点E的坐标
△PBD 3 △ACD
和最小值．(3)如图2，将直线l 向上平移3个单位得到直线l ，在l 上存在一动点M，使∠BCM=45°，请直接写出点
1 3 3
M的坐标．
【变式12-1】（24-25八年级·湖南长沙·期中）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线
AB:y=kx+6k+6(k≠0)过定点A．与y轴交于点B，过点A作AC⊥y轴于点C．
(1)直接写出定点A的坐标为______；
(2)如图1，点D(−2,0)，连接CD，当k<0时，连接AO，若AB⊥CD，且在AO左侧存在点E(m,6+m)
使得∠EAO=∠BAC，求点B和点E的坐标；
(3)如图2，当k>0时，直线AB交x轴于点F，平移直线AB交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连
1 1
接AG，交y轴正半轴于点M．当AF=GH时，求证： − 为定值．
CM CB
3
【变式12-2】（24-25八年级·福建泉州·期中）已知：如图，一次函数y= x+3的图象分别与x轴、y轴相
4
交于点A、B，且与经过点C(2,0)的一次函数y=kx−6的图象相交于点D，直线CD与y轴相交于点E．
(1)直线CD的函数表达式为：______；点D的坐标为______；（直接写出结果）
(2)点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ．
①若直线BQ将△BDE的面积分为1:2两部分，试求点Q的坐标；
②点Q是否存在某个位置，将△BDE沿着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的y轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式12-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）【问题背景】
数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．
【问题初探】
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=CB，点D与直角顶点B重合，射线DP交边AC于点E，
点F在射线DQ上，且满足∠PDQ=90°,DE=DF，连接AF．判断线段AF与CE的关系为______．
【问题深探】
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=CB，点D为斜边AC中点，射线DP交边BC于点E，射
线DQ交边AB于点F，且满足∠PDQ=90°
问题①：线段DE与DF满足什么数量关系？请说明理由；
问题②：请直接写出线段AF，CE，ED之间的数量关系____________．
【问题拓展】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，AO=OB=6，点D为斜边AB中点，x轴
上有一点E(2,0)，动直线l绕着点D旋转，与x轴相交于点P，且满足∠DEA−∠PDA=45°，直线l的表
达式为____________（直接写出表达式即可）．
【题型13 一次函数与动点最值】
【例13】（24-25八年级·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y =x+1与x轴、y轴分别交
1
1
A、B两点，与直线y =− x+b相交于点C(3,m)．
2 3
(1)求m和b的值；1
(2)若直线y =− x+b与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运
2 3
动，设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式13-1】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C在x
( 16 ) {3m−n=2)
轴负半轴上，C − ,0 ，点A(0,n)，点B(m,0)中的m、n是方程组 的解．
3 2m=n
(1)请直接写出A、B两点的坐标A（______，______），B（______，______）；
(2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒，
△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S；
5
(3)在（2）的条件下，当t= 时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，CQ=5，当点P停
3
止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿PQ−QC向终点C运动（当点M运动至点C
时停止运动），连接CM、BM，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等．
【变式13-2】（24-25八年级·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点
B(−4,0)，与y轴交于点A，直线y=−2x+4过点A，与x轴交于点C．
(1)点A的坐标是_____，直线AB的函数表达式为______；
(2)若点P是直线AB上一动点，且S =S ，求P点的坐标；
△PBC △AOB(3)点M在第二象限，当S =S 时，动点N从点B出发，先运动到点M，再从点M运动到点C后停止
△MAB △AOB
运动．点N的运动速度始终为每秒2个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
【变式13-3】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图1，已知直线l与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点
B(0,3)，以A为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC，其中上∠BAC=90°，AB=AC．
(1)求直线l的解析式和点C的坐标；
(2)如图2，点M是BC的中点，点P是直线l上一动点，连接PM、PC，求PM+PC的最小值，并求出当
PM+PC取最小值时点P的坐标；
10
(3)在（2）的条件下，当PM+PC取最小值时，在直线PM上是否存在一点Q，使S = S ？若存
△APQ 9 △AOB
在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型14 一次函数中的定值问题】
【例14】（24-25八年级·河北廊坊·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A(−2,0)，B(2,0)，C(6,0)，
点D(0,m)为y轴正半轴上一点，且∠ODB=30°．
(1)三角形ABD是否为等边三角形 （填：是或否）；若点M为AD中点，点P为y轴上一点，当三角形
PMA周长最小时，周长的最小值为 ；此时点P的坐标为 ；（后两空均用含m的代数式来表示）
(2)在（1）的基础上，延长DB至点E；使BE=BD，点P为x轴正半轴上一动点（点P在点C的右边），
点M在EP上，且∠EMA=60°， AM交BE于点N．
①求证：三角形BCE是等边三角形；②求证：∠ANB=∠APM；
③点P在运动过程中，BP−BN的值是否为定值，若是请求出此值；若不是定值，请说明理由．
【变式14-1】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+4分别交x
1
轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且OC= OB，点P是线段BC上的动点（点P不与B，C
2
重合），以BP为斜边在直线BC的右侧作等腰直角三角形BPD．
(1)求直线BC的函数表达式；
3
(2)如图1，当S = S 时，求点P的坐标；
△BPD 20 △ABC
(3)如图2，连接AP，点E是线段AP的中点，连接DE，OD．试探究∠ODE的大小是否为定值，若是，
求出∠ODE的度数；若不是，请说明理由．
【变式14-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线
y=−3x+b与x轴交于点D，与y=x+2交于点E，点E的横坐标为4．
(1)求b的值和点D的坐标；
(2)已知P是坐标平面内一点，连接PA，PB，PD，PE所得的△PAB，△PDE的面积分别为
S ，S ，设S =kS ；
△PAB △PDE △PAB △PDE
①如图（2），若点P的坐标为(a−1，2a−4)，且位于四边形BODE内，则k是否为定值？若是请求出
这个定值，若不是请说明理由；
②如图（3），若点F在x轴上，坐标为(−11，0)，点Q是y轴上的一个动点，当k=1时，求FQ+PQ的最小值．
【变式14-3】（24-25八年级·广东佛山·期中）如图1，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(6,0)，与
y轴交于点B(0,3)，与正比例函数y=x的图象交于点C．
(1)求一次函数的解析式及点C的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点P，使△BCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标．若不存在，请说
明理由；
(3)如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，CH⊥y轴于点H，点E是线段OD上一动点，F是线段OH上一
动点，且∠ECF=45°，连接EF，请判断△OEF的周长是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说
明理由．
【题型15 一次函数中的探究题】
【例15】（24-25八年级·陕西渭南·期末）【问题探究】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)若点C为y轴上的
点，连接AC，且△AOC的面积是△AOB的面积的2倍，求AC所在直线的函数表达式；
【问题解决】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，△ABC是某市高新技术开发区的一块空地，已知A(−4,0)、B(1,0)
1
、C(0,−3)，直线l:y=− x+2是一条笔直的道路（路宽不计），为了对空地进行合理规划利用，市政
2
府计划在道路l上取点D，使得CD将四边形ACBD的面积分成1:4的两部分，并将这两部分分别规划为开
发区综合服务管委会和安全监督管理局，请你帮助市政府计算出点D的坐标．【变式15-1】（24-25八年级·福建莆田·期末）【课本原型】人教版八年级下学期数学课本P108，原题
为：“画出函数y=|x−1|的图象”．
【初步探究】陈臻同学类比此函数的学习进一步对函数y=k|x−1|+b的图象与性质进行了探究．请根据
下表探究过程中的部分信息，完成下列问题：
x … −3 −2 −1 0 1 2 3 …
y … 2 1 0 −1 a −1 0 …
（1）a的值为____________；
（2）在下图中画出该函数的图象；
【数学思考】结合函数的图象，下列说法正确的是：____________；（填所有正确选项）
A．函数图象关于y轴对称
B．当x≥1时，y随x的增大而增大
1 10
C．当y= 时，x=
3 3
D．函数图象与x轴围成图形的面积为4
22
【深入探究】函数y=k|x−1|+b图象上有两点P(p,m)和Q(q,m)，当−6≤q−p≤ 时，求m的取
3
值范围．
【变式15-2】（24-25八年级·浙江宁波·期末）【定义理解】在平面直角坐标系中，有A(m,0)，B(0,n)
两点，若存在点C使得∠ABC=90°，且AB=BC，则称点C为m的“等垂点”．
例如：在A(1,0)，B(0,1)，C(−1,0)三点中，因为∠ABC=90°，且AB=BC，所以点C为1的“等垂
点”．
【探究应用】（1）点A(2,0)，B(0,2)，则C(2,4)____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
（2）如图1，若点A(4,0)，B(0,3)，则点C是4的“等垂点”，则点 C的坐标为____________．
（3）如图2，若一次函数y=3x−5上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标．
【拓展提升】
（4）若在直线y=kx+b(k>0)上存在无数个5的“等垂点”，且直线y=kx+b(k>0)与x轴交于点E，
与y轴交于点F，点M在线段EF上，点P在△EOF内，EP=4，OP=3，连接MP，设EM=a，直接写
出△EPM面积S关于a的表达式．
【变式15-3】（24-25八年级·陕西西安·期中）【问题提出】
（1）如图1，D为△ABC的边AC的中点，连接BD，若△ABD的面积为4，则△ABC的面积为______．
【问题探究】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，连接OA，作AB⊥x轴于点B．若AB=2OB，
OA=2❑√5，过点B的直线l将△OAB分成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．
【问题解决】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中O
为坐标原点，点A(24,7)，B(28,4)，C(25,0)．为了方便驻区单位，计划过点O修一条笔直的道路l （路
1
宽不计），并且使直线l 将四边形OABC分成面积相等的两部分，记直线l 与AB所在直线的交点为D；再
1 1
过点A修一条笔直的道路l （路宽不计），并且使直线l 将△OAD分成面积相等的两部分，你认为直线l 和
2 2 1
l 是否存在？若存在，请求出直线l 和l 的函数表达式；若不存在，请说明理由．
2 1 2【题型16 一次函数中的存在性问题】
1
【例16】（24-25八年级·重庆万州·期中）如图1，函数y= x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C
2
与点A关于y轴对称．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)如图1，若点P是直线AB上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积为3，
求点P的坐标；
(3)如图2，若点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点N，连接BM，在点M的
运动过程中是否存在∠BMN=∠BAC的情况，若存在，请求出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【变式16-1】（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(−6,0)的直线
l 与直线l :y =2x：相交于点B(m,4)．
1 2 2
(1)求直线l 的表达式；
1
(2)若y ≥ y ，直接写出x的取值范围．
2 1
(3)直线l 与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得△AMP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合
1
条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【变式16-2】（24-25八年级·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=− x+4与x轴交于点
2
A，与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C，与y轴交于点D，OD=2，与直线AB交于点E，E点横坐
标为4．(1)求直线CD的解析式；
9
(2)如图2，点P为直线CD上一点，且在直线AB上方，连接AP，当S = S 时，求点P的坐标，
△PAE 16 △AOB
此时在x轴上有一动点Q，连接PQ、EQ，求PQ+EQ的最小值；
(3)如图3，在直线AB上有一动点M，y轴上有一动点N，是否存在点M，点N使得以点M、N、C、D为顶
点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标，并写出其中一个点的求解过程；
若不存在，请说明理由．
【变式16-3】（24-25八年级·广东深圳·期中）[问题提出]：如何解不等式|x−1)+|x−3)>x+2？
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图
象，可以解决一系列问题．
图①中给出了函数y=x+1和y=2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：当x>−2时，函数y=2x+3的
图象在y=x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3>x+1的解集为_________．
预备知识2：函数y=|x)= { x(x≥0) ) ，称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数
−x(x<0)
式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝
对值符号，比如化简|x−1)+|x−3)时， 可令x−1=0和x−3=0， 分别求得x=1，x=3 (称1， 3分别
是|x−1)和|x−3)的零点值)， 这样可以就x<1，1≤x<3，x≥3三种情况进行讨论：
（1） 当x<1时，|x−1|+)x−3)=−(x−1)−(x−3)=4−2x
（2） 当1≤x<3时，|x−1|+)x−3)=(x−1)−(x−3)=2；
（3） 当x≥3时，|x−1)+|x−3)=(x−1)+(x−3)=2x−4，
{4−2x(x<1)
)
所以|x−1)+|x−3)就可以化简为 2(1≤x<3)
2x−4(x≥3)
预备知识3：函数y=b(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示．[知识迁移]
如图④，直线y=x+1与直线y=ax+b相交于点A(m，3)，则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是
___________．
[问题解决]
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x−1|+)x−3)>x+2.．
（1）请在平面直角坐标系内作出函数y=|x−1)+|x−3)的图象；
（2）通过观察图象，便可得到不等式|x−1|+)x−3)>x+2的解集，这个不等式的解集为_______．
【题型17 分段函数与绝对值函数】
【例17】（24-25八年级·湖北武汉·阶段练习）某数学兴趣小组想探究函数F:y=|x−1)的图象与性质．
(1)根据绝对值的意义将函数F的解析式化简：
当x≥1时，函数解析式为y=________，
当x<1时，函数解析式为y=________；
(2)在下边的平面直角坐标系中直接画出函数F的图象；
1
(3)设函数F:y=|x−1)的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l:y=mx− （m为常数）与y轴交
2
于点C．
①若直线l与函数F的图象交于P，Q两点（P在Q左侧），且S =S ，求m的值；
△APQ △BCP
②若直线l与函数F的图象恰有一个公共点，直接写出m的取值范围________．【变式17-1】函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画
函数y=−2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过
程画函数y=−2|x|+2和y=−2|x+2|的图象如图所示．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 ﹣2 ﹣4 ﹣6 …
（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系
数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函
数y=−2|x+2|的对称轴．
（2）探索思考：平移函数y=−2|x|的图象可以得到函数y=−2|x|+2和y=−2|x+2|的图象，分别
写出平移的方向和距离．
（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y=−2|x−3|+1的图象．若点(x ,y )和(x ,y )
1 1 2 2
在该函数图象上，且x >x >3，比较y ，y 的大小．
2 1 1 2
【变式17-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的
表达式，则这样的函数称为“分段函数”．
当x≥0时，y =kx+2；当x<0时，y =kx−2，可以记作分段函数 y =
{kx+2(x≥0))
．
1 1 1 kx−2(x<0)
(1)若k=1时，画出y 与x之间的函数图像，并写出该函数两条不同类型的性质．
1(2)正比例函数y =2kx的图像与函数y 的图像的一个交点坐标为(−2,−4)，当y >y 时，x的取值范围是
2 1 1 2
______；
(3)已知点A(2,1),B(−1,−1)，函数y 的图像与线段AB的交点个数随k的值的变化而变化，直接写出交点
1
个数及对应的k的取值范围．
【变式17-3】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）在函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数
图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我
们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数y={ 2x+8,x≤−3 )
|2x+4|,x>−3
的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
(1)列表：
x … −5 −4 −3 −2 −1 0 1 …
y … −2 0 2 0 2 4 6 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
如图所示，请画出函数的图象．
(2)研究函数并结合图象，回答下列问题：
3
①点A(−4,y )，B(− ,y )，C(x ,1)，D(x ,−3)在函数图象上，则y y ，x x （填“>
1 2 2 1 2 1 2 1 2
”，“ =”或“<” )；
②在直线x=−3的右侧的函数图象上有两个不同的点E(x ,y )，F(x ,y )，且y = y ，则x +x 的值为
3 3 4 4 3 4 3 4
；（注：直线x=−3为经过(−3,0)且垂直x轴的直线）
7
③当− −3时，若正方形PQMN相邻两边
与线段GH只有两个交点，直接写出m的取值范围．
【题型18 一次函数的应用】
【例18】（24-25八年级·河北保定·期末）为探究气温与海拔高度的关系，同学们在气象人员的指导下利用
探测气球进行了试验．选用的1号气球，2号气球从海拔10米的A处同时出发，其中1号气球以8米／秒
的速度匀速上升；2号气球以6米／秒的速度匀速上升，30秒时，1号球不再继续上升，悬浮，等2号气球
达到同一高度时，1号气球返航，2号气球继续上升．1号气球匀速下降，又过了40秒降落到出发点．设1
号，2号气球在飞行过程中的海拔高度分别为y （米），y （米），它们飞行的时间为x（秒）．（注
1 2
意：本题所求表达式不用注明自变量取值范围）
(1)C点坐标为______；
(2)直接写出2号气球在飞行过程中的海拔高度y （米）与飞行的时间x（秒）之间的函数表达式；
2(3)求出线段CD对应的海拔高度y （米）关于飞行的时间x（秒）的函数表达式，并说明一次项系数的实
1
际意义是什么？
(4)直接写出两个气球从出发到1号气球返回出发点这个时间段里，两球高度之差ℎ小于或等于60米的总时
长是多少．
【变式18-1】（24-25八年级·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，A,B两城决定向C,D两乡运
送水泥建设美丽乡村，已知A,B两城分别有水泥200吨和300吨，从A城往C,D两乡运送水泥的费用分别
为20元/吨和25元/吨；从B城往C,D两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现C乡需要水泥240
吨，D乡需要水泥260吨．
(1)设从A城运往C乡的水泥x吨．设总运费为y元，写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．
(2)为了更好地支援乡村建设，A城运往C乡的运费每吨减少a(00)元，同时B种盆栽
批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是
1460元，求m的值．
【变式18-3】（24-25八年级·广东深圳·期末）综合实践：
如图①所示，A、B两地相距720千米，C地位于A、B两地之间．高铁G234从
素 A地出发经C地匀速驶向B地，高铁G235从B地出发经C地驶往A地．
材
1
1月10日高铁G234时刻表
素
材 站名 到时 发时 停留
2
A站 —— 09:00 ——C站 11:00 11:10 10分
B站 12:10 —— ——
1月10日高铁G235时刻表
站
到时 发时 停留
名
B站 —— 09:00 ——
C站 10:30 10:35 5分
A站 12:35 —— ——
问题解决
任 a的值为______，b的值为______，高铁G234在行驶过程中速
收集信息
务1 度是______km/min．
任 建立一次 根据图②求高铁G235由C站往A站行驶过程中距离C站的路
务2 函数模型 程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数表达式．
任 求出1月10日G234、G235两列高铁在相遇后两车之间距离不
解决问题
务3 超过200km的当日时刻范围．
