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专题 16.2 二次根式的乘除【九大题型】
【人教版】
【题型1 求字母的取值范围】..................................................................................................................................1
【题型2 二次根式乘除的运算】..............................................................................................................................1
【题型3 二次根式的符号化简】..............................................................................................................................2
【题型4 最简二次根式的判断】..............................................................................................................................3
【题型5 化为最简二次根式】..................................................................................................................................3
【题型6 已知最简二次根式求参数】......................................................................................................................4
【题型7 分母有理化】..............................................................................................................................................4
【题型8 比较二次根式的大小】..............................................................................................................................5
【题型9 分母有理化的应用】..................................................................................................................................5
【知识点1 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：√a∙√b=√a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：√a∙b=√a∙√b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：√a √a ；
= (a≥0,b>0)
√b b
④商的算术平方根：√a √a .
= (a≥0,b>0)
b √b
【题型1 求字母的取值范围】
【例1】（2022春•赵县校级月考）若要使等式√ x √x 成立，则x的取值范围是 ．
=
x−8 √x−8
【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知√(x−3)⋅(−x−2)=√3−x⋅√x+2，使等式成立的x的取
值范围是 ．
【变式1-2】（2022秋•南岗区期末）能使等式√x−2 √x−2成立的x的取值范围是（ ）
=
x √xA．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足 x• ，则x的取值范围是 ．
√2x2−x3= √2−x
【题型2 二次根式乘除的运算】
【例2】（2022•长宁区期中）计算：
√ 8 √ 8
（1）5 • •3√54；
27 27
√ 1 √1
（2）2 1 ÷5 ⋅√12．
2 6
√ 2 1
【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：2 ÷ √6m•√8m3．
3m 6
3 4 √ y 5
【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算： √x y3÷(− )⋅(− √x3y)（x＞0）．
5 15 x 6
2 3 √a
【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简： √ab3 (− √a3b)÷3 （b＜0）．
b 2 b【题型3 二次根式的符号化简】
【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x√ y 根号外的因式x移到根号内的正确结果为（
−
x2
）
A．√y B．√−y C．−√y D．−√−y
【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式 √ 1 根号外的因式移到根号内为（ ）
a −
a3
√ 1 √1 √1 √ 1
A． − B． C．− D．− −
a a a a
√ 1
【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x） 根号外的因式移到根号内，得（ ）
x−2
A．√x−2 B．√2−x C．﹣2√2−x D．−√x−2
√ 1
【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b） − 根号外的因式移到根号内结果为 ．
a−b
【知识点2 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【题型4 最简二次根式的判断】
√2 √ab
【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在 、 、√18x、√x2−1、√0.6中，最简二次根式是
5 a
．
【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
√a
A．√48 B．√14 C． D．√4a+4
b
√2 √2b
【变式4-2】（2022秋•玉田县期末）下列各式：① ②√2n+1③ ④√0.1y是最简二次根式的是
5 4
（填序号）．
√1
【变式4-3】（2022春•建昌县期末）在二次根式 、√12、√30、√x+2，√40x2，√x2+ y2中，是最简
2
二次根式的共有 个．
【题型5 化为最简二次根式】
【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（ ）√1
A．√2 B．5√8 C．√28 D．
2
【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式
√ 3
（1）
100
（2）√32
（3）√4x3
3
【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：
（1）27√132−122；
5 27
（2） abc √ c3 ．
−
2 2a4b
【变式5-3】（2022秋•安岳县期末）√ x2−1 化成最简二次根式是 ．
xy−y
【题型6 已知最简二次根式求参数】
【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式√5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若√a是最简二次根式，则a的值可能是（ ）
3
A．﹣4 B． C．2 D．8
2
【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若 和 都是最简二次根式，则m＝ ，n＝
√2m+n−2 √33m−2n+2
．【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式√4a+b与a−√b23的被开方数相同，则a+b＝
．
【知识点3 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型7 分母有理化】
√3a
【例7】（2022秋•曲阳县期末）把 化去分母中的根号后得（ ）
√12ab
1 √b
A．4b B．2√b C． √b D．
2 2b
【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：
1 1 √10
（1） = ；（2） = ；（3） = ．
3√2 √12 2√5
【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（ ）
A．√a+b和√a−b B．−√a和√a
C．√5−√2和−√5+√2 D．x√a+ y√b和x√a+ y√b
√2−√3+√5
【变式7-3】（2022•宝山区校级月考）分母有理化：
√2+√3+√5
【题型8 比较二次根式的大小】
1
【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a=2√2−3，b= ，则a、b大小关系是（ ）
a
A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a＞﹣b
1
【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a= ，b＝2+√5，则a，b的关系是（ ）
√5−2
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．互为有理化因式√2 2 √2
【变式8-2】（2022春•长兴县期中）二次根式 ， ， 的大小关系是（ ）
5 √5 5
A．√2 2 √2 B． 2 √2 √2 C．√2 √2 2 D．√2 2 √2
＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ ＜
5 √5 5 √5 5 5 5 5 √5 5 √5 5
【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小
√a+1 √a+2
比较 与 的大小．
√a+2 √a+3
【题型9 分母有理化的应用】
【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，
取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+√3）（2−√3）＝1，（
√5+√2）（√5−√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是
1 1×√3 √3
另 一 个 的 有 理 化 因 式 ． 于 是 ， 二 次 根 式 除 法 可 以 这 样 理 解 ： 如 = = ，
√3 √3×√3 3
2+√3 (2+√3)(2+√3) ．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或
= =7+4√3
2−√3 (2−√3)(2+√3)
把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
2
（1）4+√7的有理化因式可以是 ， 分母有理化得 ．
3√2
（2）计算：
1 1 1 1
① + + +⋯+ ．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √1999+√2000
√3−1 √3+1
②已知：x= ，y= ，求x2+y2的值．
√3+1 √3−1【变式 9-1】（2022•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：
2+√3 (2+√3)(2+√3) 7+4 ；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理
= = √3
2−√3 (2+√3)(2−√3)
数 ， 如 要 化 简 ， 可 以 先 设 x ， 再 两 边 平 方 得 x2 ＝ （
√4+√7−√4−√7 =√4+√7−√4−√7
）2＝4 4 2 2，又因为 ，故 x＞
√4+√7−√4−√7 +√7+ −√7− √(4+√7)(4−√7)= √4+√7＞√4−√7
√6−√3
0，解得x=√2，√4+√7−√4−√7=√2，根据以上方法，化简 +√8+4√3−√8−4√3的结果
√6+√3
是（ ）
A．3﹣2√2 B．3+2√2 C．4√2 D．3
【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的
方 法 ， 一 般 是 把 分 子 分 母 都 乘 以 同 一 个 适 当 的 代 数 式 ， 使 分 母 不 含 根 号 ． 例 如 ：
1 1⋅√2 √2 √2，
= = =
√2 √2⋅√2 (√2) 2 2
1
（1）将 分母有理化可得 ；
√2+1
1 1 1 1 1
（2）关于x的方程3x− = + + +⋯+ 的解是 ．
2 1+√3 √3+√5 √5+√7 √97+√99
【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将√a±2√b化简，如果你能找
到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm=√b，则将a±2√b将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使
得√a±2√b化简．
例 如 ， 5±2√6=3+2±2√6=（ √3） 2+ （ √2） 2±2√2×√3=（ √3±√2） 2 ， 所 以
± ；
√5±2√6=√(√3±√2) 2=√3 √25 √2 2
材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如 ， ， 这样的式子，其实我们还可以
√3 3 √3+1
5 5×√3 5 √2 √2×3 √6
将 其 进 一 步 化 简 ： = = √3（ 一 ） ； = = （ 二 ） ；
√3 √3×√3 3 3 3×3 3
2 2(√3−1) 2(√3−1) 1（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
= = =√3−
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2−12
2 还可以用以下方法化简： 2 3−1 (√3) 2−12 (√3+1)(√3−1) 1（四）；
= = = =√3−
√3+1 √3+1 √3+1 √3+1 √3+1
请根据材料解答下列问题：
（1）√3−2√2= ；√4+2√3= ．
2 2 2 2
（2）化简： + + +⋯+ ．
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2n+1+√2n−1
