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专题 16.2 二次根式的乘除【八大题型】
【人教版】
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】.........................................................................................................1
【题型2 二次根式乘除法混合运算】......................................................................................................................2
【题型3 最简二次根式的辨别】..............................................................................................................................2
【题型4 化为最简二次根式】..................................................................................................................................3
【题型5 由最简二次根式的概念求值】..................................................................................................................3
【题型6 将根号外的因式（数）移到根号内】.....................................................................................................3
【题型7 由积的算术平方根的性质进行化简】.....................................................................................................4
【题型8 二次根式的乘除运算的实际应用】.........................................................................................................4
知识点1：二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则：❑√a∙❑√b=❑√a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：❑√a∙b=❑√a∙❑√b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：❑√a √a ；
=❑ (a≥0,b>0)
❑√b b
④商的算术平方根：√a ❑√a .
❑ = (a≥0,b>0)
b ❑√b
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（23-24·四川绵阳·一模）若等式❑√(x−1)(x+2)=❑√x−1⋅❑√x+2成立，则字母x应满足条件
（ ）
A．x≥0 B．x≥−2 C．−2≤x≤1 D．x≥1
【变式1-1】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）若√ x ❑√x 在实数范围内成立，则 的取值范
❑ = x
x−4 ❑√x−4
围是（ ）
A．x≥0 B．x≥4 C．0≤x<4 D．x>4【变式1-2】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）当x≤2时，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
❑√(x−2) 2=x−2 ❑√(x−3) 2=x−3
C． D．√3−x ❑√x−3
❑√(x−2)(x−3)=❑√2−x⋅❑√3−x ❑ =
2−x ❑√x−2
【变式1-3】（23-24九年级下·山东日照·期中）要使等式❑√x−3⋅❑√x+1=0成立的x的值为 ．
【题型2 二次根式乘除法混合运算】
【例2】（23-24九年级下·全国·专题练习）计算：
2 √ 3
(1) ❑3 ×(−9❑√45)；
3 4
(2)√1 √ 1 ( √1)．
❑ ×❑1 ÷ −3❑
3 2 8
√b
(3)6a❑√a2b5÷(−2❑√a3b)×❑ ．
a
【变式2-1】（23-24九年级下·辽宁大连·期中）计算：
(1) ；
(4+❑√7)(4−❑√7)
(2) ．
(❑√12×❑√6)÷❑√3
2 ( 2 ) 1
【变式2-2】（23-24九年级下·安徽铜陵·期中）化简： ❑√16a÷ − ❑√ab × ❑√4b(a>0，b>0)
3 3 6
【变式2-3】（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）计算：
(1)3 ( 1 ) √ 2；
❑√20× − ❑√48 ÷❑2
2 3 3
(2)❑√3a (√ b √ 1 )．
⋅ ❑ ÷2❑
2b 2a 3b
知识点2： 最简二次根式
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根
式，叫做最简二次根式．【题型3 最简二次根式的辨别】
√1
【例3】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式❑ ，❑√48，❑√x2+ y2，❑√0.5，❑√3x2中，最
3
简二次根式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】（23-24九年级下·河南新乡·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√12 C．❑√0.25 D．❑√5
3
【变式3-2】（23-24九年级下·山西吕梁·期中）请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是
．
x √ y
【变式3-3】（23-24九年级上·上海青浦·期中）在❑√a2−b2、 、❑ 、❑√8中最简二次根式是 ．
❑√3 5
【题型4 化为最简二次根式】
√63
【例4】（23-24九年级上·河南鹤壁·期中）将❑ 化为最简二次根式，其结果是（ ）
2
❑√63 ❑√126 9❑√14 3❑√14
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式4-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）将 ❑√1.5化为最简二次根式为 ．
【变式4-2】（23-24九年级下·河南新乡·阶段练习）若 ，则二次根式 化为最简二次根式
y>0 ❑√−81x3y3
为 ．
√a
【变式4-3】（23-24九年级下·辽宁鞍山·期末）当a<0,b<0时，❑ 化为最简二次根式的结果是（ ）
b
1 1 1
A． ❑√ab B．− ❑√ab C．− ❑√−ab D．b❑√ab
b b b
【题型5 由最简二次根式的概念求值】
【例5】（2019·山东聊城·一模）已知二次根式❑√23−a与❑√8化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是
正整数，则a的最小值为（ ）
A．23 B．21 C．15 D．5
【变式5-1】（23-24九年级上·河南南阳·期末）若❑√m+2是最简二次根式，则m的值可以是 ．（写
出一个即可）
【变式5-2】（23-24九年级下·山东烟台·期中）若a−√12a+5与❑√3b+a是被开方数相同的最简二次根式，
❑√ab= .√m
【变式5-3】（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）若❑√2m+n−2和❑√33m−2n+2都是最简二次根式，则❑ =
n
．
【题型6 将根号外的因式（数）移到根号内】
√ 1
【例6】（23-24九年级下·山东聊城·期中）把(a−b)❑− (ay>0);
❑
x- y xy
√1 1
(3)ab❑ - (0
