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专题 16.2 二次根式的乘除【八大题型】
【人教版】
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】.........................................................................................................1
【题型2 二次根式乘除法混合运算】......................................................................................................................2
【题型3 最简二次根式的辨别】..............................................................................................................................2
【题型4 化为最简二次根式】..................................................................................................................................3
【题型5 由最简二次根式的概念求值】..................................................................................................................3
【题型6 将根号外的因式（数）移到根号内】.....................................................................................................3
【题型7 由积的算术平方根的性质进行化简】.....................................................................................................4
【题型8 二次根式的乘除运算的实际应用】.........................................................................................................4
知识点1：二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则：❑√a∙❑√b=❑√a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：❑√a∙b=❑√a∙❑√b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：❑√a √a ；
=❑ (a≥0,b>0)
❑√b b
④商的算术平方根：√a ❑√a .
❑ = (a≥0,b>0)
b ❑√b
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（23-24·四川绵阳·一模）若等式❑√(x−1)(x+2)=❑√x−1⋅❑√x+2成立，则字母x应满足条件
（ ）
A．x≥0 B．x≥−2 C．−2≤x≤1 D．x≥1
【变式1-1】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）若√ x ❑√x 在实数范围内成立，则 的取值范
❑ = x
x−4 ❑√x−4
围是（ ）
A．x≥0 B．x≥4 C．0≤x<4 D．x>4【变式1-2】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）当x≤2时，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
❑√(x−2) 2=x−2 ❑√(x−3) 2=x−3
C． D．√3−x ❑√x−3
❑√(x−2)(x−3)=❑√2−x⋅❑√3−x ❑ =
2−x ❑√x−2
【变式1-3】（23-24九年级下·山东日照·期中）要使等式❑√x−3⋅❑√x+1=0成立的x的值为 ．
【题型2 二次根式乘除法混合运算】
【例2】（23-24九年级下·全国·专题练习）计算：
2 √ 3
(1) ❑3 ×(−9❑√45)；
3 4
(2)√1 √ 1 ( √1)．
❑ ×❑1 ÷ −3❑
3 2 8
√b
(3)6a❑√a2b5÷(−2❑√a3b)×❑ ．
a
【变式2-1】（23-24九年级下·辽宁大连·期中）计算：
(1) ；
(4+❑√7)(4−❑√7)
(2) ．
(❑√12×❑√6)÷❑√3
2 ( 2 ) 1
【变式2-2】（23-24九年级下·安徽铜陵·期中）化简： ❑√16a÷ − ❑√ab × ❑√4b(a>0，b>0)
3 3 6
【变式2-3】（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）计算：
(1)3 ( 1 ) √ 2；
❑√20× − ❑√48 ÷❑2
2 3 3
(2)❑√3a (√ b √ 1 )．
⋅ ❑ ÷2❑
2b 2a 3b
知识点2： 最简二次根式
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根
式，叫做最简二次根式．【题型3 最简二次根式的辨别】
√1
【例3】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式❑ ，❑√48，❑√x2+ y2，❑√0.5，❑√3x2中，最
3
简二次根式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】（23-24九年级下·河南新乡·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√12 C．❑√0.25 D．❑√5
3
【变式3-2】（23-24九年级下·山西吕梁·期中）请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是
．
x √ y
【变式3-3】（23-24九年级上·上海青浦·期中）在❑√a2−b2、 、❑ 、❑√8中最简二次根式是 ．
❑√3 5
【题型4 化为最简二次根式】
√63
【例4】（23-24九年级上·河南鹤壁·期中）将❑ 化为最简二次根式，其结果是（ ）
2
❑√63 ❑√126 9❑√14 3❑√14
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式4-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）将 ❑√1.5化为最简二次根式为 ．
【变式4-2】（23-24九年级下·河南新乡·阶段练习）若 ，则二次根式 化为最简二次根式
y>0 ❑√−81x3y3
为 ．
√a
【变式4-3】（23-24九年级下·辽宁鞍山·期末）当a<0,b<0时，❑ 化为最简二次根式的结果是（ ）
b
1 1 1
A． ❑√ab B．− ❑√ab C．− ❑√−ab D．b❑√ab
b b b
【题型5 由最简二次根式的概念求值】
【例5】（2019·山东聊城·一模）已知二次根式❑√23−a与❑√8化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是
正整数，则a的最小值为（ ）
A．23 B．21 C．15 D．5
【变式5-1】（23-24九年级上·河南南阳·期末）若❑√m+2是最简二次根式，则m的值可以是 ．（写
出一个即可）
【变式5-2】（23-24九年级下·山东烟台·期中）若a−√12a+5与❑√3b+a是被开方数相同的最简二次根式，
❑√ab= .√m
【变式5-3】（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）若❑√2m+n−2和❑√33m−2n+2都是最简二次根式，则❑ =
n
．
【题型6 将根号外的因式（数）移到根号内】
√ 1
【例6】（23-24九年级下·山东聊城·期中）把(a−b)❑− (a<b)化成最简二次根式，正确的是（ ）
a−b
A．❑√b−a B．❑√a−b C．−❑√b−a D．−❑√a−b
√ 3
【变式6-1】（23-24九年级·全国·假期作业）把4❑2 根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）
4
A．−❑√11 B．❑√11 C．−❑√44 D．❑√44
【变式6-2】（23-24九年级下·山东烟台·期中）将−a❑√−a 中的a移到根号内，结果是（ ）
A． B． C． D．
−a❑√−a3 ❑√−a3 −❑√a3 ❑√a3
【变式6-3】（23-24九年级下·江苏·课后作业）把下列根号外的因式移到根号内.
√1
(1)a❑ ;
a
(2) xy ·√x2-2xy+ y2(x>y>0);
❑
x- y xy
√1 1
(3)ab❑ - (0<a<b).
a b
【题型7 由积的算术平方根的性质进行化简】
【例7】（23-24九年级上·全国·课后作业）计算 的结果是( )
❑√(−7) 2×16×2
A．7❑√32 B．−7❑√32 C．28❑√2 D．−28❑√2
【变式7-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）化简二次根式 的值为( )
❑√(−5) 2×3
A．−5❑√3 B．5❑√3 C．±5❑√3 D．❑√75
【变式7-2】（23-24九年级下·宁夏固原·阶段练习）观察并分析下列数据，寻找规律：❑√3，−❑√6，3，
−2❑√3，❑√15，−3❑√2，…，那么第10个数据是 ．
【变式7-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：
❑
√a+b+c(a+b+c
−a
)(a+b+c
−b
)(a+b+c
−c
)，其中
a=2
，
b=2
，
c=3
．
2 2 2 2【题型8 二次根式的乘除运算的实际应用】
【例8】（23-24九年级下·广西百色·期中）【综合与实践】
摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过
观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是
√ l
他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：T=2π❑ ，
g
其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)，g=9.8m / s2，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确
到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：❑√3≈1.73，❑√5≈2.24)
【思考填空】
（1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填
“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”)
【实践与计算】
（2）若一个摆钟的摆线长为0.49m，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数
该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．
请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准
确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间
1s，求该摆钟的摆线长．
【变式8-1】（23-24·云南昆明·三模）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数
学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为❑√6，宽为❑√3，则这个矩形面积的值大约在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【变式8-2】（23-24九年级下·广西南宁·期中）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶
安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关
√2ℎ
资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度ℎ（单位：m）近似满足公式t=❑ （不
g考虑风速的影响，g≈10N/kg）
(1)求从45m高空抛物到落地的时间；
(2)已知高空拋物动能（单位：J）=10（单位：N/kg）×物体质量（单位:kg）×高度（单位：m），某质
量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤
害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）
【变式8-3】（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）秦九韶（1208年−1268年），南宋著名数学家．与李
冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年
完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公
a+b+c
式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p= ，那么三角形的面积
2
s=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．
(1)在三角形ABC中，BC=7,AC=8,AB=9，用上面的公式计算三角形ABC的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为，求的值．
