第02讲平面向量的数量积及其应用（练习）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）_第五章平面向量与复数

第 02 讲 平面向量的数量积及其应用 （模拟精练+真题演练） 1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知向量 （2，1）， （ ，3），则向量 在 方 向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量 （2，1）， （ ，3）， 所以向量 在 方向上的投影向量为 ， 故选：C 2．（2023·北京·统考模拟预测）若向量 ， ，则 与 的夹角等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 又因为 ，所以 ，即 与 的夹角等于 . 故选：D 3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则 （ ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】 ，所以 ， 故选：D 4．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边 的边长为2，平面内一点 满足 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ， . 故选：C. 5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知 的半径为2， ，则 （ ） A．1 B．-2 C．2 D． 【答案】C 【解析】由题知， 为正三角形，所以 ，所以 . 故选：C 6．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）在 当中 ，且 ，已知 为 边的中点， 则 （ ）. A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 为 边的中点，所以 ， 即 ， 而 ， ， ，故 ，所以 . 故选：D 7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量 ，且满足 ，则 向量 在向量 上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ，得 ， 所以 ， ， 所以向量 在向量 上的投影向量为 . 故选：C 8．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）如图直线l以及三个不同的点A， ，O，其中 ，设 ， ，直线l的一个方向向量的单位向量是 ，下列关于向量运算的方程甲： ，乙： ，其中是否可以作为A， 关于直线l对称的充要条件的方 程（组），下列说法正确的是（ ） A．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以 【答案】A 【解析】对于方程甲：因为 、 为 、 在 方向上的投影， 可得 表示点A， 到直线l的距离相等， 则点A， 分别在关于直线l对称的平行线 上，因为 ，可得 ，则 ， 且 ，可得 ， 所以A， 关于直线l对称，反之也成立，故甲满足； 对于乙：在 中，因为 ， 则 为边 的中线所在的直线，且点A在直线 上的投影为 的中点， 所以A， 关于直线l对称，反之也成立，故乙满足； 故选：A. 9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知非零向量 ， ， 满足 ， ， ， .则向量 与 的夹角（ ） A．45° B．60° C．135° D．150° 【答案】C 【解析】∵ ， ， ∴ .∵ ， ∴ ， ，则 ， 设向量 与 的夹角为 ， 与 反向,则 . 故选：C. 10．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在 中，点D，E满足 ， ，且 ．若 ，则 的可能值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，作图如下，由 ，可得 ， 所以 ，即 ，也即 ， 又因为 , 所以 ， 所以 ， 所以 ， 当且仅当 时取得等号， 所以 ， 所以结合选项 的可能值为 ， 故选：D. 11．（多选题）（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量 ， ，则 下列说法正确的是（ ） A． B． 在 方向上的投影向量为 C．与 垂直的单位向量的坐标为 D．若向量 与非零向量 共线，则 【答案】AD 【解析】由题意知 ， ， ， 则 ，因此A正确；在 方向上的投影向量为 ，因此B错误； 与 垂直的单位向量的坐标为 或 ，因此C错误； 因为 ， ， 若向量 与向量 共线，则 ， 解得 ，因此D正确. 故选：AD. 12．（多选题）（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知 ，下 列结论正确的是（ ） A．与向量 垂直且模长是2的向量是 和 B．与向量 反向共线的单位向量是 C．向量 在向量 上的投影向量是 D．向量 与向量 所成的角是锐角，则 的取值范围是 【答案】BC 【解析】对于A，向量的模 不符合，故A不正确. 对于B，向量 的相反向量为 ，与相反向量同向的单位向量是 ，故B正确. 对于C，向量 在向量 上的投影为 ， 与向量 同向的单位向量 ，所以向量 在向量 上的投影向量是 ，故C正确. 对于D， 时，向量 与 同向共线，夹角为0，不是锐角，故D不正确. 故选：BC. 13．（多选题）（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模） ABC是边长为2的等边三角形，已知向 △量 ， 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为 ，所以 ，所以 ， 又因为 ，所以 , 所以 ，所以 ，A错误； 因为 ABC是边长为2的等边三角形， △ 所以 的夹角为 ，即 的夹角为 ， 所以 ， 所以 ，B正确； ，C正确，D错误； 故选:BC. 14．（多选题）（2023·广东汕头·统考二模）在 中，已知 ， ， ，BC，AC边 上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ） A． B． C． 的余弦值为 D． 【答案】ABD 【解析】连接PC，并延长交AB于Q， 中， ， ， ， 则 ， , ， ， ，选项A: .判断正确； 选项B: .判断正确； 选项C: .判断错误； 选项D: . 判断正确. 故选：ABD 15．（多选题）（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记 ，则（ ） A． B．C． D． 在 方向上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 ，故A错误； 因为 ，故B正确； ，又 ，所以 ，故C正确； 在 方向上的投影向量为 ，故D错误. 故选： . 16．（2023·陕西西安·统考模拟预测）若向量 ， 不共线，且 ，则 ________. 【答案】 【解析】因为向量 ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 或 ， 又向量 ， 不共线， 所以 ，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 故答案为： . 17．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则向量 在 上的投影向量的模长为___________. 【答案】 【解析】因为向量 ， ， ， ，若 ，则 ， 即 ，即 ，解得: , 向量 在 上的投影向量的模长为: . 故答案为： . 18．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形 的边长为1， 为边 的中点， 为 正六边形的中心，则 ______． 【答案】 【解析】根据题意得， ， ， 故 ． 故答案为： 19．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知向量 ， ， ，满足 ，且 ， ，则 ＝______． 【答案】 【解析】 ， 所以 ， ，以向量 的起点为原点，向量 的方向为 轴正方向，建立如图所示的坐标系， 不妨设 ， 则 ， ，设 ∵ ， 所以 或 ， 或 ， 则 或 ， 故答案为： ． 1．（2023•乙卷（文））正方形 的边长是2， 是 的中点，则 A． B．3 C． D．5 【答案】 【解析】正方形 的边长是2， 是 的中点， 所以 ， ， ， ， 则 ． 故选： ． 2．（2023•甲卷（文））已知向量 ， ，则 ， A． B． C． D． 【答案】【解析】根据题意，向量 ， ， 则 ， ， 则有 ， ， ， 故 ， ． 故选： ． 3．（2023•甲卷（理））向量 ， ，且 ，则 ， A． B． C． D． 【答案】 【解析】因为向量 ， ，且 ，所以 ， 所以 ， 即 ， ， 解得 ， ， 所以 ， 又 ， ， 所以 ， ， 所以 ， ． 故选： ． 4．（2022•乙卷（文））已知向量 ， 满足 ， ， ，则 A． B． C．1 D．2 【答案】 【解析】因为向量 ， 满足 ， ， ， 所以 ， 两边平方得， ， 解得 ， 故选： ． 5．（2023•天津）在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若设 ，，则 可用 ， 表示为 ；若 ，则 的最大值为 ． 【答案】 ； ． 【解析】在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点， ， ， 则 ； 设 ， ， 由余弦定理可得： ， 又 ， 即 ，当且仅当 时取等号， 又 ， 则 ， 则 ， 即 的最大值为 ． 故答案为： ； ．6．（2023•上海）已知向量 ， ，则 ． 【答案】4． 【解析】 向量 ， ， ． 故答案为：4． 7．（2023•新高考Ⅱ）已知向量 ， 满足 ， ，则 ． 【答案】 【解析】 ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 8．（2022•天津）在 中， ， ， 是 中点， ，试用 ， 表示 为 ，若 ，则 的最大值为 ． 【答案】 ； ． 【解析】 中， ， ， 是 中点， ，如图： ． ， ， ，即 ， 即 ，即 ， 当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，故 的最大值为 ， 即 的最大值为 ， 故答案为： ； ．9．（2022•上海）若平面向量 ，且满足 ， ， ，则 ． 【答案】 【解析】由题意，有 ，则 ，设 ， 则 得， ， 由同角三角函数的基本关系得： ， 则 ， ， 则 ． 故答案为： ． 10．（2022•浙江）设点 在单位圆的内接正八边形 的边 上，则 的取 值范围是 ． 【答案】 ， ． 【解析】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ， 则 ， ， ， ， ，即 的取值范围是 ， ， 故答案为： ， ． 11．（2022•甲卷（文））已知向量 ， ．若 ，则 ． 【答案】 ． 【解析】 向量 ， ． ， ， 则 ， 故答案为： ． 12．（2022•甲卷（理））设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 ． 【答案】11 【解析】由题意可得 ， 则 ． 故答案为：11．