文档内容
专题 17.1 勾股定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用勾股定理求线段长】..........................................................................................................................1
【题型2 利用勾股定理求面积】..............................................................................................................................2
【题型3 利用勾股定理解决折叠问题】..................................................................................................................3
【题型4 利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离】.................................................................................5
【题型5 利用勾股定理证明线段的平方关系】.....................................................................................................6
【题型6 勾股定理验证方法的应用】......................................................................................................................7
【题型7 勾股树问题】..............................................................................................................................................9
【题型8 勾股定理在格点中的应用】....................................................................................................................11
【题型9 直角三角形中的分类讨论思想】...........................................................................................................12
【题型10 利用勾股定理解决动点问题】................................................................................................................13
【知识点 勾股定理】
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角
边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
【题型1 利用勾股定理求线段长】
【例1】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知
正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（ ）
A．√26 B．2√13 C．√10 D．√16【变式1-1】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=2,∠B=60°,∠C=45°，
求BC和AC的长．
【变式1-2】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB长比AC长大1，BC=15，D
是AB上一点，BD=9，CD=12．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC长．
【变式1-3】（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图OP=1，过P作PP ⊥OP且PP =1，得
1 1
，再过点 作 且 ，连接 ，得 ；又过点 作 且
OP =√2 P P P ⊥OP P P =1 OP OP =√3 P P P ⊥OP
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2
，得 ；依此法继续作下去，得 __．
P P =1 OP =2 OP 2+OP 2+OP 2+OP 2+…+OP 2=
2 3 3 1 2 3 4 10
【题型2 利用勾股定理求面积】
【例2】（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以
Rt△ABC(∠ACB=90°)的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S ，左下不重叠部分的面积记作S ，若S =3，则S 的值是（ ）
1 2 1 2
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【变式2-1】（2023春·北京昌平·八年级校考阶段练习）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图
形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC，灰色部
分面积记为S ，黑色部分面积记为S ，白色部分面积记为S ，则（ ）
1 2 3
A．S =S B．S =S C．S =S D．S =S - S
1 2 2 3 1 3 1 2 ❑ 3
【变式2-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上
的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且
△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【变式2-3】（2023春·八年级单元测试）在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三
个正方形的面积分别 为 a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次为 S1，S2，S3，S4，则 S1＋S2＋S3
＋S4＝( )A．a＋b B．b＋c C．a＋c D．a＋b＋c
【题型3 利用勾股定理解决折叠问题】
【例3】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝
8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=4，D为斜边
AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A'DE，A'E交BD于点F，
若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则DE为（ ）
A．2 B．2√5 C．2√2 D．4
【变式3-2】（2023春·福建厦门·八年级校考阶段练习）如图的实线部分是由 Rt△ABC 经过两次折叠得
到的，首先将 Rt△ABC 沿 BD 折叠，使点 C 落在斜边上的点 C' 处，再沿 DE 折叠，使点 A 落
在 DC' 的延长线上的点 A' 处．若图中 ∠C=90∘，DE=3cm，BD=4cm，则 DC' 的长为______．
【变式3-3】（2023春·全国·八年级阶段练习）有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm．
①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD =_________cm．②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则AM2、
BN2与M N2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【题型4 利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离】
【例4】（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读一段文字，再回答下列问题，已知在平面内两点坐标
， ， ， ，其两点间距离公式为 ，同时，当两点所在直线
P (x y ) P (x y ) P P =√(x -x ) 2+(y - y ) 2
1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1
在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，两点间距离公式可化简为|x -x |或|y - y |．
2 1 2 1
(1)已知A(3,5)，B(-2,-1)，则A、B两点间的距离为 ；
(2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-1，则A，B两点间的距离为
；
(3)已知A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为5.且A，B两点间的距离为3，则点B的横坐标为
；
(4)已知一个三角形各顶点坐标为A(0,6)，B(-3,2)，C(3,2)，请判定此三角形的形状，并说明理由．
【变式4-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，Rt△AOB的顶点A(2，1)，B(-2，n)分别在第一，
二象限内，∠AOB=90°，则n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式4-2】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）平面直角坐标系 中，已知点 ，且实
xOy P(m,2n2-4)
数m，n满足m-n2+4=0，则点P到原点O的距离的最小值为______．【变式4-3】（2023春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）阅读理解：说明代数式 的几
√x2+1+√(x-3) 2+4
何意义，并求它的最小值．
解： ．
√x2+1+√(x-3) 2+4=√(x-0) 2+1+√(x-3) 2+22
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点 是x轴上一点，则 可以看成点P与点
P(x,0) √(x-0) 2+12
的距离， 可以看成点P与点 的距离，所原代数式的值可以看成线段 与 长
A(0,1) √(x-3) 2+22 B(3,2) PA PB
度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点A'，则PA=PA'．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小
值，而点A'，B间的直线段距离最短，所以PA'+PB的最小值为线段A'B的长度．为此，构造直角三角形
A'CB，因为A'C=3,CB=3，所以由勾股定理得A'B=3√2，即原式的最小值为3√2．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 ，点
√(x-1) 2+1+√(x-2) 2+9 P(x,0) A(1,1)
B__________的距离之和．（填写点B的坐标）
(2)代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 ．与点A__________、点
√x2+49+√x2-12x+37 P(x,0)
B__________的距离之和．（填写点A，B的坐标）
(3)求出代数式 的最小值．
√x2+49+√x2-12x+37
【题型5 利用勾股定理证明线段的平方关系】
【例5】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫
做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．（1）若AB=5，OA=3，OC=4，则BC=______；
（2）若AD=√2，BC=√5，则AB2+CD2=______；
（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，则m，n，c，d之间的数量关系是______．
【变式5-1】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，
c，若∠A=90°，则（ ）
A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2 C．b2+c2=a2 D．a+c=b
【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与
形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的
发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，
西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们
冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常
见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网
友是________（填写数字序号即可）．
【变式5-3】（2023春·湖北·八年级校考期中）已知如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上．求证：（1）AD2-AB2=BD⋅CD；
（2）若D在CB上，结论如何，试证明你的结论．
【题型6 勾股定理验证方法的应用】
【例6】（2023春·山西太原·八年级统考期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短
边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分
割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示
的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a=3，b=1，则长方形的面积为______.
【变式6-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，
分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为S ,S ,S ,S ，若S +S =135,S =49，则S =
1 2 3 4 1 4 3 2
（ ）
A．184 B．86 C．119 D．81
【变式6-2】（2023春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明
了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼
成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形
的面积为25，则图2中EF的长为（ ）A．3 B．4 C．2√2 D．3√2
【变式6-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪
三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2
由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成． 将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方
形ABCD的面积分别记为S ,S ，S ． 若S +S +S =18， 则正方形EFGH的面积为_______．
1 2 3 1 2 3
【题型7 勾股树问题】
【例7】（2023春·全国·八年级阶段练习）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S ，以CD为斜边作等腰
1
直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S ，⋯按此规律继续下去，
2
则S 的值为（ ）
2022A．(1) 2022 B．(1) 2021 C．(√2) 2022 D．(√2) 2021
2 2 2 2
【变式7-1】（2023春·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是
由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 OA =A A =A A =⋅⋅⋅=A A =1 ，现把图2中的直
1 1 2 2 3 8 9
角三角形继续作下去如图3所示，若 OA ⋅OA 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（ ）
3 n
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-2】（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角
形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的
形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作
图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为______．
【变式7-3】（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现
之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记
载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，
流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分
别为S ，S ，S ，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S +S =S 的有________个．
1 2 3 1 2 3
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为
S ，S ，直角三角形面积为S ，也满足S +S =S 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S ，S ，S 的
1 2 3 1 2 3 1 2 3
数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M
的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=__________．
【题型8 勾股定理在格点中的应用】
【例8】（2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、√13，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道
题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个
顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ；
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为√2、√13、√17，请利用图②的
正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的△ABC．并求出它的面积．
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为√5a、2√2a、√17a（a＞0），请利用图③的正方形网格（每个小正方形的边
长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
(4)若△ABC三边的长分别为 、 、2 （m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图
√m2+16n2 √9m2+4n2 √m2+n2
法求出这个三角形的面积．
【变式8-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC
的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．3
【变式8-2】（2023春·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点
称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点
E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所
示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为√65，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方
形ABCD的边长为√65时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括5）．【题型9 直角三角形中的分类讨论思想】
【例9】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）△ABC中，AB=20，AC=13，BC上的高为12，求BC的
长．
【变式9-1】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，
AB=5，点E为射线BC上一点，若△ABE是直角三角形，则△ABE的面积是___________.
【变式9-2】（2023春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）在△ABC中，
AB=20，AC=13，AD为BC边上的高，且AD=12，△ABC的周长为______．
√3
【变式9-3】（2023·黑龙江哈尔滨·八年级期中）已知在△ABC中，AB=√3，AC=1，S = ，则
△ABC 4
BC的长是___________．
【题型10 利用勾股定理解决动点问题】
【例10】（2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AB=10，AC=6，动点P从点B出发，以每秒2个单位长的速度，沿射线BC运动，设运动时间为t秒，请解
答以下问题：
(1)BC边的长为________；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值，写出求解过程；
(3)当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值．
【变式10-1】（2023春·河南信阳·八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是AB上一
个动点，F是AD上一个动点（点F不与点D重合）．连接EF把△AEF沿EF折叠，使点A的对应点A'总
落在边DC上．若△A'EC是以A'E为腰的等腰三角形，则A'D的长为_____________________．
【变式10-2】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD
＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值
是______．
【变式10-3】（2023·河南驻马店·八年级驻马店市第二初级中学校考期中）如图，在平面直角坐标系 xOy
中，点 A，B 的坐标分别为 A（0，2），B（8，8），点 C（m，0）为 x 正半轴 上一个动点．
（1）当 m＝4 时，写出线段 AC＝ ，BC＝ ．
（2）当 0＜m＜8 时，求 ABC 的面积．（用含 m 的代数式表示）
（3）当点 C 在运动时，是△否存在点 C 使 ABC 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；
如果不存在， 请说明理由． △
