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专题 16.4 二次根式运算的四大题型专项训练（40 题）
【人教版】
【题型1 二次根式的乘除运算】
3
1．（23-24九年级·安徽·专题练习）计算：2❑√12× ÷3❑√2．
4
1
【答案】 ❑√6
2
【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相
乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ．
3
【详解】解：2❑√12× ÷3❑√2
4
( 3 1)√12
= 2× × ❑
4 3 2
1
= ❑√6
2
√ 2 √ 1 ( √ 2)
2．（23-24·山东青岛·模拟预测）❑1 ÷3❑2 × −❑1
3 3 5
1
【答案】−
3
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的乘
除法法则计算即可．
√5 √7 ( √7)
【详解】解：原式=❑ ÷3❑ × −❑
3 3 5
√5 3 7 1
=−❑ × × ×
3 7 5 3
1
=− ．
3
√3
3．（23-24九年级·吉林·期中）计算：❑√3×3❑√25÷❑ ．
2【答案】15❑√2
【分析】本题主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的运算法则，是解题的关键．根据二次根式
的乘除混合运算法则，即可求解．
√ 3
【详解】解：原式=3❑3×25÷
2
=15❑√2．
√ 1 1 √5
4．（23-24九年级·吉林·阶段练习）计算：−❑√3×2❑2 ÷ ❑ ．
3 4 2
8❑√70
【答案】−
5
√7 ❑√10
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先整理得−❑√3×2❑ ÷ ，再把除法化为乘法，得
3 8
2❑√21 4❑√10
−❑√3× × ，再化简运算，即可作答．
3 5
√7 ❑√10 2❑√21 4❑√10 8❑√70
【详解】解：原式=−❑√3×2❑ ÷ =−❑√3× × =− ．
3 8 3 5 5
3 3
5．（23-24九年级·上海杨浦·期中）计算： ❑√3×❑√2÷ ❑√3×❑√2．
4 2
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答．
3 3
【详解】解： ❑√3×❑√2÷ ❑√3×❑√2
4 2
3 3
= ❑√6÷ ❑√3×❑√2
4 2
3 2
= ❑√6× ×❑√2
4 3❑√3
3 2 ( 1 )
= × × ❑√6× ×❑√2
4 3 ❑√3
1
= ×2
2
=1．
√1 3 √ 2
6．（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）化简计算9❑√45÷3❑ × ❑2 ．
5 20 39
【答案】 ❑√6
2
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行乘除运算即可．
√1 3 √ 2
【详解】解：9❑√45÷3❑ × ❑2
5 20 3
1 3 √ 8
=9× × ×❑45×5×
3 20 3
9
= ×❑√25×4×6
20
9
= ×10×❑√6
20
9
= ❑√6．
2
2 ( 2 ) 1
7．（23-24九年级·安徽铜陵·期中）化简： ❑√16a÷ − ❑√ab × ❑√4b(a>0，b>0)
3 3 6
4
【答案】−
3
【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算．先利用二次根式的性质化简，再根据二
次根式的乘除混合运算法则计算即可求解．
2 ( 2 ) 1
【详解】解： ❑√16a÷ − ❑√ab × ❑√4b
3 3 6
8❑√a ( 2 ) ❑√b
= ÷ − ❑√ab ×
3 3 3
8❑√a ( 3 ) ❑√b
= × − ×
3 2❑√ab 3
4
=− ．
3
8．（23-24九年级·福建福州·阶段练习）计算：
3 ( 1 ) √ 2
(1) ❑√20× − ❑√48 ÷❑2 ；
2 3 3
❑√3a (√ b √ 1 )
(2) ⋅ ❑ ÷2❑ ．
2b 2a 3b
【答案】(1)−3❑√103❑√2
(2)
8
【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可；
（2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可．
3 ( 1 ) √ 2
【详解】（1）解： ❑√20× − ❑√48 ÷❑2
2 3 3
3 ( 4❑√3) 2❑√6
= ×2❑√5× − ÷
2 3 3
( 4❑√3) 3
=3❑√5× − ×
3 2❑√6
4❑√3 3
=−3❑√5× ×
3 2❑√6
4❑√3 3
=−3❑√5× ×
3 2❑√6
=−3❑√10
❑√3a (√ b √ 1 )
（2） ⋅ ❑ ÷2❑
2b 2a 3b
❑√3a (√ b √ 4 )
= ⋅ ❑ ÷❑
2b 2a 3b
❑√3a √ b 4
= ⋅❑ ÷
2b 2a 3b
❑√3a √ b 3b
= ⋅❑ ×
2b 2a 4
❑√3a b❑√6a
= ⋅
2b 4a
3❑√2
=
8
9．（23-24九年级·全国·专题练习）计算：2 √ 3
(1) ❑3 ×(−9❑√45)；
3 4
√1 √ 1 ( √1)
(2)❑ ×❑1 ÷ −3❑ ．
3 2 8
√b
(3)6a❑√a2b5÷(−2❑√a3b)×❑ ．
a
【答案】(1)−45❑√3
2
(2)−
3
(3)−3b2❑√b
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
（3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．
2 √ 3
【详解】（1）解： ❑3 ×(−9❑√45)
3 4
2 √15
= ❑ ×(−27❑√5)
3 4
2 ❑√15
= × ×(−27❑√5)
3 2
❑√15
= ×(−27❑√5)
3
=−45❑√3；
√1 √ 1 ( √1)
（2）❑ ×❑1 ÷ −3❑
3 2 8
√1 √3 ( ❑√2)
=❑ ×❑ ÷ −3×
3 2 4
√1 ( 3❑√2)
=❑ ÷ −
2 4❑√2 ( 4 )
= × −
2 3❑√2
2
=− ．
3
√b
（3）6a❑√a2b5÷(−2❑√a3b)×❑
a
√a2b5 b
=−3a❑ ×
a3b a
√b5
=−3a❑
a2
√b5
=−3❑ ×a2
a2
=−3❑√b5
=−3b2❑√b．
10．（23-24九年级·全国·假期作业）计算：
(1)❑√27×❑√50÷❑√6；
√1 2 √ 2
(2)3❑√45÷❑ × ❑2 ；
5 3 3
√2 ( 1 ) 1 √2
(3)3❑ × − ❑√15 ÷ ❑ ；
3 8 2 5
√a
(4)8❑√a2b÷2❑√ab·❑ (a>0,b>0)．
b
【答案】(1)15
(2)20❑√6
15
(3)−
4
4a
(4) ❑√b
b
【分析】本题考查了二次根式的混合运算（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（3）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（4）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：原式=3❑√3×5❑√2÷❑√6=15❑√6÷❑√6=15
2 √ 1 8
（2）原式=3× ×❑45÷ ×
3 5 3
=2×❑√600=20❑√6；
1 √2 5 3 15
（3）原式3×(− )×2❑ ×15× =− ×5=− ；
8 3 2 4 4
√a2b a √a2 4a
（4）原式=4❑ ⋅ =4❑ = ❑√b．
ab b b b
【题型2 二次根式的加减运算】
√1
11．（23-24九年级·辽宁盘锦·阶段练习）计算：❑√16+√3−8−❑ +2(2−❑√3)+3❑√3．
4
11
【答案】 +❑√3
2
【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的加减运算，先计算算术平方根，立方根，乘法运算，
再合并即可；
√1
【详解】解：❑√16+√3−8−❑ +2(2−❑√3)+3❑√3
4
1
=4−2− +4−2❑√3+3❑√3
2
11
= +❑√3；
2
1 √1
12．（23-24九年级·广东汕头·期末）计算：6❑√12−2❑√27+ ❑√8−4❑ ．
2 2
【答案】6❑√3−❑√2
【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，二次根式性质，先根据二次根式性质进行化简，然后根据二
次根式加减运算法则进行计算即可．
1 √1
【详解】解：6❑√12−2❑√27+ ❑√8−4❑
2 2
1 ❑√2
=6×2❑√3−2×3❑√3+ ×2❑√2−4×
2 2=12❑√3−6❑√3+❑√2−2❑√2
=6❑√3−❑√2．
√1
13．（23-24九年级·青海西宁·期末）计算：2❑√20−10❑ +❑√45．
5
【答案】5❑√5
【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式=4❑√5−2❑√5+3❑√5
=5❑√5．
14．（23-24九年级·广西玉林·期末）计算下列各式的值：
(1)(❑√3+❑√2)−❑√2
(2)√327−(❑√3−❑√5)−|❑√5−❑√3)
【答案】(1)❑√3
(2)3
【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根和绝对值的运算，熟练掌握运算法则并正确求解
是解答的关键．
（1）先去括号，再加减运算即可；
（2）先计算立方根和化简绝对值，然后加减运算即可．
【详解】（1）解： (❑√3+❑√2)−❑√2
=❑√3+(❑√2−❑√2)
=❑√3+0
=❑√3；
（2）解：原式=3−❑√3+❑√5−❑√5+❑√3
=3．
15．（23-24九年级·四川自贡·期末）计算：❑√18−(❑√8−❑√4)．
【答案】2+❑√2
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求
解．【详解】解：原式=3❑√2−(2❑√2−2)
=3❑√2−2❑√2+2
=2+❑√2．
√9 √1
16．（23-24九年级·甘肃定西·阶段练习）计算：❑ −❑ +❑√8．
2 2
【答案】3❑√2
【分析】此题考查了二次根式的加减法，先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可．
√9 √1
【详解】解：❑ −❑ +❑√8
2 2
3❑√2 ❑√2
= − +2❑√2
2 2
=3❑√2
17．（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）（1）计算：15❑√3+❑√27−❑√48
2 √x √1
（2）化简： ❑√9x+6❑ −x❑
3 4 x
【答案】（1）14❑√3；（2）4❑√x
【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）先化简各二次根式，再合并即可；
（2）先化简各二次根式，再合并即可；
【详解】解：（1）15❑√3+❑√27−❑√48
=15❑√3+3❑√3−4❑√3
=14❑√3；
2 √x √1
（2） ❑√9x+6❑ −x❑
3 4 x
=2❑√x+3❑√x−❑√x
=4❑√x；
18．（23-24九年级·河北保定·期中）计算
√1 1
（1）4❑√2−(❑√18+❑ ) （2）2❑√75−3❑√27+ ❑√12
2 2
❑√2
【答案】（1） ;（2）2❑√3.
2
【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，去括号合并同类二次根式即可得到答案；
（2）先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案．√1
【详解】解：（1）4❑√2−(❑√18+❑ )
2
1
=4❑√2−3❑√2− ❑√2
2
❑√2
= ,
2
1
（2）2❑√75−3❑√27+ ❑√12
2
=10❑√3−9❑√3+❑√3
=2❑√3.
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握化简与合并同类二次根式的法则是解题的关键．
2 √x √1
19．（23-24九年级·湖北黄冈·阶段练习）化简： ❑√9x+6❑ −2x❑
3 4 x
【答案】3❑√x
【分析】分别将每项计算出来，再化简．
2
【详解】解：原式= ×3❑√x+3❑√x−2❑√x
3
=3❑√x．
【点睛】此题考查学生的计算能力，此题属于低档试题，计算要小心．
20．（23-24九年级·四川广安·期中）计算：
√1
(1)2❑√12+6❑ −3❑√48
3
2 √x √1
(2) ❑√9x+6❑ −2x❑
3 4 x
【答案】(1)−6❑√3
(2)3❑√3
√1 ❑√3
【分析】（1）将二次根式❑√12=2❑√3，❑ = ，❑√48=4❑√3 化简，然后再合并同类二类根式即可．
3 3
√x ❑√x √1 ❑√x
（2）二次根式里的未知数保证二次根式有意义，化简❑√9x=3❑√x ，❑ = ，❑ ，然后合并同
4 2 x x
类项即可．
❑√3
【详解】（1）解：原式=2❑√3×4+6× −3❑√3×16
3=4❑√3+2❑√3−12❑√3
=−6❑√3
故答案是：−6❑√3 ．
2 ❑√x ❑√x
（2）解：原式= ×3❑√x+6× −2x·
3 2 x
=2❑√x+3❑√x−2❑√x
=3❑√x
故答案是：3❑√x ．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，二次根式的加减法运算．掌握二次根式的意义，性质，化简的方
法是解题的关键．
【题型3 二次根式的混合运算】
❑√2 2❑√6
21．（23-24·甘肃金昌·模拟预测）计算：❑√18÷ × −3❑√6．
2 3
【答案】❑√6
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
先把除法化为乘法，再算乘除法，最后合并同类二次根式即可．
2 2❑√6
【详解】解：原式=3❑√2× × −3❑√6
❑√2 3
=4❑√6−3❑√6
=❑√6．
22．（23-24九年级·山东聊城·阶段练习）计算：
√1
(1)❑√27×❑ −(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
3
(2)(❑√3−2) 2+❑√12+❑√48
【答案】(1)1
(2)7+2❑√3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先根据二次根式的乘法法则、平方差公式进行计算，再计算加减即可得出答案；
（2）先根据完全平方公式将括号打开，根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可．
√1
【详解】（1）解：❑√27×❑ −(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
3√ 1
=❑27× −(5−3)
3
=3−5+3
=1；
（2）解：(❑√3−2) 2+❑√12+❑√48
=3−4❑√3+4+2❑√3+4❑√3
=7+2❑√3．
23．（23-24九年级·云南昆明·期末）计算
√1
(1)−❑√24÷❑√2−❑ ×❑√12+❑√48；
3
√1
(2)(❑√8+❑√3)×❑√6−4❑ ．
2
【答案】(1)2❑√3−2
(2)4❑√3+❑√2
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是∶
（1）先利用二次根式的除法、乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可；
（2）先利用二次根式的乘法法则计算，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式=−2❑√6÷❑√2−❑√4+4❑√3．
=−2❑√3−2+4❑√3
=2❑√3−2．
（2）解：原式=(2❑√2+❑√3)×❑√6−2❑√2
=2❑√2×❑√6+❑√3×❑√6−2❑√2
=4❑√3+3❑√2−2❑√2
=4❑√3+❑√2．
24．（23-24九年级·山东烟台·期末）计算：
√5 √1
(1)❑ ×❑√27−❑√10÷❑ ；
3 2
(2)(2❑√5−4) 2 −(2❑√5+4) 2．
【答案】(1)❑√5
(2)−32❑√5【分析】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次
根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
（1）先利用二次根式的乘除法法则运算，再进行相减即可；
（2）先根据完全平方公式计算，然后合并即可．
√5 √ 1
【详解】（1）原式=❑ ×27−❑10÷
3 2
=❑√45−❑√20
=3❑√5−2❑√5
=❑√5；
（2）原式=(2❑√5−4+2❑√5+4)(2❑√5−4−2❑√5−4)
=4❑√5×(−8)
=−32❑√5．
25．（23-24九年级·河南驻马店·期末）计算：
( √1)
(1) ❑√48−6❑ ÷3；
3
(2)(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)+(❑√3+2) 2．
2
【答案】(1) ❑√3
3
(2)9+4❑√3
【分析】本题考查二次根式的混合运算，考查了二次根式的除法法则，二次根式的化简，平方差公式和完
全平方公式．正确化简二次根式是解题的关键．
（1）先算括号内的减法，再算除法；
（2）先利用平方差公式及完全平方公式将原式展开，然后去括号再合并即可．
( √1)
【详解】（1）解： ❑√48−6❑ ÷3
3
( ❑√3)
= 4❑√3−6× ÷3
3=(4❑√3−2❑√3)÷3
=2❑√3÷3
2❑√3
=
3
2
= ❑√3；
3
（2）解：(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)+(❑√3+2) 2
=5−3+(3+4❑√3+4)
=5−3+3+4❑√3+4
=9+4❑√3．
26．（23-24九年级·吉林白城·阶段练习）计算：(2−❑√3) 2+(❑√27−❑√12)÷❑√3．
【答案】8−4❑√3
【分析】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式=(2−❑√3) 2+(3❑√3−2❑√3)÷❑√3
=(2−❑√3) 2+❑√3÷❑√3
=4−4❑√3+3+1
=8−4❑√3．
27．（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期中）计算：
√1
(1)❑√48÷❑√3+❑ ×❑√12−❑√24
2
(2)(7+4❑√3)(7−4❑√3)−(3❑√5−1) 2
【答案】(1)4−❑√6
(2)6❑√5−45
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
√1
【详解】（1）解：原式=❑√48÷3+❑ ×12−2❑√6
2
=❑√16+❑√6−2❑√6=4−❑√6
（2）解：原式=49−48−(45−6❑√5+1)
=1−46+6❑√5
=6❑√5−45
【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
2 √1 √ 1 ❑√2 √ 3
28．（23-24九年级·上海·期末）计算：❑√12+ −4❑ −2+3❑1 ÷ ×❑ ．
❑√3−1 3 7 2 28
53
【答案】 ❑√3−1
21
【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.
2 √1 √ 1 ❑√2 √ 3
【详解】❑√12+ −4❑ −2+3❑1 ÷ ×❑
❑√3−1 3 7 2 28
4 √8 1 3
=2❑√3+(❑√3+1)− ❑√3−2+(3×2)❑ × ×
3 7 2 28
4 6
=2❑√3+❑√3+1− ❑√3−2+ ❑√3
3 7
53
= ❑√3−1.
21
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
x❑√y−y❑√x y❑√x+x❑√y
29．（23-24九年级·广东肇庆·期中） −
x❑√y+ y❑√x y❑√x−x❑√y
2x+2y
【答案】
x−y
【分析】先通分，然后再进行加减即可．
x❑√y−y❑√x x❑√y+ y❑√x
【详解】原式= +
x❑√y+ y❑√x x❑√y−y❑√x
(x❑√y−y❑√x) 2 (x❑√y+ y❑√x) 2
= +
(x❑√y+ y❑√x)(x❑√y−y❑√x) (x❑√y+ y❑√x)(x❑√y−y❑√x)
x2y−2xy❑√xy+ y2x x2y+2xy❑√xy+ y2x
= +
x2y−y2x x2y−y2x2x2y+2y2x
=
x2y−y2x
2x+2y
=
x−y
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了完全平方公式，平方差公式，分式的化简等，熟练掌握
相关的运算法则是解题的关键．
30．（23-24九年级·黑龙江绥化·期中）计算
√ n ab n √m √ n
(1)(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )÷a2b2❑ ；
m m m n m
b−❑√ab a b a+b
(2)(❑√a+ )÷( + − )（a≠b）．
❑√a+❑√b ❑√ab+b ❑√ab−a ❑√ab
a2−ab+1
【答案】(1)
a2b2
(2)−❑√a+❑√b
【分析】
（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算
即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即
可．
【详解】（1）
√ n ab n √m √ n
解：(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )÷a2b2❑
m m m n m
√ n ab n √m 1 √m
=(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )⋅ ❑
m m m n a2b2 n
1 √ n m 1 √ m n √m m
＝ ❑ ⋅ − ❑mn⋅ + ❑ ⋅
b2 m n mab n ma2b2 n n
1 1 1
＝ － ＋
b2 ab a2b2a2−ab+1
= ．
a2b2
（2）
b−❑√ab a b a+b
解：(❑√a+ )÷( + − )
❑√a+❑√b ❑√ab+b ❑√ab−a ❑√ab
a+❑√ab+b−❑√ab a❑√a(❑√a−❑√b)−b❑√b(❑√a+❑√b)−(a+b)(a−b)
= ÷
❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
a+b a2−a❑√ab−b❑√ab−b2−a2+b2
= ÷
❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
a+b −❑√ab(a+b)
= ÷
❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
a+b ❑√ab(❑√a−❑√b)(❑√a+❑√b)
＝ ·
❑√a+❑√b −❑√ab(a+b)
=−❑√a+❑√b．
【点睛】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．
【题型4 二次根式的化简求值】
31．（23-24九年级·山东烟台·期末）已知|12a−b+9|+❑√4a−b+1=0，先化简再求
√a (√b √ 1)
❑√3a⋅❑ ⋅ ❑ ÷❑− 的值．
b a b
【答案】❑√−3ba，−3
{a=−1)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先根据非负数的性质求出 ，再根据二
b=−3
{a=−1)
次根式乘除法法则把所给代数式化简，再把 代入计算即可．
b=−3
{12a−b+9=0)
【详解】解：由题意得 ，
4a−b+1=0
{a=−1)
解得 ，
b=−3√a √b
∵原式=❑√3a❑ ❑ ×(−b)
b a
=❑√3a❑√−b
=❑√−3ba，
∴当a=−1，b=−3时，
原式=❑√−3×(−3)×(−1)=−3
32．（23-24九年级·河南许昌·期末）已知x=❑√3+1，求(4−2❑√3)x2−(❑√3−1)x+❑√3的值．
【答案】2+❑√3
【分析】本题主要考查化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．将x=❑√3+1代入式子即可得到答案．
【详解】解：∵ x=❑√3+1，
∴ x2=(❑√3+1) 2=(❑√3) 2+2❑√3+1=4+2❑√3
∴ (4−2❑√3)x2−(❑√3−1)x+❑√3=(4−2❑√3)(4+2❑√3)−(❑√3−1)(❑√3+1)+❑√3
[42−(2❑√3) 2)−[(❑√3) 2 −12)+❑√3=(16−12)−(3−1)+❑√3=2+❑√3.
1 1
33．（23-24九年级·甘肃武威·期末）已知x= ，y= ，求下列代数式的值：
2+❑√3 2−❑√3
(1)x2−y2；
y x
(2) + ．
x y
【答案】(1)−8❑√3
(2)14．
【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、分式加法运算、运用平方差公式和完全平方公
式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据题意可得x=2−❑√3，y=2+❑√3，进而可得x−y=−2❑√3，x+ y=4，xy=1，然后将原式整理
为(x+ y)(x−y)，然后代入求值即可；
(x−y) 2+2xy
（2）将原式整理为 ，然后代入求值即可．
xy
1 1
【详解】（1）解：∵x= =2−❑√3，y= =2+❑√3，
2+❑√3 2−❑√3
∴x−y=2−❑√3−2−❑√3=−2❑√3，x+ y=2−❑√3+2+❑√3=4，xy=(2−❑√3)×(2+❑√3)=22−(❑√3) 2=4−3=1，
∴x2−y2=(x+ y)(x−y)=4×(−2❑√3)=−8❑√3；
y x
（2）解： +
x y
x2+ y2
=
xy
(x−y) 2+2xy
=
xy
(−2❑√3) 2+2
=
1
=12+2
=14．
1
34．（23-24九年级·全国·专题练习）若x，y为实数，且y=❑√1−4x+❑√4x−1+ ．求
2
√ x y √ x y
❑ +2+ +❑ −2+ 的值．
y x y x
【答案】2❑√2
【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子❑√a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开
方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的
值，代入求值即可．
1
【详解】解：∵y=❑√1−4x+❑√4x−1+ 要有意义，
2
{1−4x≥0)
∴ ，
4x−1≥0
1 1 1
∴ ≤x≤ 即x= ，
4 4 4
1 1
∴y=❑√1−4x+❑√4x−1+ = ，
2 2
x 1 y
∴ = ， =2，
y 2 x
√ x y √ x y
∴❑ +2+ +❑ −2+
y x y x√1 √1
=❑ +2+2+❑ −2+2
2 2
√9 √1
=❑ +❑
2 2
3 ❑√2
= ❑√2+
2 2
=2❑√2．
1 6
35．（23-24九年级·上海嘉定·阶段练习）已知x=3+2❑√2,求：x2+ +6x+ +7的值．
x2 x
【答案】77
1
【分析】先逆用完全平方公式将原式进行变形，再通过x求出 的值，最后将它们同时代入变形后的式子
x
中求解即可．
1 6
【详解】解：x2+ +6x+ +7
x2 x
=x2+ 1 +2+6x+ 6 +5=(x+ 1 ) 2 +6 ( x+ 1) +5= ( x+ 1 +1 )( x+ 1 +5 )
x2 x x x x x
∵x=3+2❑√2
1 1
∴ = =3−2❑√2
x 3+2❑√2
∴原式=(3+2❑√2+3−2❑√2+1)(3+2❑√2+3−2❑√2+5)=7×11=77．
故原式的值为77．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除和乘方运算，解题关键在于先对原式进行变形再代入，以简化计
算，化简过程中涉及到了完全平方公式的逆用，计算过程中用到了因式分解法以及二次根式的分母有理化
等内容，要求考生不仅要熟练掌握运算规则，同时还要具备观察和分析问题的能力，这样才能快速准确的
计算出答案．
x−y x+ y+2❑√xy 1
36．（23-24九年级·上海·阶段练习）先化简，再求值： + ，其中x=3,y= .
❑√x−❑√y ❑√x+❑√y 3
8
【答案】2❑√x+2❑√y， ❑√3
3
【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，
合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．(❑√x−❑√y)(❑√x+❑√y) (❑√x+❑√y) 2
【详解】解：原式= +
❑√x−❑√y ❑√x+❑√y
=❑√x+❑√y+❑√x+❑√y
=2❑√x+2❑√y
1
当x=3,y= 时，
3
√1
原式=2❑√3+2❑
3
2
=2❑√3+ ❑√3
3
8
= ❑√3
3
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．
√ y √ x
37．（23-24九年级·甘肃武威·期中）已知 x+ y=−5，xy=4，求x❑ + y❑ 的值．
x y
【答案】−4
【分析】先根据x+ y=−5，xy=4，可判断x<0，y<0，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即
可．
{
a(a>0)
)
本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握
❑√a2=|a)=
0(a=0) 是解题的关键．
−a(a<0)
【详解】∵x+ y=−5<0，xy=4>0，
∴x<0，y<0，
√xy √xy ❑√xy ❑√xy
∴原式=x❑ + y❑ =−x⋅ −y⋅ =−2❑√xy .
x2 y2 x y
∵xy=4．
原式=−2×❑√4=−2×2=−4．
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 x y
38．（23-24九年级·北京·专题练习）已知x= ，y= ，求 + 的值．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 y2 x2
【答案】970
【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)(❑√3−❑√2)
【详解】解：∵x= = =5−2❑√6，
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3+❑√2)
y= = =5+2❑√6，
❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)
5−2❑√6 5+2❑√6
= +
∴原式
(5+2❑√6) 2 (5−2❑√6) 2
5−2❑√6 5+2❑√6
= +
49+20❑√6 49−20❑√6
(5−2❑√6)(49−20❑√6) (5+2❑√6)(49+20❑√6)
= +
(49+20❑√6)(49−20❑√6) (49−20❑√6)(49+20❑√6)
=245−100❑√6−98❑√6+240+245+100❑√6+98❑√6+240
=970．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式
的运算法则．
√x−6 ❑√x−6 √x2−2x+1
39．（23-24九年级·广东河源·期末）已知 ❑ = ，且 x 为奇数，求(x+1)❑ 的值．
9−x ❑√9−x x2−1
【答案】4❑√3
【分析】由二次根式的非负性可确定x的取值范围，再根据x为奇数可确定x的值，然后对原式先化简再代
入求值．
{x−6≥0)
【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得 ，
9−x>0
解得6≤x<9，且x为奇数，
∴x=7，
√ (x−1) 2
∴原式=(x+1)❑
(x+1)(x−1)
√x−1
=(x+1)❑
x+1
=❑√(x+1)(x−1)
=❑√(7+1)×(7−1)=4❑√3．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是
根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．
1 1
40．（23-24九年级·四川成都·阶段练习）已知x= ，y= ．
❑√10−3 ❑√10+3
（1）求x2+2xy+ y2的值．
❑√(x2−4x+4) ❑√(y2+2y+1)
（2）求 − 值．
x(x−2) y(y+1)
【答案】（1）40；（2）−6
【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；
（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．
1
【详解】（1）∵x= =❑√10+3，
❑√10−3
1
y= =❑√10−3，
❑√10+3
∴x+ y=2❑√10，x−y=6，
∴x2+2xy+ y2=(x+ y) 2=(2❑√10) 2=40．
（2）∵x=❑√10+3，y=❑√10−3，
∴x−2>0，y+1>0，
❑√(x2−4x+4) ❑√(y2+2y+1)
∴ −
x(x−2) y(y+1)
x−2 y+1
= −
x(x−2) y(y+1)
1 1
= −
x y
1 1
= −
❑√10+3 ❑√10−3
=❑√10−3−❑√10−3
=−6．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及分母有理化的方法、
完全平方公式的变形等知识点．
