文档内容
第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率
及全概率公式与贝叶斯公式
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
利用对立事件的概率公式求概率
2024年新Ⅱ卷，第18题,17分 独立事件的乘法公式
求离散型随机变量的均值
2023年新I卷，第21题,12分 利用全概率公式求概率 求离散型随机变量的均值
独立事件的乘法公式
2023年新Ⅱ卷，第12题,5分 利用互斥事件的概率公式求概率
独立重复试验的概率问题
2023年全国甲卷（理），
计算条件概率 无
第6题,5分
2022年新I卷，第20题,12分 计算条件概率 独立性检验解决实际问题
频率分布直方图的实际应用
2022年新Ⅱ卷，第19题,12分 计算条件概率 由频率分布直方图估计平均数
利用对立事件的概率公式求概率
2021年新I卷，第8题,5分 独立事件的判断 无
2020年全国甲卷（理），
独立事件的实际应用及概率 无
第19题,12分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握事件的相互独立性关系及其辨析
2.会独立事件的乘法公式计算
3.会条件概率的计算
4.会全概率及贝叶斯概率的计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般结合条件概率、全概率及贝叶斯概率综合考查，需重
点强化复习知识讲解
1. 事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事
件发生的概率没有影响．
2. 条件概率
条件概率的定义 条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1，
已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|
(2)如果B和C是两
B)．
个互斥事件，则
当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB)
P(B∪C|A)＝P(B|A)
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝
＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
3. 条件概率的三种求法
定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本
基本事件法
事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简
4. 全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)＞0，i＝1，2，…，n，则
1 2 n 1 2 n i
对任意的事件B Ω，BΩ＝B(A＋A＋…＋A)＝BA＋BA＋…＋BA，有P(B)＝
1 2 n 1 2 n
，此公式为全概率公式.
⊆
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包
含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情
况下发生的简单事件的概率的求和问题.
5. 贝叶斯公式
一般地,设 是一组两两互斥的事件,有 且 ,则对
任意的事件 有
考点一、 独立事件的判断
1．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面
三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件 ：所选盒中有中国结，事件 ：所选盒中有记事本，事件
：所选盒中有笔袋，则（ ）
A．事件 与事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C．事件 与事件 互斥 D．事件 与事件 相互独立
【答案】B
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可．
【详解】选项A，事件 和事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件
与事件 不互斥，A错误；
选项B， ， ， ，
，B正确；
选项C，事件 与事件 可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误；选项D， ， ， ，
，
与 不独立，故D错误．
故选：B．
2．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，
每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙
表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
1 1 5 6 1
【详解】P(甲)= ，P(乙)= ，P(丙)= ，P(丁)= = ， ，
6 6 36 36 6
1
P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)= =P(甲)P(丁)，
36
1
P(乙丙)= ≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙)，
36
故选：B
【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，
3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件
“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，
则（ ）
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答.
【详解】依题意，事件甲的概率 ，事件乙的概率 ，有放回取球两次的试验的基本事件
总数是 ，
显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为 ，
事件丙的概率 ，事件丁的概率 ，
对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率 ，甲与乙相互独立，A正确；对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率 ，甲与丙不独立，B错误；
对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率 ，乙与丙不独立，C错误；
对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率 ，乙与丁不独立，D错误.
故选：A
1．（2024·广东广州·模拟预测）掷出两枚质地均匀的骰子，记事件 “第一枚点数小于3”，事件
“第二枚点数大于4”，则 与 关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
【答案】C
【分析】利用古典概型分别求出 ，由 可得解.
【详解】由题意，掷出两枚质地均匀的骰子共有基本事件 个，
其中事件 有 ，共12个，
事件 有 ，共12个，事件 有
，共4个基本事件，
所以 ,
所以 ，故 相互独立，
答选：C
2．（24-25高二上·湖北·阶段练习）抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，
若用 表示红色骰子的点数，用 表示绿色骰子的点数，用 表示一次试验结果，设事件 ；
事件 ：至少有一颗点数为5；事件 ；事件 .则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 为互斥事件 B．事件 与事件 为互斥事件
C．事件 与事件 相互独立 D．事件 与事件 相互独立
【答案】D
【分析】分别写出事件 、 、 、 所包含的基本事件，根据互斥事件的定义判断A，B；根据独立事
件的定义判断C，D.
【详解】解：由题意可知 ；
；
；；
对于A，因为 ，所以事件 与事件 不是互斥事件，故错误；
对于B，因为 ，所以事件 与事件 不是互斥事件，故错
误；
对于C，因为 ， ， ，所以事件
与事件 不相互独立，故错误；
对于D，因为 ， ，
，
所以事件 与事件 相互独立，故正确.
故选：D.
3．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）（多选）一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别
为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件 “摸出的两个球的编号之和小于5”，事件
“摸出的两个球的编号都大于2”，事件 “摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A．事件 与事件 是互斥事件 B．事件 与事件 是对立事件
C．事件 与事件 是相互独立事件 D．事件 与事件 是互斥事件
【答案】ACD
【分析】先列举各事件，再根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率特征逐一判断即可；
【详解】列举各事件如下： ， ， ，
A：由互斥事件同时发生的概率为0，即 ，故A正确；
B：由对立事件的概率和为1， ， ， ，故B错误；
C：因为 ，故C正确；
D：事件 ，事件 ，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确；
故选：ACD.
4．（2024·广东珠海·一模）（多选）设A，B为随机事件，且 ， 是A，B发生的概率．
，则下列说法正确的是（ ）
A．若A，B互斥，则B．若 ，则A，B相互独立
C．若A，B互斥，则A，B相互独立
D． 与 相等
【答案】ABD
【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相
互独立事件的概念可判断C选项；由条件概率公式化简，可判断D选项.
【详解】对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，则 ，故A正确；
对于B：由相互独立事件的概念知，若 ，则事件A，B是相互独立事件，故B正确；
对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立，
例：抛掷一枚硬币的试验中，事件 “正面朝上”，事件 “反面朝上”，
事件 与事件 互斥，但 ， ，
所以不满足相互独立事件的定义，故C错误；
对于D： ，
，
所以 与 相等，故D正确.
故选：ABD.
考点二、 独立事件的乘法公式
1．（2024·辽宁·模拟预测）某疾病全球发病率为 ，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概
率）为 ，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为 ，则某人检测成阳性的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求得非患者检测为阳性的概率与患者检测为阳性的概率，可求得结论.
【详解】由题意，未患病者判定为阳性的概率为 ，患病者判定为阳性的概率为 ，
某人检测成阳性包含两种情况：①非患者检测为阳性的概率为 ；
②患者检测为阳性的概率为 ，
所以某人检测成阳性的概率为 ．
故选：D.
2．（2024·辽宁·模拟预测）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜
的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以
后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575
【答案】D
【分析】最终甲胜分三种情况，一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜，而每种情况又分甲先着子和乙先
着子，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】由题意知，
一二局甲胜的概率为： ，
一三局甲胜的概率为： ，
二三局甲胜的概率为： ，
因此最终甲胜的概率为 ，
故选：D.
3．（2024·天津和平·二模）为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．
在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．
已知甲回答正确的概率为 ，甲、丙两人都回答正确的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 ．若
规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为 ；若规定三
名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 ， ， ，则这个问题回答正确的概
率为 ．
【答案】 /
【分析】根据题意，设甲回答正确为事件 ，乙回答正确为事件 ，丙回答正确为事件 ，先由相互独立
事件的概率公式求出 、 的值，结合对立事件的性质求出第一空答案，利用全概率公式计算第二
空的答案．
【详解】根据题意，设甲回答正确为事件 ，乙回答正确为事件 ，丙回答正确为事件 ，
则 ， ， ，所以 ， ，
若规定三名同学都回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率 ，
若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 ， ， ，
则这个问题回答正确的概率 ．
故答案为： ； ．
4．（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋
手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则
（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率 ；
该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率 ；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率 .并对三者
进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 ，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
1．（2024·河南郑州·三模）拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为
1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）．
则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分抛掷次数为 及抛掷次数为 ，利用列举法及概率乘法公式计算即可得.
【详解】抛掷次数为 的概率为 ，点数可能为 或 ，
抛掷次数为 的概率为 ，
此时基本事件有 、 、 、 、 、 、 、 共八种，
其中点数之和至少为4的情况有 、 、 、 、 共五种，
故抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为 .
故选：A.
2．（2024·吉林·模拟预测）中国成功搭建了国际首个通信与智能融合的6G外场试验网，并形成贯通理论、
技术、标准和应用的全产业链创新环境.某科研院在研发6G项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团
队分别独立攻关.已知甲、乙团队攻克该项技术难题的概率分别为0.8和0.7，则该科研院攻克这项技术难题
的概率为 ．
【答案】0.94/
【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件求 ，即可得结果.
【详解】设甲、乙团队攻克该项技术难题分别为事件 ，
则 ，
可得 ，
所以该科研院攻克这项技术难题的概率为 .
故答案为：0.94.
3．（2024·湖南益阳·一模）在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三
名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为
.
【答案】
【分析】由分步乘法和分类加法原理，分两种情况讨论即可；
【详解】a获得冠军，第一轮中必须胜出，概率为 ，
由题意可得，第二轮比赛中可以分两种情况， 胜，概率为 ，然后 胜，由独立事件的乘法公式可得a
获得冠军的概率为 ；
第二种情况为 胜，概率为 ，然后 胜，由独立事件的乘法公式可得a获得冠军的概率为
；
由分类原理可得a获得冠军的概宰为 ，
故答案为： .
考点三、 条件概率的计算
1．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学
爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概
率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为 ，
记“该同学爱好滑雪”为事件 ,记“该同学爱好滑冰”为事件 ，
则 ，
所以 .
故选: .
2．（2024·天津·高考真题） 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到 的概率为
；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 ．
【答案】
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选
了 活动，他再选择 活动的概率.【详解】解法一：列举法
从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到 有6种可能性： ，
则甲选到 得概率为： ；
乙选 活动有6种可能性： ，
其中再选则 有3种可能性： ，
故乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 .
解法二：
设甲、乙选到 为事件 ，乙选到 为事件 ，
则甲选到 的概率为 ；
乙选了 活动，他再选择 活动的概率为
故答案为： ；
3．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为
；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
【答案】
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽
到A的条件下，第二次抽到A的概率.
【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则 .
故答案为： ； .
4．（2024·安徽安庆·三模）（多选）已知 ， ， ，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】ABD
【分析】根据条件概率公式，逐一判断即可.
【详解】A选项：因为 ， ，所以 ，
A正确；
B选项：因为 ， ，所以
，因此 ，B正确；
C选项：因为 ，所以
，C错误；
D选项：因为 ， ，所以 ，又因为
，所以 ，D正确.
故选：ABD
5．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分
为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患
该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii) ；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为
患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)
根据（i）结合已知数据求 .
【详解】（1）由已知 ，
又 ， ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为 ，
所以
所以 ，
(ii)
由已知 ， ，
又 ， ，
所以
1．（2024·广西·模拟预测）在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概
率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要
更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换，由条件概率的计算公式求解即可.
【详解】记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，
事件F：C需要更换，
则 ，
由条件概率公式可得 ．
故选：C．
2．（2024·广东江门·模拟预测）现有1000个苹果，其中900个是大果，100个是小果，现想用一台水果分
选机筛选出来．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为 ，把小果筛选为大果的概率为 经过一轮
筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽出一个，则这个“大果”是真的大果的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：设抽取的果是大果为事件 ，经过分选机筛选后是“大果”为事件 ，利用全概率公式求
得 ，再由条件概率公式得到所求概率；
法二：具体到有1000个苹果，计算出真正的“大果”的个数和筛选出的“大果”的个数，由古典概型得到
所求概率.
【详解】法一：设抽取的果是大果为事件 ，经过分选机筛选后是“大果”为事件 ，
则由题意可知 ，
所以 ，
所以这颗“大果”是真的大果的概率为 ，A正确；
法二：根据题意，从1000个苹果中机器筛选出的大果有 个，
而这些机选“大果"中真正的大果有下 个，
所以这颗“大果”是真的大果的概率为： ，A正确；
故选：A．
3．（2024·四川成都·模拟预测）（多选）随机事件 ， 满足 ， ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】CD
【分析】根据题意由相互独立事件的概率性质分析可判断 ， ；由概率加法公式可分析 ；计算
，验证 是否正确即可判断 .
【详解】由已知 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故 错误；
因为 ，故 错误；
，故 正确；
，
又 ， ， ，
所以 ，故 正确.
故选： .
【点睛】方法点睛：解决本题的关键是概率的性质和应用，以及条件概率的计算.
4．（2024·江西新余·模拟预测）小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为 ，
小郅胜小睿的胜率为 ，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继
续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者.
(1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？
(2)求最终小金获胜的概率.
(3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）.
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求解即可.
（2）根据互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求解即可.
（3）法一：利用条件概率求解即可；法二：根据事件的含义利用互斥事件概率加法公式和独立事件概率
乘法公式求解即可.
【详解】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意；
第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意；
所以需要下第四场比赛的概率为
（2）由题意，最终小金获胜的情况如下，
当小金第一场轮空，
第一场小郅胜小睿输，第二场小金胜小郅输，第三场小金胜小睿输，此时 ，
第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时 ，
则小金获胜 ，
当小金第一场不轮空，
第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时
，
第一场小金胜小郅输，第二场小睿胜小金输，第三场小郅胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时
，
第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小睿输，此时 ，
所以第一场小郅与小金比赛，小金获胜概率为 ，
同理，第一场小睿与小金比赛，小金获胜概率为 ，
故小金获胜概率为
（3）法一：设A：小金最终获胜；B：小郅第一场未轮空且获胜，则 ，
结合（2）知 ，法二：第一场小睿轮空时，小金最终获胜概率为 ，
第一场小金轮空时，小金最终获胜概率为 ，
5．（23-24高二下·山西临汾·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行
检测，得到一组数据 ，如下表:
性能指标 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
(1)求该项性能指标的样本平均数 的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中
近似为样本平均数 的值， ，试求 的值.
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机
床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件.
①求这件零件是次品的概率；
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，
且该项性能指标恰好在 内的零件个数为 ，求随机变量 的数学期望（精确到整数）.
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， .
【答案】(1) ；0.1359
(2)① ；② ；③1
【分析】（1）计算出平均数后可得 ，结合正态分布的性质计算即可得解；
（2）①借助全概率公式计算即可得；②借助条件概率公式计算即可得；③借助二项分布期望公式计算即
可得.
【详解】（1） ，
因为 ，所以 ，
则；
（2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件 ，
“抽取的零件为乙机床生产”记为事件 ，
“抽取的零件为次品”记为事件 ，
则 ， ， ， ，
则 ；
② ；
③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在 内的概率 ，
且随机变量 ，
所以 ，
所以随机变量Y的数学期望为1.
考点 四 、 全概率公式及应用
1．（2024·河南·模拟预测）已知 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出 ， ，再根据全概率公式得到方程，解得即可.
【详解】由题意可得 ， ，
所以 ，
解得 ．
故选：B．
2．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有 3种题库， 题库有5000道题， 题库有4000道题， 题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成 题库的正确率是0.92， 题库的正
确率是0.86， 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【答案】0.85
【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.
【详解】由题意知， 题库的比例为： ，
各占比分别为 ，
则根据全概率公式知所求正确率 ．
故答案为：0.85．
3．（2024·内蒙古包头·三模）设某工厂购进10盒同样规格的零部件，已知甲厂、乙厂、丙厂分别生产了
其中的4盒、3盒、3盒．若甲、乙、丙三个厂家生产该种零部件的次品率依次为 ， ， ，现从这
10盒中任取一盒，再从这盒中任取一个零部件，则取得的零部件是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06
【答案】C
【分析】由全概率公式计算即可求解．
【详解】根据题意，设任取一个零件，分别来自甲，乙，丙三厂的事件分别为 ，设任取一个零件为
次品为事件 ，
则 ， ，
所以
，
故选：C．
4．（2024·广东茂名·模拟预测）（多选）某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位
女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件 和 表示从甲队中
随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人
抽到的是男士，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】事件 ，事件 不能同时发生，求出 ， ， ， ， ，根据条件概
率、全概率公式计算逐项判断可得答案.
【详解】对于A，依题意，事件 ，事件 不能同时发生， ，故A正确；对于B， ， ， ，故B正确；
对于C， ，
，故C正确；
对于D， ，故D错误．
故选：ABC．
5．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，
故 ．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
1．（2024·贵州贵阳·二模）某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎，第一批占 ，次品率为 ；第二
批占 ，次品率为 .现从仓库中任抽取1个轮胎，则这个轮胎是合格品的概率是（ ）
A．0.046 B．0.90 C．0.952 D．0.954
【答案】D
【分析】借助全概率公式计算即可得.
【详解】设事件 为抽中第一批，事件 为抽中合格品，
则
.
故选：D.
2．（2024·安徽·一模）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次
品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，
30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率（ ）
A．0.054 B．0.0535 C．0.0515 D．0.0525
【答案】D
【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件 、 、 ，该零件为次品为事件，根据全概率公式求解.
【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件 、 、 ，该零件为次品为事件
，
则 ， ， ， ， ，
任取一个零件是次品的概率
，
故选：D
3．（2024·河南·二模）（多选）现有编号分别为 的三个盒子，其中 盒中共20个小球，其中
红球6个， 盒中共20个小球，其中红球5个， 盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽
取一个，记事件 ：“该球为红球”，事件 ：“该球出自编号为 的盒中”，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自 盒的概率最小
【答案】ACD
【分析】由古典概率先计算 ，再由条件概率计算得到A正确；由全概率计算得到B错误；由条件概
率得到C正确；由古典概率得到D正确.
【详解】A：由题 ，
，故A正确；
B：由选项A可得 ，故
B错误；
C：因为 ，所以 ，
所以 ，故C正确；D：由题该球来自 的概率为 ，该球来自 的概率为 ，该球来自 的概率为
，
所以该球来自 的概率最小，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题A，C关键在于应用条件概率公式即 .
4．（2024·江苏宿迁·三模）某批零件一级品的比例约为 ，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯
定不会发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为 ．某项任务需要使用该零件 次（若使
用期间出现故障则换一件使用）．
(1)某零件在连续使用3次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率；
(2)当 时，求发生故障次数 的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）记事件 “从这批产品中任取一件为一级品”，事件 “使用零件 次，没有发生故
障”，利用全概率公式求出 ，再由条件概率公式计算可得；
（2）依题意 的可能取值为 ， ， ，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【详解】（1）记事件 “从这批产品中任取一件为一级品”，则 ，
记事件 “使用零件 次，没有发生故障”，则 ， ．
则 ，
所以 ．
（2）依题意 的可能取值为 ， ， ．
所以 ，
，
，
所以 的分布列如下
0 1 2所以 ．
考点 五 、 贝叶斯概率公式及应用
1．（2024·湖南邵阳·三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为 ，乙加工的次品率
为 ，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的 ， ，任取一个
零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯公式即可求解.
【详解】设事件 “任取一个零件，取到的零件是次品”， “任取一个零件，来自甲工厂”，
“任取一个零件，来自乙工厂”，
由题意得 ， ， ， ．
因为 ，
所以 ．
故选：D．
2．（2024·江西上饶·模拟预测）越来越多的人喜欢参加户外极限运动，据调查数据显示， 两个地区分
别有 的人参加户外极限运动，两个地区的总人口数的比为 ．若从这两个地区中任意选取一人，
则此人参加户外极限运动的概率为 ；若此人参加户外极限运动，则此人来自 地区的概率为 ，那么
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设事件 ,分别求出相关事件的概率，利用全概率公式求 ，利用贝叶斯公式求 即可.
【详解】设 “此人参加户外极限运动”， “此人来自 地区”， “此人来自 地区”.
依题意， ,依题意，
；
.
故选：D.
3．（2024·贵州遵义·三模）（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件
A，B存在如下关系： .现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次
品率为 ，乙车床加工的次品率 ，丙车床加工的次品率为 ，加工出来的零件混放在一起，且甲、
乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的 ， ， ，设事件 ， ， 分别表示取到的零件
来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，利用独立事件的乘法公式求解即得；对于B，根据缩小样本空间的方法易得；对于C，利
用全概率公式计算即得；对于D，运用贝叶斯概率公式求解即得.
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B，因事件 可理解为，在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品，
故有 ，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D， ，故D正确.
故选：ACD.
4．（2024·福建厦门·模拟预测）甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除
颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任选一个箱子，再从中随机摸出一球.
(1)求摸出的球是黑球的概率；
(2)若已知摸出的球是黑球，用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.
【答案】(1)(2)该球取自乙箱的可能性更大
【分析】（1）由条件概率的定义，分别求出从甲箱摸出的球是黑球的概率和从乙箱摸出的球是黑球的概
率，然后由全概率公式，即可得答案.
（2）根据贝叶斯公式，分别求出摸出的黑球是取自甲箱和取自乙箱的概率，比较其大小，即可得到答案.
【详解】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件 表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，
则 ， ， ，
由全概率公式得：
.
（2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：
该球是取自甲箱的概率 ，
该球取自乙箱的概率 ，
因为 ，所以该球取自乙箱的可能性更大.
1．（2024·山东济南·三模）（多选）某同学投篮两次，第一次命中率为 ．若第一次命中，则第二次命中
率为 ；若第一次未命中，则第二次命中率为 ．记 为第i次命中，X为命中次数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式可判定A、D选项，利用期望与方差公式可判定B、C选项.
【详解】对于A，易知 ，故A正确；
对于D，易知 ，故D正确；对于B、C，易知 可取 ，则 ,
，所以 ，
，故B正确；C错误；
故选：ABD
2．（2024·广东佛山·模拟预测）（多选）中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举
办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为 ，李明与
甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，
下列说法正确的是（ ）
A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B．李明获胜的概率为
C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为
D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为
【答案】ABC
【分析】对于A，根据概率的乘法公式计算即可；对于B，李明获胜会受到和甲组比赛或乙组比赛的影响，
因此这是一个全概率问题，根据全概率公式计算即可；对于C、D，根据条件概率并结合B选项求解即可.
【详解】设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，事件C为“李明获
胜”，
则由题可知 ，
对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 ，故A正确；
对于B，李明获胜的概率为 ，
故B正确；
对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 ，故C正确；
对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 ，故D错误.
故选：ABC.
3．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理
论，随机事件A，B存在如下关系： .若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一
种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，
有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的
可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到 ，使用贝叶斯公式得到答案.
【详解】设检验结果呈现阳性为事件 ，此人患病为事件 ，
，
，
则 .
故选：C
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二
年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：
因发烧请
非发烧请假 合计
假
流感暴发前 10 30
流感暴发后 30
合计 70
(1)完成 列联表，并依据 的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有
影响．
(2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为 ，且 的因发烧请假的男生需要输液治疗，
的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这
名同学是女生的概率．
附： ．0．05 0．01 0．001
3．841 6．635 10．828
【答案】(1)表格见解析，有影响
(2)
【分析】（1）根据题意完成 列联表，计算 ，再与临界值比较即可；（2）利用条件概率公式求解.
【详解】（1）零假设为 ：流感暴发与请假的同学中发烧的人数之间相互独立．
完成列联表如下所示．
因发烧请
非发烧请假 合计
假
流感暴发前 10 20 30
流感暴发后 30 10 40
合计 40 30 70
根据列联表中的数据，经计算得
．
所以我们推断 不成立，即可以认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响．
（2）设 事件表示请假的同学为女生， 事件表示需要输液治疗，
， ，
则 ．
所以这名同学是女生的概率为 ．
一、单选题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）不透明的袋子里装有标号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的乒乓球，
有放回地依次取出2个球，设事件 {2个球的标号互不相同}，事件 {取出5号球}，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意求出 ,然后利用条件概率公式求解即可.
【详解】由题意得 ，
所以 ,
故选：A
2．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成
立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A选项，由 ， ，
可知 ，故A正确；
对于B选项， 成立的条件为 是两个独立事件，故B错误；
对于C选项，由 ， ，
故当 时才有 ，故C错误；
对于D选项，若要 成立，需要 ，
即 成立的条件为 是两个独立事件，故D错误.
故选：A．
3．（2024·山东菏泽·模拟预测）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车
站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为
0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ）A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得.
【详解】令事件A：经过的列车为和谐号；事件B，经过的列车为复兴号；事件C，列车未正点到达，
则 ，
于是 ，
所以该列车为和谐号的概率为 .
故选：D
4．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）有3台车床加工同一型号的零件，第 台加工的次品率分别为
，加工出来的零件混放在一起．已知第 台车床加工的零件数的比为 ，现任取一个
零件，记事件 “零件为第i台车床加工” ，事件 “零件为次品”，则 （ ）
A．0.2 B．0.05 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可.
【详解】根据题意可得： ；
；
由全概率公式可得：
；
故 .
故选：D.
二、多选题
5．（2024·吉林长春·模拟预测）设 、 是一个随机试验中的两个事件，若 ， ，
，则下列选项一定正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据条件概率公式求出 ，再由概率加法公式求出 .
【详解】因为 ， ，所以 ，故A正确，B错误；
又 且 ，
所以 ，故C正确，D错误.
故选：AC
6．（2024·广西柳州·模拟预测）已知随机事件A，B发生的概率分别为 ， ，下列说法
正确的是（ ）．
A．若 ，则A，B相互独立 B．若A，B互斥，则A，B不相互独立
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】由条件概率及相互独立事件的概率对选项逐一判断即可．
【详解】A：因为事件A，B相互独立 ，
，所以A，B相互独立，故A正确；
B：因为A，B互斥，则 ，故A，B不可能相互独立，故B正确；
C： ， ，故C正确；
∵ ∴
D： ， ， ，故D错误．
∵ ∴ ∴
故选：ABC．
7．（2024·江苏镇江·三模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件 ，“乙正面
向上”为事件 ，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件 ，则下列判断正确的是（ ）
A． 与 相互对立 B． 与 相互独立
C． D．
【答案】BD
【分析】根据独立事件的定义判断B，根据互斥事件、对立事件的定义判断A，根据独立事件及条件概率的概率公式判断C、D.
【详解】对于A，由题意可知，事件 与事件 有可能同时发生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件 与事件 不是互斥事件，当然也不是对立事件，故A错误；
对于B，依题意 ， ， ，
所以事件 与事件 相互独立，故B正确；
对于C、D， ，因为 ，所以 ，
所以 ，故D正确，C错误．
故选：BD．
8．（2024·云南大理·模拟预测）假设 是两个事件，且 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】A选项，利用条件概率公式得到 ；B选项， 与 相互独立，故
；C选项，根据 求出答案；D选项，利用条件概率
得到 .
【详解】A选项，因为 ， ， ， ，
所以 ，A正确；
B选项，因为事件 与 相互独立，所以 与 相互独立，
所以 ，B错误；
C选项， ，C错误；
D选项，因为 ，所以 ，D正确.
故选：AD.三、填空题
9．（2024·浙江·模拟预测）已知 ， ， ，则 .
【答案】 /
【分析】代入全概率公式，即可求解.
【详解】 ,
， ，
即 ，则 .
故答案为：
10．（23-24高二下·广东广州·期末）某药厂用甲、乙两地收购而来的药材加工生产出一种中成药，这两个
地区的供货量分别占 ， ，且用这两地的药材能生产出优等品的概率分别为 ， ，现从该厂产
品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为 ．
【答案】 /
【分析】根据全概率公式计算可得.
【详解】记产品是优等品为事件 ，来自甲地为事件 ，来自乙地为事件 ，
则 ， ， ， ，
所以 ，
故从该厂产品中任意取出一件产品，则此产品是优等品的概率为 .
故答案为：
一、单选题
1．（2024·上海奉贤·三模）如果 分别是 的对立事件，下列选项中不能判断件 与事件 相互独立
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，因为 ，所以 相互独立，故A正确；对于B，因为 ，
所以 ，
所以 相互独立，所以 相互独立，故B正确；
对于C， ，
所以 ，所以无法判断 相互独立，故C错误；
对于D， ，
因为 ，所以 相互独立，故D正确.
故选：C.
2．（2024·河南南阳·三模）甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个
黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以 ， ， 表示事件“取出的是红球”、“取出的是白
球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以 表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不
正确的是（ ）
A．事件 ， ， 是两两互斥的事件 B．事件 与事件 为相互独立事件
C． D．
【答案】B
【分析】由互斥事件，互相独立事件的概念以及条件概率的计算公式逐项判断即可.
【详解】由题意可得 ， ， ，
显然事件 ， ， 是两两互斥的事件，故A正确；
，故D正确；
， ，
所以 ，故事件 与事件 不是相互独立事件，故B错误；
，故C正确；
故选：B.
二、多选题
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知随机事件 满足 ，则下列说法正确的是（ ）A．若 与 互相独立，则
B．若 ，则 与 互相独立
C．若 与 互斥，则
D．若 ，则 与 互斥
【答案】BC
【分析】对A，根据条件结合概率的加法公式运算判断；对B，由相互独立事件的定义可判断；对C，由
与 互斥，所以 ，结合全概率公式可得解；对D，当 ， 相互独立时，由条件概率公式可得
成立，但 与 不一定互斥，.
【详解】对于A，若 与 相互独立，则 ，
所以 ，故A错误；
对于B，因为 ，所以 与 相互独立，故B正确；
对于C，因为 与 互斥，所以 ，又 ，
所以 ，故C正确；
对于D，当 ， 相互独立时， 与 也相互独立，则， ，
满足条件成立，但 与 不一定互斥，故D错误.
故选：BC.
4．（2024·云南·模拟预测）现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个红色球，1个黄
色球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内装有3个红色球，2个黄色球．
若第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球
同色的这个箱子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为
B．第二次抽到蓝色球的概率为
C．如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子
D．如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放法共有150种
【答案】ACD
【分析】由古典概率公式可判断A；由条件概率和全概率公式可判断B，C；由不同元素的分组和分配问题可判断D.
【详解】对于选项A，在第一次抽到黄色球的条件下，将抽到的黄色球放入黄色箱子内，
此时黄色箱子内有2个红色球，1个黄色球，1个蓝色球，
因此第二次抽到蓝色球的概率为 ，故A选项正确；
对于选项B、C，记 “第一次抽到红色球”， “第一次抽到黄色球”，
“第一次抽到蓝色球”， “第二次在红色箱子中抽到蓝色球”,
“第二次在黄色箱子中抽到蓝色球”， “第二次在蓝色箱子中抽到蓝球”，
“第二次抽到蓝球”，易知 ， ， 两两互斥，和为 ，
， ， ， ， ，
，故B选项错误；
第二次的球取自箱子的颜色与第一次取的球的颜色相同，
所以 ，
，
，
所以如果第二次抽到的是蓝色球，则它来自红色箱子的概率最大，故C选项正确；
对于D，将5个不同的小球分成3组（每组至少一个）（按 分或按 分）
再分配给3个箱子，由两个计数原理知，共有 种，故D选项正确.
故选：ACD．
三、填空题
5．（2024·江苏苏州·三模）已知 ，则 .
【答案】 /
【分析】由条件概率和全概率公式结合已知计算即可.【详解】因为 ，
所以 ，
故答案为： .
6．（2024·江西新余·模拟预测）设随机变量 的分布列如图：
0 1
若 的数学期望为 ，事件 ： 或 ，事件 ： 或 ，则 ；
.
【答案】
【分析】先由离散型随机变量的性质各取值概率和为1求出 ，再利用期望公式求解 ，然后由条件概率
公式可得 .
【详解】由 解得 ，
故 ，解得 ，
所以 .
故答案为： ； .
7．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.
在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是 ，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是 .
若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通
过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示）
【答案】
【分析】借助概率乘法公式与全概率公式计算即可得.
【详解】设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则 ；
设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D，根据题意得， ， ， ，
则 ，
所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为 .
故答案为： ； .
四、解答题
8．（2024·浙江·三模）将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具
盒子），现从中不放回取球.
(1)若每次取一个球，求：
（ⅰ）前两次均取到红球的概率；
（ⅱ）第2次取到红球的概率；
(2)若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：
（ⅰ）另一个也为红球的概率；
（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，
你是选择换还是不换？试说明理由.
【答案】(1)（ⅰ） ；（ⅱ）
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）选择交换，理由见解析
【分析】（1）不放回取球可以用条件概率公式的变式公式来计算，即： ，第2次取
到红球可由两互斥事件计算得到，即 ；
（2）条件概率公式： ，其中有一个球为红球，又等价转化到对立事件来求概率，即可求
出结果，对于是否交换，只需要比较两种情形的概率就可以得到判断.
【详解】（1）记事件 （ ）为第 次取到红球，事件 （ ）为第 次取到白球.
（ⅰ）前两次均取到红球即为事件 ， .
（ⅱ） .
（2）（ⅰ）事件：其中有一个球为红球的“对立事件”为：两个球均为白球，即为事件 ，
，所以在一个球为红球的前提下另一个球也为红球的概率 .
（ⅱ）若不换：在取到的一个球为红球的前提下取到的另一个球也为红球的概率记为 ；
若换：换后取到红球的概率记为 ；
由于 ，所以交换后摸到红球的概率更大，选择交换.
9．（2024·河南信阳·模拟预测）袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.
(1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在
最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率.
【答案】(1)
2
(2)
3
【分析】（1）由超几何分布的概率公式以及期望公式求解可得答案；
（2）设事件 “最后得分为8分”；事件 “恰取到一个红球”，求出 ， ，再根据条件
概率的概率公式计算可得答案.
【详解】（1）由题意得 的可能取值为： ，
， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
数学期望 ；
（2）设事件 “最后得分为8分”；事件 “恰取到一个红球”；
由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球，
所以 ， ，
所以 .10．（2024·安徽·模拟预测）现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和
1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个
商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通
过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为 .
(1)求首次检验抽到合格产品的概率；
(2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；
(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检
验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.
【答案】(1)
(2)
(3)方案一
【分析】（1）按照条件概率的计算公式即可得出答案；
（2）按照贝叶斯逆向概率公式代入即可求解；
（3）由前面的小问得出的结论分别计算两种方案在二次检验抽到合格品的概率，比较大小，从而选择决
策方案.
【详解】（1）将首次检验选到甲箱记为事件 ，选到乙箱记为事件 ，首次检验抽到合格品记为事件 .
则首次检验抽到合格品的概率
.
（2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率
.
（3）将二次检验抽到合格品记为事件 .
由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率 ，
则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率 .
.从而，在首次检验通过，即事件 发生的条件下：
①若选择方案一，则 ， .
故此条件下在二次检验抽到合格品的概率 .
所以在方案一下，检验通过的概率 ；
②若选择方案二，则 ， .
故此条件下在二次检验抽到合格品的概率 .
所以在方案二下，检验通过的概率 .
而 ，故选择方案一检验通过的概率更大.
1．（全国·高考真题）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为
优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【答案】A
【详解】试题分析：记 “一天的空气质量为优良”， “第二天空气质量也为优良”，由题意可知
,所以 ，故选A.
考点：条件概率．
2．（重庆·高考真题）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率相同且灯口向下放
着．现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概
率为：
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解.
【详解】解：因为盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，
所以从中取一只螺口的概率是 ，再从中取一只螺口的概率是 ，
因为有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡，
所以从中取一只卡口灯泡的概率是 ，
所以到第3次才取得卡口灯泡的概率为： ，
故选：D
3．（辽宁·高考真题）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否
加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，
即仅第一个实习生加工一等品(A )与仅第二个实习生加工一等品(A )两种情况，
1 2
则P(A)=P(A )+P(A )= × + × =
1 2
故选B.
4．（辽宁·高考真题）从 中任取 个不同的数，事件 “取到的 个数之和为偶数”，事件
“取到两个数均为偶数”，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得 和 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题意 , ,故 .故选B.
【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
5．（重庆·高考真题）加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为 ,且
各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为 .
【答案】
【详解】解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率
6．（全国·高考真题）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，
决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率
为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 ．
【答案】0.18
【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．
题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 获胜的概率是
综上所述，甲队以 获胜的概率是
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的
全面性是否具备，要考虑甲队以 获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．
7．（安徽·高考真题）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写
出所有正确结论的编号）．
① ；
② ；
③事件 与事件 相互独立；
④ 是两两互斥的事件；
⑤ 的值不能确定，因为它与 中哪一个发生有关
【答案】②④
【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出 事件发生的条件下
B事件发生的概率，即可判断②；然后由 ，判断①和⑤；再比较
的大小即可判断③.
【详解】由题意可知事件 不可能同时发生，则 是两两互斥的事件，则④正确；
由题意得 ，故②正确；
,①⑤错；因为 ，所以事件B与事件A 不独立，③错；综上选②④
1
故答案为：②④
【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.
8．（江西·高考真题）某商场举行抽奖促销互动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随
机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得二等奖；摸出两个红球可获得一等奖．现有甲、
乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求：
(1)甲、乙两人都没有中奖的概率；
(2)甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，得到结果；
（2）计算出甲乙都不中二等奖的概率，再根据对立事件的概率公式进行求解．
【详解】（1）甲、乙两人都没有中奖的概率为 ；
（2）甲乙都不中二等奖的概率为： ，
甲、乙两人中至少有一人获二等奖的概率为 ．
9．（陕西·高考真题）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，
否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 ，且各轮问题能
否回答正确互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得；
（2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得.
【详解】（1）记 表示该选手能正确回答第 个问题，则
．
该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，各轮问题能否回答正确互不影响，
所以所求概率是 .
（2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，
可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，
所以所求概率为
．
10．（福建·高考真题）某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科
目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项
考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为 ，科目B每次考试成绩合格的概率均为 ．假设各次考试成
绩合格与否均互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；
(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的数学期望 ．
1
【答案】(1)
3
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率计算公式即可求解出结果；
（2）根据题意，先写出参加考试的次数的所以可能值为2，3，4，再分别求解出各结果出现的概率再计算
其数学期望。
【详解】（1）设“科目A第一次合格”为事件 ，“科目A补考合格”为事件
“科目B第一次合格”为事件 ，“科目B补考合格”为事件
则
根据独立事件概率计算公式得不需要补考获得证书的概率为
（2）根据题意， 的可能取值为2，3，4 且所以
