文档内容
第 06 讲 几何法求空间角与空间距离
（5 类核心考点精讲精练）
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分
【备考策略】1.掌握等体积转化求点面距
2.掌握等几何法求异面直线所成角
3.掌握等几何法求线面角
4.掌握几何法求二面角
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查空间距离和空间角的求解，需强化巩
固复习.
知识讲解
一、异面直线所成角
1.定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线a′//a,b′//b,我们把a′与b′所成的锐角（或直
角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
( π]
2.范围： 0, .
2
3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角；二、直线与平面所成角
1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。
[ π]
2.范围： 0, .
2
3.求法：
（1）由定义作出线面角的平面角，再求解：
（2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为 l ）和到平面的距离（设为 d), 则
d
sinθ= (θ为线面角);
l
三、二面角
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足
分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。
2.范围： [0,π].
3.求法：
（1）定义法：
利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，
两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主
要特征”来找出平面角。
（2）三垂线法：
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
（3）垂面法：
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可
知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
（4）射影面积法：
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公S S
式（cosθ= 射 = △A′B′C′ ,如图)求出二面角的大小
S S
斜 △ABC
四、空间距离
点面距可转化为三棱锥等体积求解
考点一、 几何法求点面距
1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正三棱柱 中，所有棱长均为1，则点 到平面
的距离为 ．
2．（23-24高三上·河北·期末）已知正方体 的棱长为 为线段 上的动点，则点 到
平面 距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2024·辽宁丹东·一模）已知球 的直径为 ， ， 为球面上的两点，点 在 上，且
， 平面 ，若 是边长为 的等边三角形，则球心 到平面 的距离为
．
4．（2024高三·全国·专题练习）在长方体ABCDA BC D 中，AB＝AA＝2BC＝2，则异面直线BD 与CD
1 1 1 1 1 1 1
的距离为 ；异面直线BD 与CD的距离为 ．
1
1．（23-24高三上·全国·阶段练习）在直三棱柱 中，所有棱长均为1，则点 到平面 的距
离为（ ）A． B． C． D．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知棱长为1的正方体 分别是AB和BC的中点，则
MN到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·一模）如图是棱长均为2的柏拉图多面体 ，已知该多面体为正八面体，四边形
为正方形， 分别为 的中点，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2024·陕西西安·三模）在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， ．
(1)证明： ．
(2)若 为等边三角形，求点C到平面 的距离．
考点二、 几何法求异面直线所成角
1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正四棱柱 中， ，则异面直线 与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川绵阳·三模）在梯形 中, ，且 ，沿对角线
将三角形 折起，所得四面体 外接球的表面积为 ，则异面直线 与 所成角为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱 中， 分
别为棱 的中点， 为棱 上的动点，且线段 的长度最小值为 ，则异面直线 与 所成
角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·广西桂林·三模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑
中， 平面 ， ，且 ， 为 的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）如图，矩形 是圆柱 的轴截面，点 在圆 上，若
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
考点三、 几何法求线面角
1．（2024·全国·高考真题）已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面
ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知正四棱台 的上、下底面边长分别为 ， ，体积
为 ，则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·全国·专题练习）如图，底面 是边长为2的正方形，半圆面 底面 ，点
为圆弧 上的动点．当三棱锥 的体积最大时， 与半圆面 所成角的余弦值为
．
4．（2024·辽宁大连·二模）已知一圆形纸片的圆心为 ，直径 ，圆周上有 两点.如图： ，
，点 是 上的动点.沿 将纸片折为直二面角，并连接 ， ， ， .(1)当 平面 时，求 的长；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
5．（2024·山西·三模）如图三棱锥 分别在线段AB，CD上，且满足
.
(1)求证:平面 平面 ;
(2)求AD与平面BCD所成角的正弦值.
6．（22-23高一下·辽宁大连·期末）在正三棱台 中， ， ， 为 中点，
在 上， .
(1)请作出 与平面 的交点 ，并写出 与 的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和
理由）；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
1．（2024·陕西榆林·三模）已知正三棱锥 的侧棱与底面边长的比值为 ，则三棱锥 的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·模拟预测）如图，正四面体 的顶点 在平面 内，且直线 与平面 所成的角为
，顶点 在平面 内的射影为 ，当顶点 与点 的距离最大时，直线 与平面 所成角的正弦值等
于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在棱长为 的正方体 中，点 是平面
内的动点，满足 ，则直线 与平面 所成角正切值的最大值为 .
4．（2024·山东·二模）如图所示，直三棱柱 ，各棱长均相等. ， ， 分别为棱 ， ，
的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求直线 与 所成角的正弦值.
5．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ，且 ， .(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求 与平面 所成角的大小.
考点 四 、 几何法求二面角
1．（2024·河南·三模）在四面体 中，平面 平面 ， 是直角三角形，
，则二面角 的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西赣州·一模）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，
平面 为侧棱 的中点.
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求二面角 的正切值.
3．（2024·四川攀枝花·三模）如图，直三棱柱 中， ，点 在线段 上，且
， ．
(1)证明：点 为 的重心；(2)若 ，求二面角 的余弦值．
4．（2024·河南·模拟预测）如图，在长方体 中，点 分别是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，且底面 为正方形，求平面 与平面 夹角的余弦值．
1．（2024·四川南充·三模）已知如图，在矩形 中， ，将 沿着 翻折至
处，得到三棱锥 ，过M作 的垂线，垂足为 ．
(1)求证： ；
(2)求二面角 的余弦值．
2．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在四棱锥 中，四边形 为梯形，其中 ，
，平面 平面 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 与平面 所成角的正切值为2，求平面 与平面 所成二面角的正弦值．3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）如下图，四棱锥 的体积为 ，底面 为等腰梯形，
， ， ， ， ， 是垂足，平面 平面 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， 分别为 ， 的中点，求二面角 的余弦值．
4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，在三棱柱 中，底面 侧面 ，
， ， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成的角的余弦值．
考点 五 、 范围与最值问题
1．（2024·全国·模拟预测）设 为正方体 的棱 上的动点，则平面 与平面
夹角的正切值的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知底面为正方形且各侧棱均相等的四棱锥 可绕着
任意旋转， 平面 ， ， 分别是 ， 的中点， ， ，点 在平面 上的射影为点 .当 最大时，二面角 的大小是（ ）
A．105° B．90° C．60° D．45°
3．（2024·四川成都·二模）如图，在正四面体 中， 是棱 的两个三等分点．
(1)证明： ；
(2)求出二面角 的平面角中最大角的余弦值．
1．（2024·河北沧州·模拟预测）在长方体 中， ， ，点 为 的中
点，点 为四边形 内一点，且 ，则直线 与平面 所成角的正切值的最大值为
.
2．（2024·广东·一模）已知表面积为 的球O的内接正四棱台 ， ， ，动点
P在 内部及其边界上运动，则直线BP与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
3．（23-24高三下·湖南·开学考试）如图，在三棱锥 中，平面 平面
为棱 上靠近点 的三等分点，且 为 的角平分线，则二面角
的平面角的正切值的最小值为 ．一、单选题
1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知在三棱锥 中， ，则直线 与平
面 所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱 中， 分
别为棱 的中点， 为棱 上的动点，且线段 的长度最小值为 ，则异面直线 与 所成
角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三下·江西·阶段练习）如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝5，BC＝3，CD⊥
平面ABC，E为AD的中点，且异面直线BE与AC所成角为60°，则点A到平面BCE的距离为（ ）A． B． C． D．
4．（2024·广西桂林·三模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑
中， 平面 ， ，且 ， 为 的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·广东·阶段练习）如图，正方体 的边长为4， ，平面 经过
点 ， ，则（ ）
A．
B．直线 与直线 所成角的正切值为
C．直线 与平面 所成角的正切值为
D．若 ，则正方体截平面 所得截面面积为26
二、多选题
6．（22-23高三上·河北邢台·期末）如图所示，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动
点 ， ，且 ，则下列说法中正确的是（ ）A．存在点 ， ，使得
B．异面直线 与 所成的角为60°
C．三棱锥 的体积为
D．点 到平面 的距离为
三、填空题
7．（22-23高二上·重庆南岸·期末）如图，在直三棱柱 中， 是等边三角形，
， 是棱 的中点.求点 到平面 的距离等于
四、解答题
8．（2024·江苏·二模）如图，直三棱柱 的体积为1， ， ， ．
(1)求证： ；(2)求二面角 的余弦值．
9．（2024高三下·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥 中， ， ， 是
的中点，且 底面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
10．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如图1，菱形 的边长为 ,将其沿 折叠形成如图2所
示的三棱锥 ．
(1)证明：三棱锥 中， ;
(2)当点A在平面 的投影为 的重心时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知矩形 中， 是边 的中点． 和 交
于点 ，将 沿 折起，在翻折过程中当 与 垂直时，异面直线 和 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·新疆·二模）如图，在平行四边形 中， ，且 ， 为 的中线，
将 沿BF折起，使点 到点 的位置，连接AE，DE，CE，且 ，则（ ）A． 平面 B．AE与平面 所成角的正切值是
C．BC与DE所成的角为 D．点 到平面 的距离为
3．（2024·江苏无锡·模拟预测）在平面四边形 中， ，将 沿 折起，使
到达点 的位置．已知三棱锥 的外接球的球心 恰是 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． 与平面 所成的角相等
B．
C．二面角 的大小可能为
D．若 ，则球 的表面积为
4．（23-24高一下·山东济南·期中）已知正四棱台 的高为 ， ， ，则
（ ）
A．正四棱台 的体积为
B．二面角 的大小为
C．直线 与平面ABCD所成角的正弦值为
D．异面直线 与 所成角的正切值为2
三、解答题
5．（2024·陕西铜川·三模）如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ，点 是 的中
点， 是线段 上靠近 的三等分点， .
(1)求证： 平面 ；(2)求点 到平面 的距离.
6．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）如图，在直三棱柱 中， ， ，
，点M，N分别在 ， 上，且 ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小．
7．（2024·山东济南·三模）如图所示， 为矩形， 为梯形，平面 平面 ，
.
(1)若点 为 的中点，证明: 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的大小.
8．（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形 中， ，把梯
形ABCD绕AB旋转至 分别为 中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
9．（24-25高三上·广东·阶段练习）如图，三棱柱 中，侧面 是边长为2的正方形，， ．
(1)证明： ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的值．
10．（2024·贵州遵义·二模）通过化学的学习，我们知道金刚石是天然存在的最硬的物质，纯净的金刚石
是无色透明的正八面体形状的固体，如图1是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，从图中可
以看出，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接，从立体几何的角度来
看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的那个碳原子处于
与这4个碳原子距离相等的位置，如图2所示：
(1)在金刚石的碳原子空间结构图（图2）中，求直线 与直线 所成角的余弦值；
(2)若四面体 和正八面体 的棱长相等，现将两几何体拼接起来，使它们一个表面完全重合，
得到一个新多面体，判断新多面体为几面体，并说明理由．
1．（2024·全国·高考真题）已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面
ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥 为底面 的中心．(1)若 ，求 绕 旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的大小．
3．（2024·全国·高考真题）如图， ， ， ，
, 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到 的距离.
4．（2024·全国·高考真题）如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ，
．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ．
5．（2023·全国·高考真题）已知 为等腰直角三角形，AB为斜边， 为等边三角形，若二面角
为 ，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）A． B． C． D．
6．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
7．（2023·全国·高考真题）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， ，
，点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
8．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱 中， 平面 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，求四棱锥 的高．
9．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱 中， 底面ABC， ，
到平面 的距离为1．(1)证明： ；
(2)已知 与 的距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．
10．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，
BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
11．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台 中， 平面
， 为 中点.，N为AB的中点，
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．12．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的点．
记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高考真题）（多选）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
14．（2021·全国·高考真题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，PD=DC=1，
为 的中点，且PB⊥AM．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
15．（2021·全国·高考真题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F
分别为 和 的中点，D为棱 上的点．（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
